专题01 指数函数与对数函数（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（高教版2023·基础模块）

专题01指数函数与对数函数 实数指数幂 1.根式定义、运算及性质 (1)根式定义:形如的式子称为的次根式。 (2)根式的运算及性质 情况 性质 例子 为奇数 为偶数 为奇数 为偶数 ； 2.有理数指数幂的运算 情况 运算法则 例子 ； ； 0的正分数指数幂为0 ； ； ； 3.实数指数幂的运算法则 情况 运算法则 例子 ； ； 指数函数 指数函数： 底数的取值 图像 性质 定义域：；值域： 图像过点 在上是增函数 在上是减函数 在时， 在时， 在时， 在时， 三 对数 1.对数的定义： 1、一般地，如果，那么b叫作以为底的对数，记作，其中叫作对数的底数，叫作真数。 2、通常我们把底数为10的对数叫作常用对数，记作；以无理数e为底的对数叫作自然对数，记作． 3、指数式与对数式的关系： 2.对数的运算性质： 3.对数的运算法则： 运算法则 例子 换底公式 四 对数函数 对数函数： 底数的取值 图像 性质 定义域：；值域： 图像过点 在上是增函数 在上是减函数 在时， 在时， 在时， 在时， 题型一:有理数指数幂 例1 化简：（   ） A． B． C． D． 变式训练 1 求值：等于（   ） A． B．4 C． D．3 2 （    ） A． B． C． D． 3 下列各式成立的是（ ） A． B． C． D． 4 计算（    ） A． B． C． D． 题型二:实数指数幂 例2 =（    ） A． B．9 C． D． 变式训练 1 的值为（    ） A． B． C． D． 2 化简的结果是（    ） A． B．2 C． D． 3 下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4 方程的解是（    ） A． B． C． D． 题型三:指数函数 例3 若函数为指数函数，则有（    ） A．或2 B． C． D．且 变式训练 1 若函数是增函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2 若指数函数是增函数，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3 若指数函数（且）的图像经过点，则的值是（   ） A． B． C．或 D． 例4 已知函数且的图象恒过定点P，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式训练 1 函数的图象必经过点（    ） A． B． C． D． 2 一次函数的图象大致如图所示，则下列表述正确的是（    ） A． B． C．在其定义域内为增函数 D．在其定义域内为增函数 题型四:对数 例5 已知，则x的值为（    ） A． B．2 C． D． 变式训练 1 下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2 若，则（    ） A． B． C． D． 3 将化成对数式可表示为（    ） A．   B． C． D． 4 下列式子正确的是（   ）． A． B． C． D． 5 已知函数（，且）. (1)若函数的图象过点，求的值； (2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 6 函数的定义域为. (1)设，求的取值范围； (2)求函数的值域. 题型五:对数函数 例6 函数，则等于（        ） A． B． C． D． 变式训练 1 已知函数，则（    ） A． B．5 C．3 D． 2 在同一坐标系中，当时，函数 和的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 3 函数的图像恒过定点（   ） A． B． C． D． 4 函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5 对数函数过点，则（    ） A． B． C． D． 6 函数的定义域为，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 7 若函数的图像过点． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性． 8 已知函数. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 题型六:指数函数与对数函数的应用 例6 某种细菌每半小时分裂一次（一个分裂为两个），经过小时，这种细菌由个可繁殖（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式训练 1 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 2 函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 3 函数和在同一坐标系中的图像大致是（    ） A．  B．  C．  D．   4 某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10％．那么，经过x年绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数的大致图像为（    ）． A．  B．  C．  D．   5 据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）与时间x（年）近似满足关系式，观测发现2015年冬（作为第一年）有越冬白鹤3000只，估计到2021年冬越冬白鹤有（    ）． A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01指数函数与对数函数 实数指数幂 1.根式定义、运算及性质 (1)根式定义:形如的式子称为的次根式。 (2)根式的运算及性质 情况 性质 例子 为奇数 为偶数 为奇数 为偶数 ； 2.有理数指数幂的运算 情况 运算法则 例子 ； ； 0的正分数指数幂为0 ； ； ； 3.实数指数幂的运算法则 情况 运算法则 例子 ； ； 指数函数 指数函数： 底数的取值 图像 性质 定义域：；值域： 图像过点 在上是增函数 在上是减函数 在时， 在时， 在时， 在时， 三 对数 1.对数的定义： 1、一般地，如果，那么b叫作以为底的对数，记作，其中叫作对数的底数，叫作真数。 2、通常我们把底数为10的对数叫作常用对数，记作；以无理数e为底的对数叫作自然对数，记作． 3、指数式与对数式的关系： 2.对数的运算性质： 3.对数的运算法则： 运算法则 例子 换底公式 四 对数函数 对数函数： 底数的取值 图像 性质 定义域：；值域： 图像过点 在上是增函数 在上是减函数 在时， 在时， 在时， 在时， 题型一:有理数指数幂 例1 化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合根式的化简，即可求解. 【详解】因为. 故选：D. 变式训练 1 求值：等于（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算可求. 【详解】； 故选：B. 2 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合根式与指数幂的转化，化简求解即可. 【详解】. 故选：D. 3 下列各式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂计算易得答案. 【详解】对于A：被开方数不能为负数，故错误， 对于B：，故正确， 对于C：，故错误， 对于D：，故错误. 故选：B. 4 计算（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算即可求解. 【详解】. 故选：D. 题型二:实数指数幂 例2 =（    ） A． B．9 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式与分数指数幂的互化和同底数幂相乘的乘法法则即可求得. 【详解】 . 故选：B. 变式训练 1 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数幂的运算即可得解. 【详解】. 故选：D. 2 化简的结果是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由实数幂的运算法则直接计算即可. 【详解】. 故选：C. 3 下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数幂的运算性质，逐个判断得到答案. 【详解】选项A，，故A错误； 选项B，，故B错误； 选项C，，故C正确； 选项D，，故D错误， 故选：C. 4 方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算性质计算. 【详解】∵， ∴，解得． 故选：B. 题型三:指数函数 例3 若函数为指数函数，则有（    ） A．或2 B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据指数函数的系数为和底数的取值范围易求答案. 【详解】由题意得， ． 故选：C. 变式训练 1 若函数是增函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】已知函数是增函数， 则，解得. 故选：C. 2 若指数函数是增函数，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数为增函数可知底数大于1，即可求解参数a的值. 【详解】因为指数函数是增函数， 所以有， 解得， 所以a的取值范围是. 故选:C. 3 若指数函数（且）的图像经过点，则的值是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】应用待定系数法，将已知点代入到函数解析式，求出参数的值，再将代入解析式，即可得解. 【详解】因为指数函数（且）的图像经过点， 所以将点代入解析式得：，解得：， 所以， 令，， 故选：. 例4 已知函数且的图象恒过定点P，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数型函数的性质即可求解. 【详解】由题意得，函数图象恒过定点P，则. 即当时，，所以图象恒过定点P. 故选：B. 变式训练 1 函数的图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数图像性质求解即可. 【详解】因为指数函数必经过点， 即当时，， 所以函数相当于向上平移一个单位， 所以函数必经过点. 故选：A. 2 一次函数的图象大致如图所示，则下列表述正确的是（    ） A． B． C．在其定义域内为增函数 D．在其定义域内为增函数 【答案】D 【分析】由一次函数的图象和性质得出的范围，再逐项分析判断即可. 【详解】由题，一次函数的图象， 可得，， 令，则，由图，即， 故A、B项错误； 对C，为指数函数，，故在其定义域内为减函数，故C项错误； 对D，为指数函数，，故在其定义域内为增函数，故D项正确. 故选：D. 题型四:对数 例5 已知，则x的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据对数运算的法则即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D. 变式训练 1 下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则运算即可. 【详解】，故A正确， ，故B错误， ，故C错误， ，故D错误， 故选：A. 2 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数式与对数式关系转化求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：. 3 将化成对数式可表示为（    ） A．   B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数式与指数式的互化规则即可得解. 【详解】将化成对数式可表示为. 故选：D 4 下列式子正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的运算性质逐项判断即可得解. 【详解】A，，故A错误； B，，故B错误； C，，故C错误； D，由换底公式，可知，故D正确. 故选：D. 5 已知函数（，且）. (1)若函数的图象过点，求的值； (2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）根据函数过点，代入表达式求解即可. （2）根据指数函数的单调性分情况讨论，再根据最值求解. 【详解】（1）由，解得. （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 所以，解得或（舍去）. 当时，在区间上单调递增， 所以，， 所以，解得或（舍去）. 综上，或. 6 函数的定义域为. (1)设，求的取值范围； (2)求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先判断函数，的单调性，再由单调性求出函数值的取值范围； （2）因为函数是一个复合函数，函数可化为，此时定义域，再结合二次函数的图象与性质求出函数的值域. 【详解】（1）当时，在上单调递增， 当，；当，， ∴. （2）函数可化为：， ， ∵，开口向上， ∴在上单调递减，在上单调递增， 且， ∴，， 函数的值域． 题型五:对数函数 例6 函数，则等于（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件整理出函数解析式即可得解. 【详解】函数. 令，所以即. 所以. 故选：. 变式训练 1 已知函数，则（    ） A． B．5 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合分段函数求函数值，代入即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以. 故选：D. 2 在同一坐标系中，当时，函数 和的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数恒过的定点以及函数的单调性判断即可. 【详解】因为当时，函数恒过定点， 且在上为增函数，故CD错误； 又当时，函数恒过定点， 又，则，则函数在R上为减函数，故A正确. 故选：A. 3 函数的图像恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算结合对数函数图像即可解得. 【详解】由题，令，解得， ，即函数恒过定点. 故选：C 4 函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数真数大于零可求. 【详解】要使函数有意义， 只需，解得， 则函数的定义域为. 故选：A. 5 对数函数过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数图象过可求出的值，进而可得函数的解析式，再将代入到解析式里求解即可. 【详解】对数函数过点， ，可得， 所以，从而. 故选：C. 6 函数的定义域为，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的定义域以及一元二次不等式恒成立的条件来求解m的取值范围即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对任意的，恒成立， 所以判别式. 故. 故选：B. 7 若函数的图像过点． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性． 【答案】(1) (2)在上单调递减 【分析】（1）将点代入解析式中列方程求解即可. （2）首先由对数的运算法则化简，再根据对数函数的单调性判断即可. 【详解】（1）已知函数的图像过点， 则有，即，所以. （2）由（1）可得，， 则， 其中底数，所以函数在上单调递减. 8 已知函数. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由分段函数的解析式结合对数的运算代入求值即可； （2）由分段函数的解析式结合对数函数和指数函数的单调性分类讨论即可得解. 【详解】（1）函数， ，则， ，则， 所以. （2）函数， 当时，， 即， 因为在上单调递增， 所以，即； 当时，， 即， 因为在上单调递增， ，即， 综述，不等式的解集为. 题型六:指数函数与对数函数的应用 例6 某种细菌每半小时分裂一次（一个分裂为两个），经过小时，这种细菌由个可繁殖（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据题目列出指数函数解析式即可解得. 【详解】根据题意知，该种细菌分裂的个数满足指数函数， 经过3小时，细菌分裂6次，，细菌分裂的个数为， 故选：D． 变式训练 1 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据题干列出解析式，根据解析式选择函数图像即可. 【详解】设原来森林蓄积量为a， ∵某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长， ∴一年后，森林蓄积量为， 两年后，森林蓄积量为， 经过y年，森林蓄积量为， ∵要增长到原来的x倍，需经过y年， ∴， ∴则； 由于函数是对数函数，，由对数函数图像可知， 函数的图象大致为D. 故选：D． 2 函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据对数图像性质,可排除部分选项,再代入具体数,即可选出答案. 【详解】由对数函数性质知为增函数,故排除BD; 当时,,即函数过点,排除C. 故选:A． 3 函数和在同一坐标系中的图像大致是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】C 【分析】根据指数函数，对数函数的性质分析图像即可. 【详解】因为，为增函数，所以排除B，D选项， 又因为，所以为减函数，所以排除A选项， 由指数函数与对数函数的图像特点可知C选项满足题意． 故选:C. 4 某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10％．那么，经过x年绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数的大致图像为（    ）． A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】由题意先写出函数解析式，再由函数解析式分析函数图像即可. 【详解】因为绿色植被的面积每年都比上一年增长10％， 所以y与x的解析式是是指数型函数， 由指数型函数的性质可知定义域为，值域为． 故选:D. 5 据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）与时间x（年）近似满足关系式，观测发现2015年冬（作为第一年）有越冬白鹤3000只，估计到2021年冬越冬白鹤有（    ）． A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只 【答案】C 【分析】根据对数函数模型进行解答即可. 【详解】当时，由得， ∴到2021年冬，即第7年，． 故选:C. 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$