精品解析：上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

复旦大学附属中学2024学年第二学期 高一年级数学期中考试试卷（A卷） 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果. 1. 函数的最小正周期为________. 2. 设是虚数单位，若复数满足，则________. 3. 把化成的形式，则常数的值为___________. 4. 若，则________. 5. 在平面直角坐标系中，点，将绕原点逆时针旋转得到向量，则在上的投影向量的坐标是_____． 6. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的单调增区间为________. 7. 已知，是函数的最大值，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为________. 8. 已知圆的内接四边形的边长依次为、、、，则圆的面积为________. 9. 已知平面向量、、满足，且对任意实数都成立，则的最小值为________. 10. 已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为________. 11. 已知向量，，若存在、，使得，则实数的取值集合为________. 12. 若对于向量，存在与向量在同一平面上的单位向量、，使得，，则的最小值为________． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑. 13. 设 为非零向量，则 “存在 ，使得 ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 古希腊数学家帕普斯（Pappus，约A.D.290－A.D.350）利用如图所示的几何图形，由直观简洁地证明了当为锐角时的一个三角函数公式，这个公式是（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 某小区南门有条长120米、宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有20个长6米、宽2.5米的停车位（如矩形）.由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，某数学老师向小区物业提供了一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位（如图2所示）.若绿化带被压缩的宽度为3米，停车位相对道路倾斜的角度，其中.按照该老师的设计方案，该路段改造后的停车位比改造前增加的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 三、解答题： 17. 已知向量，. （1）当且时，求实数的值； （2）当，，求向量与的夹角. 18. 在平面直角坐标系中，角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点. （1）求的值； （2）若、为锐角，且，求的值. 19. 如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似”冰淇淋”般的凉爽感，已知，线段，弓形花园上一点，其中，设. （1）将线段、的长度、分别用含有的代数式表示出来； （2）现准备在点处修建喷泉，求点与点距离的最大值以及对应的的值. 20. 设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值； （3）在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求的最大值. 21. 设和都是定义域为的函数.若对任意的，均有，则称函数“三角优于”函数. （1）如果（为常数），且对于任意的实数，函数“三角优于”函数，求满足上述条件的函数的表达式（写出一个即可）； （2）试问：函数是否“三角优于”函数？请说明理由； （3）若、为常数，且使得函数“三角优于”函数，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复旦大学附属中学2024学年第二学期 高一年级数学期中考试试卷（A卷） 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果. 1. 函数的最小正周期为________. 【答案】 【解析】 【分析】由二倍角的正弦公式化简，再由周期公式得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 2. 设是虚数单位，若复数满足，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再判断其实部. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 3. 把化成的形式，则常数的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据辅助角公式可得，其中，进而求出. 【详解】由题意知， ， 其中，所以. 故答案为：. 4. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式求出，再由二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 5. 在平面直角坐标系中，点，将绕原点逆时针旋转得到向量，则在上的投影向量的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意作图，由投影向量的定义在图中表示，根据一次函数与模长公式，可得答案. 【详解】由题意，过作，垂足为，作图如下： 由题意可知，， 为在上的投影向量， 则，， 设直线的函数解析式为，代入，解得， 则可设，则，解得， 所以. 故答案为：. 6. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的单调增区间为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平移得出函数解析式，再由余弦函数的单调性得解. 【详解】由题意，， 令，解得， 所以函数的单调增区间为 故答案为： 7. 已知，是函数的最大值，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先从而求得及函数的最小正周期，再根据，可知的最小值为. 【详解】因为，所以，即， 且的最小正周期， 又存在实数、，对任意实数总有成立， ∴，， 的最小值为. 故答案为：. 8. 已知圆的内接四边形的边长依次为、、、，则圆的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】在和中分别利用余弦定理，再由，则，从而可求出的长，由正弦定理得出圆的半径即可. 【详解】因为四边形为圆内接四边形，所以， 所以， 因为、、、， 所以在中，由余弦定理得 , 在中，由余弦定理得 ， 所以，解得， 所以，， 因为，所以， 由正弦定理可知，所以圆的面积， 故答案为： 9. 已知平面向量、、满足，且对任意实数都成立，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】对于不等式，两边平方得到关于实数的不等式，进而得到，再结合向量的运算性质得到，最后利用绝对值三角不等式求解最值即可. 【详解】由，两边平方得， 又，且对任意实数恒成立， 即恒成立，故， 即，解得，即，且， 而，故， 则由绝对值三角不等式得. 故答案为： 10. 已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据两角和的正弦公式化简，依题意可得为的一个对称中心，即可求出的取值集合，再根据单调性求出的范围，即可得到的值，再一一检验即可. 【详解】因为， 由可得关于成中心对称，即为的一个对称中心， 又，所以，即，； 又函数在区间上是单调函数， 所以，解得， 所以或或， 当时，由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去； 当时，由，所以， 因为在上单调递减，所以在上单调递减，符合题意； 当时，由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去； 综上可得. 故答案为： 11. 已知向量，，若存在、，使得，则实数的取值集合为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，可得，计算可得，分类讨可求的值，可得结论. 【详解】因为，，， 所以， 整理得， 因为，所以， 所以，所以， 所以或 当时，可得，所以， 当时，可得，所以， 综上所述：实数的取值集合为. 故答案为：. 12. 若对于向量，存在与向量在同一平面上的单位向量、，使得，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则由题干条件可得，，利用三角换元及同角三角函数的关系及基本不等式即可求解. 【详解】设，则，， 不妨设，设， 则，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑. 13. 设 为非零向量，则 “存在 ，使得 ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线定理和平面向量的数量积的定义，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，存在正数，使得，所以，同向， 所以，即充分性是成立的； 反之，当非零向量夹角为锐角时，满足，而不成立，即必要性不成立， 所以“存在 ，使得 ” 是 “ ” 的充分不必要条件. 故选：A. 14. 古希腊数学家帕普斯（Pappus，约A.D.290－A.D.350）利用如图所示的几何图形，由直观简洁地证明了当为锐角时的一个三角函数公式，这个公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，在中，，在中，，在中，，可得结论. 【详解】在中，， 在中，， 在中，， 由, 所以. 故选：B. 15. 已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 因为，所以， 因为，所以， 不妨令，即，则，所以， 所以，， 所以的取值范围是. 故选：D 16. 某小区南门有条长120米、宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有20个长6米、宽2.5米的停车位（如矩形）.由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，某数学老师向小区物业提供了一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位（如图2所示）.若绿化带被压缩的宽度为3米，停车位相对道路倾斜的角度，其中.按照该老师的设计方案，该路段改造后的停车位比改造前增加的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】表达出各边长，得到，写出对偶式，计算出，，，设改造后停车位数量最大值为，作出辅助线，表达出顶点到线段距离为，得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，，， 故，故， ，， ，， 则， 即①， 设②， 式子得，解得， 当时，，解得， 因为，，不合要求； 当时，， 解得，满足要求，此时， 设改造后停车位数量最大值为，如图，过停车位顶点作的垂线，垂足为， 则顶点到线段距离为， 由图及题意可得，， 由（1）可得， 故， ，， 故， 由，解得，故取， 则该路段改造后的停车位比改造前增加个. 故选：B 三、解答题： 17. 已知向量，. （1）当且时，求实数的值； （2）当，，求向量与的夹角. 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示和数量积的坐标表示列出方程，解方程即可； （2）根据共线向量的坐标表示列出方程，解之可得，结合数量积的定义计算即可求解. 【小问1详解】 已知， 所以. 又因为，所以有， 所以，解得或. 由，可知. 【小问2详解】 因为，所以. 又，所以， 解得，所以. 所以， 因为，所以. 18. 在平面直角坐标系中，角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点. （1）求的值； （2）若、为锐角，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由任意角的三角函数定义求得的值，再利二倍角的正弦、余弦公式及两角和的正（余）弦公式即可求解； （2）先由，结合、的范围确定的范围，求得，再由利用两角差的余弦公式求值即可. 【小问1详解】 ∵角的终边经过点，∴， ∴， 所以， ∴， ， 所以； 【小问2详解】 因为，，所以， 若，则，与不符； ∴， 所以， 所以. 19. 如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似”冰淇淋”般的凉爽感，已知，线段，弓形花园上一点，其中，设. （1）将线段、的长度、分别用含有的代数式表示出来； （2）现准备在点处修建喷泉，求点与点距离的最大值以及对应的的值. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理可表示出； （2）在中，由余弦定理表示出，再结合的范围及正弦函数的性质可求出其最大值. 【小问1详解】 因为，， 所以，. 【小问2详解】 因为， 所以， 在中，由余弦定理易得， 因为，所以， 当，即时， 取最大值取最大值. 20. 设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值； （3）在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，将其两边平方后利用向量数量积的运算律计算即得； （2）利用（1）得到的模长公式，求得和，再计算，再将条件代入公式，列出方程，即可求出的值. （3）设出点用表示出，利用正弦定理，经过三角恒等变换，化简成正弦型函数，求得其最大值. 【小问1详解】 由可得， 则， 所以； 【小问2详解】 依题意，将代入（1）得到的模长公式即得，，， ， 因为与的夹角为，则由， 可得，解得. 【小问3详解】 依题意，设， 因为是的中点，则， 因为是的中点，则， 故 因为，， 则， 在中，由余弦定理得，即，代入上式可得， ， 在中，由正弦定理可得， 设，则， 于是 ， 其中为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则，即的最大值为. 21. 设和都是定义域为的函数.若对任意的，均有，则称函数“三角优于”函数. （1）如果（为常数），且对于任意的实数，函数“三角优于”函数，求满足上述条件的函数的表达式（写出一个即可）； （2）试问：函数是否“三角优于”函数？请说明理由； （3）若、为常数，且使得函数“三角优于”函数，证明：. 【答案】（1）（取法不唯一） （2）是，理由如下： 函数“三角优于”函数， 当且仅当对任意的，均有， 显然都是周期为的函数， 所以只需考虑时，不等式是否恒成立即可， 因为， 所以恒成立，即当时，恒成立， 故我们只需考虑当且时，不等式是否恒成立即可， 即只需考虑时，不等式是否恒成立即可， 设，此时，从而 问题转换成了不等式是否恒成立即可； 显然都是偶函数， 且时，满足， 故我们只需考虑不等式是否恒成立即可； 由三角函数线可知恒成立， 从而恒成立， 综上所述，对任意的，均有，即函数“三角优于”函数； （3） 若函数“三角优于”函数， 则当且仅当对任意的，均有， 显然都是周期为的函数， 所以当且仅当时，不等式恒成立， 显然都是偶函数， 所以当且仅当时，不等式恒成立， （i）当时，恒成立，这就要求； （ii）当时，恒成立，这就要求； 从而首先有， 其次时，不等式恒成立， 设，则 ， 所以在上的图象关于直线对称，在上的图象关于点对称， 当，若， 这就要求， 从而时，不等式恒成立， 当且仅当时，不等式恒成立， 若满足题意则也满足题意，所以不妨设所求的， 当时，， 要使得当时，恒成立，这就要求，从而， 而时，不等式恒成立， 当且仅当时，恒成立， 若满足题意则也满足题意，所以不妨设所求的， 当时，， 要使得当时，恒成立，这就要求，从而， 设，； 所以，，时，不等式恒成立等价于 不等式恒成立，其中， 即当时，不等式恒成立， 由辅助角公式可知使得， 而，这就要求 ，即. 【解析】 【分析】（1）根据新定义得到对任意的，均有，取即可，不妨让； （2）只需判断对任意的，不等式是否恒成立即可，通过不断分析得到了只需判断时，不等式是否恒成立即可，通过换元和奇偶性将问题转换为了不等式是否恒成立即可，利用结论即可得证. （3）通过周期性，奇偶性、对称性分析得知当且仅当时，恒成立即可，进一步分析有，，恒成立，其中，结合辅助角公式即可得证. 【小问1详解】 若函数“三角优于”函数， 则当且仅当对任意的，均有，注意到恒成立， 故只需让即可，从而只需， 所以取（取法不唯一）即可满足题意； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $