第十章 概率（知识归纳+题型突破 9题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记·巧练（人教A版2019必修第二册）

第十章 概率（9题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1： 有限样本空间 1.1．随机试验 (1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验． (2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 1.2．样本点和样本空间 (1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间． (2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 知识点2：事件的关系 2.1包含关系 一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件)， 记作：(或) 图示 2.2相等关系 如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等， 记作：； 图示 知识点3：事件的运算 3.1并事件(或和事件) 一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中， 我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)， 记作：(或). 图示： 3.2交事件(或积事件) 一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这 样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)， 记作：(或). 图示： 知识点4：互斥事件与对立事件 4.1互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：. 图示： 4.2对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且. 图示： 知识点5：古典概型的概率计算公式 5.1古典概型的概率计算公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 知识点6：概率的基本性质（性质1、性质2、性质5） 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以. 性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有 03 题型归纳 题型一　判断随机事件、必然事件、不可能事件 例题1：（2024高二下·安徽·学业考试）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（    ） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．是不可能事件 D．是必然事件 【答案】D 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据事件的定义判断． 【详解】事件是点数为1或2，事件是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件， 是点为2，是随机事件，是可能发生的， 是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件， 故选：D． 例题2：（24-25高二上·安徽·阶段练习）下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 【答案】D 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义即可一一判断. 【详解】对于A，若正方形边长为，由面积公式可知其面积为，这是必然事件，故A不合题意； 对于B，真空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B不合题意； 对于C，在一个标准大气压下，只有温度达到，水才会沸腾，当温度是时，水不会沸腾，这是不可能事件，故C不合题意； 对于D，扡掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机事件,故D符合题意. 故选：D. 例题3：（24-25高一下·全国·课后作业）从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（    ） A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生 【答案】B 【知识点】确定性事件与随机事件的概率 【分析】根据题意及必然事件的概念即可得解． 【详解】从5个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件， 故选：B． 巩固训练 1．（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【答案】A 【知识点】判断事件是否是随机事件、随机现象 【分析】利用随机现象、必然事件、不可能事件的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是； 对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是； 对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是； 对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是. 故选：A 2．（24-25高二上·吉林·阶段练习）若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（    ） A．事件是随机事件 B．事件是必然事件 C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件 【答案】D 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可. 【详解】随机试验的样本空间为， 则事件是随机事件，故A正确； 事件是必然事件，故B正确； 事件是不可能事件，故C正确； 事件是不可能事件，故D错误. 故选：D 3．（23-24高二下·河北石家庄·期末）下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 【答案】C 【知识点】随机现象 【分析】根据现象的分类逐项分析判断. 【详解】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故A错误； 对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是，这个事件为不可能现象，故B错误； 对于选项C：三角形的内角和为，这个事件为必然现象，故C正确； 对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D错误； 故选：C. 题型二 事件的包含关系　 例题1：（23-24高一下·天津和平·阶段练习）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】确定所给事件的包含关系、事件的运算及其含义、写出基本事件 【分析】合理设出事件，从而得到事件A，B，C三者的关系. 【详解】记事件{1枚硬币正面朝上}，{2枚硬币正面朝上}，{3枚硬币正面朝上}，则，， 显然，，，C不含于A. 故选：D 例题2：（多选）（23-24高一下·山西大同）从分别写有、、、、以及、、、的张纸条中任意抽取两张，有如下随机事件： “恰有一张写有数字”，“恰有一张写有字母”，“至少有一张写有数字”，“两张都写有数字”，“至多有一张写有字母”. 下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】事件的运算及其含义、确定所给事件的包含关系 【分析】列举出每个事件所包含的基本事件类型，结合事件的关系判断可得出结论. 【详解】事件包含的基本事件类型为：一张写有数字一张写有字母， 事件包含的基本事件类型为：一张写有数字一张写有字母， 事件包含的基本事件类型为：一张写有数字一张写有字母、两张都写有数字， 事件包含的基本事件类型为：两张都写有数字， 事件包含的基本事件类型为：一张写有数字一张写有字母、两张都写有数字， 所以，，，，， 故选：ABD. 巩固训练 1．（多选）（23-24高一下·贵州贵阳）抛掷一枚质地均匀的股子，定义以下事件：“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数大于3”，“点数为4”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】事件的运算及其含义、确定所给事件的包含关系 【分析】由事件的基本关系及运算依次判断即可. 【详解】对于A，“点数大于3”，“点数大于2”，显然，A正确； 对于B，“点数为4”，“点数大于3”，，B正确； 对于C，由A选项知，，则，C错误； 对于D，“点数大于2”，“点数不大于2”，显然不能同时发生，则，D正确. 故选：ABD. 2．（2024高一下·全国·专题练习）连续掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：为“3次正面向上”， 为“只有1次正面向上”， 为“至少有1次正面向上”，试判断事件之间的包含关系． 【答案】，事件与事件之间不存在包含关系 【知识点】确定所给事件的包含关系 【分析】根据事件之间的关系即可求解. 【详解】当事件A发生时，事件一定发生，当事件发生时，事件一定发生，因此有，； 当事件发生时，事件一定不发生，当事件发生时，事件一定不发生， 因此事件与事件之间不存在包含关系． 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球．设事件A：1个红球和2个白球，事件B：2个红球和1个白球，事件C：至少有1个红球，事件D：既有红球又有白球，则： (1)事件D与事件A，B是什么关系？ (2)事件C与事件A是什么关系？ 【答案】(1) (2) 【知识点】事件的运算及其含义、确定所给事件的包含关系 【分析】（1）直接由事件的运算即可判断； （2）由事件的基本关系即可判断. 【详解】（1）对于事件D，可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球，故． （2）对于事件C，可能的结果为1个红球和2个白球，2个红球和1个白球或3个红球，故事件C真包含事件A，． 题型三 互斥事件、对立事件的判断 例题1：（24-25高二上·湖北·阶段练习）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生 C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 【答案】C 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系 【分析】依题意列举出所有基本事件，根据互斥事件与对立事件的定义直接判断得出结论. 【详解】“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女. 至少有1名女生与全是女生可以同时发生，不是互斥事件，故A错误； 至少有1名女生与全是男生是对立事件，故B错误； 恰有1名女生与恰有2名女生是互斥不对立事件，故C正确； 至少有1名女生与至多有1名男生是相同事件，故D错误. 故选：C. 例题2：（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别是，则下列说法正确的是（　　） A．与是互斥事件，也是对立事件 B． 与是互斥事件，也是对立事件 C． 与是互斥事件，但不是对立事件 D．与是互斥事件，也是对立事件 【答案】D 【知识点】确定所给事件的对立关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件的定义和对立事件的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】A中，因为彼此互斥，故与是互斥事件， 而，故与不是对立事件，故A错误； B中，因为彼此互斥，故与是互斥事件， 而，故与不是对立事件，故B错误； C中，因为彼此互斥，故与是互斥事件， 而，故与是对立事件，故C错误； D中，因为彼此互斥，故与互斥事件， 而，故与是对立事件，故D正确； 故选：D. 例题3：（多选）（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件为（   ） A．恰有1件次品 B．至多有1件次品 C．至少有1件次品 D．都是正品 【答案】AD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项判断即可. 【详解】10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件， 在A中，“恰有1件次品”与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件，故A正确； 在B中，“至多有1件次品”与事件“1件正品2件次品”是对立事件，故B错误； 在C中，“至少有1件次品”与事件“1件正品2件次品”能同时发生，不是互斥事件，故C错误； 在D中，“都是正品”与事件“1件正品2件次品”互斥不对立，故D正确. 故选：AD 巩固训练 1．（24-25高三上·上海黄浦·期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据条件，利用互斥事件的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项A错误， 对于选项B，当朝上面的点数为时，与同时发生，即与不是互斥事件，所以选项B正确， 对于选项C，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项C错误， 对于选项D，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项D错误， 故选：B. 2．（24-25高三上·上海·开学考试）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】写出事件的全部基本事件，再根据互斥事件、对立事件的定义判断即可. 【详解】解：设事件=｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝， 则所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}， 事件=｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }； 事件｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}， 事件｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}， 事件｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝， 由互斥事件及对立事的定义可知事件、事件与均是互斥而非对立的事件. 故选：B 3．（23-24高一下·天津南开·期末）从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（    ） A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球 B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球 C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球 D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球 【答案】B 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断即可． 【详解】对于A，事件与事件可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件与事件不是互斥事件，故A错误； 对于B，事件与事件不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件与事件互斥却不互为对立，故B正确； 对于C，事件与事件可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件与事件不是互斥事件，故C错误； 对于D，事件与事件不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件与事件是互斥事件也是对立事件，故D错误． 故选：B． 题型四 古典概型 例题1：（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知样本空间中有4个等可能的样本点，且，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】事件的运算及其含义、计算古典概型问题的概率 【分析】由样本空间和事件包含的样本点个数，利用古典概型概率公式计算可得. 【详解】因为样本空间，又， 则，所以， 样本空间中包含4个等可能的样本点，事件包含1个样本点， 由古典概型概率公式，． 故选：D 例题2：（24-25高二上·四川成都·期末）不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】利用古典概型概率公式即可求出概率. 【详解】记4个白球为，2个红球为， 从4个白球，2个红球中不放回抽取2个球有: ，共种不同的取法， 其中抽出2球均为白球有共种不同的取法， 所以抽出的2个球均为白球的概率. 故选：C. 例题3：（24-25高一上·四川自贡·开学考试）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： (1)本次共调查了_______名学生，并将条形统计图补充完整； (2)话剧组所对应扇形的圆心角为_______度； (3)书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的对法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 【答案】(1)40；作图见解析 (2)72 (3) 【知识点】计算古典概型问题的概率、根据条形统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题、统计与概率 【分析】（1）结合条形图中A组的人数以及扇形图中A组所占比可得到总人数，即可补全条形图； （2）根据C组的人数可得到所对应扇形的圆心角； （3）根据题意列得表格或树状图，可求得概率. 【详解】（1）由图可得条形统计图中A组人数为4人，扇形图中A组所占比为， 所以总人数为（名）， 则C组人数为（名）， 补全条形统计图如图所示： 故答案为：； （2）由（1）可知C组人数为8名， 所以所占比为， 则话剧组所对应扇形的圆心角为， （3）先将女生编号为，将三位男生编号为， 列表如下： ， 画树状图如下： 共有12种等可能得结果， 其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有：共6种， 所以刚好抽到1名男生与1名女生的概率为. 例题4：（24-25高一上·北京·期末）国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表： 空气质量指数 300以上 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 由全国重点城市环境监测网获得某年2月1日至2月5日甲城市和乙城市的空气质量指数数据，用茎叶图表示如下： (1)从甲城市的数据中任取2个，求其中恰有1个数据对应空气质量等级为良的概率； (2)从甲城市和乙城市的数据中分别取1个，求这2个数据对应空气质量等级相同的概率； (3)试根据上面的数据，判断甲，乙两市空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果） 【答案】(1) (2) (3)甲数据方差大于乙数据方差. 【知识点】观察茎叶图比较数据的特征、计算古典概型问题的概率、估计总体的方差、标准差 【分析】（1）（2）由空气质量指数与空气质量等级对应关系，结合茎叶图，古典概型的概率公式可得答案； （3）由方差定义可得答案； 【详解】（1）由题，在甲的5个数据中，数据对应空气质量等级为良的有3个. 设甲的5个数据分别为， 数据对应空气质量等级为良的为， 则任取两个数据的情况有：， 共10种情况， 满足题意的有，共6种情况. 则对应概率为； （2）设甲的5个数据分别为， 数据对应空气质量等级为优的为，数据对应空气质量等级为良的为， 数据对应空气质量等级为轻度污染的为， 设乙的5个数据分别为， 其中数据对应空气质量等级为优的为，数据对应空气质量等级为良的为. 则从甲城市和乙城市的数据中分别取1个的情况有： 共25种情况， 满足题意的有： ，共11种情况， 则对应概率为. （3）由茎叶图可得乙的数据更为集中，则甲数据方差大于乙数据方差. 巩固训练 1．（24-25高二上·广东茂名·期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，那么这2个球同色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】依题意设2个红球为，， 3个黄球为，，，考虑有放回地摸球，分别列出试验的样本空间和事件“这2个球同色”表示的集合，利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】设2个红球为，，3个黄球为，，，从中有放回地依次随机摸出2个球， 样本空间为：， ，则， 设事件为“这2个球同色”， 则，则， 由古典概率公式，可得. 故选：D 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在某市的三次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组．第二组，……第六组，画出频率分布直方图如图所示， (1)估计该市学生这次测试成绩的第25百分位数； (2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（回一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)从两组中按分层抽样抽取5名学生，再随机抽取3名同学进行问卷测试，问3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据百分位的定义计算可得； （2）根据频率分布直方图中平均数计算公式计算可得； （3）分别求出、中抽取的人数，再利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）因为， ， 所以第百分位数为. （2）平均值； （3）因为的频率为，的频率为， 则中抽取名学生，分别记作、， 中抽取名学生，分别记作、、， 从这5名学生，随机抽取3名同学进行问卷测试，则可能结果有：，，，，，，，，，共个； 其中3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间有，，共个， 所以3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间的概率； 3．（24-25高一上·北京·期末）一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． (1)求的值； (2)（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间； （ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）；（ⅱ） (3) 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、补全频率分布直方图 【分析】（1）根据第三、四、五组的频率之和为列方程可解，再根据第一、二组的频率之和为列方程可解； （2）（ⅰ）根据频率分布直方图，得位于区间的频率和位于区间的频率，即可判断中位数所在的分组区间；（ⅱ）根据频率分布直方图得频率，再利用加权平均数公式计算即可； （3）根据频率确定比例，可得第四组志愿者人数为4，第五组志愿者人数为1，利用古典概型计算概率即可. 【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为， 所以，解得， 又前两组的频率之和为，则，解得． （2）（ⅰ）因为位于区间的频率为， 位于区间的频率为， 所以中位数所在的分组区间为；（学生直接写答案即可） （ⅱ）平均数为． （3）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a，b，c，d，第五组志愿者人数为1，设为e． 考虑从这5人中选出2人的试验，其样本空间可记为，则， 记事件为“选出的两人来自不同组”，则，从而， 因此，． 4．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计． 将成绩进行整理后，分为五组，，，，，制作如图所示的频率分布直方图，其中第二组的频数是第一组的频数的2倍． (1)根据这次成绩，学校准备淘汰70%的同学，仅保留30%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？(四舍五入精确到1分) (2)从样本数据在第四组和第五组这两个小组内的同学中，按比例分配分层随机抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率． 【答案】(1)76分 (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）先根据“第二组的频数是第一组的频数的2倍”，得“第 1 组的频率，再由频率和为1，求出，求该组数据的第70百分位数即可. （2）根据古典概型求概率. 【详解】（1）由题意可知：， 又 ，解得，            成绩落在 内的频率为：， 落在内的频率为： ， 设第70百分位数为，则，解得 ， 所以晋级分数线划76较为合理． （2）由图可知， 按比例分配分层随机抽样法， 两层应分别抽取 4 人和 2人， 分别记为 和 ， 设 "抽到的两位同学来自不同小组"， 则样本空间 共 15 个样本点， 则 共 8 个样本点， 所以 ． 题型五　互斥事件的概率公式 例题1：（2024高二下·黑龙江·学业考试）已知事件与事件互斥，且，则（    ） A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 【答案】C 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】利用互斥事件概率的加法公式计算可得. 【详解】因为事件与事件互斥，所以. 故选：C 例题2：（24-25高二上·上海·阶段练习）事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ． 【答案】/0.15 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用对立事件和互斥事件的概率公式即可求解． 【详解】根据题意，设，则， 事件、互斥，它们都不发生的概率为， 则， 即， 解可得，即， 故答案为：. 例题3：（23-24高二下·浙江·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则 ． 【答案】 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】由题意结合概率运算性质可得答案. 【详解】由概率的性质得， 所以， 所以． 故答案为：. 巩固训练 1．（24-25高二上·广东·期中）已知与是互斥事件，且，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9 【答案】D 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据对立事件、互斥事件的和事件的概率公式求解. 【详解】由，可得. 由于与是互斥事件， 故. 故选：D 2．（24-25高二上·上海浦东新·期末）已知，若A，B互斥，则 . 【答案】0.9 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】利用互斥事件的概率求解. 【详解】解：因为，且A，B互斥， 所以， 故答案为：0.9 题型六 一般概率加法公式 例题1：（24-25高二上·安徽芜湖·阶段练习）假设，且A与B相互独立，则 （    ） A．0.38 B．0.7 C．0.3 D．0.58 【答案】D 【知识点】独立事件的乘法公式、概率的基本性质 【分析】由事件的相互独立知，结合事件的运算求 【详解】如果A与B相互独立，则， ； 故选：D. 例题2：（多选）（24-25高二上·湖北·阶段练习）随机事件满足，，，则有（   ） A． B． C．不是互斥事件 D．相互独立 【答案】AC 【知识点】概率的基本性质、判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断 【分析】根据概率的性质即可判断AB；根据互斥事件的定义即可判断C；根据相互独立事件的定义即可判断D. 【详解】因为，，， 所以， 所以，故A正确，B错误； 因为，所以不是互斥事件，故C正确； 因为，所以不相互独立，故D错误. 故选：AC. 例题3：（24-25高二上·山东淄博·期中）已知随机事件中，与相互独立，与对立，且，，则 . 【答案】/ 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式 【分析】由公式可知只需求出即可，结合对立事件的概率公式以及独立事件的乘法公式即可求解. 【详解】由与为对立事件，则， 又与相互独立，则， 所以. 故答案为：. 巩固训练 1．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）根据气象资料统计，明天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】概率的基本性质 【分析】记事件明天吹南风，事件明天下雨，根据可求得结果. 【详解】记事件明天吹南风，事件明天下雨， 由题意，，，， 因为， 所以，. 故选：A. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据已知条件求出和，再利用概率的性质求出. 【详解】因为，所以. 又 所以. 故. 故选：D. 3．（24-25高二上·上海·期末）某学生参加两次英语高考，已知第一次超过130分的概率是0.5，第二次超过130分的概率是0.7，两次都超过130分的概率是0.3，则两次考试中至少有一次超过130分的概率为 ． 【答案】0.9/ 【知识点】概率的基本性质 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质计算得答案. 【详解】记两次考试分别超过130分的事件为，则， 因此， 所以两次考试中至少有一次超过130分的概率为0.9. 故答案为：0.9 巩固训练 题型七 独立事件的判断 例题1：（2024·江西·模拟预测）有6个质地形状相同的球，分别标有数字，从中随机有放回的取两个球，每次取1个球．事件“第一次取出的球标的数字为奇数”，事件“第二次取出的球标的数字为偶数”，事件“两次取出的球标的数字之和为5”，事件“两次取出的球标的数字之和为6”，则（   ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与互斥 【答案】C 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】应用表格列举出所有情况，再应用古典概率求法、互斥事件定义及独立事件的判定判断各项正误. 【详解】如下表，对应为(第一次，第二次)， 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 由题设及上表知，和、和均可以同时发生，如，故它们均不互斥，故A，D均错误； 由上表知，， 所以，故与相互独立，与不相互独立． 故选：C 例题2：（24-25高一上·辽宁·期末）先后投掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次投掷的骰子朝上的数字为2”，表示事件“第二次投掷的骰子朝上的数字为6”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字之差的绝对值小于3”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字均为偶数”，则（   ） A．与相互独立B．与相互独立C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】利用列举法，根据古典概型概率公式求出各事件的概率，然后根据相互独立的概率关系逐一判断即可. 【详解】由题可知，， 先后投掷两枚质地均匀的骰子的所有结果有： ，共36种. 两次投掷的骰子朝上的数字之差的绝对值小于3的结果有： ，共24种. 两次投掷的骰子朝上的数字均为偶数的结果有： ，共9种. 所以，. 事件包含的结果有：共4种. 事件包含的结果有：，共3种. 事件包含的结果有：，共3种. 事件包含的结果有：，共3种. 所以，，，， 因为，，，． 所以与相互独立，A正确，BCD错误. 故选：A． 例题3：（24-25高二上·湖北·阶段练习）有6个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【答案】B 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断 【分析】先求出对应事件的概率，再由独立事件的概率关系逐项判断即可； 【详解】设甲乙丙丁对应的的概率分别为， 由题意可得， 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，情况分为， 所以， 丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，情况分为， 所以， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：B. 例题4：（多选）（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）先后两次掷一个均匀的骰子，记事件：“两次掷出的点数之和是11”，记事件：“第二次掷出的点数是偶数”，记事件：“两次掷出的点数相同”，记事件：“至少出现一个奇数点”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与对立 【答案】AC 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断 【分析】列出事件，利用互斥事件，对立事件和独立事件的定义判断. 【详解】解：因为， ， ， ， 所以，所以与互斥，故选项A正确； ， 所以与不互斥，故选项B错误； ，所以与C不互斥，故选项D错误； ，所以， 所以与独立，故选项C正确； 故选：AC 巩固训练 1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现偶数点”，“第二枚出现奇数点”，则与的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 【答案】C 【知识点】独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系 【分析】根据事件的定义和独立事件概率乘法公式可判断出结果. 【详解】对于AB，，即事件与可以同时发生， 与不是互斥、对立事件，AB错误； 对于C，，，，， 与相互独立，C正确； 对于D，与不是同一事件，与不相等，D错误. 故选：C. 2．（24-25高二上·四川雅安·阶段练习）连续掷两次骰子，设先后得到的点数分别为m，n，A表示事件“”，B表示事件“n为偶数”，C表示事件“”，D表示事件“”，则不相互独立的事件是（   ） A．A与B B．A与D C．B与C D．B与D 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】运用相互独立事件的概率定义计算判定即可. 【详解】对于A,掷一次骰子，的概率. 掷一次骰子，为偶数的概率. 与同时发生，即且为偶数，故先后得到的点数为， 故. 因为，所以与是独立事件.   对于B,要使，有这种情况, , 与同时发生即且即，故. 而，所以与是独立事件.   对于C, 为偶数的概率. 的情况有：当时，；时，、； 时，、、；时，、、、； 时，、、、、； 时，、、、、、，共21种情况， 所以. 与同时发生，即为偶数且的情况有： 当时，；时，；时，、； 时，、；时，、、； 时，、、，共12种情况，所以. 而，所以与不是独立事件.   对于D, 为偶数的概率. . 与D同时发生，即为偶数且的情况有： 当时，；时，；时，，共3种情况， 所以. 而，所以与D是独立事件.   故与与与相互独立，与不相互独立． 故选：C. 3．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）现有两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球a、b，再将两个箱子的球混合后取出一个小球c，事件M：“小球为红色”，事件N：“小球b为白色”，事件P：“小球c为红色”，则下列说法正确的是（   ） A．M发生的概率为B．M与N互斥 C．M与N相互独立 D．P发生的概率为 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】求出古典概率判断A；利用互斥事件的定义判断B；利用相互独立事件的定义判断C；分两种情况讨论求出概率判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，事件与可以同时发生，它们不互斥，B错误； 对于C，，，与相互独立，C正确； 对于D，若先取出同色小球，都为白球时，混合后有4个白球6个红球，取出红球概率； 若取出的都为红球，混合后有4个红球6个白球，取出红球概率为， 若先取出异色小球，混合后有5个白球5个红球，取出红球概率为，D错误. 故选：C 4．（多选）（24-25高二上·黑龙江·期中）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取一个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是8”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（   ） A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】ABD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】列举出基本事件，再根据互斥事件及相互独立事件的定义判断即可. 【详解】依题意从中有放回地随机取两次球，则可能结果有： ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共个结果. 事件包含的基本事件有：，，，，，共个； 事件包含的基本事件有：，，，，，共个； 事件包含的基本事件有：共个； 事件包含的基本事件有：，，，，，共个； 对于A：显然事件与事件不可能同时发生，所以与互斥，故A正确； 对于B：事件与事件不可能同时发生，所以与互斥，故B正确； 对于C：因为，，， 所以与不独立，故C错误； 对于D：因为，，， 所以与相互独立，故D正确. 故选：ABD 题型八 独立事件的乘法公式　 例题1：（河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题）已知事件相互独立，与分别为的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】独立事件的乘法公式、概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】先根据对立事件概率公式及独立事件乘法公式求出，然后利用概率性质求解即可. 【详解】因为，所以， 因为事件相互独立，所以， 所以． 故选：D 例题2：（多选）（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）设，为两个随机事件，以下命题正确的是（    ） A．若与对立，则 B．若与互斥，，，则 C．数据，，，，，，，，，的分位数是7.8 D．若与相互独立，，， 【答案】BD 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、总体百分位数的估计 【分析】A选项根据对立事件的概念可得；B选项根据互斥事件的概念可得；C选项根据百分位数的定义可得；D选项根据事件相互独立性的概念可得. 【详解】对于A选项，因为与对立，，则，所以A错误； 对于B选项，，则，因为与互斥， 所以，所以B正确； 对于C选项，这组数据一共有10个数，所以分位数为第8个数与第9个数的平均数，为，所以C错误； 对于D选项，若与相互独立，则与也相互独立， 因为，，所以，， 所以，所以D正确. 故选：BD. 例题3：（24-25高三上·上海金山·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中至多有一次正面朝上，若事件A与事件B是独立的，则n的值为 ． 【答案】3 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】通过古典概率的计算公式计算，，由独立得，解方程即可. 【详解】由题意可知：，，， 因为独立，所以， 即，结合均随n的增大而增大， 故. 故答案为： 巩固训练 1．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知是相互独立事件，且，则（   ） A．0.1 B．0.12 C．0.18 D．0.28 【答案】C 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据对立事件概率可得，再由相互独立事件乘法公式计算可得. 【详解】由可得， 又是相互独立事件，所以. 故选：C 2．（多选）（24-25高二上·四川成都·期末）已知事件，事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若事件与事件互斥，则 B．若事件与事件相互独立，则 C．若事件发生时事件一定发生，则 D．若，则事件与事件相互独立 【答案】ABD 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的判断、确定所给事件的包含关系 【分析】利用互斥事件的概率加法公式，独立事件的定义，独立事件的概率乘法公式进行分析判断即得. 【详解】对于A，事件与事件互斥，，故A正确； 对于B，事件与事件相互独立，， ，故B正确； 对于C，若事件发生时事件一定发生，则，故C错误； 对于D，因则事件与事件相互独立， 故事件与事件相互独立，故D正确. 故选:ABD. 3．（24-25高二上·四川成都·期中）已知随机事件A，B，C，与相互独立，与对立，且，，则 . 【答案】/ 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】首先求出，再根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得. 【详解】因为与对立且，所以， 又与相互独立且， 所以. 故答案为： 题型九 随机模拟 例题1：（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412        451        312        531        224        344        151        254        424        142     435        414        135        432        123        233        314        232        353        442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（   ） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、整数值随机模拟问题 【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10组，则由古典概型概率公式计算， 知道估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为 故选：C. 例题2：（24-25高二上·四川·期中）盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、整数值随机模拟问题 【分析】依题意由事件代表的随机数计算出符合题意的随机数组数，由古典概型公式计算可得结果. 【详解】根据题意可知“联”、“盟”两个字都抽取到，代表三个数字中同时出现数字2和3， 观察发现组随机数中有233，320，231，231，132，123，023，230，321，232，共10组， 再由古典概型公式计算可得事件发生的概率为. 故答案为： 巩固训练 1．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 【答案】D 【知识点】计算古典概型问题的概率、整数值随机模拟问题、利用计算器（机）产生整数值随机数 【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据20组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解. 【详解】表示甲获得冠军的数有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432， 334，151，314共13组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为. 故选：D 2．（23-24高三下·重庆南岸·阶段练习）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了10组随机数： 7527          0293          7140          9857          0347 4373          8636          6947          1417          4698 根据以上数据估计射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 ． 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解． 【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有8个， 所以射击4次至少击中3次的概率为. 故答案为：． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 概率（9题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1： 有限样本空间 1.1．随机试验 (1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验． (2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 1.2．样本点和样本空间 (1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间． (2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 知识点2：事件的关系 2.1包含关系 一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件)， 记作：(或) 图示 2.2相等关系 如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等， 记作：； 图示 知识点3：事件的运算 3.1并事件(或和事件) 一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中， 我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)， 记作：(或). 图示： 3.2交事件(或积事件) 一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这 样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)， 记作：(或). 图示： 知识点4：互斥事件与对立事件 4.1互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：. 图示： 4.2对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且. 图示： 知识点5：古典概型的概率计算公式 5.1古典概型的概率计算公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 知识点6：概率的基本性质（性质1、性质2、性质5） 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以. 性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有 03 题型归纳 题型一　判断随机事件、必然事件、不可能事件 例题1：（2024高二下·安徽·学业考试）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（    ） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．是不可能事件 D．是必然事件 例题2：（24-25高二上·安徽·阶段练习）下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 例题3：（24-25高一下·全国·课后作业）从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（    ） A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生 巩固训练 1．（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 2．（24-25高二上·吉林·阶段练习）若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（    ） A．事件是随机事件 B．事件是必然事件 C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件 3．（23-24高二下·河北石家庄·期末）下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 题型二 事件的包含关系　 例题1：（23-24高一下·天津和平·阶段练习）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2：（多选）（23-24高一下·山西大同）从分别写有、、、、以及、、、的张纸条中任意抽取两张，有如下随机事件： “恰有一张写有数字”，“恰有一张写有字母”，“至少有一张写有数字”，“两张都写有数字”，“至多有一张写有字母”. 下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（多选）（23-24高一下·贵州贵阳）抛掷一枚质地均匀的股子，定义以下事件：“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数大于3”，“点数为4”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·全国·专题练习）连续掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：为“3次正面向上”， 为“只有1次正面向上”， 为“至少有1次正面向上”，试判断事件之间的包含关系． 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球．设事件A：1个红球和2个白球，事件B：2个红球和1个白球，事件C：至少有1个红球，事件D：既有红球又有白球，则： (1)事件D与事件A，B是什么关系？ (2)事件C与事件A是什么关系？ 题型三 互斥事件、对立事件的判断 例题1：（24-25高二上·湖北·阶段练习）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生 C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 例题2：（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别是，则下列说法正确的是（　　） A．与是互斥事件，也是对立事件 B． 与是互斥事件，也是对立事件 C． 与是互斥事件，但不是对立事件 D．与是互斥事件，也是对立事件 例题3：（多选）（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件为（   ） A．恰有1件次品 B．至多有1件次品 C．至少有1件次品 D．都是正品 巩固训练 1．（24-25高三上·上海黄浦·期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25高三上·上海·开学考试）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 3．（23-24高一下·天津南开·期末）从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（    ） A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球 B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球 C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球 D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球 题型四 古典概型 例题1：（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知样本空间中有4个等可能的样本点，且，则（   ） A．1 B． C． D． 例题2：（24-25高二上·四川成都·期末）不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（    ） A． B． C． D． 例题3：（24-25高一上·四川自贡·开学考试）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： (1)本次共调查了_______名学生，并将条形统计图补充完整； (2)话剧组所对应扇形的圆心角为_______度； (3)书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的对法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 例题4：（24-25高一上·北京·期末）国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表： 空气质量指数 300以上 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 由全国重点城市环境监测网获得某年2月1日至2月5日甲城市和乙城市的空气质量指数数据，用茎叶图表示如下： (1)从甲城市的数据中任取2个，求其中恰有1个数据对应空气质量等级为良的概率； (2)从甲城市和乙城市的数据中分别取1个，求这2个数据对应空气质量等级相同的概率； (3)试根据上面的数据，判断甲，乙两市空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果） 巩固训练 1．（24-25高二上·广东茂名·期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，那么这2个球同色的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在某市的三次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组．第二组，……第六组，画出频率分布直方图如图所示， (1)估计该市学生这次测试成绩的第25百分位数； (2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（回一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)从两组中按分层抽样抽取5名学生，再随机抽取3名同学进行问卷测试，问3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间的概率． 3．（24-25高一上·北京·期末）一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． (1)求的值； (2)（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间； （ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率． 4．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计． 将成绩进行整理后，分为五组，，，，，制作如图所示的频率分布直方图，其中第二组的频数是第一组的频数的2倍． (1)根据这次成绩，学校准备淘汰70%的同学，仅保留30%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？(四舍五入精确到1分) (2)从样本数据在第四组和第五组这两个小组内的同学中，按比例分配分层随机抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率． 题型五　互斥事件的概率公式 例题1：（2024高二下·黑龙江·学业考试）已知事件与事件互斥，且，则（    ） A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 例题2：（24-25高二上·上海·阶段练习）事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ． 例题3：（23-24高二下·浙江·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则 ． 巩固训练 1．（24-25高二上·广东·期中）已知与是互斥事件，且，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9 2．（24-25高二上·上海浦东新·期末）已知，若A，B互斥，则 . 题型六 一般概率加法公式 例题1：（24-25高二上·安徽芜湖·阶段练习）假设，且A与B相互独立，则 （    ） A．0.38 B．0.7 C．0.3 D．0.58 例题2：（多选）（24-25高二上·湖北·阶段练习）随机事件满足，，，则有（   ） A． B． C．不是互斥事件 D．相互独立 例题3：（24-25高二上·山东淄博·期中）已知随机事件中，与相互独立，与对立，且，，则 . 巩固训练 1．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）根据气象资料统计，明天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期末）某学生参加两次英语高考，已知第一次超过130分的概率是0.5，第二次超过130分的概率是0.7，两次都超过130分的概率是0.3，则两次考试中至少有一次超过130分的概率为 ． 题型七 独立事件的判断 例题1：（2024·江西·模拟预测）有6个质地形状相同的球，分别标有数字，从中随机有放回的取两个球，每次取1个球．事件“第一次取出的球标的数字为奇数”，事件“第二次取出的球标的数字为偶数”，事件“两次取出的球标的数字之和为5”，事件“两次取出的球标的数字之和为6”，则（   ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与互斥 例题2：（24-25高一上·辽宁·期末）先后投掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次投掷的骰子朝上的数字为2”，表示事件“第二次投掷的骰子朝上的数字为6”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字之差的绝对值小于3”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字均为偶数”，则（   ） A．与相互独立B．与相互独立C．与相互独立 D．与相互独立 例题3：（24-25高二上·湖北·阶段练习）有6个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 例题4：（多选）（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）先后两次掷一个均匀的骰子，记事件：“两次掷出的点数之和是11”，记事件：“第二次掷出的点数是偶数”，记事件：“两次掷出的点数相同”，记事件：“至少出现一个奇数点”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与对立 巩固训练 1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现偶数点”，“第二枚出现奇数点”，则与的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 2．（24-25高二上·四川雅安·阶段练习）连续掷两次骰子，设先后得到的点数分别为m，n，A表示事件“”，B表示事件“n为偶数”，C表示事件“”，D表示事件“”，则不相互独立的事件是（   ） A．A与B B．A与D C．B与C D．B与D 3．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）现有两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球a、b，再将两个箱子的球混合后取出一个小球c，事件M：“小球为红色”，事件N：“小球b为白色”，事件P：“小球c为红色”，则下列说法正确的是（   ） A．M发生的概率为B．M与N互斥 C．M与N相互独立 D．P发生的概率为 4．（多选）（24-25高二上·黑龙江·期中）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取一个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是8”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（   ） A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 题型八 独立事件的乘法公式　 例题1：（河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题）已知事件相互独立，与分别为的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 例题2：（多选）（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）设，为两个随机事件，以下命题正确的是（    ） A．若与对立，则 B．若与互斥，，，则 C．数据，，，，，，，，，的分位数是7.8 D．若与相互独立，，， 例题3：（24-25高三上·上海金山·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中至多有一次正面朝上，若事件A与事件B是独立的，则n的值为 ． 巩固训练 1．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知是相互独立事件，且，则（   ） A．0.1 B．0.12 C．0.18 D．0.28 2．（多选）（24-25高二上·四川成都·期末）已知事件，事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若事件与事件互斥，则 B．若事件与事件相互独立，则 C．若事件发生时事件一定发生，则 D．若，则事件与事件相互独立 3．（24-25高二上·四川成都·期中）已知随机事件A，B，C，与相互独立，与对立，且，，则 . 题型九 随机模拟 例题1：（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412        451        312        531        224        344        151        254        424        142     435        414        135        432        123        233        314        232        353        442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（   ） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 例题2：（24-25高二上·四川·期中）盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为 . 巩固训练 1．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 2．（23-24高三下·重庆南岸·阶段练习）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了10组随机数： 7527          0293          7140          9857          0347 4373          8636          6947          1417          4698 根据以上数据估计射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 ． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$