第六章 统计 章末小结课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第六章 统计 第六章章末小结 1 知识导图 2 题型 1 抽样方法 例1 已知某疫苗由，， 三家生物公司同时生产，且这三家公司分别生产了250万 支、200万支、160万支.为了解它们生产的疫苗的质量，用分层随机抽样的方法抽取了 一个容量为的样本进行检测，其中从公司生产的疫苗中抽取了200支，则 ( ) . C A.460 B.510 C.610 D.720 [解析] 由题意及分层随机抽样知，，解得 . 题型探究 3 解决分层随机抽样问题的步骤：（1）确定抽样比；（2）求某一层的样本数或 总体个数；（3）求各层的样本数.解题过程渗透了数学运算的核心素养. 题型探究 4 题型 2 用样本的频率分布估计总体 例2 [2021年全国甲卷] 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调 查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 题型探究 5 根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是( ) . C A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为 B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为 C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 题型探究 6 [解析] 因为频率分布直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率，则样本 频率分布直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于 4.5万元的农户的比率估计值为 ，故A正确；该地农户家庭年收 入不低于10.5万元的农户比率估计值为 ，故B正确；该地 农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比率估计值为 ，故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为 （万元），超过6.5万元，故C错误.故选C. 题型探究 7 本题考查利用样本频率分布直方图估计总体频率和平均值，解题过程渗透了数 据分析、数学运算的核心素养.样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值 的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的 估计值.注意各组的频率等于 组距. 题型探究 8 题型 3 利用样本的百分位数估计总体的百分位数 例3 一家保险公司决定对推销员实行目标管理，即给推销员确定一个具体的销售目 标．确定的销售目标是否合适，直接影响到公司的经济效益．如果目标定得过高，多 数推销员完不成任务，会使推销员失去信心；如果目标定得太低，将不利于挖掘推销 员的工作潜力．下列一组数据是部分推销员的月销售额（单位：千元）． 题型探究 9 请根据这组样本数据提出使 的职工能够完成销售指标的建议． 题型探究 [解析] 将这50个样本数据从小到大排序，可得 要使的职工能够完成销售指标，则 的职工不能完成销售指标．由 ，可知这组数据的分位数为，故为使 的职工能够完成销售 指标，该保险公司可将月销售额定为17.52千元． 题型探究 11 计算百分位数的方法：若给出的是具体数，则先把所给数据，按由小到大排序， 然后根据百分数的计算公式计算；若给出的是频率分布直方图或频率分布表，则可类 比中位数的计算方法计算． 题型探究 12 题型 4 用样本的数字特征估计总体的数字特征 例4 [2021年全国乙卷] 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品 的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品 该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和 ，样本方差分别记为 和 . 题型探究 13 （1）求，，， ； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 如果 ，那么认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高， 否则不认为有显著提高 . 题型探究 14 [解析] （1） ， ， ， . 题型探究 15 （2）依题意， ， ， 所以 ， 所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 题型探究 16 样本的数字特征分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的特征数，例如平 均数；另一类是反映样本数据波动大小的特征数，例如极差、方差和标准差．通常我 们用样本的平均数和方差（标准差）来近似代替总体的平均数和方差（标准差），从 而实现对总体的估计． 题型探究 17 统计中的数学文化 数学文化是国家文化素质教育的重要组成部分，纵观近几年高考，统计部分以数 学文化为背景的问题层出不穷，让人耳目一新. 拓展延伸 18 一、以古代文化经典为背景 例1 中国古代数学专著《算法统宗》中有这样的记载：毛诗春秋周易书，九十四册共 无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本.意思为：现有《毛诗》 《春秋》《周易》3种书共94册，若干人读这些书，要求每个人都要读到这3种书，若 3人共读一本《毛诗》，4人共读一本《春秋》，5人共读一本《周易》，则刚好没有 剩余.现要用分层随机抽样的方法从中抽取47册，则要从《毛诗》中抽取的册数为 ( ) . D A.12 B.14 C.18 D.20 拓展延伸 19 [解析] 设《毛诗》有册，《春秋》有册，《周易》有册，学生人数为 ， 则解得 因此，用分层随机抽样的方法从中抽取47册，要从《毛诗》中抽取的册数为 .故选D. 拓展延伸 20 点评 本题以古代数学文化为背景，考查分层随机抽样，背景新颖. 拓展延伸 21 二、以传统文化为背景 例2 佩带香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、 开窍的功效.经研究发现，一批香囊中草药甲的含量（单位：克）与香囊功效 之间满 足 ，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均值为6 克，香囊功效的平均值为15，则这6个香囊中草药甲含量的标准差为( ) . B A.克 B.克 C. 克 D.15克 拓展延伸 22 [解析] 设抽取的6个香囊中草药甲的含量分别为 克，香囊功效分别为 ，因为草药甲的含量的平均值为6克，香囊功效的平均值为15，即 ，，则有 ， 则这6个香囊中草药甲含量的方差 ， 所以这6个香囊中草药甲含量的标准差为 克，故选B. 拓展延伸 23 点评 本题以端午节的传统习俗为背景，考查标准差，渗透了数学文化素养. 拓展延伸 24 三、以新时代气息为背景 例3 把成立时间少于10年,估值超过10亿美元且未上市的企业，称为独角兽企业.2021 年中国新经济独角兽企业分布较广泛、覆盖居民生活的各个方面.下图是2021年中国新 经济独角兽企业的行业分布图，在中国新经济独角兽企业 榜单中，京、 沪、粤三地的企业数量共同占比达到 .下列说法错误的是( ) . 拓展延伸 25 A.随着智能出行与共享经济观念的普及，汽车交通行业备受投资者关注 B.这12个行业 榜单中独角兽企业数量的中位数是17 C.中国新经济独角兽企业 榜单中，京、沪、粤三地的企业超过130家 D.2021年中国新经济独角兽企业 榜单中汽车交通、企业服务、文化娱乐的企 业数量共同占比超过 [解析] 由题图可知，独角兽企业 榜单中汽车交通行业数量最多，A正确； 将所给数据从小到大排列为8，8，12，13，16，17，17，18，18，19，25，29，中位 数为 ，B正确； 因为 ，所以C正确； 汽车交通、企业服务、文化娱乐共同占比 ，D错误. 故选D. √ 拓展延伸 26 点评 本题以新时代气息为背景考查中位数、频数等统计概念，渗透了数据分析的数 学素养. 拓展延伸 27 （限时：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的） 1.总体由编号为01，02， ，29，30的30个个体组成，现从中抽取一个容量为6的样 本，若从随机数表第1行第5列开始，向右读取，则选出来的第5个个体的编号为 ( ) . 70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 03 56 62 18 37 35 96 83 50 87 75 97 12 55 93 A A.03 B.12 C.13 D.26 综合测试 28 [解析] 根据随机数法的规则，依次得到的数为17，12，13，26，03，则第5个个体的 编号为03. 综合测试 29 2.为了了解全市学生对某电影的评价，决定从全市所有学校中选取3所学校按学生人数 用分层随机抽样的方法抽取一个样本，若3所学校的学生人数之比为 ，且在学生 人数最少的一个学校抽出了120人，则样本容量为( ) . B A.560 B.540 C.450 D.400 [解析] 设样本容量为，则，解得 ，所以样本容量为540. 综合测试 30 3.某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复 赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分 的具有复赛资格.某校有800名学生参加了初 赛，所有学生的成绩均在区间 内， 其频率分布直方图如图所示，则获得复赛资 格的人数为( ) . B A.640 B.520 C.280 D.240 [解析] 由频率分布直方图得到初赛成绩大于90分的频率为 ， 故获得复赛资格的人数为 . 综合测试 31 4.为了更好地了解高中学生的身高发育情况，现抽取某中学高一年级的学生作为样本， 其中某班的24位男生身高单位： 由低到高排序情况如下：164，165，165，166， 167，168，168，169，170，170，171，171，172，172，172，173，174，175，175， 176，176，177，177，178，则这24个数据的中位数、众数，以及预估该班男生的 分位数分别为( ) . C A.171，170， B.171，170，169 C. ，172，169 D.172，172，169 [解析] 这24个数据的中位数为 ，众数为172， ， 分位数为第8个数169.故选C. 综合测试 32 5.（原创）有一组容量为200的数据，分组后的频率分布表如下： 分组 频率 0.1 0.4 0.2 若，则区间 内数据的个数为( ) . B A.45 B.40 C.48 D.56 [解析] 由，且,解得 ,所以区间 内数据的个数为 . 综合测试 33 6.若数据，， ，的平均数，方差，则数据， ， ， 的平均数和方差分别为( ) . D A.6，6 B.9，2 C.9，6 D.9，4 [解析] 因为数据，， ，的平均数 ， 所以数据，， ，的平均数为 . 因为数据，， ，的方差 ， 所以数据，， ，的方差为 . 故选D. 综合测试 34 7.粮食安天下安，粮食生产是保障国家安全的重器，只有立足自身才能确保粮食产品 安全稳定，以袁隆平、李振声、李登海为代表的农业科学家一次次地把我国的粮食生 产提升到新的高度.某试验农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续 6年的年平均产量如下表单位： ： 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年 甲 900 920 900 850 910 920 乙 900 960 950 860 860 900 综合测试 35 根据上述试验结果，下列说法正确的是( ) . D A.甲种水稻年平均产量高并且产量稳定 B.甲种水稻年平均产量高但是乙种水稻产量稳定 C.乙种水稻年平均产量高并且产量稳定 D.乙种水稻年平均产量高但是甲种水稻产量稳定 综合测试 36 [解析] 根据平均值的计算公式和方差计算公式， 得 ， ， ， ， 因为 ，所以乙种水稻平均产量高， 又因为 ， 所以甲种水稻产量稳定.故选D. 综合测试 37 8.某单位组织开展“党史知识竞赛”活动，现把100名人员的成绩（单位：分）绘制成频 率分布直方图，则下列各选项正确的是( ) . C A. B.估计这100名人员成绩的中位数为75分 C.估计这100名人员成绩的平均数为76.2分 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） D.若成绩在 内为优秀，则这100名人员中 成绩优秀的有50人 综合测试 38 [解析] 由频率分布直方图可得 ，所 以 ，故A错误. 因为前3组的频率之和为 ，前4组的频率之和为 ，所以中位数在内，设中位数为 分，则，所以 ，故B错误. 由频率分布直方图可估计平均数为 （分），故C正确. 因为成绩在内的频率为 ，所以这100名人员中成绩优秀的有40人，故D错误. 故选C. 综合测试 39 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分） 9.某市举办“口语易”英语口语竞赛，已知某选手的平均得分为8.5分，12位评委对其评 分具体如下（满分10分），，，，，，，，，， ， 10.则下列说法正确的是( ) . CD A. 分位数为9.1分 B.中位数为8.3分 C.极差为3分 D.去掉最高分和最低分，不会影响到这位选手的平均得分 综合测试 40 [解析] ， 分位数为第9个数和第10个数的平均数，即 （分）， 错误； 中位数为（分）， 错误； 极差为（分）， 正确； 没去掉最高分和最低分，平均分 分，去掉最高分和最低分，平均分 （分）， 正确. 综合测试 41 10.（改编）下列选项正确的是( ) . AC A.一组数据的平均数为 ，将这组数据中的每一个数都加2，所得的一组新数据的平均 数为 B.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 ,和,，若，则总体方差 C.已知一组样本数据，， ，，由 生成一组新的数据 ，， ， ，则这组新数据的中位数是原数据中位数的2倍 D.若两组数据的平均数分别为8，16，且这两组数据的总平均数是10，则这两组数据 的权重比值为2 综合测试 42 [解析] 将一组数据中的每一个数都加2，则新数据的平均数为原来数据的平均数加2， 故A正确；设两层样本权重分别为,，因为，所以总体平均数 ， 根据方差公式可得 ，不一 定等于 ，故B错误；根据中位数的定义，可知C正确；设两组数的权重分别 为,，则解得 所以这两组数据的权重比值为3，故D错误. 综合测试 43 11.某市环境部门对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若 一地区连续10天每天的空气质量指数均不大于100，则认为该地区的环境治理达标， 否则认为该地区的环境治理不达标.根据连续10天检测所得数据的数字特征推断，环境 治理一定达标的地区是( ) . AD A.甲地区：平均数为90，方差为10 B.乙地区：平均数为60，众数为50 C.丙地区：中位数为50，极差为70 D.丁地区：极差为20， 分位数为80 综合测试 44 [解析] 设每天的空气质量指数为，则方差 . 对于A，由，得 ，若这10天中有1天的空气质 量指数大于100，则必有 ，矛盾，所以这10天每天的空气质量指数 都不大于100，故A正确； 对于B，假设有8天为50，有1天为140，有1天为60，此时平均数为60，众数为50，但 该地区的环境治理不达标，故B错误； 对于C，假设第1天为120，后面9天为50，此时中位数为50，极差为70，但该地区的环 境治理不达标，故C错误； 对于D，若最大值大于100，根据极差为20，则最小值大于80，这与 分位数为80矛 盾，故最大值不大于100，故D正确.故选 . 综合测试 45 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.某校选修轮滑课的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人.现用分 层随机抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了4人， 则这个样本中共有____人. 14 [解析] 设这个样本中共有个人，则，解得 . 综合测试 46 13.某商场在庆元宵节促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分 布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为 ____万元. 10 [解析] 总销售额为（万元），故11时至12时的销售额为 （万元）. 综合测试 47 14.某地区甲、乙、丙三所学校的数学强基小组人数之比为 ，在一次统一考试中， 所有学生成绩的平均分为117，方差为21.5.已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生 的平均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校的数学强基小组学生成绩的 标准差是_____. [解析] 设丙学校数学强基小组学生成绩的平均数为，方差为 .甲、乙、丙三所学 校的数学强基小组人数之比为 ，根据总样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得，解得 ，所以 ， 解得,所以 . 综合测试 48 四、解答题（本题共5小题，共77分，第15题13分，第16~17题每题15分，第18 ~19题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量单位： 如下： ，，，，，，，，，，， . （1）分别求出这组数据的，， 分位数； （2）请你找出珍珠质量较小的前 的珍珠质量； （3）若用，， 分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品 和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准. 综合测试 49 [解析] （1）将所有数据从小到大排列，得，，，，，，， ， ，，， ， 因为共有12个数据，所以，， ， 则分位数是 ， 分位数是 ， 分位数是第12个数据，为9.9. （2）因为共有12个数据，所以，则 分位数是第2个数据，为7.9. 即产品质量较小的前的产品有2个，它们的质量分别为， . 综合测试 50 （3）由（1）可知样本数据的分位数是，分位数为， 分位数是 ， 所以质量小于或等于 的珍珠为次品， 质量大于且小于或等于 的珍珠为合格品， 质量大于且小于或等于的珍珠为优等品，质量大于 的珍珠为特优品. 综合测试 51 16.某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产 品，称其质量单位： ，分别记录抽查的数据如下. 甲：102，101，99，98，103，98，99. 乙：110，115，90，85，75，115，110. 试计算甲、乙两车间包装产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定. [解析] ， ， ， ， 由 ，得甲车间产品比较稳定. 综合测试 52 17.为了解某地区居民用水情况，通过随机抽样，获 得了100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将 数据按照,, , 分成5组，制成了如图所 示的频率分布直方图. （1）估计这100位居民月均用水量的平均数 和方差 .（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表， 结果保留2位小数） （2）根据以上抽样调查数据，能否认为该地区居民每人的月均用水量符合“月均用水 量超过3吨的人数不能超过全部人数的 ”的规定？ 综合测试 53 [解析] （1）估计这100位居民月均用水量的平均数 （吨）. 方差 . （2）样本中月均用水量超过3吨的人数占全部人数的百分比为 ， 认为该地区居民每人的月均用水量不符合“月均用水量超过3吨的人数不能超过全部 人数的 ”的规定. 综合测试 54 18.某校为了了解高一新生对物理和历史的选科情况，对1000名高一新生发放了选科调 查表，据统计知，有600名学生选择物理，400名学生选择历史.分别从选择物理和历史 的学生中各随机抽取20名学生某次测试的数学成绩得如下累计表： 分数段 物理人数 历史人数 ______ ___ ______ ______ ______ ____________ _______ ____________ ______ ______ ______ 综合测试 55 （1）从统计表分析选择历史和物理学生的 数学平均分及学生选择物理和历史的情况， 并绘制选择物理学生的数学成绩的频率分布 直方图； （2）根据你绘制的频率分布直方图，估计 意向选择物理的学生的数学成绩的中位数与 平均分.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 综合测试 56 [解析] （1）从统计表看出选择物理的学生 的数学平均成绩高于选择历史的学生的数 学平均成绩，反映了数学成绩对学生选择 物理和历史有一定的影响，频率分布直方 图如下： （2）由频率分布直方图知，选择物理的学 生数学成绩有小于或等于80分， 大于或等于80分，所以中位数为80分. 平均分为 （分）， 即估计选择物理的学生的数学成绩的平均分为79.5分. 综合测试 57 19.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉 称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者， 更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明 城市创建的认知，举办了“创建文明城市”知识竞赛， 从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成 绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成 , （1）求频率分布直方图中 的值并估计样本成绩的四分位数； （2）已知落在的平均成绩是65，方差是11，落在 的平均成绩为75，方 差是16，求这两组成绩的总平均数和总方差 . , ， 六组，得到如图所示的频率分布直方图. 综合测试 58 [解析] （1）利用小矩形的面积之和为1，可得 ，解得 . 四分位数分别为分位数，分位数， 分位数， 设分位数为分，则,解得 ； 设分位数为分,则,解得 ； 设分位数为分,则,解得 . 所以估计样本成绩的四分位数分别为65分，75分，84分. 综合测试 59 （2）由图可知，成绩在的市民人数为 ， 成绩在的市民人数为 ， 所以 分， . 综合测试 $$