第13讲 二次函数的图象与性质（讲义本）（PPT课件）-【中考2号】2025年中考数学复习讲练测（四川专用）

第13讲　二次函数的图象与性质 第三单元　函数 《中考2号》 2025四川数学 1 1 2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 3 课堂反馈·落实学业要求 目 录 2 依标扣本·掌握必备知识 考点综述 01 3 能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系 课标要求 1 二次函数的图象与性质 定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数 叫二次函数 图象与性质 二次函数的图象与a，b，c的关系 表达式求法 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 图象与性质 函数 y＝ax2 y＝ax2＋c y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 开口方向 a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下 增减性 a＞0⇔对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴右侧，y随x的增大而增大 a＜0⇔对称轴左侧，y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 图象与性质 对称轴 直线x＝0 (y轴) 直线x＝0 (y轴) 直线x＝h 直线x＝h 直线x＝－ 顶点 (0，0) (0，c) (h，0) (h，k) 最值 y最值＝0 y最值＝c y最值＝0 y最值＝k y最值＝ 图象 (a＞0) 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 二次函数的图象与a， b，c的关系 字母或 代数式 符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 |a|越大，开 口越② ______ a＜0 开口向①_____ b b＝0 对称轴为③________轴  ab＞0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧 下 小 y 简称“左同” 简称“右异” 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 二次函数的图象与a， b，c的关系 字母或代数式 符号 图象的特征 c c＝0 经过④________点  c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴⑤________半轴相交  特殊 关系 当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝⑥_________ 若a＋b＋c＞0，即当x＝1时，y＞0； 若a＋b＋c＜0，即当x＝1时，y⑦________0  原 负 a－b＋c ＜ 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 待定系数法：(1)设；(2)代；(3)解；(4)答 表达式求法 形式 一般式：y＝ax2＋bx＋c，适合已知三个点或三对x，y的值 顶点式：y＝a(x－h)2＋k，适合已知顶点，对称轴或最值 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，适合已知与x轴的交点坐标 平移变换 (1)抛物线y＝2x2向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度，得y＝2(x＋3)2＋1 (2)抛物线y＝2(x＋3)2＋1向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度，得y＝2(x＋3－4)2＋1－2，即y＝2(x－1)2－1 【提分点拨】平移变换的关键：(1)弄清哪个函数图象向哪个方向平移；(2)实质是点平移，重点关注顶点平移；(3)方法：左加右减，上加下减；(4)平移坐标轴与此方法相反. 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似值 课标要求 2 与方程、 不等式的关系 与方程的关系 与x轴有⑧________个交点⇔对应方程有两个不相等的实数根⇔Δ＞0  与x轴有⑨________个交点⇔对应方程有两个相等的实数根⇔ Δ⑩________0  与x轴没有交点⇔对应方程没有实数根⇔Δ⑪________0  2 1 ＝ ＜ 结合函数图象 分析取值范围 ax2＋bx＋c＞0解集⇔抛物线位于y轴上方对应点的横坐标的取值范围 ax2＋bx＋c＜0解集⇔抛物线位于y轴下方对应点的横坐标的取值范围 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 考点综述 02 11 (2024·贵州)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则下列说法正确的是 ( ) A.二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x<－1时，y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 命题点 二次函数的图象与性质(课标要求1) 1 例 1 D 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 12 ☞变式 (2024·泸州)已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为 ( ) A.1≤a< B.0<a< C.0<a< D.1≤a< A 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 (2024·乐山)已知二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)，当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是 ( ) A.0<t≤2 B.0<t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2 例 2 C 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 ☞变式1 已知二次函数y＝mx2－4m2x－3(m为常数，m≠0)，P(xP，yP)是该函数图象上一点，当0≤xP≤4时，yP≤－3，则m的取值范围是 ( ) A.m≥1或m<0 B.m≥1 C.m≤－1或m>0 D.m≤－1 A 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 ☞变式2 (2024·安徽)已知抛物线y＝－x2＋bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y＝－x2＋2x的顶点横坐标大1. (1)求b的值； 解:(1)∵抛物线y＝－x2＋bx的顶点横坐标为，抛物线y＝－x2＋2x的顶点横坐标为1，∴－1＝1.∴b＝4. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 (2)点A(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋2x上，点B(x1＋t，y1＋h)在抛物线y＝－x2＋bx上. (ⅰ)若h＝3t，且x1≥0，t>0，求h的值； (2)∵A(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋2x上， ∴y1＝－＋2x1. ∵B(x1＋t，y1＋h)在抛物线y＝－x2＋4x上， ∴y1＋h＝－(x1＋t)2＋4(x1＋t). ∴－＋2x1＋h＝－(x1＋t)2＋4(x1＋t). ∴h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 (ⅰ)∵h＝3t，∴3t＝－t2－2x1t＋2x1＋4t. ∴t(t＋2x1)＝t＋2x1. ∵x1≥0，t>0，∴t＋2x1>0.∴t＝1.∴h＝3. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 (2)点A(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋2x上，点B(x1＋t，y1＋h)在抛物线y＝－x2＋bx上. (ⅱ)若x1＝t－1，求h的最大值. (ⅱ)将x1＝t－1代入h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t， 得h＝－3t2＋8t－2＝－3(t－)2＋. ∵－3<0，∴当t＝，即x1＝时，h的最大值为. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 给定自变量取值范围的二次函数值的大小比较，其本质是比较自变量与对称轴的位置关系. 1.当抛物线开口向上时，自变量对应横坐标的点到对称轴的距离越远，函数值越大(如图①). 提 分 拨 点 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 20 2.当抛物线开口向下时，自变量对应横坐标的点到对称轴的距离越远，函数值越小(如图②). 3.若所给的自变量的取值范围含有参数，则在求最值时先要讨论抛物线对称轴的横坐标是否在自变量的取值范围内. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 21 (2024·眉山)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论:①bc<0；②3a＋2c<0；③ax2＋bx≥a＋b；④若－2<c<－1，则－<a＋b＋c<－，其中正确结论的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 命题点 二次函数的图象与系数的关系(课标要求1) 2 例 3 C 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 22 ☞变式 (2023·遂宁)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝－2.下列说法:①abc<0；②c－3a>0；③4a2－2ab≥at(at＋b)(t为全体实数)；④若图象上存在点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当m<x1<x2< m＋3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为－5<m<－2，其中正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 (2022·内江)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于两点(x1，0)，(2，0)，其中0<x1<1.下列四个结论:①abc<0；②a＋b＋c>0；③2a－c>0；④不等式ax2＋bx＋c>－x＋c的解集为0<x<x1.其中正确结论的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 命题点 二次函数与一元二次方程的关系(课标要求2) 3 例 4 C 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 24 ☞变式 (2024·烟台)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表: 下列结论:①abc>0；②关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有两个相等的实数根；③当－4<x<1时，y的取值范围为0<y<5；④若点(m，y1)，(－m－2，y2)均在二次函数图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2＋(b＋1)x＋c< 2的x的取值范围是x<－2或x>3.其中正确结论的序号为　 　. x －4 －3 －1 1 5 y 0 5 9 5 －27 ①②④ 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 课堂反馈·落实学业要求 考点综述 03 四川中考夯实力 1.(2024·内江)已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，则y1　 　y2(填“>”或“<”).  < 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 2.(2023·眉山)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，对称轴为直线x＝－1，下列四个结论: ①abc<0；②4a－2b＋c<0；③3a＋c＝0； ④当－3<x<1时，ax2＋bx＋c<0. 其中正确结论的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 D 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 3.(2024·自贡)一次函数y＝x－2n＋4、二次函数y＝x2＋(n－1)x－3、反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象如图所示，则n的取值范围是 ( ) A.n>－1 B.n>2 C.－1<n<1 D.1<n<2 C 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 4.(2024·眉山)定义运算:a⊗b＝(a＋2b)(a－b)，例如4⊗3＝(4＋2×3)× (4－3)，则函数y＝(x＋1)⊗2的最小值为 ( ) A.－21 B.－9 C.－7 D.－5 B 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 5.(2023·自贡)经过A(2－3b，m)，B(4b＋c－1，m)两点的抛物线y＝ －x2＋bx－b2＋2c(x为自变量)与x轴有交点，则线段AB的长为 ( ) A.10 B.12 C.13 D.15 B 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 6.(2024·广西)课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y＝x2＋2ax＋a－3的最值问题展开探究. 【经典回顾】二次函数求最值的方法. (1)老师给出a＝－4，求二次函数y＝x2＋2ax＋a－3的最小值. ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 全国中考新视野 解:(1)①当a＝－4时，y＝x2＋2ax＋a－3＝x2－8x－7. ②当x＝－＝4时，y最小＝16－32－7＝－23. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值.记录结果，并整理成如表: a … －4 －2 0 2 4 … x … * 2 0 －2 －4 … y的最小值 … * －9 －3 －5 －15 … 注:*为②的计算结果. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 【探究发现】老师:“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.” 甲同学:“我发现，老师给了a值后，我们只要取x＝－a，就能得到y的最小值.” 乙同学:“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值.” 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 (2)请结合函数解析式y＝x2＋2ax＋a－3，解释甲同学的说法是否合理? (2)合理.∵1>0，∴函数有最小值. 当x＝－＝－a时，y取得最小值. 故甲同学的说法合理. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 (3)你认为乙同学的猜想是否正确?若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由. (3)正确.当x＝－a时， y＝x2＋2ax＋a－3＝－a2＋a－3. ∵－1<0，∴y有最大值. 当a＝时，y最大＝－－3＝－. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 请完成《练测本》P26~27素养综合练测13 本讲内容结束 $$