专题02 直线与圆（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（高教版2023·基础模块）

专题02直线与圆的方程 一、两点间距离公式与中点坐标公式 两点间距离公式 设，则两点间距离为： 注意事项 （1）两点间距离公式也可以写成. 因为，也同理。 （2）两点间距离公式一定是横坐标相减的平方，加上纵坐标相减的平方，再开根号（不要用横坐标减纵坐标计算） （3）计算要细心（不要出现这样的情况）所有同学都不要忽视计算，计算的时候务必要细心。 中点坐标公式 设，则中点坐标为： 注意事项 （1）线段的中点坐标公式：中点坐标公式中横坐标一定是两点横坐标之和除以二，中点坐标公式中横坐标一定是两点纵坐标之和除以二。（不要出现这种情况） （2）不仅需要知道有两个点可以求它的中点坐标，还要知道一个点以及中点坐标能把另外一个点求出来。 （3）两点，关于对称关于C的对称点为点 二、直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角 概念 设直线向上方向与轴正半轴所成的最小正角范围： 注意事项 （1）倾斜角，不要一直写等号 （2）倾斜角是角，右上角由个小圆圈 直线的斜率 概念 斜率的表达： 斜率公式： 注意事项 （1）斜率的表达一定是纵坐标相减除以横坐标相减 三、直线的方程 特殊情况下的直线 平行于轴 平行于轴 垂直于轴 平行于轴 过原点的直线 点斜式方程 （为斜率，为直线过的点） 注意事项 （1）方程不要写错了！！！计算一定要细心 （2）点斜式方程的求解要有斜率与直线上的一点（若只有两个点就先用两个点求，再写点斜式方程）. 斜截式方程 （为斜率，为直线在轴上的截距） 注意事项 1、截距 直线与y轴交点的纵坐标称为直线在轴上的截距, 直线与x轴交点的横坐标称为直线在轴上的截距. 2、注意事项 （1）截距是一个数（横纵坐标），可以是正数，可以是负数，可以是0，不是距离（因为距离是大于0的，而截距是一个数，可以为负） 一般式方程 注意事项 斜率： 截距： 四、直线间的位置关系 两直线关系 两直线方程 ； ； 平行 重合 相交 五、两直线相交 求交点： 两直线相交，求交点坐标就是求对应方程组的解 两直线垂直的判定： 当两直线斜率存在，则 当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0，则 六、点到直线的距离 点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线的距离为： 两条平行线间的距离 两平行直线和间的距离为： 七、圆 圆的标准方程 (1)圆心为，半径为的圆的标准方程为：． (2)圆心为，半径为的圆的标准方程： 圆的一般方程 ； 圆心；半径 八、直线与圆的位置关系 图像 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 判定方法 代数法：由 消元得到一元二次方程判别式为Δ 几何法：设圆心到直线的距离 九、直线与圆相切问题 图像 解释 公式 当点在圆内时，过此点可作零条直线与该圆相切 当点在圆上时，过此点可作一条直线与该圆相切 当点在圆外时，过此点可作两条直线与该圆相切 十、直线与圆相交的弦长问题 1．交点法： 将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式|AB|＝求解． 2．弦长公式： 将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是，则|AB|＝(直线的斜率存在). 3． 几何法： 直线与圆相交于两点，设圆的半径长为，圆心到直线的距离为，则弦长为． 题型一:两点间距离公式与中点坐标公式 例1 若，两点的距离为5，则等于（    ） A． B．3 C． D．或3 【答案】D 【分析】根据两点间的距离公式列出等式即可解得. 【详解】由题，， 则， 即，即或， 解得或. 故选：D. 变式训练 1 已知点，，则等于（    ） A．5 B．25 C．17 D． 【答案】A 【分析】由两点之间的距离公式即可得解. 【详解】因为点，， 所以. 故选：A. 2．已知点，，则线段的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意代入两点间的距离公式即可得解. 【详解】点，，则线段的长度为. 故选：. 例2 已知三角形的三个顶点，则过A点的中线长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点坐标公式结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】设过A点中线长即为线段AD， 因为D为BC中点，则，即， 所以. 故选：B. 变式训练 1．若点和点N关于点中心对称，则点N的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合中点坐标公式即可求解. 【详解】因为点和点N关于点中心对称， 所以点是点的中点， 设点N的坐标为， 所以，解得， 所以点N的坐标为. 故选：A. 2．已知三角形的三个顶点分别为，则中边上的中线的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中点坐标公式和两点间的距离公式即可解得. 【详解】由题，，为中点， 则， 则长为， 故选：C 3．已知点和，则线段的长及中点坐标分别是（　　） A．， B．， C．， D．，（1，－2） 【答案】C 【分析】利用点到直线距离公式与中点坐标公式可求 【详解】， 中点坐标为， 故选：C． 题型二:直线的倾斜角与斜率 例3 如图，设直线的斜率分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系判断. 【详解】设直线的倾斜角分别为． 由题图可知直线的倾斜角均为锐角，且， 所以，即． 故选：A． 变式训练 1 如图，直线的斜率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图求出直线的倾斜角，再根据斜率公式求出直线的斜率． 【详解】如图，直线的倾斜角为，且，所以直线的斜率为． 故选：B． 2．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线方程确定斜率，再由斜率的定义即可得出倾斜角的值. 【详解】因为直线的斜率为， 设直线的倾斜角是，则， 又，则， 所以直线的倾斜角为. 故选：D. 3．若直线经过两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点求出直线的斜率，再由斜率的定义求出倾斜角即可. 【详解】已知直线经过两点， 则，设直线的倾斜角为， 则，且， 所以， 故选：A. 4．直线经过，两点，且它的斜率为，那么（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由斜率公式列方程即可求解. 【详解】因为直线经过，两点， 直线的斜率，所以. 故选：B. 5．下列直线中，倾斜角最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线方程确定斜率，根据斜率的符号确定倾斜角的范围即可得出倾斜角最大的直线. 【详解】对于A，直线的斜率，倾斜角为锐角， 对于B，直线的斜率不存在，倾斜角为直角， 对于C，直线的斜率，倾斜角为钝角， 对于D，直线的斜率，倾斜角为． 所以倾斜角最大的是， 故选：C． 题型三:直线方程 例4 已知直线经过点，且倾斜角为，则该直线在轴上的截距为（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】根据斜率的定义求出直线的斜率，结合直线的点斜式方程求出直线解析式，令即可得解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率为， 直线经过点，则， 当时，，解得， 所以直线在轴上的截距为， 故选：. 变式训练 1 直线经过的定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线方程变形，通过令含参数的项的系数为，求出定点的坐标. 【详解】由直线，可得， 根据直线的点斜式方程可知，直线过点. 故选：B 2．过点，且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由倾斜角求解直线斜率，再根据点斜式方程即可求解. 【详解】直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 又因为直线过点，所以由点斜式可得直线方程为， 整理可得. 故选：C. 3．已知点，，则线段的垂直平分线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直求得斜率，再由中点坐标公式求得线段中点，进而得到方程. 【详解】因为点，，所以直线的斜率为． 所以线段的垂直平分线的斜率为． 又因为线段的中点坐标为，即， 所以线段的垂直平分线方程为，即． 故选：A. 4．已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．若直线，则 C．点到直线的距离为1 D．过点且与直线平行的直线的方程是 【答案】D 【分析】根据题意，先求出直线l的斜率，结合斜率与倾斜角之间的关系，即可判断选项A；结合两直线垂直，有，代入即可判断选项B；结合点到直线的距离公式，即可判断选项C；结合两直线平行，可设出直线的方程，将已知点代入，即可求得过点且与直线平行的直线的方程，继而判断选项D. 【详解】因为直线，即， 所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，且， 所以，即直线的倾斜角是，故A错误； 因为直线，， 因为，所以直线与直线不垂直，故B错误； 因为点到直线的距离为，故C错误； 设过点且与直线平行的直线的方程为， 所以，解得， 所以直线方程为，故D正确． 故选：D. 例5 过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】分类讨论直线是否过原点，结合直线的截距式方程及斜截式方程即可得解. 【详解】当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为， 因为直线过点，代入可得，即； 当所求直线过原点时，设直线方程为， 因为直线过点，代入可得即，即， 综上可得，所求直线的方程为或， 故选：. 变式训练 1．过两点和的直线在轴上的截距为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出过两点的直线的斜率，再根据点斜式得到直线方程，最后求出直线在轴上的截距. 【详解】因为直线过点和，根据斜率公式， 可得直线的斜率， 因为直线过点，根据点斜式可得直线方程为， 化简为斜截式方程为， 令时，则， 故直线在轴上的截距为. 故选：C. 题型四:两条直线的位置关系 例6 直线与直线的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．重合 D．异面 【答案】A 【分析】根据直线方程结合两直线的位置关系即可判断. 【详解】直线方程可化为斜截式方程，直线斜率为2，纵截距为， 直线方程可化为斜截式方程，直线斜率为2，纵截距为， 两直线斜率相等，纵截距不相等，故两直线平行． 故选：A． 变式训练 1．过点且平行于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两条直线平行斜率的关系求出所求直线的斜率，结合直线的点斜式方程即可得解. 【详解】因为直线的斜率为2， 所以所求直线的斜率也为2， 又所求直线过点，所以所求直线方程为即， 故选：. 2．已知直线过点且与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行关系设出直线方程，将点代入直线中即可得解. 【详解】因为直线与直线平行，设直线方程， 因为直线过点， 所以，解得， 所以直线方程为， 故选：. 3．直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立已知两条直线方程求出交点，再根据两直线平行则斜率相同求出斜率即可. 【详解】已知直线和， 由解得，得两直线交点为， 直线l斜率与相同，直线的斜率为， 则直线l方程为，即. 故选：B. 例7 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立方程求得交点，结合两直线垂直则斜率乘积为，点斜式方程即可求解. 【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 . 因为直线的斜率为 ，又所求直线与直线垂直， 所以所求直线方程的斜率为. 由点斜式直线方程得，所求直线方程为 ，即 . 故选：B. 变式训练 1．过两直线的交点，且与直线垂直的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两直线联立求出交点，再由直线与直线垂直求出斜率，最后由直线的点斜式方程即可解得. 【详解】由，解得，即直线的交点为点． 因为所求直线与直线垂直，故所求直线的斜率， 因此，所求直线的方程为，即； 故选：C 2．已知圆，则以为中点的弦所在直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，再由圆心与直线中点的连线垂直于直线求出斜率，结合直线的点斜式方程即可解得. 【详解】由题圆的方程可化为， 可知圆心坐标为，则，则所求直线的斜率， 直线方程为：，即. 故选：C. 3．点与点关于直线l对称，则l的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知结合中点坐标公式和两直线垂直斜率之积互为倒数即可解得. 【详解】过点与点直线的斜率为， 则直线l的斜率为， 点与点的中点为， 所以直线l的方程为，即； 故选：B. 4．如图所示，直线已知，则直线的方程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像得出点P的坐标，结合两直线垂直，则斜率乘积为，点斜式方程，已知两点求斜率的公式即可求解. 【详解】由图知点P的坐标为，又，所以. 因为直线，所以，解得. 由点斜式方程可得，直线的方程是. 即. 故选：D. 5．已知直线：，：，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的一般式下两直线垂直的充要条件“”即可求解 【详解】直线：，：， ， 故选：C. 题型五:点到直线距离公式 例8 点到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式即可得出. 【详解】点，直线 由点到直线的距离公式可得. 故选：C. 变式训练 1．已知点到直线的距离相等，则实数等于（   ） A． B． C．1 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，结合点到直线的距离公式，即可列式求解. 【详解】因为直线方程为，即， 又点到直线的距离相等， 所以， 即， 所以，即， 解得或. 故选：D. 2．直线交圆于、两点，则弦的长度等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由圆的标准方程求出圆心坐标与半径，利用点到直线的距离公式与弦长公式即可得解. 【详解】圆，则圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 则， 故选：. 3．点在直线上，O是坐标原点，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合点到直线的距离公式，即可代入求解. 【详解】由题意，的最小值即为点O到直线的距离， 所以. 故选：C. 题型六:两直线距离公式 例9 两平行直线和间的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线间的距离公式可求. 【详解】直线即为， 所以两平行直线和间的距离为； 故选：A. 变式训练 1．两条平行直线与之间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线平行求得参数，再根据平行线间的距离公式求解. 【详解】的斜率，的斜率， 因为直线与直线平行， 所以，解得， 此时，直线分别为和，平行不重合. 将化为， 所以两平行直线与之间的距离为. 故选：C. 2．直线与直线平行，则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行，两直线的系数的关系即可求解. 【详解】直线即， 它与直线平行，故， 则它们之间的距离是； 故选：B 3．已知直线到直线的距离为，则的值是（    ） A．4或 B．或6 C．4 D． 【答案】B 【分析】由两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】解：依题意得， ，解得或． 故选：B 4．直线与直线的距离为，则的值为（    ） A． B．13 C． D．或 【答案】D 【分析】根据两平行线的距离公式即可求解. 【详解】解：整理得：. 则与的距离． 解得：或． 故选：D 题型七:圆与方程 例10 圆的圆心与半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程即可求解. 【详解】由题意得，圆的标准方程为， 则圆心为，半径为. 故选：B. 变式训练 1．圆心在且与轴相切的圆的方程是  （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心到轴的距离求得半径，结合圆的标准方程即可求解. 【详解】因为以为圆心的圆与轴相切，所以. 则圆的标准方程为：. 故选：D. 2．已知圆的方程，则圆心的坐标和半径分别为（    ） A．圆心，半径5 B．圆心，半径5 C．圆心，半径25 D．圆心，半径25 【答案】B 【分析】由圆的标准方程即可求解. 【详解】因为圆的标准方程为， 所以圆心坐标是，半径为5. 故选：B. 例11 方程表示圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示圆则，列出不等式即可得解. 【详解】方程表示圆， 则， 解得或， 则的取值范围为， 故选：. 变式训练 1．已知圆M的方程，则该圆的圆心坐标和半径分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据题意，将圆的一般式方程转化为标准方程，即可求解. 【详解】因为圆M的方程， 化为标准方程得， 所以圆心坐标为，半径为. 故选：B. 2．若圆的方程为，则该圆的圆心和半径分别是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，将圆的一般方程转化为圆的标准方程，即可求得圆心坐标和半径. 【详解】因为圆的方程为，化为标准式方程是， 所以圆心坐标为，半径. 故选：A. 题型八:直线与圆的位置关系 例12 化简直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交且不过圆心 【答案】C 【分析】由圆心到直线的距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】由圆，可知圆心为，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以圆心在直线上，即直线与圆相交且过圆心. 故选：C. 变式训练 1．若直线与圆相切，则（    ） A．10 B． C．10或 D．10或 【答案】D 【分析】由圆的一般方程得到圆心和半径，再利用圆心到直线的距离等于半径即可得解. 【详解】由圆可知圆心为， 半径为， 圆心到直线为 ， 因为直线与圆相切，所以， 解得或. 故选：D. 2．若直线与圆有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式求弦心距，根据弦心距小于等于半径解绝对值不等式，即可求解. 【详解】因为圆， 所以圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离， 解得，故的取值范围是. 故选：D. 3．若直线与圆相离，则点与该圆的位置关系（    ） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与大小有关 【答案】C 【分析】根据直线与圆相离结合点到直线的距离公式得出，利用两点间距离公式求出点与圆心的距离即可得解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆相离，则即， 点与圆心的距离为， 所以点在圆内， 故选：. 5．已知圆的圆心坐标为，则点与该圆的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不能判断 【答案】C 【分析】将圆的一般式化为标准式，根据圆心坐标得到参数，即可得到圆的半径，再计算圆心到点的距离，比较其与半径的大小，即可求解. 【详解】圆化为标准式为， 又圆心坐标为，得到， 圆的方程化为，圆心的坐标为，半径为， 又，所以， 故点在圆外． 故选：C． 6．圆上动点到原点的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将圆的方程化为标准式，再由圆上的点到原点的最大距离为圆心到原点的距离加半径即可解答. 【详解】化为标准方程为， 点为圆心，以为半径， 则圆心到原点的距离为， 所以点到原点的距离的最大值为. 故选：C. 题型九:切线方程及弦长公式 例13 经过圆上一点的圆的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出切点与圆心连线的斜率，由垂直关系得到切线的斜率，结合点斜式方程即可求解. 【详解】设圆心为，切点为， 由题意得圆的圆心坐标，又因为切线过点， 所以, 所以过点的圆的切线的斜率， 所以切线方程为，即. 故选：B. 变式训练 1．圆上与直线距离等于的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离与半径比较，判定圆与直线的位置关系，即可求解. 【详解】由题意得，圆心坐标为，半径为, 所以圆心到直线的距离， 所以， 所以直线与圆相交，且圆上与直线距离等于的点共有3个. 故选：C. 2．设直线过点且与圆相切，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线的斜率将直线方程表示出来，根据切线的性质列出方程即可得解. 【详解】由圆可知，圆心为，半径为， 点与圆心的距离为，，所以点在圆外， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以，解得， 故选：. 例14 若直线与圆相交于点、，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理即可求得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以. 故选：A. 变式训练 1．圆与所截弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程确定圆心和半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离，最后根据弦长公式求值即可. 【详解】已知圆，其中， 则圆心为，半径， 又直线为，则圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 故选：A. 2．圆与直线相交与于A，B两点，则弦长为（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】B 【分析】先求圆的半径与圆心到直线的距离，然后利用弦长公式可求. 【详解】因为圆的方程为， 则圆心为，半径， 因为直线方程为， 则圆心到直线的距离为， 则弦长； 故选：B. 3．过点作圆的一条切线，切点为B，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理结合两点距离公式可求. 【详解】如图，因为点为切点，则， 圆，则圆心为，半径， 因为，， 所以； 故选：B. 4．已知圆C：和直线l：，则圆C上的点到直线l的最小距离是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先判断直线与圆的位置关系，再利用圆心到直线的距离即可求解. 【详解】由题意知圆C：， 即圆C的圆心坐标为，半径为1， 因为直线l：， 所以圆心到直线l的距离， 所以直线l与圆C相离， 所以圆C上的点到直线l的最小距离是． 故选：C. 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02直线与圆的方程 一、两点间距离公式与中点坐标公式 两点间距离公式 设，则两点间距离为： 注意事项 （1）两点间距离公式也可以写成. 因为，也同理。 （2）两点间距离公式一定是横坐标相减的平方，加上纵坐标相减的平方，再开根号（不要用横坐标减纵坐标计算） （3）计算要细心（不要出现这样的情况）所有同学都不要忽视计算，计算的时候务必要细心。 中点坐标公式 设，则中点坐标为： 注意事项 （1）线段的中点坐标公式：中点坐标公式中横坐标一定是两点横坐标之和除以二，中点坐标公式中横坐标一定是两点纵坐标之和除以二。（不要出现这种情况） （2）不仅需要知道有两个点可以求它的中点坐标，还要知道一个点以及中点坐标能把另外一个点求出来。 （3）两点，关于对称关于C的对称点为点 二、直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角 概念 设直线向上方向与轴正半轴所成的最小正角范围： 注意事项 （1）倾斜角，不要一直写等号 （2）倾斜角是角，右上角由个小圆圈 直线的斜率 概念 斜率的表达： 斜率公式： 注意事项 （1）斜率的表达一定是纵坐标相减除以横坐标相减 三、直线的方程 特殊情况下的直线 平行于轴 平行于轴 垂直于轴 平行于轴 过原点的直线 点斜式方程 （为斜率，为直线过的点） 注意事项 （1）方程不要写错了！！！计算一定要细心 （2）点斜式方程的求解要有斜率与直线上的一点（若只有两个点就先用两个点求，再写点斜式方程）. 斜截式方程 （为斜率，为直线在轴上的截距） 注意事项 1、截距 直线与y轴交点的纵坐标称为直线在轴上的截距, 直线与x轴交点的横坐标称为直线在轴上的截距. 2、注意事项 （1）截距是一个数（横纵坐标），可以是正数，可以是负数，可以是0，不是距离（因为距离是大于0的，而截距是一个数，可以为负） 一般式方程 注意事项 斜率： 截距： 四、直线间的位置关系 两直线关系 两直线方程 ； ； 平行 重合 相交 五、两直线相交 求交点： 两直线相交，求交点坐标就是求对应方程组的解 两直线垂直的判定： 当两直线斜率存在，则 当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0，则 六、点到直线的距离 点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线的距离为： 两条平行线间的距离 两平行直线和间的距离为： 七、圆 圆的标准方程 (1)圆心为，半径为的圆的标准方程为：． (2)圆心为，半径为的圆的标准方程： 圆的一般方程 ； 圆心；半径 八、直线与圆的位置关系 图像 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 判定方法 代数法：由 消元得到一元二次方程判别式为Δ 几何法：设圆心到直线的距离 九、直线与圆相切问题 图像 解释 公式 当点在圆内时，过此点可作零条直线与该圆相切 当点在圆上时，过此点可作一条直线与该圆相切 当点在圆外时，过此点可作两条直线与该圆相切 十、直线与圆相交的弦长问题 1．交点法： 将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式|AB|＝求解． 2．弦长公式： 将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是，则|AB|＝(直线的斜率存在). 3． 几何法： 直线与圆相交于两点，设圆的半径长为，圆心到直线的距离为，则弦长为． 题型一:两点间距离公式与中点坐标公式 例1 若，两点的距离为5，则等于（    ） A． B．3 C． D．或3 变式训练 1．已知点，，则等于（    ） A．5 B．25 C．17 D． 2．已知点，，则线段的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例2 已知三角形的三个顶点，则过A点的中线长为（ ） A． B． C． D． 变式训练 1．若点和点N关于点中心对称，则点N的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知三角形的三个顶点分别为，则中边上的中线的长为（    ） A．2 B． C． D． 3．已知点和，则线段的长及中点坐标分别是（　　） A．， B．， C．， D．，（1，－2） 题型二:直线的倾斜角与斜率 例3 如图，设直线的斜率分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式训练 1 如图，直线的斜率是（   ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 3．若直线经过两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．直线经过，两点，且它的斜率为，那么（    ）． A． B． C． D． 5．下列直线中，倾斜角最大的是（   ） A． B． C． D． 题型三:直线方程 例4 已知直线经过点，且倾斜角为，则该直线在轴上的截距为（    ） A． B． C．3 D．1 变式训练 1 直线经过的定点（   ） A． B． C． D． 2．过点，且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知点，，则线段的垂直平分线方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．若直线，则 C．点到直线的距离为1 D．过点且与直线平行的直线的方程是 例5 过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ） A． B．或 C． D．或 变式训练 1．过两点和的直线在轴上的截距为（ ） A． B． C． D． 题型四:两条直线的位置关系 例6 直线与直线的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．重合 D．异面 变式训练 1．过点且平行于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线过点且与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 例7 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）． A． B． C． D． 变式训练 1．过两直线的交点，且与直线垂直的直线方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知圆，则以为中点的弦所在直线方程为（ ） A． B． C． D． 3．点与点关于直线l对称，则l的方程是（ ） A． B． C． D． 4．如图所示，直线已知，则直线的方程是（   ）    A． B． C． D． 5．已知直线：，：，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型五:点到直线距离公式 例8 点到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式训练 1．已知点到直线的距离相等，则实数等于（   ） A． B． C．1 D．或 2．直线交圆于、两点，则弦的长度等于（   ） A． B． C．2 D． 3．点在直线上，O是坐标原点，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型六:两直线距离公式 例9 两平行直线和间的距离是（ ） A． B． C． D． 变式训练 1．两条平行直线与之间的距离为（ ） A． B． C． D． 2．直线与直线平行，则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线到直线的距离为，则的值是（    ） A．4或 B．或6 C．4 D． 4．直线与直线的距离为，则的值为（    ） A． B．13 C． D．或 题型七:圆与方程 例10 圆的圆心与半径为（    ） A． B． C． D． 变式训练 1．圆心在且与轴相切的圆的方程是  （    ） A． B． C． D． 2．已知圆的方程，则圆心的坐标和半径分别为（    ） A．圆心，半径5 B．圆心，半径5 C．圆心，半径25 D．圆心，半径25 例11 方程表示圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式训练 1．已知圆M的方程，则该圆的圆心坐标和半径分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 2．若圆的方程为，则该圆的圆心和半径分别是 （    ） A． B． C． D． 题型八:直线与圆的位置关系 例12 化简直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交且不过圆心 变式训练 1．若直线与圆相切，则（    ） A．10 B． C．10或 D．10或 2．若直线与圆有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若直线与圆相离，则点与该圆的位置关系（    ） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与大小有关 5．已知圆的圆心坐标为，则点与该圆的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不能判断 6．圆上动点到原点的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型九:切线方程及弦长公式 例13 经过圆上一点的圆的切线方程为（    ） A． B． C． D． 变式训练 1．圆上与直线距离等于的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．设直线过点且与圆相切，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 例14 若直线与圆相交于点、，则（   ） A． B． C． D． 变式训练 1．圆与所截弦长为（    ） A． B． C． D． 2．圆与直线相交与于A，B两点，则弦长为（    ） A．1 B． C． D．5 3．过点作圆的一条切线，切点为B，则（    ） A．3 B． C． D． 4．已知圆C：和直线l：，则圆C上的点到直线l的最小距离是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$