精品解析：内蒙古杭锦后旗奋斗中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

奋斗中学2024—2025学年第二学期期中考试 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个正确． 1. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 由1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数有（ ） A. 个 B. 个 C. 60个 D. 10个 3. 从学校到图书馆要经过一个十字路口和一个公交站，从学校到十字路口有 3 条路可走，从十字路口到公交站有 2 条路可走，从公交站到图书馆有 4 条路可走.那么从学校到图书馆不同的走法共有（ ） A. 9 种 B. 24 种 C. 12 种 D. 20 种 4. 今天是星期五，天以后是星期（ ） A. 一 B. 日 C. 五 D. 六 5. 勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为（ ） A. 120 B. 240 C. 300 D. 320 6. 的展开式中的系数为（ ） A. －80 B. －100 C. 100 D. 80 7. 将6本不同的书（包括1本物理书和1本历史书）平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 8. 若函数在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．选对全部答案得6分，选错不得分，部分选对得部分分． 9. 口袋中装有6个白球和8个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，下列说法正确的有（ ） A. 恰好是白球、红球各一个的取法有48种 B. 恰好是两个白球的取法有30种 C. 至少有一个白球的取法有63种 D. 两球的颜色相同的取法有43种 10. （多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ） 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 A. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想： B. C. 第7行中从左到右第5个数与第6个数的比为 D. 由“第n行所有数之和为2”猜想： 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数与轴有两个不同的交点 B. 函数既存在最大值又存在最小值 C. 若当时，，则的最大值为 D. 若方程有1个实根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从二项式的展开式中随机抽取一项，则该项的系数是奇数的概率为___________． 13. 从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A， B， C， D四项不同的工作，每人承担一项.若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有_____种. 14. 曲线上的点到直线的最短距离是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知二项式，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题： （1）求的值； （2）设，求展开式中所有奇数项的系数和． 条件①：只有第项的二项式系数最大； 条件②：第项与第项的二项式系数相等； 条件③：所有二项式系数的和为． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 已知函数 的图象在点处的切线方程是 （1）求函数的解析式; （2）求函数的单调区间与极值. 17. 某校学生文艺部有男生4人，女生2人 （1）若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ （2）若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动， ①求男生甲被选中的概率； ②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 18. 在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍，求： （1）的值及展开式中的常数项； （2）展开式中含项的系数； （3）展开式中第几项系数绝对值最大，请说明理由． 19. 已知函数，，，． （1）求的单调区间； （2）若的最大值为1，证明：对任意的，； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奋斗中学2024—2025学年第二学期期中考试 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个正确． 1. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】由，可得． 故选：A. 2. 由1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数有（ ） A. 个 B. 个 C. 60个 D. 10个 【答案】C 【解析】 【分析】结合排列数的概念，利用排列数运算求解即可. 【详解】根据排列数的概念可知，由1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数有. 故选：C. 3. 从学校到图书馆要经过一个十字路口和一个公交站，从学校到十字路口有 3 条路可走，从十字路口到公交站有 2 条路可走，从公交站到图书馆有 4 条路可走.那么从学校到图书馆不同的走法共有（ ） A. 9 种 B. 24 种 C. 12 种 D. 20 种 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理即可求得. 【详解】利用分步乘法计数原理可得，从学校到图书馆不同的走法共有种. 故选：B 4. 今天是星期五，天以后是星期（ ） A. 一 B. 日 C. 五 D. 六 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式求出除以7的余数为1可得所求结果. 【详解】因为 故除以7的余数为1，故今天是星期五，天以后是星期六. 故选：D. 5. 勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为（ ） A. 120 B. 240 C. 300 D. 320 【答案】D 【解析】 【分析】通过先确定中间的涂色情况，再依次确定其他部分的涂色情况，利用分步乘法原理计算总方案数. 【详解】先涂中间，有5种选色，再逐个涂旁边部分，都有4种选色.由分步乘法计数原理得不同的涂色方案种数为. 故选：D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. －80 B. －100 C. 100 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据两项相乘，将，用的通项特征即可由分配律求解. 【详解】由中含的项为，中含的项为，故的展开式中的项为 ，故系数为， 故选：B 7. 将6本不同的书（包括1本物理书和1本历史书）平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步乘法原理和分组分配方法求解. 【详解】第一步：把1本物理书和1本历史书分给两个人，1人一本，有种分配方法, 第二步：把剩下4本书平均的分给两个人，有种分配方法, 所以共有种分配方法， 故选:B. 8. 若函数在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将题意转化为在区间内有两个解，从而得到在区间内有两个解，设，，再根据的图象性质求解即可. 【详解】，因为函数在区间内存在2个极值点， 所以在区间内有两个解. 即在区间内有两个解. 设，，， 当时，，函数在上为增函数； 当时，，函数在上为减函数， 又，，，则，如图所示. 由图知，当且仅当时，函数与函数有两个交点， 此时即在区间内有两个解，故实数a的取值范围为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．选对全部答案得6分，选错不得分，部分选对得部分分． 9. 口袋中装有6个白球和8个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，下列说法正确的有（ ） A. 恰好是白球、红球各一个的取法有48种 B. 恰好是两个白球的取法有30种 C. 至少有一个白球的取法有63种 D. 两球的颜色相同的取法有43种 【答案】ACD 【解析】 【分析】由两个计数原理结合组合数逐个判断即可； 【详解】对于A：由分布乘法原理可知恰好是白球、红球各一个的取法有，正确； 对于B：恰好是两个白球的取法有：，错误； 对于C：至少有一个白球的取法有: ，正确； 对于D：两球的颜色相同的取法有，正确； 故选：ACD 10. （多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ） 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 A. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想： B. C. 第7行中从左到右第5个数与第6个数的比为 D. 由“第n行所有数之和为2”猜想： 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，根据组合数的性质和杨辉三角的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由组合数组合数的性质知，在杨辉三角中，可得，所以A正确； 对于B中，由组合数的性质可得 ，所以B正确； 对于C中，第7行从左到右第5个数与第6个数的比为，所以C错误； 对于D中，由组合数的性质得，所以D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数与轴有两个不同的交点 B. 函数既存在最大值又存在最小值 C. 若当时，，则的最大值为 D. 若方程有1个实根，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：令运算求解即可；对于B：利用导数求单调性和最值；对于C：根据选项B的最值即可得结果；对于D：方程有1个实根等价于与有1个不同交点，采用数形结合的方式可求得. 【详解】由题意可知：定义域为， 对于选项A：令，则，解得， 所以函数与轴有两个不同的交点，故A正确； 对于选项B：因为， 当时，；当时，； 可知在，上单调递减，在上单调递增； 则的极大值为，极小值为， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0， 可知函数有最小值，无最大值，故B错误； 对于选项C：因为函数有最小值， 若当时，，则， 所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：方程有1个实根等价于与有1个不同交点， 结合图象可知：，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从二项式的展开式中随机抽取一项，则该项的系数是奇数的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式，确定系数为奇数的项数，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】 ， 展开式共项，其中有项的系数为奇数，故所求概率为. 故答案为：. 13. 从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A， B， C， D四项不同的工作，每人承担一项.若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有_____种. 【答案】72 【解析】 【分析】从除了甲、乙之外的3人中选1人从事工作， 再在剩下的四人中选3人从事三项工作即可． 【详解】从除了甲、乙之外的3人中选1人从事工作，有种不同的方法； 再在剩下的四人中选3人从事三项工作，有种不同的方法， 根据分步计数原理，不同的工作分配方案共有种， 故答案为：72. 14. 曲线上的点到直线的最短距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用数形结合方法，结合指数函数的图象和利用导数研究切线，求得与已知直线平行的切线的切线坐标，进而得解. 【详解】，曲线在  处的切线斜率为 ， 对应切点，切线与直线  平行，如图所示. 此时距离最短. 曲线 上的点到直线的最短距离为, 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知二项式，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题： （1）求的值； （2）设，求展开式中所有奇数项的系数和． 条件①：只有第项的二项式系数最大； 条件②：第项与第项的二项式系数相等； 条件③：所有二项式系数的和为． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据所选条件及二项式系数的特征计算可得； （2）利用赋值法求得奇次项系数和. 【小问1详解】 若选①：只有第项的二项式系数最大，则展开式中共有项，所以； 若选②：第项与第项的二项式系数相等，即，所以； 若选③：所有二项式系数的和为，则，所以； 【小问2详解】 因为， 令得， 令得， 两式相加得，所以， 即展开式中所有奇数项的系数和为． 16. 已知函数 的图象在点处的切线方程是 （1）求函数的解析式; （2）求函数的单调区间与极值. 【答案】（1） （2）单调增区间为和，单调减区间为；极大值为 ，极小值° 【解析】 【分析】（1）先求出函数的导函数，由切线方程可得，，进而可求函数解析式； （2）求函数的导函数，令，，求得函数的单调区间，进而可求极值. 【小问1详解】 由题意可知， 由，则， 已知函数图像在处的切线方程是， 即， 所以， 解得， ∴的解析式为：， 综上所述，的解析式为； 【小问2详解】 由（1）可知，的解析式为 则 ， 令， 解得或， 令，解得 或， 则函数在和上单调递增 令，解得，则函数在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，；在处取得极小值，， 综上所述的单调增区间为和，的单调减区间为， 极大值为，极小值为. 17. 某校学生文艺部有男生4人，女生2人 （1）若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ （2）若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动， ①求男生甲被选中的概率； ②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 【答案】（1）480 （2）， 【解析】 【分析】（1）利用插空法求解； （2）①利用古典概型的概率公式求解；②利用条件概率公式求解. 【小问1详解】 先将4名男生全排列，形成5个空，再从5个空中选出2个位置排列2名女生， 所以2名女生互不相邻得排法有种. 【小问2详解】 ①设事件表示“男生甲被选中”，则. ②设事件表示“被选中的两人中必须一男一女”，事件表示“女生乙被选中”， 则，， 所以. 所以在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，女生乙被选中的概率为. 18. 在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍，求： （1）的值及展开式中的常数项； （2）展开式中含项的系数； （3）展开式中第几项系数绝对值最大，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的关系求解，然后根据二项式展开式的通项公式求得常数项即可. （2）根据二项式展开式的通项公式求得常数项即可. （3）设第项的系数的绝对值最大，列出不等式组，解出即可. 【小问1详解】 依题意，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍， 即，即，解得； 二项式展开式的通项公式为， 令，解得，故常数项为. 【小问2详解】 由（1）的通项公式，令得， 故含的项为，其系数为. 【小问3详解】 设第项的系数的绝对值最大， 则，即，解得且，则， 所以系数的绝对值最大值的项为第7项. 19. 已知函数，，，． （1）求的单调区间； （2）若的最大值为1，证明：对任意的，； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在单调递增，在单调递减 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分别令和，即可得到对应的增区间和减区间； （2）根据题意求出参数，构造函数，利用导数研究函数的最值即可证明； （3）构造函数，利用导数研究函数的最值进而列出不等式求解即可. 【小问1详解】 的定义域为，令得， 令得，令得， 在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 由（1）知，， ，要证，即证， 即证，即证， 构造函数，则， 令得，令得， 在单调递增，在单调递减， ，即恒成之，当且仅当时等号成立. ，，使得， 恒成立，故对于任意的，. 【小问3详解】 当时，，若恒式立, 即恒式立，即，即恒成立， 由（2）可知恒成立，当且仅当时等号成立， 令，则恒成立， 在单调递增， ，使得成立， ，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $