专题04 圆的方程（考题猜想）-【中职专用】2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（高教版2023·基础模块）

专题04 圆的方程 选择题专练 题型一：圆的方程 1．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线l恰好经过圆的圆心，且与直线垂直，则直线l的方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知点与，则以线段为直径的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．若直线与两坐标轴分别交于、两点，则以线段为直径的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 5．点在圆外，则圆上的点到点的最大距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知圆上的点到直线的最小距离是，则圆的半径（    ） A． B． C． D． 7．已知直线l过圆的圆心，且与直线垂直，则l的方程是（    ） A． B． C． D． 8．过点 ，，且圆心在直线 上的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 9．已知、，则以线段为直径的圆的方程是（　　） A． B． C． D． 10．若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是（ ） A． B． C． D． 11．已知圆心为，求过直线和交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 12．已知一圆的圆心为点，一条直径的两个端点分别在轴和轴上，则此圆的方程是（   ） A． B． C． D． 13．已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 14．已知为圆上一动点，，则的最大值为（    ） A．6 B．4 C．8 D．3 15．若方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．若方程表示一个圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．圆的圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 18．已知点在圆上，则实数的取值为（   ） A．0 B． C．0或 D．0或 19．圆的半径是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 20．若方程表示圆，其圆心坐标为，则该圆的半径为（    ）． A．3 B． C．5 D．4 21．若方程表示圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．若圆过点，，则它的半径为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 23．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．已知圆内一点，则过点的最短弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 题型二：直线与圆的方程 1．圆的圆心到直线 的距离为，则（　　） A． B． C． D． 2．直线与圆的位置关系是（   ） A．相交但直线不过圆心 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆心 3．已知直线与圆相交于两点，则等于（    ） A． B． C．1 D．5 4．若直线平分圆的周长，则的值为（    ） A． B．6 C．4 D． 5．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 6．直线与圆的位置关系是（   ） A．相交，且直线不过圆心 B．相交，且直线过圆心 C．相切 D．相离 7．已知圆:关于轴对称的圆与直线相切,则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 8．若直线与圆有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知圆与直线相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．已知直线与圆相交，则弦长为（    ） A． B．2 C． D．4 11．若经过点作圆的切线，则切线长为（    ） A． B． C．4 D．5 12．圆上的点到直线的距离的最大值是（    ） A． B．2 C． D． 13．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与的值有关 14．圆心为且与轴相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 15．直线l：与圆C：位置关系是（    ）. A．相切 B．相离 C．相交且圆心到直线的距离为 D．相交且圆心到直线的距离为 16．若直线与圆相切，则实数（   ） A． B． C．或 D． 填空题专练 1．圆心在轴上，半径为，且过点，则圆的标准方程为 ． 2．圆的圆心到直线的距离是 ． 3．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为 ． 4．已知圆的圆心坐标，则圆的半径是 . 5．过点作圆的切线，则切线方程为 . 6．已知圆与直线相切，则 . 7．已知直线与圆相切，则 ． 8．直线与圆的位置关系是 . 9．过点作圆C：的弦，其中最长弦所在的直线方程为 . 10．圆心在直线上且与轴交于两点、，则圆的方程为 . 解答题专练 1．已知抛物线与x轴交于P､Q两点，以PQ为直径作圆. (1)求m的取值范围； (2)求圆的方程； (3)若抛物线的顶点在圆的内部，求m的取值范围. 2．已知圆过点和，且圆心在直线上． （1）求的垂直平分线的方程； （2）求圆的方程． 3．已知的三个顶点分别为. (1)求边所在直线的方程； (2)若的中点为，求边的垂直平分线的方程； (3)求的外接圆的方程. 4．已知方程表示一个圆. (1)求实数的取值范围； (2)若该圆的半径等于4，求该圆的圆心坐标. 5．求符合下列条件的圆的方程. (1)过点的圆的一般方程； (2)过点，且圆心在直线的圆的标准方程. 6．已知圆的方程为. (1)写出圆的圆心坐标和半径长； (2)若直线经过原点，且与圆相切，求直线的方程. 7．已知圆C：，直线l：． (1)写出圆C的圆心坐标和半径长； (2)求圆心到直线l的距离，并指出直线l与圆C的位置关系. 8．已知直线与圆C：相交于A，B两点，求： (1)圆C的圆心、半径； (2)弦AB的长度． 9．已知圆C的方程为． (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)若斜率为的直线l被圆C截得的线段长为，求直线l的方程． 10．已知直线l：，，圆C：. (1)当k为何值时，直线l与圆C相交所得的弦最长？最长为多少？ (2)当直线l与圆C有公共点时，求实数k的取值范围. 11．已知圆的圆心为，半径为1. (1)试写出这个圆的一般式方程； (2)已知直线：被圆所截得的弦长为2，求的值. 12．某海岛电台的覆盖范围是半径为公里的圆形区域，一船位于海岛的正东公里处，沿西偏北的直线前进.试问：    (1)该船在前进过程中能否收听到此海岛电台播报的内容？ (2)如果能收听到电台内容，则该船听到内容的航程有多少公里？如果不能收听到，则该船应如何改变方向才能收听到电台内容？ 13．如图所示，某电子监控安装在点，监控范围为半径的一个圆. (1)试写出这个圆的一般式方程； (2)有人在经过点，斜率为的直线上活动，试问监控能否发现？为什么？ 14．某次生产中，一个圆形的零件损坏了，只剩下如图所示的部分．现在陈师傅所在的车间准备重新做一个这样的零件，为了获得这个圆形零件的半径，陈师傅在零件上画了一条线段AB，并作出了AB的垂直平分线MN，测得，．根据已有数据，试帮陈师傅求出这个零件的半径．      15．如图是某圆拱桥的示意图,水面跨度,拱高,现有一艘船,宽为,水面以上高（平顶）,问这条船能否从桥下通过？    第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆的方程 选择题专练 题型一：圆的方程 1．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设出对称圆的方程，再根据对称的性质求解即可. 【详解】由圆得：圆心为，半径为1， 由直线得其斜率为1， 设对称圆方程为，其圆心为， 则两圆心连线所在直线的斜率为， 两圆心连线的线段中点在上， 故，解得，即对称圆的圆心为， 则对称圆方程为. 故选：A. 2．已知直线l恰好经过圆的圆心，且与直线垂直，则直线l的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程得圆心，结合两直线垂直，则斜率的乘积为，点斜式方程即可求解. 【详解】设直线l，m的斜率分别为，，因为直线l与直线m垂直，则， 由直线得，，则，解得， 由圆得，圆心为， 由点斜式方程可得，直线l的方程为，即. 故选：C． 3．已知点与，则以线段为直径的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，线段的中点即为圆心，两点间距离的一半即为圆的半径，由此可得圆的标准方程. 【详解】因为线段的中点坐标为，即， 所以以线段为直径的圆的圆心坐标为， 半径， 所以， 因此所求的圆的标准方程为：， 故选：. 4．若直线与两坐标轴分别交于、两点，则以线段为直径的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线求出它与轴、轴交点、的坐标，再根据两点间距离公式、中点坐标公式得到圆的直径长以及圆心坐标，进而可得圆的方程. 【详解】由题意可得： 当时，，当时，， 即、两点的坐标分别为、， 所以直径，所以圆的半径为：， 圆心坐标为， 因此圆的方程为：. 故选：. 5．点在圆外，则圆上的点到点的最大距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由题可知，圆上的点到点的最大距离为点到圆心的距离加上半径，再由两点坐标公式求解即可. 【详解】由圆可知，圆心坐标为，半径， 点在圆外， 所以圆上的点到点的最大距离为点到圆心的距离加上半径， 点到圆心的距离， 所以圆上的点到点的最大距离为. 故选：C. 6．已知圆上的点到直线的最小距离是，则圆的半径（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】理解圆上点到直线距离的最值与圆心到直线距离和半径相关，转换求解即可. 【详解】圆心到直线的距离为：， 则圆上的点到直线的最小距离为：， 解得. 故选：. 7．已知直线l过圆的圆心，且与直线垂直，则l的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆化为标准方程求出圆心，再根据直线垂直的判定条件即可解得. 【详解】由题圆可化为标准方程：，即圆心坐标， 又知直线的斜率为，且两直线垂直， 则直线的斜率为， 故直线方程为，即. 故选：D. 8．过点 ，，且圆心在直线 上的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意设出圆心坐标，结合圆经过点、列出式子，计算得到圆的标准方程. 【详解】已知圆心在直线上，设圆心为， 又圆经过点、，则， 故， 解得，圆心坐标为，圆的半径为， 故圆的标准方程为， 故选：B. 9．已知、，则以线段为直径的圆的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式与点到直线距离公式可求. 【详解】圆的圆心是， 半径是. 故圆的方程为. 故选：B. 10．若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆与圆关于原点对称，即原点是圆的圆心与已知圆的圆心的中点，即可求圆的圆心坐标，从而得解. 【详解】由于圆的圆心，半径为1； 圆与圆关于原点对称，故，半径为1， 所以圆的方程为：. 故选：A. 11．已知圆心为，求过直线和交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解两条直线的交点，再由两点间的距离求解半径即可求解圆的标准方程. 【详解】，解得， 所以交点为， 又因为以为圆心，且过， 所以圆的半径， 所以圆的方程为. 故选:C． 12．已知一圆的圆心为点，一条直径的两个端点分别在轴和轴上，则此圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由圆心求解两个端点的坐标，再求解半径即可求解圆的方程. 【详解】由于圆心是直径的中点， 设直径的两个端点为和， 所以此直径的两个端点坐标分别为，， 解得，， 所以端点为，， 所以半径为， 所以所求圆的方程为. 故选：A. 13．已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点坐标，代入两点距离公式化简即可. 【详解】设点，由题意可得， 即，即， 化简可得 即点的轨迹方程为， 故选：D. 14．已知为圆上一动点，，则的最大值为（    ） A．6 B．4 C．8 D．3 【答案】C 【分析】先由圆的标准方程得到其圆心与半径，再利用点到圆心的距离得到的最大值，从而得解. 【详解】因为圆， 所以圆的圆心为，半径， 又，则，故点在圆外， 则的最大值为. 故选：C. 15．若方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆一般方程的概念，即可求解. 【详解】因为方程表示圆， 所以， 解得. 故选：A. 16．若方程表示一个圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二元二次方程表示圆的条件即可得解. 【详解】由表示一个圆， 则， 所以实数m的取值范围为. 故选：A. 17．圆的圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的一般式方程的圆心与半径的计算公式即可求解. 【详解】由圆的一般式方程可知，, ∴，，， ∴圆心坐标为，半径. 故选：C. 18．已知点在圆上，则实数的取值为（   ） A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】D 【分析】根据点在圆上，将点坐标代入到一般方程内，方程成立进而求的值 【详解】由题可知：点在圆上， ∴ ； 解得：或 故选:D. 19．圆的半径是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由圆的一般方程代入圆心坐标公式和半径公式即可求解. 【详解】因为圆的一般方程为， 所以圆的半径. 故选：D. 20．若方程表示圆，其圆心坐标为，则该圆的半径为（    ）． A．3 B． C．5 D．4 【答案】D 【分析】先由圆的一般方程化为标准方程，再由圆的圆心求出，进而求出圆的半径. 【详解】由，配方得， 因为圆心为，所以，所以，所以． 故选：D. 21．若方程表示圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：将方程配方为标准方程，根据半径即可求解参数. 方法二：由二元二次方程表示圆即即可求解参数. 【详解】方法一：运用配方法， 由得圆的标准方程，则． 方法二：方程表示一个圆，则， 即，得． 所以m的取值范围为. 故选:A. 22．若圆过点，，则它的半径为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】D 【分析】将点代入圆的方程，再由圆的一般方程转化为圆的标准方程求解半径即可. 【详解】点代入得：, 整理得：， 即半径为. 故选:D. 23．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点代入圆的方程使其小于即可求参数. 【详解】因为点在圆的内部， 所以，解得， 故实数的取值范围是． 故选：D. 24．已知圆内一点，则过点的最短弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找到最短弦，结合斜率公式及点斜式方程即可得解. 【详解】由题意可知，过圆心且过点的弦是过点的最长弦为直径，过点且与这条直径垂直的弦是过点的最短弦， 圆的圆心为，所以所在直线的斜率， 故与垂直的直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即． 故选：. 题型二：直线与圆的方程 1．圆的圆心到直线 的距离为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点到直线的距离公式即可求的值. 【详解】由配方得，所以圆心为， 因为圆的圆心到直线的距离为1， 所以，解得. 故选：A. 2．直线与圆的位置关系是（   ） A．相交但直线不过圆心 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆心 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离再与半径比较即可. 【详解】易知圆的圆心坐标为，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以圆与直线的位置关系为相切． 故选：B. 3．已知直线与圆相交于两点，则等于（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】先由圆的一般方程得到圆心和半径，再由圆心到直线的距离和弦长公式即可得解. 【详解】由，即， 得圆的半径，圆心． 因为到直线的距离， 所以． 故选：A. 4．若直线平分圆的周长，则的值为（    ） A． B．6 C．4 D． 【答案】A 【分析】首先求出圆的圆心，再根据圆心在直线上求解. 【详解】圆化为标准形式为， 所以圆心坐标为． 因为直线平分圆的周长， 所以圆心在直线上，故，解得． 故选：A. 5．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】B 【分析】由圆心到直线的距离与半径比较即可得出结论. 【详解】易知圆的圆心坐标为，半径为1． 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离． 故选：B． 6．直线与圆的位置关系是（   ） A．相交，且直线不过圆心 B．相交，且直线过圆心 C．相切 D．相离 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程得到圆心和半径，再计算圆心到直线的距离，比较其与半径的大小，即可求解. 【详解】易知圆的圆心为，半径为2， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，又，所以直线不过圆心． 故选：A. 7．已知圆:关于轴对称的圆与直线相切,则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意并结合已知条件不难写出对称后的圆的方程,再利用相切的条件,即可求出结果. 【详解】由圆:,可得标准方程,圆心为,半径, 故关于轴对称的圆的圆心为,半径,则其标准方程为, 又因为圆与直线相切,所以圆心到切线的距离等于半径, 即,解得或; 故选：C. 8．若直线与圆有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式求弦心距，根据弦心距小于等于半径解绝对值不等式，即可求解. 【详解】因为圆， 所以圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离， 解得，故的取值范围是. 故选：D. 9．已知圆与直线相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与圆相交，联立直线与圆的方程，根据判别式大于，解出的范围即可. 【详解】因为圆与直线相交，即联立方程求解有两个实数解； 因此将直线方程代入圆的方程，可得： ；根据判别式 可得：；解得. 所以的取值范围为. 故选：A. 10．已知直线与圆相交，则弦长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】先求出圆的圆心和半径，再判断直线与圆的位置关系即可求解弦长. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 则说明直线过圆的圆心，所以弦长为圆的直径为4. 故选：D. 11．若经过点作圆的切线，则切线长为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，结合两点之间的距离公式及勾股定理，即可求解. 【详解】因为圆的方程， 所以圆心坐标为，半径， 又点在圆外， 所以点到圆心的距离为， 所以切线长为. 故选：B. 12．圆上的点到直线的距离的最大值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先把圆的方程化为标准方程，根据圆心到直线的距离即可求解. 【详解】圆可化为， 所以圆心，半径. 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最大值为：. 故选：C 13．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与的值有关 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，计算点到圆心的距离，比较其与半径的大小，即可求解. 【详解】因为圆，所以圆心，半径为， 点到圆心距离为， 所以点在圆外. 故选：A. 14．圆心为且与轴相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆心到轴的距离等于半径即可求解. 【详解】因为圆与轴相切， 所以圆心到轴的距离， 所以圆的方程为. 故选：B 15．直线l：与圆C：位置关系是（    ）. A．相切 B．相离 C．相交且圆心到直线的距离为 D．相交且圆心到直线的距离为 【答案】D 【分析】先将圆的方程化为标准，得到圆心和半径，再计算圆心到直线的距离，比较其与半径的大小，即可判定. 【详解】将圆的方程化为标准方程，得到. 得到圆心，半径. 圆心到直线的距离. 得到直线与圆相交，且圆心到直线的距离为. 故选：D. 16．若直线与圆相切，则实数（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意可建立关于的方程，解出即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 依题意，圆心到直线的距离为， 解得. 故选：C. 填空题专练 1．圆心在轴上，半径为，且过点，则圆的标准方程为 ． 【答案】或 【分析】根据题目信息可求出圆心的坐标，再结合半径即可求得圆的标准方程. 【详解】设圆心为，则， ∴或，∴圆心为或， 又，∴圆的标准方程为或. 故答案为：或. 2．圆的圆心到直线的距离是 ． 【答案】/ 【分析】先求解圆的圆心，再根据点到直线的距离公式，进行求解即可. 【详解】圆转化为标准方程为， 所以圆心坐标为， 由点到直线的距离公式得，圆心到直线的距离为. 故答案为：. 3．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】利用线段中点坐标公式求出圆心坐标，利用两点间距离公式求出半径，然后写出圆的标准方程． 【详解】∵，，线段的中点，则 ， 即圆心坐标为， ， 所以该圆的标准方程为. 故答案为：． 4．已知圆的圆心坐标，则圆的半径是 . 【答案】5 【分析】根据圆的一般式方程即可求解. 【详解】由题意知，圆的圆心为， 所以，解之得， 所以圆的半径为. 故答案为：. 5．过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】 【分析】根据题意可得，点在圆上，则切线垂直于切点与圆心连线，结合已知两点求斜率公式，两直线垂直则斜率乘积为，点斜式方程即可求解. 【详解】把点代入圆可得，点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线. 由圆得圆心，则切点与圆心连线的斜率为， 故切线的斜率为. 所以切线方程为：，即. 故答案为：. 6．已知圆与直线相切，则 . 【答案】 【分析】先把圆的方程化为标准方程得出圆心与半径，再根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由圆，得，则圆心， 因为圆和直线相切，所以圆心到直线的距离为 ，解得. 故答案为：. 7．已知直线与圆相切，则 ． 【答案】或 【分析】根据圆心到直线的距离等于半径即可解得. 【详解】由题，直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径， 由可得， 圆心为，半径， 直线可化为， 则圆心到直线的距离为， 即， 解得或， 故答案为：或 8．直线与圆的位置关系是 . 【答案】相交 【分析】求出圆心到直线的距离，与半径比较即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， ∴直线与圆相交. 故答案为：相交. 9．过点作圆C：的弦，其中最长弦所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】分析过圆的最长弦为直径，根据点和圆心的坐标求得直线方程即可, 【详解】由得圆的标准方程为， 可得圆心坐标为， 因为，圆中最长弦为直径， 故最长弦所在的直线经过圆心和， 设直线为， 代入圆心和， 可得， 解得. 可得直线方程为，就 故答案为:. 10．圆心在直线上且与轴交于两点、，则圆的方程为 . 【答案】 【分析】由圆的性质知，过中点和轴垂直的直线与直线的交点即为圆的圆心，求出圆心的坐标和半径即可求解. 【详解】因、，所以过中点为， 即过中点和轴垂直的直线方程为： 把代入直线方程得，，即， 所以圆心坐标为. 因圆过点，所以圆的半径. 即所求圆的方程为. 故答案为：. 解答题专练 1．已知抛物线与x轴交于P､Q两点，以PQ为直径作圆. (1)求m的取值范围； (2)求圆的方程； (3)若抛物线的顶点在圆的内部，求m的取值范围. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）令，得一元二次方程，根据判别式求出m的范围即可； （2）设，由根与系数关系求出圆心坐标，直径，即可写出圆的方程； （3）求出抛物线的顶点坐标，再由点与圆的关系求出m的范围即可. 【详解】（1）抛物线与x轴交于P､Q两点； 令，则， ∴， ∴； （2）抛物线与x轴交于P､Q两点； 设， 由，可得，， ∴， 以PQ为直径作圆，圆心坐标为， 则圆的半径为， ∴所求圆的方程为：，. （3）由，可得抛物线的顶点为， 因为抛物线的顶点在圆的内部，得：， 即：， ∴. 2．已知圆过点和，且圆心在直线上． （1）求的垂直平分线的方程； （2）求圆的方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）求出中点的坐标以及直线的斜率，利用两直线互相垂直斜率的关系求出的垂直平分线的斜率，最后求出方程即可； （2）根据垂径定理可知圆心是直线与直线的交点，解方程求出交点坐标，再求出半径，最后求出圆的方程. 【详解】（1）直线的斜率为，的中点坐标为，所以的垂直平分线的斜率为，其方程为． （2）由垂径定理知圆心是直线与直线的交点，所以有：，解得圆心坐标为．圆的半径，因此圆的方程为. 【点睛】本题考查了求线段的垂直平分线，考查了求圆的标准方程，考查了数学运算能力. 3．已知的三个顶点分别为. (1)求边所在直线的方程； (2)若的中点为，求边的垂直平分线的方程； (3)求的外接圆的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由两点坐标得到直线的两点式方程； （2）首先得到点D的坐标和边的垂直平分线的斜率，从而写出的点斜式方程； （3）设出外接圆方程，代入点坐标计算. 【详解】（1）由，由两点式方程可得边所在直线的方程为， 即边所在直线的方程. （2）由，可得的中点为， 又，所以边的垂直平分线的斜率为， 所以由点斜式可得边的垂直平分线的方程为，即. （3）设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 4．已知方程表示一个圆. (1)求实数的取值范围； (2)若该圆的半径等于4，求该圆的圆心坐标. 【答案】(1). (2)或. 【分析】（）将圆的一般方程化为标准方程即可得解. （）根据圆的半径求出的值，根据圆的标准方程即可求得圆心坐标. 【详解】（1）因为方程表示一个圆， 将圆的一般方程化为标准方程得， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. （2）由（）可知，所以，解得， 当时，圆心坐标为， 当时，圆心坐标为， 所以圆心坐标为或. 5．求符合下列条件的圆的方程. (1)过点的圆的一般方程； (2)过点，且圆心在直线的圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，可设圆的一般方程为，将已知点的坐标代入，联立方程组，即可求解； （2）根据题意，可设出圆心坐标，结合两点之间的距离公式，即可列式求得圆心坐标和半径，继而求得圆的一般方程. 【详解】（1）由题意，设圆的一般方程为， 所以，即， ①+②得④， 所以得， 即，解得， 将代入④得，解得， 将，代入②得，解得， 所以圆的一般方程为； （2）因为圆心在直线， 所以可设圆心坐标为， 又圆过点， 所以， 两边平方整理得，解得， 所以圆心坐标是， 所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为. 6．已知圆的方程为. (1)写出圆的圆心坐标和半径长； (2)若直线经过原点，且与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由圆的标准方程即可确定圆心和半径. （2）讨论斜率是否存在，当斜率存在时设切线方程，再根据圆心到切线的距离等于半径求出的值，最后根据斜率存在与不存在两种情况写出直线方程即可. 【详解】（1）由圆的方程， 可知圆心坐标，半径. （2）当斜率存在时，设经过原点的切线方程为， 则有圆心到直线的距离， 即 两边同时平方得， 解得， 所以切线方程为. 当斜率不存在时，与圆心的距离为. 所以也为过原点圆的切线. 所以直线的方程为或. 7．已知圆C：，直线l：． (1)写出圆C的圆心坐标和半径长； (2)求圆心到直线l的距离，并指出直线l与圆C的位置关系. 【答案】(1)圆心坐标为，半径 (2)，相交. 【分析】（1）由圆的标准方程即可直接写出圆心和半径长； （2）用点到直线的距离公式即可求圆心到直线的距离，由此判断直线与圆C位置关系. 【详解】（1）因圆C的标准方程为：，所以圆心坐标为，半径 （2）圆心C到直线的距离为： 因为，所以直线l与圆C相交. 8．已知直线与圆C：相交于A，B两点，求： (1)圆C的圆心、半径； (2)弦AB的长度． 【答案】(1)圆心坐标为，半径为； (2)． 【分析】（1）利用圆的标准方程得到圆心与半径，从而得解； （2）先求得到圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式即可得解． 【详解】（1）因为圆， 所以圆心坐标为，半径为. （2）由（1）知圆心坐标为，直线， 所以圆心到直线的距离， 又因为半径为， 所以弦的长度． 9．已知圆C的方程为． (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)若斜率为的直线l被圆C截得的线段长为，求直线l的方程． 【答案】(1)圆心坐标为，半径 (2)或 【分析】（1）由圆的一般方程化为标准方程，再写出其圆心坐标和半径即可. （2）可设直线l的方程，由圆的弦长公式结合条件列方程解出即可. 【详解】（1）圆C的方程为，可化为， 故圆C的圆心坐标为，半径. （2）直线l斜率为， 可设直线l的方程，即， 圆C的圆心到直线l的距离， 由直线l被圆C截得的线段长为2可得， ，即，解得或， 所以直线l的方程为或. 10．已知直线l：，，圆C：. (1)当k为何值时，直线l与圆C相交所得的弦最长？最长为多少？ (2)当直线l与圆C有公共点时，求实数k的取值范围. 【答案】(1)，2 (2) 【分析】（1）直线l过定点，直线l与圆C相交所得的弦最长为直径，由定点，圆心求得直线方程，再求直径即可. （2）直线l与圆C有公共点即由圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式求解即可. 【详解】（1）直线l：，即， 所以直线l过定点， 圆C： 圆C的圆心为，半径， 由题意，知直线l过圆心时所得的弦最长，此时弦长即为直径， 此时直线l的斜率为， 直线方程为，即， 所以当时，直线l与圆C相交所得的弦最长，最长为直径， （2）直线l：，圆C： 圆C的圆心为，半径， 当圆心到直线l的距离时，直线l与圆C有公共点， 于是，整理得， 解不等式，得，即. 11．已知圆的圆心为，半径为1. (1)试写出这个圆的一般式方程； (2)已知直线：被圆所截得的弦长为2，求的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先由已知条件，写出圆的标准方程，再将标准方程转化为一般方程即可； （2）先利用勾股定理求出圆心到直线的距离，进而利用点到直线的距离公式求出的值. 【详解】（1）由已知条件，得， 即得圆的一般式方程为. （2）由题意可知圆被直线所截， 圆心到直线的距离为， 所以， 将，代入， 即或. 12．某海岛电台的覆盖范围是半径为公里的圆形区域，一船位于海岛的正东公里处，沿西偏北的直线前进.试问：    (1)该船在前进过程中能否收听到此海岛电台播报的内容？ (2)如果能收听到电台内容，则该船听到内容的航程有多少公里？如果不能收听到，则该船应如何改变方向才能收听到电台内容？ 【答案】(1)该船能收听到海岛电台的播报内容 (2)该船能听到电台内容的航程有公里 【分析】（1）设轮船在直线上移动，根据题意可得直线的方程，再求得原点到直线的距离与半径进行比较，即可求解； （2）利用弦长公式即可求解. 【详解】（1）设轮船在直线上移动， 由题意可知直线过点，倾斜角为，则 所以直线方程为，即， 原点到直线的距离， 因为，所以该船能收听到海岛电台的播报内容. （2）    由（1）得，原点到直线的距离， 所以， 所以该船能听到电台内容的航程有公里. 13．如图所示，某电子监控安装在点，监控范围为半径的一个圆. (1)试写出这个圆的一般式方程； (2)有人在经过点，斜率为的直线上活动，试问监控能否发现？为什么？ 【答案】(1). (2)直线l与圆相离，监控不能发现. 【分析】（）根据圆心和半径，求得圆的额标准方程，再化为一般方程即可. （）求出直线1的方程，判断直线与圆的位置关系即可得出结论. 【详解】（1）依题意，圆心为，半径为2， 则圆的标准方程为，化为一般式为. （2）过点，斜率为的直线的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 即直线l与圆相离，则监控不能发现. 14．某次生产中，一个圆形的零件损坏了，只剩下如图所示的部分．现在陈师傅所在的车间准备重新做一个这样的零件，为了获得这个圆形零件的半径，陈师傅在零件上画了一条线段AB，并作出了AB的垂直平分线MN，测得，．根据已有数据，试帮陈师傅求出这个零件的半径．      【答案】 【分析】根据条件建立直角坐标系，进而由圆上三点坐标求圆的方程，即可得到答案. 【详解】以AB的中点M为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，      由已知得，，， 设过A，B，N的圆的方程为， 代入A，B，N的坐标，可得，解得， 因此所求圆的方程为，化为标准方程是， ∴这个零件的半径为． 15．如图是某圆拱桥的示意图,水面跨度,拱高,现有一艘船,宽为,水面以上高（平顶）,问这条船能否从桥下通过？    【答案】不能. 【分析】建立平面直角坐标系求出圆的方程即可得解. 【详解】以所在直线为轴,以所在直线为轴建立平面直角坐标系．    由题意得,. ∵所求圆的圆心在轴上. ∴设圆的方程为. 将点坐标代入圆的方程. 即. 解得 ∴圆的方程是. 当时,. 解得（舍去）或． ∵. ∴这条船不能从桥下通过． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$