专题02 对数与对数函数（考题猜想）-【中职专用】2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（高教版2023·基础模块）

专题01 指数与指数函数 目录 选择题专练 1 题型一：对数概念及运算 1 题型二：对数函数求值 3 题型三：应用换底公式化简计算 3 题型四：对数(型)函数概念 4 题型五：求对数(型)函数解析式 5 题型六：对数(型)函数的定义域 5 题型七：对数(型)函数的值域 6 题型八：对数(型)函数的单调性 7 题型九：解对数(型)函数不等式 8 题型十：比较对数(型)函数的大小 8 题型十一：由对数(型)函数比较参数大小 10 题型十二：对数(型)函数的最值 10 题型十三：由对数(型)函数最值求参数 11 题型十四：函数模型及应用 12 计算题专练 14 解答题专练 15 选择题专练 题型一：对数概念及运算 1．已知，则等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．下列说法中错误的是（ ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式 C．以为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数 3．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．式子的结果为（    ） A． B． C． D． 5．求值（ ） A．8 B．9 C．10 D．1 6．若，，则（    ） A． B． C． D． 7．（    ） A．8 B．6 C． D． 8．计算：（    ） A．10 B．1 C．2 D． 9．设，，其中m，n是正实数，则（    ）． A． B． C． D． 10．将指数式改写成对数式（    ） A． B． C． D． 11．方程的解是（    ） A．1 B．2 C．e D．3 12．若，则（    ） A． B． C． D． 13．设，且，则（    ） A． B．10 C．20 D．100 14．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．已知，则（    ） A． B． C． D． 16．如果 ，则（　　）. A． B． C． D． 题型二：对数函数求值 1．设函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知函数，则（    ） A． B．5 C．3 D． 3．设函数则（    ） A． B． C． D． 题型三：应用换底公式化简计算 1．下列式子变形正确的是（       ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（ ） A．3 B． C．4 D． 3．如果，那么（ ） A． B． C． D． 4．下列等式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）. A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列计算中结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．化简的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 7．下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 9．已知，则值为（    ） A． B． C． D． 题型四：对数(型)函数概念 1．若函数的图像过点，则底（    ） A．2 B． C． D． 2．已知的图象过点，则（ ） A． B． C． D． 3．函数，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．函数的图象过点，则a的值为（    ） A．4 B． C． D．2 5．已知函数，若其图象过点，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 6．若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 7．使有意义的实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数（且）的图象必经过定点P，则P点坐标是（    ） A． B． C． D． 9．对数式中，实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型五：求对数(型)函数解析式 1．已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 题型六：对数(型)函数的定义域 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 7．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 8．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．函数的定义域是R， 那么实数k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 题型七：对数(型)函数的值域 1．函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 2．函数，其中，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的值域为，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．9 D． 4．若函数的定义域是，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 7．函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数的图像与直线有两个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．函数在区间上的最大值和最小值分别是（    ） A．60， B．60， C．12， D．12， 题型八：对数(型)函数的单调性 1．下列函数在其定义域内单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各函数中，在区间内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ） A． B． C． D． 4．下列函数中，在区间上为严格增函数的是（ ） A． B． C． D． 5．若函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 6．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 7．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 8．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 9．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 10．函数在区间上递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型九：解对数(型)函数不等式 1．已知是偶函数，且在上单调递减，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知是定义在R上的奇函数，在区间上为增函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型十：比较对数(型)函数的大小 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（ ） A． B． C． D． 8．下列大小关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．若，则下列不等式成立的是（      ） A． B． C． D． 11．设，，则（   ） A． B． C． D． 12．设实数，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型十一：由对数(型)函数比较参数大小 1．设定义在的函数，其图象关于直线对称，且当时，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．已知函数的图像如图所示，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（    ） A． B． C． D． 题型十二：对数(型)函数的最值 1．函数在上的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．a 2．函数在区间上的最大值是（　　） A．2 B．1 C．0 D． 3．已知函数的最大值与最小值的差为2，则（ ） A．4 B．3 C．2 D． 4．函数的值域为（　　） A． B． C． D． 5．函数在上的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知函数，则（ ） A．有最小值，且最小值为-2 B．有最小值，且最小值为-1 C．有最大值，且最大值为-2 D．有最大值，且最大值为-1 7．已知实数满足，则函数在上的最大值是（ ） A． B． C． D． 8．若函数，且在区间上的最大值和最小值的和为，则函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C． D． 9．函数有（    ） A．最大值4 B．最小值4 C．最大值2 D．最小值2 题型十三：由对数(型)函数最值求参数 1．如果函数在区间上的最大值是最小值的3倍，那么a的值为（    ） A． B． C．2 D．3 2．若函数有最大值，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数的值域为R，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十四：函数模型及应用 1．在一次实验中，某小组测得一组数据，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间上，下列四个函数模型为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ） A． B． C． D． 2．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 4．某传染病传播初期，可用指数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律.据此，在这种传染病传播初期，累计感染病例数增加一倍需要的时间约为（     ）（精确到0.1，参考参数：） A．0.38天 B．0.69天 C．1.8天 D．2.7天 5．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（单位：只）与引入时间x（单位：年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为只，则第7年它们发展到（    ） A．只 B．只 C．只 D．只 6．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10％．那么，经过x年绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数的大致图像为（    ）． A．   B．   C．   D．   7．如图所示给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（    ） A．指数函数： B．对数函数： C．幂函数： D．二次函数： 8．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x年后绿地面积是今年的y倍，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 9．若函数为偶函数，则a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．1或 10．2022年秋，某京剧演员因疫情原因无法演出，在短视频平台开设自己的账号，不断直播京剧知识.初始直播时已有50名粉丝，经过x天后，粉丝人数满足关系式：，其中M，k为常数，若开播10天后有200名粉丝，则开播30天后预计该京剧演员在平台上的粉丝数量为（ ） A．600 B．800 C．3200 D．3400 计算题专练 1．计算：． 2．计算 3．计算：． 4．计算：． 5．求的值 6．计算：． 7．. 8．已知，，用a，b表示. 9．计算． 10．计算下列各式的值： (1) (2) 解答题专练 1．设函数． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 2．已知函数 (1)求函数的定义域； (2)若，求实数的取值范围. 3．已知函数，且，求： (1)函数的解析式； (2)不等式的解集． 4．已知函数的图象经过原点． (1)求不等式的解集； (2)若函数，判断函数的奇偶性，并证明你的结论． 5．已知函数且在区间上的最大值是， (1)求实数 的值； (2)若函数的定义域是；求满足不等式的实数t的取值范围. 6．已知函数 (1)判断的奇偶性，并说明理由; (2)若恒成立，求a的取值范围. 17．已知函数 (1)若的定义域为，求的取值范围． (2)若的值域为，求的取值范围． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 指数与指数函数 目录 选择题专练 1 题型一：对数概念及运算 1 题型二：对数函数求值 6 题型三：应用换底公式化简计算 7 题型四：对数(型)函数概念 10 题型五：求对数(型)函数解析式 13 题型六：对数(型)函数的定义域 14 题型七：对数(型)函数的值域 17 题型八：对数(型)函数的单调性 21 题型九：解对数(型)函数不等式 25 题型十：比较对数(型)函数的大小 26 题型十一：由对数(型)函数比较参数大小 30 题型十二：对数(型)函数的最值 31 题型十三：由对数(型)函数最值求参数 34 题型十四：函数模型及应用 36 计算题专练 41 解答题专练 44 选择题专练 题型一：对数概念及运算 1．已知，则等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据函数解析式即可求解函数值. 【详解】. 故选：D. 2．下列说法中错误的是（ ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式 C．以为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数 【答案】B 【分析】根据对数的概念和相关性质判断即可. 【详解】零和负数没有对数，故A正确. 对数的概念知，指数式中，只有且的指数式才可以化为对数式，故B错误. 把以10为底的对数叫做常用对数，故C正确. 以e为底的对数叫做自然对数，故D正确. 故选：B. 3．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质进行计算. 【详解】. 故选：D. 4．式子的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂和对数运算计算即可. 【详解】 ． 故选：A. 5．求值（ ） A．8 B．9 C．10 D．1 【答案】B 【分析】根据对数的运算进行化简求值即可得解. 【详解】因为， ，， 所以， 故选：. 6．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由积，商，幂对数运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 7．（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的化简运算即可解得. 【详解】 ， 故选：C. 8．计算：（    ） A．10 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据对数和实数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】. 故选：B. 9．设，，其中m，n是正实数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数式与指数式互化，再根据指数幂的运算即可求解. 【详解】将对数式，分别转化为指数式有：，， ∴． 故选：. 10．将指数式改写成对数式（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数的定义，将指数式化成对数式即可. 【详解】根据指数与对数的互化得：． 故选：B. 11．方程的解是（    ） A．1 B．2 C．e D．3 【答案】D 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】由题意得，，所以，解得. 故选：D. 12．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数式和对数式的互化结合指数幂运算计算即可. 【详解】由，得， 所以，解得， 故选：. 13．设，且，则（    ） A． B．10 C．20 D．100 【答案】A 【分析】由指数式和对数式的互化求解a和b，再由换底公式和对数的运算性质求解即可. 【详解】由，可得，， 由换底公式得，， 所以， 又因为，可得， 故选：A. 14．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据对数定义求出，利用换底公式及对数的运算即可得解. 【详解】∵，∴，又∵， ∴， 故选：. 15．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数式与对数式的互化和指数幂的运算即可得解. 【详解】， 因为，所以， 所以. 故选：C. 16．如果 ，则（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将对数式转化为指数式，即可解答. 【详解】已知， 则，即， 解得， 故选：B. 题型二：对数函数求值 1．设函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将自变量依次代入对应的解析式即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2．已知函数，则（    ） A． B．5 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合分段函数求函数值，代入即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以. 故选：D. 3．设函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数,指数函数及分段函数的函数值即可得解. 【详解】因为函数 所以. 所以. 故选:. 题型三：应用换底公式化简计算 1．下列式子变形正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的运算性质及换底公式逐项判断即可得解. 【详解】选项，，故不正确， 选项，，不一定等于，故不正确， 选项，，只有，故不正确， 选项，，故正确， 故选：. 2．已知，则的值为（ ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质即可解得. 【详解】由得， 故， 故选：A. 3．如果，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意根据对数的换底公式，结合对数函数的性质即可得解. 【详解】由题意得，解得. 故选：B. 4．下列等式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据对数运算的性质和换底公式判断即可. 【详解】，（1）正确； ，（2）错误； ，（3）正确； ，（3）正确； 所以正确的个数为3个. 故选：C. 5．下列计算中结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】对A，由对数的运算可得， ，所以A正确. 对B，由换底公式可得，，所以B错误. 对C，由对数的运算可得， ，所以C错误. 对D，由对数的运算可得， ，所以D错误. 故选：A. 6．化简的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据换底公式结合运算性质运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 7．下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数运算法则判断选项即可. 【详解】A，D:当时，，A错误，D正确， B，C:根据换底公式可得，，C，D错误. 故选:D． 8．下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数的性质及运算法则分析即可. 【详解】A:当时，，故A选项错误， B: 当时， ，故B选项错误， C:，故C选项正确， D:真数必须满足大于零，故D选项错误. 故选:C． 9．已知，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数运算解答即可. 【详解】因为，所以有， 所以有， 故选：. 题型四：对数(型)函数概念 1．若函数的图像过点，则底（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由点代入，对数式化指数式可求解. 【详解】因为函数的图像过点， 所以，即， 解得. 故选：C 2．已知的图象过点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将对数函数图象上的点代入解析式即可解得. 【详解】将点代入函数解析得， 即，解得. 故选：D 3．函数，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将代入解析式中求出，再将代入解析式求值即可. 【详解】已知函数， 由得，， 即，解得，所以， 则， 故选：B. 4．函数的图象过点，则a的值为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】将点代入函数解析式即可求解a的值. 【详解】因为函数的图象过点， 所以，即，解得. 故选：D. 5．已知函数，若其图象过点，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】将点代入函数求出的值，得到函数解析式，再将求出即可. 【详解】将点代入函数得： ，即， 所以. 所以. 故选：B. 6．若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可. 【详解】∵函数是对数函数， ∴，且， 解得或，∴， 故选：C． 7．使有意义的实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数底数大于零不等于，真数大于零可求. 【详解】使有意义， 则，即，解得，即； 故选：C. 8．已知函数（且）的图象必经过定点P，则P点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意根据对数函数必过点P代入求值. 【详解】令，解得，所以， 因此函数的图象过定点． 故选：C． 9．对数式中，实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的定义列出不等式组即可解得. 【详解】由题意得，解得或， 即a的取值范围是：， 故选：D. 题型五：求对数(型)函数解析式 1．已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先假设对数函数，再代入图像通过点，即可得到解析式. 【详解】设对数函数为且，函数过点， 代入计算，得到：，故，即. ∴对数函数为. 故选：B. 2．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】A 【解析】设函数为，再根据图象过点可得，即可解出，得到该对数函数的解析式． 【详解】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查待定系数法求对数函数的解析式，属于容易题． 题型六：对数(型)函数的定义域 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式、分式、对数式有意义需满足的条件，结合题意即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 即函数的定义域为. 故选：D. 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式、分式、对数函数的定义域即可求解. 【详解】由题意得，要使函数有意义， 则，解得，即. 所以函数的定义域为. 故选：C. 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数和指数函数的定义域即可解得. 【详解】由题，， 则由对数函数的定义域可知定义域为，即. 故选：C 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的分母不为零，对数的真数大于零求解即可. 【详解】函数的定义域为， 解得，所以函数的定义域为. 故选：D. 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质及真数大于零列出不等式组即可得解. 【详解】函数，则，解得， 所以定义域为， 故选：. 6．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意根据根式的性质和对数函数的性质求解定义域即可. 【详解】由得， 解得. 故选：B. 7．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数、对数的真数大于零列出不等式组，解不等式组求得函数的定义域即可解得. 【详解】由题意得：， 其中在上单调递减，则， 解得，所以函数的定义域为． 故选：B. 8．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据真数大于零及二次根式的性质列出不等式组即可得解. 【详解】函数，则，解得， 所以定义域为， 故选：. 9．函数的定义域是R， 那么实数k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据0和负数无对数可知函数的定义域要使，根据的解集为R可知，然后根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则必须，由函数的定义域是R， 可知的解集为R， 所以，即， 解得，所以的取值范围为. 故选：D． 题型七：对数(型)函数的值域 1．函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性求值域即可. 【详解】在上是减函数， ，即值域为. 故选：A. 2．函数，其中，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性求得值域即可解得. 【详解】， 因为在上递增， 所以函数的值域为． 故选：C 3．已知函数的值域为，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．9 D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性结合值域列方程求解即可. 【详解】因为函数的值域为， 且为单调递增函数，， 所以的最小值为，且当时，. 所以. 故选：C. 4．若函数的定义域是，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合对数函数的单调性及定义域，即可求得函数的值域. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 因为，所以， 所以，即， 所以的值域为. 故选：A. 5．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数型复合函数，结合二次函数的性质求解值域即可得解. 【详解】令，，则在上单调递增， 又，，所以， 又在上单调递增， 所以，即． 故选：A. 6．已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数复合型函数及二次函数的值域求解值域. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 7．函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数型复合函数的值域与二次函数值域与已知值域之间的包含关系解出参数即可解得. 【详解】因为函数的值域为， 可得真数部分取到所有的正数， 即函数取到所有的正数， 所以是函数的值域的子集， 所以解得：或， 所以实数的取值范围是：． 故选：A． 8．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意根据对数复合型函数的单调性求解值域. 【详解】由于，且在上递增， 可知， 所以的值域为． 故选:B. 9．已知函数的图像与直线有两个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出分段函数的值域，找到共同的值域. 【详解】当时，为单调增函数，函数值域为 当时，为单调减函数，函数值域为 若与分段函数有2个交点，说明a既在值域内，也在值域内. 故. 故选：A. 10．函数在区间上的最大值和最小值分别是（    ） A．60， B．60， C．12， D．12， 【答案】D 【分析】先利用对数的换底公式将函数解析式化简，再用换元法将函数化为二次函数，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】因为，函数在区间单调递增，所以， 令，则，因为，所以， 又由， 可得， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数取得最小值， 当时，函数；当时，函数， 所以当时，函数取得最大值. 故选：D 题型八：对数(型)函数的单调性 1．下列函数在其定义域内单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的图象和性质可判断. 【详解】由正弦函数、余弦函数的图象和性质可知，它们在定义域内不是单调函数，故A、B错误； 对C选项，，根据指数函数图象和性质可知，它在定义域内单调递减，故正确； 对D选项，根据对数函数图象和性质可知，它在定义域内单调递增，故错误； 故选：C 2．下列各函数中，在区间内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数、反比例函数的性质可求. 【详解】对于A，因为，所以在区间内为减函数，故A错误； 对于B，因为，所以在区间内为增函数，故B正确； 对于C，因为，所以在区间内为减函数，故C错误； 对于D，，所以在区间内为减函数，故D错误； 故选：B. 3．下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐项判断函数的奇偶性和单调性，即可求出结论. 【详解】选项A：函数在上单调递减，但不是奇函数，不正确； 选项B：函数在上是增函数，不正确； 选项C：函数在上是减函数，定义域为关于原点对称，且为奇函数，正确； 选项D：函数是偶函数，在定义域上没有单调性，不正确. 故选：C 4．下列函数中，在区间上为严格增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用解析式直接判断单调性的方法，逐项分析得解. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数在上单调递减，B不是； 对于C，函数在上单调递减，C不是； 对于D，函数在上为严格增函数，D是. 故选：D. 5．若函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的定义求出函数的定义域，再结合二次函数和对数函数在定义域内的单调性及复合函数的单调性求解即可. 【详解】令，则， 由真数，即， 得， ∵抛物线的开口向下，对称轴， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又∵在上单调递减， 由复合函数的单调性可得： 的单调递增区间为. 故选：A 6．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”结合二次函数的单调性与对数函数的单调性即可得出结果. 【详解】令，则， ，则，所以函数的定义域为， 而，开口向下，对称轴为， 所以函数在单调递增，在单调递减， 而函数为增函数， 根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是， 故选：C. 7．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数和二次函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，，所以的定义域为. 令，则，函数在其定义域上单调递增. 当时，关于单调递减，则关于单调递减. 当时，关于单调递增，则关于单调递增. 故的递增区间为． 故选：D． 8．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数定义域解一元二次不等式，结合复合函数单调性即可解得. 【详解】由题，得该函数的定义域为， 令得其对称轴为直线，开口向上， 则的递增区间为，递减区间为 因为底数为，函数在上单调递减， 所以原函数的单调递增区间为 故选：A 9．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数和二次函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，，所以的定义域为. 令，则，函数在其定义域上单调递增. 当时，关于单调递减，则关于单调递减. 当时，关于单调递增，则关于单调递增. 故的递增区间为． 故选：D． 10．函数在区间上递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数型复合函数的单调性，结合二次函数的单调性与值域得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为函数在上递增，又在递增， 所以在上递增，且在上恒成立， 因为开口向下，对称轴为， 所以，解得. 故选：A. 题型九：解对数(型)函数不等式 1．已知是偶函数，且在上单调递减，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质可知函数在上单调递增，根据函数的奇偶性与单调性将函数 不等式转化为关于自变量的不等式即可得解. 【详解】因为是偶函数，且在上单调递减，则在上单调递增， 函数在定义域为上为增函数， 当时，且即，解得，此时， 当，即，则即，解得，此时， 综上所述，的取值范围， 故选：. 2．已知是定义在R上的奇函数，在区间上为增函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义和对数函数的性质即可求解. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，且在区间上为增函数， 所以在R上为增函数，且， 所以当时，；当时，. 因为， 所以，解得. 所以的解集为. 故选：C. 题型十：比较对数(型)函数的大小 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数单调性得到的范围即可比大小. 【详解】因为，所以， 又因为与在上单调递增， 所以，即， 且，即， 所以. 故选：B. 2．下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数、指数函数、和对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为幂函数是增函数，且，所以，故A错误； 因为指数函数是减函数，且，所以，故B错误； 因为指数函数是增函数，且，所以，故C正确； 因为对数函数在上单调递减，且，所以，故D错误． 故选：C. 3．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合指数函数和对数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为，， 又，即， 所以． 故选：A. 4．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的单调性，结合中间值法进行比较大小即可得解. 【详解】易知对数函数均在上单调递增， 所以， ，即， 所以． 故选：B 5．下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数单调性和对数函数的单调性逐个比较大小即可. 【详解】对于A，由函数单调递增，且， 得，A不符合题意， 对于B，由函数单调递减，且， 得，B不符合题意， 对于C，由函数单调递增，且， 得，又， 所以，C不符合题意， 对于D，由函数单调递减，且， 得，D符合题意． 故选：D. 6．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数、及对数函数的单调性，即可比较三个数的大小. 【详解】根据指数函数、的单调性可知： ，即； ，又因为，所以； 根据对数函数的单调性可知： ，即， 因此. 故选：． 7．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，借并借助中间值0、1来比大小即可. 【详解】因为在单调递增，在单调递减， 所以，； 因为在单调递增，所以. 所以. 故选：C 8．下列大小关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可解得. 【详解】选项A：函数在上单调递增，则，错误. 选项B：函数在上单调递减，则，正确. 选项C：函数在上单调递减，则，正确. 选项D：函数在上单调递增，则，正确. 故选：A 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数，对数函数的单调性和特殊值即可求解. 【详解】根据指数函数的单调性可得，. ，即. 由对数函数的单调性可得，. 综上，则. 故选：B 10．若，则下列不等式成立的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，指数函数，对数函数的单调性判断选项即可. 【详解】A:当时，，不成立，故A选项错误， B:函数在上是增函数，，，故B选项错误， C:函数在上是减函数，，，故C选项正确， D: 因为，由不等式的倒数性质可得，故D选项错误. 故选:C. 11．设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数和对数函数的单调性判断大小即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以， 因为在上单调递减， 所以，即， 因为在上单调递增， 所以， 综上可得，. 故选：B. 12．设实数，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】对数函数在定义域上单调递增， 所以， 对数函数在定义域上单调递减， 所以，即. 故选：D. 题型十一：由对数(型)函数比较参数大小 1．设定义在的函数，其图象关于直线对称，且当时，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意写出的解析式，分析函数单调性，结合对称轴即可得解. 【详解】根据题意，当时，， 则在上单调递减，函数图象关于直线对称，所以，， 又因为，所以. 故选：. 2．已知函数的图像如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像利用对数函数和幂函数的单调性即可求解. 【详解】由图象，得在上单调递增，即， 在上单调递增，且增加得越来越慢，即， 则． 故选：A． 3．已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数图像和对数函数的单调性即可解得. 【详解】由图根据函数单调递增可得，所以； 又当时，， 结合图象可得， 又知在上单调递增， 即， ∴． 故选：A． 题型十二：对数(型)函数的最值 1．函数在上的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．a 【答案】C 【分析】由对数函数的单调性即可求解最大值. 【详解】因为， 所以函数在定义域内单调递减， 所以在区间内， 在处取得最大值， 所以. 故选:C. 2．函数在区间上的最大值是（　　） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最大值. 故选：B． 3．已知函数的最大值与最小值的差为2，则（ ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得在上为单调递增函数， 所以，， 所以，解得， 又，所以. 故选：C 4．函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】∵，且在上单调递增， ∴， 故该函数的值域为． 故选：A. 5．函数在上的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据对数的运算和对数型函数的单调性即可求解. 【详解】函数， 函数在区间上是增函数， 所以函数的最大值为：. 故选：B 6．已知函数，则（ ） A．有最小值，且最小值为-2 B．有最小值，且最小值为-1 C．有最大值，且最大值为-2 D．有最大值，且最大值为-1 【答案】D 【分析】通过换元法结合对数函数的单调性可求最值. 【详解】令，则， 又在上单减，有， 所以有最大值，且最大值为，但无最小值. 故选：D. 7．已知实数满足，则函数在上的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数单调性即可求解. 【详解】因为，则函数在上为减函数，则. 故选：A. 8．若函数，且在区间上的最大值和最小值的和为，则函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数，且是单调函数，将分别代入就是函数的最值，解出的值，根据的单调性，求解最小值. 【详解】由题可知，解得， 所以在上递减，故其最小值为. 故选：B. 9．函数有（    ） A．最大值4 B．最小值4 C．最大值2 D．最小值2 【答案】C 【分析】根据题意，结合对数型复合函数的性质，即可求解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以 , 所以当时，函数取得最大值，即. 故选：C. 题型十三：由对数(型)函数最值求参数 1．如果函数在区间上的最大值是最小值的3倍，那么a的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性，确定最值进而求解. 【详解】因为函数在是增函数. 又因为函数在区间上的最大值是最小值的3倍. 所以，即. 所以，解得或（舍）. 故的值为. 故选：A. 2．若函数有最大值，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数的性质确定的取值范围，根据对数函数的单调性求得的取值范围即可得解. 【详解】令， 因为内层函数，图像开口向上，有最小正值且最小值为正，无最大值， 则，解得， 要使函数有最大值， 则函数为减函数，所以， 综合得的取值范围为． 故选：B. 3．已知函数的值域为R，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的值域为R，则的最小值小于或等于0，再由基本不等式求最值即可． 【详解】令， 因为， 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 由此可得的最小值为， 因为函数的值域为R， 所以的最小值小于或等于0，即， 故，所以实数m的取值范围是. 故选：B. 题型十四：函数模型及应用 1．在一次实验中，某小组测得一组数据，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间上，下列四个函数模型为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数模型的增长方式以及定义域可确定选项. 【详解】由散点图的定义域可排除C、D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型. 故选：B 2．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析得到y的解析式为指数函数，根据指数函数图象特征即可求解． 【详解】由题得x与y之间的关系式为，为指数函数模型， 由，所以函数的图象单调递增，且过定点， 结合指数函数的图象知：D符合要求. 故选：D. 3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据题干列出解析式，根据解析式选择函数图像即可. 【详解】设原来森林蓄积量为a， ∵某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长， ∴一年后，森林蓄积量为， 两年后，森林蓄积量为， 经过y年，森林蓄积量为， ∵要增长到原来的x倍，需经过y年， ∴， ∴则； 由于函数是对数函数，，由对数函数图像可知， 函数的图象大致为D. 故选：D． 4．某传染病传播初期，可用指数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律.据此，在这种传染病传播初期，累计感染病例数增加一倍需要的时间约为（     ）（精确到0.1，参考参数：） A．0.38天 B．0.69天 C．1.8天 D．2.7天 【答案】C 【分析】利用指数函数模型求解即可. 【详解】设与，因为， 所以，得. 故选：C. 5．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（单位：只）与引入时间x（单位：年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为只，则第7年它们发展到（    ） A．只 B．只 C．只 D．只 【答案】A 【分析】根据题意，求出的值，进而求出第7年的昆虫数量. 【详解】由题意，将代入 得，解得， 所以， 所以当时，. 故选：A. 6．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10％．那么，经过x年绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数的大致图像为（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由题意先写出函数解析式，再由函数解析式分析函数图像即可. 【详解】因为绿色植被的面积每年都比上一年增长10％， 所以y与x的解析式是是指数型函数， 由指数型函数的性质可知定义域为，值域为． 故选:D. 7．如图所示给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（    ） A．指数函数： B．对数函数： C．幂函数： D．二次函数： 【答案】A 【分析】观察散点图的增长性，结合各基本初等函数的图象性质即可得解. 【详解】由散点图可知，随着时间的增长，枝数呈爆炸性增长， 对于A，指数函数模型的增长性为爆炸性增长，故A正确； 对于BCD，对数函数模型、幂函数模型、二次函数模型增长相较之下缓慢，故BCD错误. 故选：A. 8．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x年后绿地面积是今年的y倍，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据x年后绿地面积是今年的y倍列出关于的函数关系式，再得出其大致图象即可. 【详解】设今年绿地面积为m，则有， ∴，该函数为指数函数，过点， 所以只有D选项图象符合条件. 故选：D． 9．若函数为偶函数，则a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．1或 【答案】B 【分析】由函数奇偶性的性质和对数函数的运算即可得解. 【详解】∵函数为偶函数， ∴，即， 化简得， 即， 即对定义域内任意成立， 所以，即， 检验当时，的定义域为关于原点对称. 故选：B． 10．2022年秋，某京剧演员因疫情原因无法演出，在短视频平台开设自己的账号，不断直播京剧知识.初始直播时已有50名粉丝，经过x天后，粉丝人数满足关系式：，其中M，k为常数，若开播10天后有200名粉丝，则开播30天后预计该京剧演员在平台上的粉丝数量为（ ） A．600 B．800 C．3200 D．3400 【答案】C 【分析】根据题意列方程组求得，然后把代入求值即可. 【详解】根据题意，得，解得， 故， 当时，， 所以开播30天后预计该京剧演员在平台上的粉丝数量为. 故选：C. 计算题专练 1．计算：． 【答案】 【分析】根据对数与指数的运算法则计算即可. 【详解】原式 2．计算 【答案】0 【分析】根据指数，对数的运算法则以及特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】 . 3．计算：． 【答案】11 【分析】根据指数幂运算规则、对数运算法则以及零指数幂的性质计算即可. 【详解】 4．计算：． 【答案】0 【分析】根据指数幂的运算法则，对数的运算法则，组合数的计数以及诱导公式综合计算即可. 【详解】原式． 5．求的值 【答案】6 【分析】根据对数的运算法则、换底公式、根式化为分数指数幂、指数幂的运算、对数恒等式可化简、求值. 【详解】原式 . 6．计算：． 【答案】 【分析】根据对数和指数的运算即可解得. 【详解】 . 7．. 【答案】 【分析】根据指数幂和对数运算性质计算即可. 【详解】 . 8．已知，，用a，b表示. 【答案】 【分析】根据对数的化简运算和换底公式即可解得. 【详解】∵，则，又∵， ∴. 9．计算． 【答案】 【分析】由换底公式和对数运算性质计算即可. 【详解】． 10．计算下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据指数幂的运算即可解得. （2）根据对数的运算即可解得. 【详解】（1） ; （2） . 解答题专练 1．设函数． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 【分析】（1）由对数函数的定义域求解即可； （2）先判断函数的奇偶性，再由函数奇偶性的定义即可证明. 【详解】（1）由，解得， 故函数的定义域为. （2）为偶函数， 由（1）知函数的定义域为，关于原点对称， 由， 所以函数为偶函数． 2．已知函数 (1)求函数的定义域； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据0和负数无对数列不等式求解即可； （2）根据对数函数的单调性求解不等式即可. 【详解】（1）要使函数有意义， 只需满足，解得， 所以此函数定义域为. （2）已知， 因为，所以， 因为为增函数， 则有，解得， 所以实数x的取值范围为. 3．已知函数，且，求： (1)函数的解析式； (2)不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意代入，求出底数a的值，即可求出解析式. （2）先求出的值，根据对数函数的图像和性质即可求解. 【详解】（1）由题意得 所以． 所以函数解析式为 （2）由（1）得， 所以， 因为，即 所以 解得． 故原不等式的解集为. 4．已知函数的图象经过原点． (1)求不等式的解集； (2)若函数，判断函数的奇偶性，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)函数为奇函数，证明见解析 【分析】（1）将原点代入函数解析式中，求出的值，再由对数函数的单调性解不等式即可. （2）根据函数的奇偶性的定义证明即可. 【详解】（1）因为函数的图象经过原点， 所以，解得， 所以． 原不等式为，即． 因为函数在上单调递增，且， 所以，解得，故原不等式的解集为． （2）由（1）可知函数，定义域为关于原点对称， 又因为 ， 所以函数为奇函数． 5．已知函数且在区间上的最大值是， (1)求实数 的值； (2)若函数的定义域是；求满足不等式的实数t的取值范围. 【答案】(1)2或 (2) 【分析】（1）根据指数函数的单调性解答即可； （2）根据对数函数性质解答即可. 【详解】（1）若，函数单调递增， 则函数在区间上的最大值为， ， 解得， 若，函数单调递减， 则函数在区间上的最大值为， ， 解得， 综上实数或. （2）若函数的定义域是， 则，恒成立， 即，即， 因为或， 所以， 则不等式等价为， 即， 即， 解得. 6．已知函数 (1)判断的奇偶性，并说明理由; (2)若恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)为奇函数，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可. （2）先判断出函数的单调性，再求解函数的最小值即可. 【详解】（1）函数为奇函数，原因如下： 函数，定义域关于原点对称， ， 即， ∴为奇函数； （2）恒成立，即在恒成立， ∴， 记， 又在上单调递减，在上单调递增， ∴在上单调递减，又为减函数， ∴在上单调递减， ∴， ∴. 17．已知函数 (1)若的定义域为，求的取值范围． (2)若的值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意根据的定义域为，可知恒成立，利用根的判别式求解； （2）由题意的值域为，分类讨论的情况求出取值范围. 【详解】（1）由函数， 要使得的定义域为，即恒成立， 时显然不可能恒成立， 则满足，解得，所以实数的取值范围为． （2）设，要使得的值域为，即， 当时，的值域为，此时， 所以函数的值域为，符合题意． 当时，要使得，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为． 第 1 页 共 47 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$