第12讲 反比例函数的图象与性质（讲义本）（PPT课件）-【中考2号】2025年中考数学复习讲练测（四川专用）

第12讲　反比例函数的图象与性质 第三单元　函数 《中考2号》 2025四川数学 1 1 2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 3 课堂反馈·落实学业要求 目 录 2 依标扣本·掌握必备知识 考点综述 01 3 能画反比例函数的图象，根据图象和表达式y＝(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时图象的变化情况 课标要求 1 反比例函数的图象与性质 图象与性质 k 的几何意义 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 图象与性质 表达式 y＝(k≠0)，y＝kx－1，xy＝k k的符号 k＞0 k＜0 图象(双曲线) 渐近性 图象与坐标轴无限接近，但永不与坐标轴相交 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 图象与性质 增减性 在每一象限内(x＞0或x ＜0)，y随x的增大而 ①______ 在每一象限内(x＞0或x＜0)， y随x的增大而② ______ 对称性 关于直线y＝x，y＝－x成轴对称，也关于原点成中心对称 面积不变 过图象上任一点作两坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴所围成矩形的面积不变，恒为|k|，S△＝|k| 画法 (五点法) 在一个象限内取五个点，用平滑的曲线连接起来，再由对称性画出另一支 减小  增大 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 如图，过反比例函数图象上任一点P(x，y)分别作x轴、y轴 的垂线PM，PN，所得矩形PMON的面积S＝|xy|＝③______，  同理可得S△POM＝S△PON＝S△PMN＝S△OMN＝|xy|＝|k| k 的几何意义 |k| 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 课标要求 2 能根据已知条件确定反比例函数的表达式 待定系 数法 (1)设反比例函数的表达式为y＝(k≠0)；(2)找出反比例函数图象上的一点P(a，b)； (3)将点P(a，b)代入表达式得k＝ab；(4)确定反比例函数的表达式为y＝ 利用k的 几何意义 当已知面积时，可考虑用k的几何意义.由面积得|k|值，再结合图象所在象限判断k的正负，从而得出k值，代入表达式即可 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 考点综述 02 9 近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视镜片的焦距为0.2 m，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是 　 　.  ☞变式 (2024·湖南)在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即f＝(k为常数，k≠0).若某乐器的弦长l为0.9 m，振动频率f为200 Hz，则k的值为　 　.　  命题点 反比例函数的表达式(课标要求2) 1 例 1 y＝ 180 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 10 (2021·广安)若点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)都在反比例函数y＝(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ( ) A.y3<y1<y2 B.y2<y1<y3 C.y1<y2<y3 D.y3<y2<y1 命题点 反比例函数的图象与性质(课标要求1) 2 例 2 A 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 11 ☞变式 (2024·滨州)点M(x1，y1)和点N(x2，y2)在反比例函数y＝ (k为常数)的图象上，若x1<0<x2，则y1，y2，0的大小关系为 ( ) A.y1<y2<0 B.y1>y2>0 C.y1<0<y2 　 D.y1>0>y2 C 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 (2024·齐齐哈尔)如图，反比例函数y＝(x<0)的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B(－1，3)，S▱ABCO＝3，则实数k的值为　 　.  命题点 k 的几何意义(课标要求1，2) 3 例 3 －6 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 13 ☞变式 (2022·内江)如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P，Q两点.若S△POQ＝15，则k的值为 ( ) A.38 B.22 C.－7 D.－22 D 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 (2024·内江)如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－2，3)，点B的坐标为(3，n). 命题点 一次函数与反比例函数的综合(课标要求1，2) 4 例 4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 15 (1)求这两个函数的表达式； 解:(1)∵一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(－2，3)，B(3，n)两点， ∴k＝－2×3＝3×n.∴k＝－6，n＝－2. ∴反比例函数的表达式为y＝－. ∵A(－2，3)，B(3，－2)在一次函数y＝ax＋b的图象上， ∴解得∴一次函数的表达式为y＝－x＋1. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 (2)根据图象，直接写出关于x的不等式ax＋b<的解集. (2)由图象可知，关于x的不等式ax＋b<的解集为－2<x<0或x>3. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 对于反比例函数、一次函数和不等式的综合问题: (1)联立反比例函数和一次函数的表达式，解方程组求得反比例函数和一次函数图象的交点坐标； (2)结合函数图象确定相关不等式的解集. 提 分 拨 点 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 18 ☞变式 (2024·广元)如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx＋n的图象相交于A(－3，a)，B(a＋，－2)两点，O为坐标原点，连接OA，OB. (1)求y1＝与y2＝mx＋n的表达式； 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 解:(1)由题意知k＝－3a＝－2(a＋)，解得a＝3. ∴点A(－3，3)，B(，－2). ∴k＝－3×3＝－9.∴y1＝－. 把A(－3，3)，B(，－2)代入y＝mx＋n，得 解得∴y2＝－x＋1. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 (2)当y1>y2时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； (2)观察图象可知，当y1>y2时，自变量x的取值范围为－3<x<0或x>. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 (3)求△AOB的面积. (3)若AB与y轴相交于点C，则C(0，1). ∴S△AOB＝S△BOC＋S△AOC ＝OC(xB－xA) ＝×1×(＋3) ＝. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 课堂反馈·落实学业要求 考点综述 03 四川中考夯实力 1.(2022·德阳)一次函数y＝ax＋1与反比例函数y＝－在同一坐标系中的大致图象是 ( ) A B C D B 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 2.(2022·成都)在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是　 　.  k<2 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 3.(2023·内江)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数y＝(x<0)的图象上，点O，E的对应点分别是点C，A，若点A为OE的中点，且S△EAF＝，则k的值为　 　.  －6 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 4.(2022·内江)如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点P(2，3)，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点Q(m，n).若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是  　.  <m<2 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 5.(2022·自贡)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(－1，2)，B(m，－1)两点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； 解:(1)∵A(－1，2)在反比例函数y＝的图象上， ∴n＝2×(－1)＝－2. ∴反比例函数的解析式为y＝－. ∵B(m，－1)在反比例函数的图象上， ∴－m＝－2.∴m＝2.∴B(2，－1). 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 ∵A(－1，2)，B(2，－1)两点在一次函数y＝kx＋b的图象上， ∴解得 ∴一次函数的解析式为y＝－x＋1. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 (2)过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，求点C的坐标. (2)∵直线l∥y轴，AD⊥l， ∴AD＝3，D(2，2). ∵DC＝2DA，∴DC＝6. ∵点C是直线l上一动点， ∴点C的坐标为(2，8)或(2，－4). 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 6.(2024·眉山)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点A(1，6)，B(n，2)，与x轴、y轴分别交于C，D两点. (1)求一次函数和反比例函数的表达式； 解:(1)∵一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(x>0) 的图象交于点A(1，6)，B(n，2)，∴＝6，即m＝6. ∴反比例函数的表达式为y＝.∴2＝，即n＝3.∴B(3，2). 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 把A(1，6)，B(3，2)代入y＝kx＋b，得 解得 ∴一次函数的表达式为y＝－2x＋8. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 (2)若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标； (2)点P的坐标为(0，5).　[作点A关于y轴的对称点A'，连接A'B交y轴于点P，此时△PAB的周长最小. ∵A(1，6)，∴A'(－1，6). 设直线BA'的解析式为y＝mx＋c. ∴解得 ∴直线BA'的解析式为y＝－x＋5. 当x＝0时，y＝5.∴点P的坐标为(0，5).] 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 (3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当EF＝AB时，求a的值. (3)∵将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点， ∴直线EF的解析式为y＝－2x＋8－a. ∴E(，0)，F(0，8－a). ∵EF＝AB， ∴. 解得a＝6或a＝10. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 7.跨学科融合根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数y＝(a为常数且a>0，x>0)的性质表述中，正确的是( ) ①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③0<y<1；④0≤y≤1. A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 全国中考新视野 A 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 请完成《练测本》P24~25素养综合练测12 本讲内容结束 $$