2025年九年级中考数学复习训练圆专题：垂径定理的应用

2025年九年级中考数学复习训练圆专题： 垂径定理的应用 1．如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为，，，，求该平底烧瓶的高度． 2．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3.14，结果保留整数） 3．如图，是的直径，过点作的切线，点在右半圆上移动（点与点，不重合），过点作，垂足为；点在射线上移动（点在点的右边），且在移动过程中保持． (1)若，的延长线相交于点，判断是否存在点，使得点恰好在上？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由； (2)连接交于点，设，试问：的值是否随点的移动而变化？证明你的结论． 4．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为，拱门最下端． (1)求拱门最高点到地面的距离； (2)现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门． 5．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图，是水平放置的破裂管道有水部分的截面． (1)请找出截面的圆心O．（尺规作图不写画法，保留作图痕迹．） (2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为，求这个圆形截面的半径． 6．综合与实践【主题】足球最佳射门位置． 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大．如图1，_____.（用“”、“”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线l带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为A．若点M是上一个异于点A的动点，求证：当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点A为y轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点A的坐标． 7．丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径． 8．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． (1)作于点C，求的长； (2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 9．如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 10．高致病性禽流感是—种传染性极强的传染病． (1)养殖场有4万只鸡．假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？ (2)为防止禽流感蔓延，防疫部门规定：离疫点3千米范围内为捕杀区，所有的禽类全部捕杀；离疫点3~5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路通过禽流感病区．如图所示，O为疫点，到公路的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？（结果保留根号） 11．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，． (1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 12．如图，已知是的外接圆，，点为的中点，过作于，交于点，交于点．         (1)求证：； (2)如图，延长，交于点，连接． 求证：； 若，求的值．（用含的式子表示） 13．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，为圆上一点，于点，且米，则门洞的半径是多少？ 【分析】过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，由垂径定理得(米)，再证四边形是，则米，(米，设该圆的半径长为米，然后由题意列出方程或方程组，解方程(组)可得_米． 14．在同心圆中，大圆的弦交小圆于C，D两点． (1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为 ___________． (2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若，求证． 15．民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面． 经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为，把锅盖纵断面所在的圆记作．    (1)直接写出抛物线解析式和弧所在的半径； (2)锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度； (3)如果将底面直径，高度为的圆柱形器皿若干个叠加起来组成一个新的圆柱形器皿（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形器皿多少个？（直接写出答案） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级中考数学复习训练圆专题：垂径定理的应用》参考答案 1．该烧瓶的高度为． 【分析】本题考查的是垂径定理的应用．连接，，过点作，交于点，交于点，由垂径定理得出，的长，再根据勾股定理得出，的长，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接，，过点作，交于点，交于点， ， ， 平分，， ，， ，， 的半径为，， 在和中，， 由勾股定理得， ， 该烧瓶的高度为． 2．(1)喷泉的半径为5米 (2)大约需要安装25盏景观灯 【分析】本题考查垂径定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理，是解题的关键： （1）连接，设喷泉的半径为，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可； （2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：， ∴， ∵D是弦的中点， ∴平分弦，， ∴， ∴， ∴， ∴米； 答：喷泉的半径为5米； （2）解：由题意，得：米， （盏）； 答：大约需要安装25盏景观灯． 3．(1) (2)值不随点的移动而变化．证明见解析 【分析】（1）当点在上时，设与交于点，证明，即可得到； （2）由于是右半圆上的任意一点，且，由两直线平行，同位角相等知，由是的切线，由切线的性质知，，已知中有，即，得到，，又有，，故由，可知，又因为，则即得到，即，所以有，即值不随点的移动而变化． 【详解】（1）解：当点在上时，设与交于点， ∵， ． ∵， ． ． 又，， 即， ． （2）值不随点的移动而变化．理由是： ∵是右半圆上的任意一点，且， ． ∵是的切线， ． 又∵， ． ． ． ． 又∵，， ． ． 又∵， 即． 即． ． 即值不随点的移动而变化． 【点睛】本题利用了切线的性质，垂径定理、平行线的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形和全等三角形的判定和性质是关键． 4．(1)拱门最高点到地面的距离为 (2)工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键． （1）设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接，由垂径定理可得，则由勾股定理可得的长，据此求出的长即可得到答案； （2）设弦，且，连接，同理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图②中，设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接， ∵，经过圆心O， ∴， ∴， ∴， ∴拱门最高点到地面的距离为； （2）解：如图，设弦，且，连接． ∵，经过圆心O， ∴， ∴， ∴， 答：工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门． 5．(1)见解析； (2)这个圆形截面的半径 【分析】此题考查了作图-应用与设计作图，垂径定理的应用和勾股定理． （1）任取一条弦，分别作，的垂直平分线交点即为圆心，根据尺规作图的步骤和方法做出图即可； （2）连接，交于点E，交弧于点D，利用垂径定理求出，设半径为，则，再根据勾股定理列方程计算即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求， （2）解：如图，连接，交于点E，交弧于点D， ∴， 由题意得，， 设半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴这个圆形截面的半径． 6．[素材]：；[实践探索]：见解析；[迁移应用]： 【分析】[素材]利用圆周角定理和三角形外角的性质解答即可； [实践探索]同理可得结论； [迁移应用]如图3，以为弦作，过点M作于N，连接，由[实践探索]可知：当与y轴相切， 且切点为A时，最大，此时，由勾股定理和坐标与图形的性质即可解答． 【详解】[素材] 解：如图1，设交圆于点C，连接， ∵， ∴； [实践探索] 证明：如图2，设交于C， ∵， ∴， ∵线段为弦作，恰与直线l相切，切点为A， 即当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，此时； [迁移应用] 解：如图3，以为弦作，过点M作于N，连接， 由[实践探索]可知：当与y轴相切，且切点为A时，最大，此时， ∵点，点， . ∴， ∴.， ∵ ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得：， ∴点A的坐标为． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，三角形的外角的性质，圆的切线的性质，勾股定理，矩形的判 定与性质，利用圆周角定理构建圆内角是解决此类问题常添加的辅助线． 7．该圆形工件的半径． 【分析】此题考查了垂径定理的应用．根据线段垂直平分线段，得出，连接，则，再设的半径为，可得，然后解方程即可． 【详解】解：圆心落在上，平分， 线段垂直平分线段， 、、三点所在圆的圆心在上， ， 连接，则， 设的半径为， ， ， ， 解得：， 该圆形工件的半径． 8．(1)的长 (2)此时水面截线减少了 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键． （1）如图1：连接，由圆的性质可得，再利用垂径定理得出，再运用勾股定理计算即可解答； （2）如图2：过点O作，垂足为点D，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出，最后与相减即可解答． 【详解】（1）解：如图1：连接， ∵， ∴                  ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴的长． （2）解：如图2：过点O作，垂足为点D，连接，   ∴ 由题意可知： 在中，根据勾股定理得：， ∴ ，解得：， ∴，   ∴， ∴此时水面截线减少了． 9．(1)这座石拱桥主桥拱的半径为 (2)此渔船不能顺利通过这座桥 【分析】本题主题考查圆的基础知识，勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运用是解题的关键． （1）根据垂径定理可得，，，设主桥拱半径为，可得，根据勾股定理即可求解； （2）如图，设为该渔船的上端，连接，根据题意可求出的值，根据勾股定理可求出的值，再与矩形船的宽比较，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设主桥拱半径为，由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得，， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． （2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下， 如图，设为该渔船的上端，连接， ∵，船舱顶部为长方形并高出水面， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此渔船不能顺利通过这座桥． 10．(1)第四天共有只鸡得了禽流感；到第六天所有鸡都会被感染； (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，数字类的规律探索： （1）根据题意可得规律第n天新增只病鸡，据此求出第四天，第五天，第六天得了禽流感的鸡的数量即可得到答案； （2）过点O作于E，利用勾股定理求出，再利用垂径定理求出的值即可． 【详解】（1）解：第一天新增1只病鸡， 第二天新增10只病鸡， 第三天新增100只病鸡， ……， 以此类推，可知，第n天新增只病鸡， ∴第四天共有只鸡得了禽流感； 到第五天得禽流感病鸡数为只 到第六天得禽流感病鸡数为， ∴到第六天所有鸡都会被感染； （2）解：如图所示，过点O作于E， 由题意得，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得 ， 由垂径定理可得， ∴， ∴这条公路在该免疫区内有． 11．(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理的内容和正确作出辅助线是解题的关键． （1）由题意作出图形，由垂径定理和勾股定理即可得出答案； （2）作出垂径，由垂径定理和勾股定理可得出弦长，根据题意即可得出答案． 【详解】（1）解：， 如图，连接， 为圆心，，， ， ， ， 在中， ， ， 的长为； （2）过作，连接， 由题得，， 在中，， ， ， 水面截线减少了． 12．(1)证明见解析； (2)证明见解析；． 【分析】（）利用圆周角定理和垂径定理即可求解； （）由是的直径得出，则，从而可证，，根据性质可以得出，再证，，即可求证； 过作于，证明和，则，则，由，得，从而求解； 此题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵点为的中点， ∴， ∴， ∵，为直径， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴ ∴ ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即， ∴； 过作于， ∵， ∴， ∵作于，于， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．门洞的半径长为米 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用等知识；过作于，过作于，由垂径定理得米，再证四边形是矩形，则米，米，设该圆的半径长为米，然后由题意列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：过作于，过作于，如图所示：    则米，， ， ， 四边形是矩形， 米，米， 设该圆的半径长为米， 根据题意得， 解得： 即门洞的半径长为米， 14．(1)4 (2)见解析 【分析】（1）连接，，过点作，则为，的中点，得出，，根据勾股定理即可求出的长； （2）过作，作，垂足分别为、，得出，，，，连接、、、，通过证明和，即可得证． 【详解】（1）连接，，过点作，则为，的中点， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）过作，作，垂足分别为、， ∴，，，， 又∵， ∴， 连接、、、，    在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解此类题的关键． 15．(1)抛物线为：；的半径 (2) (3)6 【分析】本题考查了二次函数的应用以及垂径定理，需要求出抛物线的解析式和的半径，采用数形结合的思想解题． （1）根据已知抛物线顶点为，且过，，根据已知抛物线顶点为，且过，，代入求出的值即可；借助图形由垂径定理求出弧所在的半径即可； （2）根据题意把代入（1）中抛物线的解析式，求出即可； （3）先在抛物线中求出时，的值，即的值，再借助图形在中，求出距轴的距离，即的值，再用，求出其整数值即可． 【详解】（1）解：根据已知抛物线顶点为，且过，， 设抛物线解析式为：， 将代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为， 如图，圆心为，连接、，   ， 设，则， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：， ， 解得：， 的半径为； （2）解：锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高， 水面距离锅沿的竖直高度为， 当时，， 解得：， 水面宽度为； （3）解：对于抛物线，如图所示：   ， 当时，， ； 对于，如图所示：   ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形器皿6个． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$