第9讲 方程(组)与不等式(组)的实际应用（讲义本）（PPT课件）-【中考2号】2025年中考数学复习讲练测（四川专用）

第9讲　方程(组)与不等式(组)的实际应用 第二单元　 方程(组)与不等式(组) 《中考2号》 2025四川数学 1 1 2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 3 课堂反馈·落实学业要求 目 录 2 依标扣本·掌握必备知识 考点综述 01 3 能针对具体问题列出方程;能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性 一次方程(组)的实际应用 步骤：(1)审题；(2)设未知数(直接设，间接设)；(3)找等量关系(一般几个未知数就有几个等量关系)；(4)列方程(组)；(5)解方程(组)；(6)检验；(7)答 类型 利润问题：利润＝售价－进价＝进价×利润率，售价＝标价×折扣 利息问题：利息＝本金×利率×期数 工程问题：工作量＝工作效率×① __________ 工作时间 行程 问题 相遇：甲路程②________乙路程＝总路程  追及：快车路程③________慢车路程＝两地间距离  ＋ － 课标要求 1 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 4 【温馨提示】 一元二次方程的实际应用 步骤 常见类型 变化率问题 传播问题 面积问题 利润问题(“每每型”) 握手(单循环赛)与送礼物问题 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 5 步骤： 实际 问题 列一元二 次方程 解一元二 次方程 一元二次 方程的根 实际问 题的解 【温馨提示】列一元二次方程解应用题时，一般会产生两个解，必须检验，把不合题意的解舍去. 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 6 设原来的量为a，变化后的量为b.　 当连续两次增长，平均每次增长率为x时，则有a(1＋x)2＝b； 当连续两次下降，平均每次下降率为x时，则有a(1－x)2＝b 易错 一月份产量为a件，平均每月增长率为x，第一季度产量为b件，则有a＋a(1＋x)＋a(1＋x)2＝b. 变化率问题 在求解时一般使用直接开平方法 传播问题：与变化率问题类似，若开始数量为a，每轮感染的数量为x，经2轮传染后的数量为b，则有a＋ax＋(a＋ax)x＝b，即a(1＋x)2＝b 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 7 (1)平移问题 ①如图1，设空白部分的宽均为x，则S阴影＝④ ______________ 面积问题 (a－2x)(b－2x) 图1 图2 ②如图2，设空白部分的宽均为x，则S阴影＝⑤_________________ (a－x)(b－x)  (2)围栏靠墙问题： 这里注意：BC≤a(或AD≤a) 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 8 (1)常用公式：利润＝售价－成本，总利润＝每件利润×销售量 (2)“每每型”问题中，如单价每涨a元，少卖b件.若单 价涨价y元，则少卖的数量为⑥___________件  利润问题 (“每每型”) ×b 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 9 (1)若x人中每两人之间握手一次(x队每两队之间比赛一场)，握手总次数为m(总比赛场数为m)，则⑦______ ＝ m  (2)若全班有x人，每人向其他人送一份礼物，共送m份礼物，则x(x－1)＝m 握手(单循环赛)与送礼物问题 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 10 一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找等量关系；(4)列方程； (5)解方程；(6)检验；(7)答 分式方程的实际应用 常见类型 易错 求出方程的根后忘记检验. 【提分点拨】检验：如果列出分式方程，则需要检验是否是分式方程的解.所有方程(组)或不等式的解需要检验是否符合实际意义，如人数是自然数，边长不能为负，增长率不能为负，下降率不能超过1，等等. [双检验：(1)检验是否是分式方程的解；(2)检验是否符合题意] 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 11 工程问题：总工作量为1，工作效率＝ 行程问题：时间＝＝速度 销售(盈利)问题：＝数量，＝单价， 折扣＝，标价＝ 常见类型 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 12 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题 课标要求 2 一元一次不等式(组) 的实际应用 一般步骤：审题→设一个未知数→找出题中的数量关系，列出不等式→解不等式→检验不等式的解集是否合理，是否符合实际情况. 常见关键词 大于，多于，超过，高于 小于，少于，不足，低于 至少，不低于，不小于，不少于 至多，不高于，不大于，不超过 符号 ＞ ＜ ⑧ ______ ⑨ ______ ≥ ≤ 课标要求1 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 首页 目录 13 聚焦中考·培育核心素养 考点综述 02 14 类型一　销售问题 又是一年端阳至，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽.今年端午节前，某校开展“学党史、感党恩、悟思想”活动，打算购买蛋黄、豆沙两种口味的粽子送给镇上养老院的老人品尝. (1)若一个蛋黄粽子比一个豆沙粽子贵4元，用36元购买蛋黄粽子的个数与用24元购买豆沙粽子的个数相同，求蛋黄、豆沙两种口味粽子的单价； 命题点 方程(组)与不等式(组)的实际应用(课标要求1，2) 例 1 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 15 解:(1)设豆沙粽子的单价为x元，则蛋黄粽子的单价为(x＋4)元. 由题意，得.解得x＝8. 经检验，x＝8是原分式方程的解，且符合题意.∴8＋4＝12(元). 答:蛋黄、豆沙粽子的单价分别是12元、8元. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 (2)若购买20个蛋黄粽子和10个豆沙粽子一共需要400元；购买30个蛋黄粽子和16个豆沙粽子一共需要610元.求蛋黄、豆沙两种口味粽子的单价； (2)设蛋黄、豆沙粽子的单价分别是m元、n元. 由题意，得解得 答:蛋黄、豆沙粽子的单价分别是15元、10元. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 (3)在(1)的条件下，商场促销，所有粽子一律八折出售，若打算购买蛋黄、豆沙两种粽子共50个，经预算，购买资金不超过400元，请问最多购买蛋黄粽子多少个? (3)设购买蛋黄粽子y个，则购买豆沙粽子(50－y)个.　 由题意，得0.8[12y＋8(50－y)]≤400. 解得y≤25.　 答:最多购买蛋黄粽子25个. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 ☞变式 (2024·重庆A)为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代. (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条? 解:(1)设该企业甲、乙两类生产线分别有x条、y条. 根据题意，得解得 答:该企业甲、乙两类生产线分别有10条、20条. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备? (2)设购买更新1条乙类生产线的设备需投入m万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需投入(m＋5)万元.根据题意，得.解得m＝45. 经检验，m＝45是所列方程的解，且符合题意. ∴10(m＋5)＋20m－70＝10×(45＋5)＋20×45－70＝1 330. 答:还需投入1 330万元资金更新生产线的设备. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 类型二　行程问题 数学文化 (2024·宜宾)元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题:“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之?”其大意是:快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马?则快马追上慢马的天数是 ( ) A.5天 B.10天 C.15天 D.20天 例 2 D 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 ☞变式 (2022·自贡)学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达.已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度. 解:设张老师骑车的速度为x千米/时，则汽车的速度为3x千米/时. 由题意，得－2＝.解得x＝15. 经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意. 答:张老师骑车的速度是15千米/时. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 类型三　工程问题 (2024·雅安)某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3 000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务. (1)原计划与实际每天铺设管道各多少米? 例 3 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 解:(1)设原计划每天铺设管道x米， 则实际施工每天铺设管道(1＋25%)x＝1.25x(米). 根据题意，得＋15＝.解得x＝40. 经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意. ∴1.25x＝50. 答:原计划与实际每天铺设管道分别为40米、50米. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元.该公司原计划最多应安排多少名工人施工? (2)设该公司原计划应安排y名工人施工，3 000÷40＝75(天). 根据题意，得300×75y≤180 000.解得y≤8. ∴不等式的最大整数解为8. 答:该公司原计划最多应安排8名工人施工. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 ☞变式 (2024·陕西)星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务.小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间. 解:设这次小峰打扫了xh，则爸爸打扫了(3－x)h. 根据题意，得＝1.解得x＝2. 答:这次小峰打扫了2h. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 类型四　图形问题 (2024·通辽)如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其他材料制成)，则BC长为 ( ) A.5 m或6 m B.2.5 m或3 m C.5 m D.3 m 例 4 C 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 ☞变式 如图，在长为50 m、宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1 260 m2，道路的宽应为 多少? 解:设道路的宽应为x m.根据题意，得 (50－2x)(38－2x)＝1 260. 解得x1＝4，x2＝40(不合题意，舍去). 答:道路的宽应为4 m. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 类型五　利润问题 (2024·成都)推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17 500元从农户处购进A，B两种水果共1 500 kg进行销售，其中A种水果收购单价为10元/kg，B种水果收购单价为15元/kg. (1)A，B两种水果各购进多少千克? 例 5 解:(1)设A种水果购进x kg，B种水果购进y kg.根据题意，得 解得 答:A种水果购进1 000 kg，B种水果购进500 kg. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 (2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价. (2)设A种水果的销售单价为m元/kg.根据题意，得1 000×(1－4%)m－10×1 000≥10×1 000×20%.解得m≥12.5. ∴m的最小值为12.5. 答:A种水果的最低销售单价为12.5元/kg. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 ☞变式 列方程(组)解应用题. 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话: 小王:该水果的进价是每千克22元； 小李:当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克. 根据他们的对话，解决下面所给问题:超市每天要获得销售利润3 640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 解:设这种水果每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3 640元. 由题意，得(38－x－22)(160＋×120)＝3 640. 整理，得x2－12x＋27＝0. 解得x1＝3，x2＝9. ∵要尽可能让顾客得到实惠，∴x＝9. ∴38－9＝29(元/千克). 答:这种水果的销售价为每千克29元. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 课堂反馈·落实学业要求 考点综述 03 四川中考夯实力 1.数学文化(2023·成都)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目:今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何?其大意是:用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺?设木长x尺，则可列方程为 ( ) A.(x＋4.5)＝x－1 B.(x＋4.5)＝x＋1 C.(x＋1)＝x－4.5 D.(x－1)＝x＋4.5 A 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 2.(2024·内江)某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意的方程是 ( ) A.0.64(1＋x)＝0.69 B.0.64(1＋x)2＝0.69 C.0.64(1＋2x)＝0.69 D.0.64(1＋2x)2＝0.69 B 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 3.(2024·绵阳)如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀.现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是 ( ) A.3，4 B.4，3 C.2，5 D.5，2 A 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 4.(2024·自贡)为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动.已知七(3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各包多少个粽子. 解:设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包(x＋20)个粽子.根据题意，得.解得x＝80. 经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意. ∴x＋20＝100. 答:甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包80个粽子. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 5.(2022·眉山)建设美丽城市，改造老旧小区.某市2019年投入资金1 000万元，2021年投入资金1 440万元.现假定每年投入资金的增长率相同. (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； 解:(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x.依题意，得 1 000(1＋x)2＝1 440.解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去). 答:该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 (2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%.如果投入资金年增长率保持不变，该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区? (2)设该市在2022年可以改造y个老旧小区. 依题意，得80×(1＋15%)y≤1 440×(1＋20%).解得y≤. 又∵y为整数，∴y的最大值为18. 答:该市在2022年最多可以改造18个老旧小区. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 6.数学文化(2024·无锡)《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题(凫:野鸭)，大意如下:野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天.如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇?设经过x天相遇，则下列方程正确的是 ( ) A.x＋x＝1 B.x－x＝1 C.9x＋7x＝1 D.9x－7x＝1 全国中考新视野 A 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 课堂反馈·落实学业要求 请完成《练测本》P17~18素养综合练测9 请完成《练测本》P19滚动集训 本讲内容结束 $$