专题01 指数与指数函数（考题猜想）-【中职专用】2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（高教版2023·基础模块）

专题01 指数与指数函数 目录 选择题专练 1 题型一：指数幂运算 1 题型二：判断指数函数 4 题型三：指数函数概念 6 题型四：比较指数幂大小 6 题型五：解指数型函数不等式 9 题型六：指数(型)函数定义域 12 题型七：指数(型)函数值域 15 题型八：指数函数定点问题 19 题型九：指数函数图像问题 21 题型十：指数幂函数单调性 25 题型十一：指数型函数奇偶性 27 题型十二：指数型函数最值 30 计算题专练 31 解答题专练 33 证明题专练 38 选择题专练 题型一：指数幂运算 1．将分数指数幂写成根式的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分数指数幂与根式的互化公式可得答案. 【详解】由分数指数幂与根式的互化可得： ， 所以，将分数指数幂写成根式的形式为， 故选：. 2．可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将根式化为有理数指数幂的形式，即可得答案． 【详解】． 故选：A. 3．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式的运算性质进行化简求值即可. 【详解】由于，，，故A，B，D项错误， 故选：C. 4．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对根式进行化简和0次幂成立的条件易得答案. 【详解】因为，A错误； ，B错误； 成立的条件为，D错误； 因为，故C正确. 故选：C. 5．已知为正实数，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数幂和对数的运算可求. 【详解】，AB错误； ，C错误； ，D正确． 故选：D. 6．求值：等于（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算可求. 【详解】； 故选：B. 7．计算的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据根式及分数指数幂的运算化简求值即可. 【详解】原式， 故选：B. 8．已知函数，若，则＝（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 【答案】B 【分析】根据题意代入函数解析式，结合指数幂的运算即可求解. 【详解】因为，所以. 则. 故选：B． 9．已知，则（   ） A．7 B．10 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据指数运算法则即可得出结果. 【详解】． 故选:B. 10．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则求解. 【详解】由题意可得. 故选：B. 11．已知正数满足，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算结合完全平方公式计算即可. 【详解】因为正数满足，所以， 即，则，所以， 即，因此. 故选：B. 12．在等差数列中，已知与是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差中项以及一元二次方程根与系数的关系，以及指数幂运算即可解得. 【详解】因为与是方程的两根，由韦达定理得， 因为数列为等差数列， 所以， 解得， 所以. 故选：B. 题型二：判断指数函数 1．下列为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】指数函数的形式为且， 选项A，因为，所以不是指数函数， 选项B，因为指数部分为，所以不是指数函数， 选项C，若，则不是指数函数， 选项D，且，所以为指数函数. 故选：D. 2．在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，是幂函数的是（    ） A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 【答案】C 【分析】根据形如（，为常数）的函数是幂函数，判断即可. 【详解】幂函数是形如（，为常数）的函数， ①是的情形，②是的情形，⑥是的情形，所以①②⑥都是幂函数； ③是指数函数，不是幂函数； ⑤中的系数是2，所以不是幂函数； ④是常函数，不是幂函数， 故选：C. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入函数解析式中即可求解. 【详解】因为， 所以． 故选：D． 4．已知指数函数的图像过点，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】根据函数的图像上点的坐标求解解析式. 【详解】因为函数图像过点 所以，解得. 因为函数是指数函数，所以，即有. 故选：C. 题型三：指数函数概念 1．若函数是指数函数，则（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】由指数函数的定义可得. 解得. 故选：C. 2．函数，，若，则实数k的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由等式代入即可得k的值. 【详解】已知，， ，则， 解得. 故选：C. 题型四：比较指数幂大小 1．下列关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数，对数函数和三角函数的性质进行分析即可. 【详解】对A：因为，又， 且函数在上单调递增，所以，故A项错误. 对B：因为指数函数在上单调递增，所以，故B项错误； 对C：因为对数函数在上单调递减，所以，故C项错误； 对D：因为指数函数在上单调递增，所以，故D项正确. 故选：D. 2．设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数和对数函数的单调性判断大小即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以， 因为在上单调递减， 所以，即， 因为在上单调递增， 所以， 综上可得，. 故选：B. 3．下列关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性逐项判断即可得解. 【详解】选项，因为为减函数，所以，故错误； 选项，因为为增函数，所以，故错误； 选项，因为为增函数，所以，故正确； 选项，因为为减函数，所以，故错误； 故选：. 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数，对数函数的单调性和特殊值即可求解. 【详解】根据指数函数的单调性可得，. ，即. 由对数函数的单调性可得，. 综上，则. 故选：B 5．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合指数函数以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为对数函数在上单调递增，则， 因为指数函数在上单调递增，则， 又，所以. 故选：B. 6．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合指数函数和对数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为，， 又，即， 所以． 故选：A. 7．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数和指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增， 则，即，所以； 因为函数在单调递增，则，所以； 因为函数在上单调递减，则，所以， 综上，． 故选：A． 8．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算、指数函数的性质和不等式的性质即可求解. 【详解】， 因为，且, 故即，故. 因为即， 所以，所以. 故选：C 9．三个数，，，则，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算和指数函数的单调性即可解得. 【详解】由题，， 函数在上单调递减，则， 函数在上单调递增，则， 故， 故选：C 题型五：解指数型函数不等式 1．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为，即， 因为指数函数在定义域实数集R上是单调增函数， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：B. 2．已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合分段函数解析式、指数函数的单调性、二次不等式的解法，可分别求出和时，不等式的解集，即可求解. 【详解】当时，，解得； 当时，，即， 所以，解得， 所以， 综上所述， ． 即的取值范围为. 故选：A． 3．若函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为函数，， 故函数在上单调递减， 又，所以, 则，即，解得， 则不等式的解集为. 故选：D. 4．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性建立一元一次不等式，即可求解. 【详解】对于函数在定义域上单调递减， 所以不等式中，， 解得，即. 故选：A. 5．若实数满足，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数单调性求解即可. 【详解】因为，也就是， 又因为函数在上单调递增， ，即为. 故选：D. 6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的单调性，指数函数的单调性以及函数单调性的定义列不等式求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，解得. 故选：B. 7．设函数，则使成立的x的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入两个解析式求解即可. 【详解】当时，由，得，得，，所以， 当时，由，得，得，所以， 综上，即使成立的x的取值范围为， 故选：B. 8．设．若函数为指数函数，且，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据指数函数的定义及单调性即可解得. 【详解】由函数为指数函数，故且， 当即时，函数单调递增，有，不符合题意，故舍去； 当即时，函数单调递减，有，符合题意，故正确. 故选：A. 题型六：指数(型)函数定义域 1．，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的单调性即可求解. 【详解】指数函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为， 所以的取值范围是. 故选：C 2．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不等于，解出即可. 【详解】因为， 所以. 故选： 3．下列函数中，定义域为的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数，指数函数，对数函数与反比例函数的定义域逐项判断即可得解. 【详解】对于A，二次函数的定义域为，故A错误； 对于B，指数函数的定义域为，故B错误； 对于C，对数函数的定义域为，故C正确； 对于D，反比例函数的定义域为，故D错误； 故选：C. 4．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义域的含义及解根式不等式及指数函数的性质即可求解. 【详解】由，解得，故定义域为. 故选：A 5．的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次根式被开方数大于等于零列式求解，再结合指数函数单调性解不等式即可. 【详解】若使函数有意义，则，即． 因为在上单调递增，所以有，即. 函数的定义域为. 故选：A. 6．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质和指数函数的性质求解. 【详解】∵， 根据对数函数和指数函数的性质可知，且. ∴且， 故选：C． 7．已知函数，则下列四个函数中，定义域与之相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数，指数函数，正弦函数的定义域，根式的性质可以求解. 【详解】函数定义域为， A中的定义域为， B中的定义域为， C中定义域为， D中的定义域为，可得定义域为. 故选：D. 8．已知函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶次根式的被开方数为非负数，分母不为0，可得，再利用指数函数的单调性解不等式可求解. 【详解】要使函数有意义，则需满足， 即， 解得. 所以函数的定义域为. 故选：B 题型七：指数(型)函数值域 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可以先求出的值域，再求出的值域即可. 【详解】因为是指数函数， 值域为， 所以得值域为. 故选:B. 2．函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数的单调性得出最小值. 【详解】函数在定义域上单调递减, 在区间上的最小值为． 故选：. 3．函数的值域是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指对数函数性质即可求解. 【详解】根据指数函数的性质可知，所以. 令，则，所以函数为. 根据对数函数的性质可知， 所以的值域为. 故选：D. 4．已知函数，当时，该函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性确定最值即可得出值域. 【详解】因为函数在单调递减， 故最小值为，最大值， 所以值域是. 故选：A. 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数、指数函数性质求指数复合函数的值域. 【详解】由，则， 所以的值域为. 故选：C 6．若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数进行化简，根据已知函数值域列出不等式即可解得. 【详解】因为， 且的值域为， 所以，解得. 故选：C. 7．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义域和指数函数的值域求交集即可解得. 【详解】， ， . 故选：C. 8．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的值域，结合指数型复合函数的值域即可解得. 【详解】由二次函数的值域可知， 又知在上单调递减，则时取得最大值， 因此，即函数的值域为. 故选：D 9．已知函数的定义域和值域都是，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】分类讨论，根据指数函数单调性和值域定义域列式即可解得. 【详解】当时，，方程组无解； 当时，，解得； . 故选：A. 10．函数，的值域是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先运用换元法令，再根据二次函数的顶点式和单调性求出二次函数在的值域，再根据指数函数的单调性求最值即可得出值域. 【详解】函数，是由和，复合而成， 因为对称轴为，开口向上， 所以在单调递减，在单调递增， 所以时，，时，， 所以， 因为在上单调递增，所以， 所以函数，的值域是. 故选：C. 11．设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的值域以及定义域求解. 【详解】，，，. 当时，，则，. 故选：B. 12．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．函数在上单调递减 D．函数的值域为 【答案】D 【分析】结合函数的性质可得答案. 【详解】对于A，函数的定义域为，故A正确；     对于B，函数为偶函数，证明：设，定义域为关于原点对称， 且，则为偶函数，故B正确； 对于C，因为为偶函数，且在上单调递减， 函数的图象向右平移1个单位长度得到的图象，如下图， 所以函数在上单调递减，故C正确；     对于D，因为为偶函数，且的值域为， 函数的图象向右平移1个单位长度得到的图象，如下图， 则函数的值域为，故D错误. 故选：D. 题型八：指数函数定点问题 1．已知函数的图像过点，则m的值为（    ） A． B．30 C． D．1 【答案】D 【分析】点在函数图像上或者函数图象经过点，则点的坐标满足函数的解析式. 【详解】由题意函数的图像经过点，则点的坐标满足函数的解析式， 因此将点代入函数解析式得，解得. 故选：D. 2．函数，且的图像必过（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数型函数恒过定点的问题解决，即令即可. 【详解】因为函数，且， 所以令， 又因为，且， 所以， 所以函数恒过定点. 故选:B． 3．函数（且）的图像经过一个定点，则这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数型函数恒过定点的问题令计算即可. 【详解】令，即时，（且）， ∴定点坐标为． 故选:C. 4．函数且的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数恒过定点问题即可求解. 【详解】因为在函数中，当时，恒有. 所以函数的图象恒过定点． 故选：B． 5．函数必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式找出定点即可解得. 【详解】因为， 所以函数必过定点， 故选：C 6．函数（，且）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数必过，求指数型复合函数过定点即可. 【详解】令，则，此时，， ∴图象过定点． 故选：D． 题型九：指数函数图像问题 1．已知函数，则的图象为（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】先由题意求得，再利用指数函数的图像与特殊点法判断即可得解. 【详解】因为， 所以，是减函数，故排除选项C，D， 又当时，，排除A. 故选：B. 2．在同一直角坐标系中，若，则函数与的图像是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的图像与单调性结合一次函数的图像进行判断即可. 【详解】是减函数， 与轴交点的纵坐标介于0和1之间，D选项正确. 故选：D． 3．指数函数的图像如图所示，则之间的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性可解 【详解】根据图像可知，在单调递减，所以. 同理可得，在单调递增，所以. 所以，令x=1由图形可得. 故选：C. 4．在同一坐标系中，当时，函数与的图像是（    ） A．B．  C．  D．   【答案】C 【分析】由指数函数和对数函数的单调性判断即可. 【详解】因为，所以函数与都是增函数， 故选：C． 5．设，函数与函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】由指数函数和一次函数的图象分析判断即可. 【详解】，，， 在上单调递减，过一、二、三象限， 故选：D. 6．已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系式成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的图象及性质即可求解. 【详解】解：由图象可知，为减函数，故；为增函数，故. 故选：B. 7．函数的图像是（    ）． A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据指数型函数的图像性质求解. 【详解】∵是R上的增函数，且过点． 故选：A. 8．在同一平面直角坐标系下，指数函数和的图像如图所示，则下列关系中正确的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数图像性质分析. 【详解】由图可知a，b均大于1，且的函数图像比的函数图像变化趋势小， 且令时，，故． 综上可得． 故选：C. 9．如图所示是指数函数的图象，已知a的值取，，，，则相应曲线的a依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据指数函数的底数与图像的形状易得答案. 【详解】按指数函数图像的规律， 令由图可知， 曲线对应的底数， 所以曲线的底数a依次为. 故选：D． 10．当时，在同一坐标系中，函数与函数的图象可能是（    ）. A．  B．  C．    D．   【答案】B 【分析】由的范围，结合指数函数和对数函数的图象和性质分析即可. 【详解】当时，在上为增函数，图象位于轴右侧，自左而右逐渐上升，C、D选项的图象没有显示这种特征，故排除C、D选项； 当时，在上为减函数，图象位于轴上方，自左而右逐渐下降，A选项的图象没有显示这种特征，故排除A选项，B选项符合要求. 故选：B 题型十：指数幂函数单调性 1．下列函数中在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一次函数、二次函数、对数函数和指数函数的性质逐一分析即可求解. 【详解】对A：函数的图像为开口向上的抛物线，对称轴为，函数在区间上单调递增，故A项错误； 对B：函数的定义域为，故B项错误； 对C：指数函数在R上单调递增，故C项正确； 对D：一次函数在R上单调递减，故D项错误. 故选：C. 2．若函数为指数函数，则有（    ） A．或2 B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据指数函数的系数为和底数的取值范围易求答案. 【详解】由题意得， ． 故选：C. 3．已知指数函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】解方程即得或，再检验即得解. 【详解】解：由题得或. 当时，在上单调递增，符合题意； 当时，在上单调递减，不符合题意. 所以. 故选：D 4．下列函数在其定义域内单调递增的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数、指数函数、正弦型函数与对数型函数的单调性即可得解. 【详解】对于A，的图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，，在其定义域内单调递减，故B错误； 对于C，因为，所以， 而在上不单调，所以在上不单调，故C错误； 对于D，对于，有，得， 所以的定义域为， 因为在上单调递减，且， 又在上单调递减， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：D. 5．函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数型复合函数的单调性求解即可. 【详解】令，解得， 所以函数的定义域为， 因为开口向下，对称轴为， 可知在上单调递增，在上单调递减， 且在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即函数的单调递增区间为. 故选:B. 题型十一：指数型函数奇偶性 1．函数为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性即可得解. 【详解】函数的定义域为关于原点对称. . 函数为奇函数. 故选:. 2．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】因为，所以函数定义域为， 且， 所以函数是奇函数， 故选：A． 3．下列函数中，值域是且为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由常见函数的性质分析可求解. 【详解】的值域为，不符合题意，A选项错误. ，当时等号成立，函数的值域为，不符合题意，B选项错误. 的定义域为，是非奇非偶函数，不符合题意，C选项错误. 令，其定义域为，，所以是偶函数， 且，即的值域为，符合题意，D选项正确. 故选：D. 4． 函数是（ ） A．奇函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是减函数 C．偶函数，且在上是增函数 D．偶函数，且在上是减函数 【答案】A 【分析】根据指数函数运算和性质以及奇偶性判断方法判断即可. 【详解】易知的定义域为R，又，所以f(x)是奇函数； 又，因为在R上都是单调递增函数， 所以也是R上的单调递增函数. 故选：A. 5．已知函数，则（ ） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 【答案】A 【分析】根据奇偶性的定义和单调性的定义可判断. 【详解】定义域为，且， 是上的奇函数； 设且， 则， 因为，所以， 则， 所以， 所以函数是上的增函数. 故选：A. 6．关于函数，下列判断正确的是（ ） A．图象关于y轴对称，且在上是减函数 B．图象关于y轴对称，且在上是增函数 C．图象关于原点对称，且在上是减函数 D．图象关于原点对称，且在上是增函数 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性的定义，结合指数型复合函数的单调性即可得解. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称， 又因为，都是上的减函数，所以函数在上是减函数. 故选：C. 7．已知，设函数（）的最大值为M，最小值为m，那么（ ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】可类比求解分式函数值域的方法分离常数，得，再表示出，结合函数的单调性即可求得结果. 【详解】由题可知，， 则， 在为增函数， . 故选：D. 题型十二：指数型函数最值 1．函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意根据指数函数的性质转化为二次函数的最值即可. 【详解】设，，则， 当，即时，函数有最大值为. 故选:C. 2．关于函数在定义域上的最值，下列说法正确的是（    ） A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值 C．既有最大值，也有最小值 D．既无最大值，也无最小值 【答案】D 【分析】根据指数函数的性质即可求解. 【详解】因为，则。 所以函数的值域是， 所以既无最大值，也无最小值. 故选：D. 3．设，它的最小值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】设，把函数化为二次函数即可求解. 【详解】， 由， 则，. 当时，函数有最小值为. 即原函数取到最小值. 故选：C. 13．若函数（且）在上的最大值为4，最小值为，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性分情况讨论. 【详解】当时，在上单调递减，其最大值为，解得，所以最小值为，则. 当时，在上单调递增，其最大值为，所以最小值为，则. 综上，或. 故选：D. 计算题专练 一、计算题 1．化简求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据指数的运算化简求解. （2）根据指数与对数的运算求解. 【详解】（1） . （2） . 2．． 【答案】 【分析】根据题意，结合根式与绝对值的化简，即可求值. 【详解】原式. 3．求值： 【答案】. 【分析】根据指数幂的运算法则，对数的运算法则及特殊的三角函数值即可得解. 【详解】原式. 4．计算下式：. 【答案】 【分析】根据指数幂的运算计算即可. 【详解】 . 5．计算：． 【答案】 【分析】由指数幂的运算性质化简求值即可. 【详解】 ． 解答题专练 二、解答题 4．已知函数，且． (1)求的值； (2)当为何值时，取得最大值？并求出其最大值； (3)求函数的单调递减区间. 【答案】(1) (2)时，取得最大值是； (3)． 【分析】（1）根据即可求出的值. （2）利用换元法,根据二次函数的性质和指数函数的单调性求解. （3）利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为，所以，解得. （2）由（1）得，令, 则的图像是开口向上的抛物线，其对称轴方程为， 所以当时，取得最小值，又因为函数是减函数， 所以当时，，所以当时，取得最大值. （3）由（2）知的单调递增区间是， 又因为函数是减函数，所以函数的单调递减区间是. 5．已知函数， (1)求； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）将代入函数解析式中即可得解. （）分类讨论和的情况，结合即可得解. 【详解】（1）函数， 则. （2）函数，， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以或. 6．已知指数函数满足. (1)求的解析式； (2)若函数的定义域为，求的值域； (3)若，，求的值. 【答案】(1) (2) (3)1323 【分析】（1）由待定系数法求指数函数解析式即可得解； （2）利用函数的定义域和函数单调性即可求出； （3）利用的解析式，，，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，则，所以， 所以的解析式. （2）由（1）得的解析式， 当时，，当时，， 因为在上单调递增，所以此时， 所以在上的值域为. （3）由题意可知，，， 则. 7．已知函数且在上的最大值是最小值的8倍， (1)求的值； (2)当时，解不等式． 【答案】(1)或2； (2)． 【分析】（1）由指数函数的单调性即可解得. （2）由对数函数的单调性即可解得. 【详解】（1）解：因为在上的最大值是最小值的8倍. 当时，函数是减函数， 则，符合题意． 当时，函数是增函数， 则，符合题意， 综上，或． （2）解： 由（1）得，当时，. 则， 由对数函数的单调性可得，. 解得， 所以不等式的解集为. 8．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若有最大值，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数型复合函数值域即可解得. （2）根据指数函数的单调性和指数型复合函数最值即可解得. 【详解】（1）当时，. 因为在R上单调递增，且， 可得，所以， 故的值域为. （2）令，因为函数在其定义域内单调递增， 所以要使函数有最大值，则的最大值为4， 故 其中， 解得. 故的值为. 9．已知函数，其中 (1)若的最小值为，求的值； (2)若存在，使成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数运算把函数化为二次函数型即可求解； （2）令，则，利用二次函数单调即可求解. 【详解】（1）因为，根据指数函数的单调性可知，, 而， 当时，即当时，函数取得最小值， 即，解得. （2）令，则， 由，即，可得， 令， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，， 所以，， 即得到. 10．已知函数（，且）. (1)若函数的图象过点，求的值； (2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）根据函数过点，代入表达式求解即可. （2）根据指数函数的单调性分情况讨论，再根据最值求解. 【详解】（1）由，解得. （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 所以，解得或（舍去）. 当时，在区间上单调递增， 所以，， 所以，解得或（舍去）. 综上，或. 证明题专练 11．已知函数，其中是实数. (1)若是R上的偶函数，求的值； (2)若是R内的偶函数，，求证； (3)若关于的不等式在R内恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用指数型复合函数的奇偶性求参数即可； （2）利用偶函数定义证明即可； （3）利用不等式恒成立与换元法求参数范围即可. 【详解】（1）易得函数定义域为R，根据偶函数定义有即： 解得 （2）因为是R内的偶函数，故，则， 所以 ，则 因此 （3）不等式在R内恒成立，即恒成立，整理得恒成立， 令，则只需大于等于的最大值即可. 对于函数，令，则 因此. 12．已知函数在区间上的最大值与最小值之和为7 (1)求的值； (2)证明：函数是上的增函数 【答案】(1)2 (2)证明见详解 【分析】（1）根据得到是单调增函数，则最大值最小值之差即可表示，解出a即可. （2）利用定义法证明单调性即可． 【详解】（1）因为，指数函数在定义域上单调递增， 即在定义域上是单调递增， 故函数在区间上的最大值与最小值之和为， 解得（负值舍去）. （2）=，不妨设，， 则 . 因为，所以，即，而， 所以，得到， 所以函数是上的增函数. 第 1 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 指数与指数函数 目录 选择题专练 1 题型一：指数幂运算 1 题型二：判断指数函数 2 题型三：指数函数概念 3 题型四：比较指数幂大小 3 题型五：解指数型函数不等式 4 题型六：指数(型)函数定义域 5 题型七：指数(型)函数值域 5 题型八：指数函数定点问题 7 题型九：指数函数图像问题 7 题型十：指数幂函数单调性 9 题型十一：指数型函数奇偶性 10 题型十二：指数型函数最值 11 计算题专练 11 解答题专练 12 证明题专练 13 选择题专练 题型一：指数幂运算 1．将分数指数幂写成根式的形式为（    ） A． B． C． D． 2．可化为（   ） A． B． C． D． 3．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知为正实数，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 6．求值：等于（   ） A． B．4 C． D．3 7．计算的值为（    ） A． B． C． D．2 8．已知函数，若，则＝（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 9．已知，则（   ） A．7 B．10 C．1 D．3 10．若，则（ ） A． B． C． D． 11．已知正数满足，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 12．在等差数列中，已知与是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 题型二：判断指数函数 1．下列为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，是幂函数的是（    ） A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知指数函数的图像过点，则（    ） A． B．3 C． D．2 题型三：指数函数概念 1．若函数是指数函数，则（    ） A．或 B． C． D．且 2．函数，，若，则实数k的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 题型四：比较指数幂大小 1．下列关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．设，，则（   ） A． B． C． D． 3．下列关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．设，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，则（ ） A． B． C． D． 9．三个数，，，则，，的关系是（    ） A． B． C． D． 题型五：解指数型函数不等式 1．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．若函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．若实数满足，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．设函数，则使成立的x的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．设．若函数为指数函数，且，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D．且 题型六：指数(型)函数定义域 1．，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 3．下列函数中，定义域为的函数是（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 5．的定义域是（    ） A． B． C． D． 6．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则下列四个函数中，定义域与之相同的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型七：指数(型)函数值域 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C． D． 3．函数的值域是（       ） A． B． C． D． 4．已知函数，当时，该函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 8．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 9．已知函数的定义域和值域都是，则（ ） A． B． C．1 D． 10．函数，的值域是（     ） A． B． C． D． 11．设，且，则（    ） A． B． C． D． 12．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．函数在上单调递减 D．函数的值域为 题型八：指数函数定点问题 1．已知函数的图像过点，则m的值为（    ） A． B．30 C． D．1 2．函数，且的图像必过（    ） A． B． C． D． 3．函数（且）的图像经过一个定点，则这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．函数且的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 5．函数必过定点（    ） A． B． C． D． 6．函数（，且）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 题型九：指数函数图像问题 1．已知函数，则的图象为（    ） A．B．C．D． 2．在同一直角坐标系中，若，则函数与的图像是（    ） A．B．C．D． 3．指数函数的图像如图所示，则之间的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 4．在同一坐标系中，当时，函数与的图像是（    ） A．B．  C．  D．   5．设，函数与函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 6．已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系式成立的是（    ）    A． B． C． D． 7．函数的图像是（    ）． A．B．C．D． 8．在同一平面直角坐标系下，指数函数和的图像如图所示，则下列关系中正确的是（    ）．    A． B． C． D． 9．如图所示是指数函数的图象，已知a的值取，，，，则相应曲线的a依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 10．当时，在同一坐标系中，函数与函数的图象可能是（    ）. A．  B．  C．    D．   题型十：指数幂函数单调性 1．下列函数中在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若函数为指数函数，则有（    ） A．或2 B． C． D．且 3．已知指数函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．下列函数在其定义域内单调递增的是（   ）． A． B． C． D． 5．函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 题型十一：指数型函数奇偶性 1．函数为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 2．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 3．下列函数中，值域是且为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 4． 函数是（ ） A．奇函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是减函数 C．偶函数，且在上是增函数 D．偶函数，且在上是减函数 5．已知函数，则（ ） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 6．关于函数，下列判断正确的是（ ） A．图象关于y轴对称，且在上是减函数 B．图象关于y轴对称，且在上是增函数 C．图象关于原点对称，且在上是减函数 D．图象关于原点对称，且在上是增函数 7．已知，设函数（）的最大值为M，最小值为m，那么（ ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 题型十二：指数型函数最值 1．函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．关于函数在定义域上的最值，下列说法正确的是（    ） A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值 C．既有最大值，也有最小值 D．既无最大值，也无最小值 3．设，它的最小值是（   ） A． B． C． D．0 13．若函数（且）在上的最大值为4，最小值为，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．或 计算题专练 一、计算题 1．化简求值： (1)； (2). 2．． 3．求值： 4．计算下式：. 5．计算：． 解答题专练 二、解答题 4．已知函数，且． (1)求的值； (2)当为何值时，取得最大值？并求出其最大值； (3)求函数的单调递减区间. 5．已知函数， (1)求； (2)若，求a的值． 6．已知指数函数满足. (1)求的解析式； (2)若函数的定义域为，求的值域； (3)若，，求的值. 7．已知函数且在上的最大值是最小值的8倍， (1)求的值； (2)当时，解不等式． 8．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若有最大值，求的值. 9．已知函数，其中 (1)若的最小值为，求的值； (2)若存在，使成立，求的取值范围． 10．已知函数（，且）. (1)若函数的图象过点，求的值； (2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 证明题专练 11．已知函数，其中是实数. (1)若是R上的偶函数，求的值； (2)若是R内的偶函数，，求证； (3)若关于的不等式在R内恒成立，求的取值范围. 12．已知函数在区间上的最大值与最小值之和为7 (1)求的值； (2)证明：函数是上的增函数 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$