第十一讲·导数与函数单调性与极值讲义-2026届高考数学一轮复习

第十一讲·导数与函数的单调性，极值 【知识导学】 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在上单调递增 在上单调递减 在上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数的零点,画出导函数的图像，只需要画出影响正负部分的图像 第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性. 3.导函数正负与原函数单调性的充分必要关系 ①若函数在上单调递增，则时，恒成立；若函数在上单调递减，则时，恒成立. ②若函数在(a，b)上存在单调递增区间，则时，有解；若函数在上存在单调递减区间，则时，有解. 4.函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 【题型聚焦】 【题型一·利用导函数图象判断原函数单调性与极值】 【例题1】★（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数的图象如下图所示，则其导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据函数的单调性可得到导函数的正负，当时，原函数斜率为零，即可得到结果. 【详解】由题可得函数的图象为单调递增，则其导函数恒成立， 排除A、D两个选项， 对于B，当，，对应的原函数此时斜率为零，该选项满足题意； 选项C不符合题意； 故选：B. 【例题2】★（23-24高二下·广西河池·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】由函数的图象可得其导函数在不同区间内的符号，再由得到关于的不等式组，求解不等式组后取并集即可得到原不等式的解集． 【详解】由函数的图象可得： 当时，函数单调递增，则， 当时，函数单调递减，则． 当时，函数单调递增，则， 由①或② 解①得，，解②得，， 综上，不等式的解集为. 故选：A． 【例题3】★★（24-25高三上·周南中学·阶段练习）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（   ） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据图象分辨和的图象，然后对各选项中函数求导，利用图象判断函数单调性即可得解. 【详解】由图可知，两个函数图象都在轴上方，所以，单调递增， 所以实线为的图象，虚线为的图象，， 对A，，单调递增，无最大值，A错误； 对B，，， 由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，B正确； 对C，，由图可知， 所以在上单调递增，无最大值，C错误； 对D，， 由图可知，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得最大值，D错误. 故选：B 【例题4】★★（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　） A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系、函数极值点的辨析 【分析】根据的图象，得到的单调性和极值情况，得出结论. 【详解】根据的图象，可得当时，，可得，即单调递减， 当时，，可得，即单调递增， 当时，，可得，即单调递减， 当时，，可得，即单调递增， 因此在和处取得极小值，在处取得极大值，共3个极值点，可得A错误，C正确； 选项B，为函数的极大值，即B正确；不为函数的极小值，D错误. 故选：BC 【题型二·利用导数解不含参数的单调性与极值】 【例题5】★（24-25高二·全国·课堂例题）求下列函数的单调区间： (1)； (2)． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为． (2)单调递增区间为；单调递减区间为． 【难度】0.85 【知识点】导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参）、基本初等函数的导数公式 【分析】（1）先根据函数解析式求出函数的定义域，根据导数的运算法则对函数进行求导得，利用导数研究函数的单调性，即可得出函数的单调区间； （2）先根据函数解析式求出函数的定义域，根据导数的运算法则对函数进行求导得，利用导数研究函数的单调性，即可得出函数的单调区间； 【详解】（1）． 令，解得， 因此函数的单调递增区间为． 令，解得或， 因此函数的单调递减区间为． （2）函数的定义域为． ． 因为，所以．由，解得， 所以函数的单调递增区间为； 由，解得．又，所以函数的单调递减区间为． 【例题6】★★（2025高二·全国·专题练习）已知函数，则在下列区间上，单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的导函数，令，结合选项中角的范围求得x的范围，即可得出单调递增区间. 【详解】因为，所以， 令，则， 根据四个选项，可知 则，所以，所以， 所以的单调递增区间为， 因为，所以为函数的一个单调递增区间. 故选：B. 【例题7】★★（2025高三上·雅礼中学·专题练习）已知函数．讨论的单调性． 【答案】在上单调递减，在上单调递增． 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求的定义域以及求导，设，运用都在上单调递增，即可求解. 【详解】函数的定义域为，所以， 设，因为都在上单调递增，所以在上单调递增，且， 所以时，单调递减； 时，单调递增． 所以在上单调递减，在上单调递增． 【例题8】★★（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知函数． (1)求函数的单调性和极值； (2)作出函数的大致图象．（参考数据：） 【答案】(1)单调递增区间是，，单调递减区间是，．极大值为1，极小值为(2)图象见解析 【难度】0.65 【知识点】画出具体函数图象、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）根据题意先求，由和得函数的单调区间，根据极值的定义即可求解； （2）利用（1）函数的单调性和极值即可作图，注意定义域. 【详解】（1）由题意有：函数定义域为， 所以，令有或 由，得或；由，得且； 所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是，，所以函数的极大值为，函数的极小值为． （2）大致图象如图．    【题型三·基本超越函数的图像与性质】 【例题9】★★（2023高三·全国·专题练习）已知，求的单调性. 【答案】函数在上单调递减，在上单调递增. 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据导数与单调性关系求解即可. 【详解】由，， 令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 【例题10】★★★（2024高二下·湖南衡阳·期中）已知函数. (1)判断函数的单调性，并求出函数的极值； (2)画出函数的大致图象； (3)讨论方程的解的个数. 【答案】(1)在上递增，在上递减，极大值； (2)函数图象见解析； (3)答案见解析. 【难度】0.65 【知识点】画出具体函数图象、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究方程的根 【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间，求出极值作答. （2）由（1）分析函数的性质，作出图象作答. （3）结合（2）中函数图象，探讨方程的解的个数作答. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 当时，，当时，，因此， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值，，无极小值. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，，， 当时，恒成立，因此当时，随x的增大，的图象在x轴的上方与x轴无限接近， 函数的大致图象如图所示： （3）令，，当时，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，，即，有， 当时，，，而函数在上单调递增， 其值域为，因此函数在上无最小值，取值集合为， 方程的解的个数等价于函数的图象与直线的公共点个数， 在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图， 观察图象知，当时，方程的解的个数为0， 当或时，方程的解的个数为1， 当时，方程的解的个数为2. 【例题11】★★★（2025高二上·福建福州·期末）给定函数. (1)判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值； (2)画出函数f（x）的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）； (3)求出方程的解的个数. 【答案】(1)函数的减区间为，增区间为，有极小值，无极大值； (2)具体见解析； (3)具体见解析. 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数图象及性质 【分析】（1）对函数求导，进而求出单调区间和极值； （2）结合（1），并代入几个特殊点，再结合函数的变化趋势作出图象； （3）结合（2），采用数形结合的方法求得答案. 【详解】（1），时，，单调递减，时，，单调递增，故函数在x=-1处取得极小值为，无极大值. （2） 作图说明：由（1）可知函数先减后增，有极小值；描出极小值点，原点和点（1，e）；当时，函数增加得越来越快，当时，函数越来越接近于0. （3）结合图象可知，若，则方程有0个解；若，则方程有2个解；若或，则方程有1个解. 【题型四·利用导数解含参数的单调性与极值】 【例题12】★★（2025高三·全国·专题练习）已知函数. 讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数研究函数含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，再分和讨论求解； 【详解】由题知， 当时，，单调递增. 当时，若，即，则，故在上单调递增； 若，即，则，故在上单调递减, 综上，当时，在上单调递增； 【例题13】★★（2025·湖南省株洲市第二中学高三阶段练习）已知函数，其中．讨论的单调性． 【解析】解：由题得， 当时，，令， 令， 所以此时函数的增区间为，减区间为. 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，令或， 令， 所以此时函数的增区间为，减区间为. 当时，令或， 令， 所以此时函数的增区间为，减区间为. 综合得当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数的增区间为，减区间为. 【例题14】★★（2025·湖南师范大学附中高三阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线的极值； (2)求函数的单调区间； 【答案】(1)，无极大值(2)答案见解析 【解析】(1)函数的定义域为， 当时，， 令，得（舍），， x，，的变化情况如下表： x - 0 + 极小值 ∴，无极大值. (2)，令，可得，. ①当时，由可得在上单调递减， 由可得在上单调递增. ②当时，由可得在上单调递减， 由可得在和上单调递增. ③当时，由可得在上单调递增. ④当时，由可得在上单调递减， 由可得得在和上单调递增. 综上所述： ①当时，减区间，增区间； ②当时，减区间，增区间和. ③当时，增区间，无减区间. ④当时，减区间，增区间和. 【例题15】（2025·陕西安康·二模）已知函数． 讨论的单调性； 【答案】答案见解析. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为上单调递增，递减区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为. 【例题16】★★（2025高三上·长沙市麓山国际实验中学·专题练习）讨论函数的单调性． 【答案】答案见解析 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】先求函数的定义域，再对函数求导，然后分情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间. 【详解】解：的定义域为． ①当时， 若，则在上是增函数； 若，则在上是减函数． 若，则在上是增函数． ②当时，成立当且仅当在上是增函数． ③当时， 若，则在上是增函数； 若，则在上是减函数； 若，则，在上是增函数． 【例题17】★★★（24-25高三上·湖南长沙长郡中学·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在上恒成立，求整数的最大值. 【答案】(1)答案见解析(2) 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的定义域，求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）由参变量分离法可得出对恒成立，，其中，利用导数求出函数的最小值，并求出最小值的取值范围，即可得出整数的最大值. 【详解】（1）函数的定义域是. 因为，则. ①当即时，，， 此时，函数的增区间为，无减区间； ②当即时，由得，. 若，，时， 此时，函数的增区间为，无减区间； 若，， 当时，，当时， 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述，时，的增区间为，无减区间； 时，的减区间为，增区间为. （2）由，得，即对恒成立. 令，其中， 则， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递增. 又，， 所以满足，即， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增 故，故， 又因为，，所以的最大值是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 【题型五·已知函数单调性求参数的值】 【例题18】★★（2022·长郡中学高三阶段性检测）若是R上的减函数，则实数a的取值范围是（            ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，根据是R上的减函数，可得在上恒成立，分离参数，从而可求得答案. 【详解】 解：由， 得， 因为是R上的减函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 由于，所以． 故选：B. 【例题19】★★★（2024·长郡中学高三阶段性检测）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题可得，分，讨论，即得. 【详解】 由可得， 当时，，在上单调递增，不满足题意； 当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 要使得函数在区间上不单调，则， 解得． 故答案为：. 【例题20】★★★（多选）（2022·湖南师大附中高三阶段性检测）(多选)已知函数，下列结论正确的是（            ） A．是以为周期的函数 B．是区间上的增函数 C．是上的奇函数 D．是的极值点 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用函数的单调性与导数的关系可判断B选项；利用函数奇偶性的定义可判断C选项；利用函数极值点的定义可判断D选项. 【详解】 对于A选项，，， 所以，，A错； 对于B选项，，当时，， 所以，函数是区间上的增函数，B对； 对于C选项，函数的定义域为， ，则是上的奇函数，C对； 对于D选项，当时，；当时，. 所以，不是函数的极值点，D错.故选：BC. 【例题21】★★★★（24-25高二上·重庆·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由函数的单调区间求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】问题转化为在上有解，分离参数，通过求导分析函数的最小值可得实数的取值范围. 【详解】∵，∴， 由题意得，在上有解，即在上有解， ∴，， 设，则， 设，则， ∴在上为增函数，∵， ∴当时，，，当时，，， ∴在上为减函数，在上为增函数， ∴， ∴，故实数的取值范围是. 故答案为：. 【题型六·已知函数极值求参数的值】 【例题22】★★（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）当时，函数取得极大值，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数、根据极值求参数 【分析】对函数求导，根据极值点及对应极值求参数，进而求. 【详解】由题设，则，又， 所以，则且， 当，，即在上单调递增， 当，，即在上单调递减， 所以为极大值点，满足题设， 故. 故选：B 【例题23】★★★（2025高三上·湖南长沙·阶段练习）若在处取得极大值，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】求出，由题意可得出，解出、的值，再结合题意进行检验，即可得解. 【详解】因为，则 又在处取得极大值， ，解得或， 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极小值，与题意不符； 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极大值，符合题意，则， 故选：C. 【例题24】★★★（2025·陕西宝鸡·二模）若函数的极大值点为，则 ． 【答案】/0.8 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、辅助角公式、求已知函数的极值 【分析】根据极大值的定义，对函数求导并利用辅助角公式进行整理，由余弦函数的图象可得角的值，结合诱导公式，可得答案. 【详解】由函数， 求导可得， 令，则， 由题意可得， 由函数可知当（）时，， 当（）时，，且为函数的极大值点， 则可得（），解得（）， 所以. 故答案为：. 【例题25】★★★（2024·上海·三模）已知函数在上无极值，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、根据极值求参数 【分析】求导数确定单调性，讨论x的取值范围可得结果. 【详解】由题意得，，故， 因为函数在上无极值， 所以在R上恒成立， 当时，， 设，则， 当时，得，当时，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 从而，故， 当时，，则.综上，.故答案为： 【例题26】★★★（2025高二下·湖南娄底双峰一中·期中）函数既有极大值，又有极小值，则整数a的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】求导，当时，恒成立，不合要求，，至少有两个变号零点，令，则至少有两个不等正根，由根的判别式和韦达定理得到不等式，求出，得到答案. 【详解】定义域为R，， 当时，恒成立， 故在R上单调递增，故不存在极值，不合要求， 故，且至少有两个变号零点， 令，则需有两个不等正根， 令，需满足，解得， 综上，，故整数a的最大值为.故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一讲·导数与函数的单调性，极值 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（共30分） 1．★★（本题5分）（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．★★（本题5分）（2025·广东·一模）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 3．★★（本题5分）（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知函数在处有极大值，则c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．-2 4．★★★（本题5分）（24-25高三上·河北承德·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 5．★★★★（本题5分）（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 6.★★★★（本题5分）（2025·安徽·一模）若函数是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共24分） 7．★★（本题6分）（2025·江西·一模）已知函数，且是的一个极值点，下列说法正确的是（   ） A．实数的值为1或 B．在上单调递增 C．若是的一个极小值点，则当时， D．若是的一个极大值点，则当时， 8．★★★（本题6分）（24-25高三下·浙江·开学考试）已知（    ） A．当时，是的极大值点 B．当时，的所有零点之和为0 C．直线是的切线 D．存在使在上单调递增 9．★★★（本题6分）（2025高二·全国·专题练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A．当时， B．，都有 C．的解集为 D．的单调递增区间是， 10．★★★★（本题6分）（2025·四川·二模）函数，向右平移3个单位得到，下列说法正确的是（    ） A．的极小值点为 B．当有两解时， C．若，，则 D．若，那么，且有且仅有一解 三、填空题（共15分） 11．★★（本题5分）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数在处取得极小值，则 ． 12．★★★（本题5分）（24-25高三上·上海·期中）函数是定义在上的偶函数，其图像如下图所示，满足，设 是的导函数，则关于的不等式的解集是 . 13．★★★（本题5分）（2025高三下·全国·专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 四、解答题（共45分） 14．★★（本题6分）（2024高三·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调性； 15．★★（本题7分）（24-25高二上·北京·阶段练习）已知函数，若曲线在点处的切线方程为. (1)求和的值； (2)求的单调区间. 16．★★（本题8分）（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试判断函数的单调性. 17．★★★（本题9分）（18-19高二·江西南昌·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求在区间上的值域. 18．★★★★（本题15分）（23-24高二下·广东东莞·期末）已知函数. (1)若，讨论函数的单调性； (2)若，求证：. 19．★★★★（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在，使得恒成立，求的取值范围． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一讲·导数与函数的单调性，极值 【知识导学】 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在上单调递增 在上单调递减 在上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数的零点,画出导函数的图像，只需要画出影响正负部分的图像 第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性. 3.导函数正负与原函数单调性的充分必要关系 ①若函数在上单调递增，则时，恒成立；若函数在上单调递减，则时，恒成立. ②若函数在(a，b)上存在单调递增区间，则时，有解；若函数在上存在单调递减区间，则时，有解. 4.函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 【题型聚焦】 【题型一·利用导函数图象判断原函数单调性与极值】 【例题1】★（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数的图象如下图所示，则其导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【例题2】★（23-24高二下·广西河池·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A．B．C． D． 【例题3】★★（24-25高三上·周南中学·阶段练习）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（   ） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 【例题4】★★（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　） A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 【题型二·利用导数解不含参数的单调性与极值】 【例题5】★（24-25高二·全国·课堂例题）求下列函数的单调区间： (1) ； (2)． 【例题6】★★（2025高二·全国·专题练习）已知函数，则在下列区间上，单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【例题7】★★（2025高三上·雅礼中学·专题练习）已知函数．讨论的单调性． 【例题8】★★（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知函数． (1)求函数的单调性和极值； (2)作出函数的大致图象．（参考数据：） 【题型三·基本超越函数的图像与性质】 【例题9】★★（2023高三·全国·专题练习）已知，求的单调性. 【例题10】★★★（2024高二下·湖南衡阳·期中）已知函数. (1)判断函数的单调性，并求出函数的极值； (2)画出函数的大致图象； (3)讨论方程的解的个数. 【例题11】★★★（2025高二上·福建福州·期末）给定函数. (1)判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值； (2)画出函数f（x）的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）； (3)求出方程的解的个数. 【题型四·利用导数解含参数的单调性与极值】 【例题12】★★（2025高三·全国·专题练习）已知函数. 讨论的单调性； 【例题13】★★（2025·湖南省株洲市第二中学高三阶段练习）已知函数，其中．讨论的单调性． 【例题14】★★（2025·湖南师范大学附中高三阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线的极值； (2)求函数的单调区间； 【例题15】（2025·陕西安康·二模）已知函数． 讨论的单调性； 【例题16】★★（2025高三上·长沙市麓山国际实验中学·专题练习）讨论函数的单调性． 【例题17】★★★（24-25高三上·湖南长沙长郡中学·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在上恒成立，求整数的最大值. 【题型五·已知函数单调性求参数的值】 【例题18】★★（2022·长郡中学高三阶段性检测）若是R上的减函数，则实数a的取值范围是（            ） A． B． C． D． 【例题19】★★★（2024·长郡中学高三阶段性检测）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是______． 【例题20】★★★（多选）（2022·湖南师大附中高三阶段性检测）(多选)已知函数，下列结论正确的是（            ） A．是以为周期的函数 B．是区间上的增函数 C．是上的奇函数 D．是的极值点 【例题21】★★★★（24-25高二上·重庆·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ． 【题型六·已知函数极值求参数的值】 【例题22】★★（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）当时，函数取得极大值，则（   ） A． B． C． D．1 【例题23】★★★（2025高三上·湖南长沙·阶段练习）若在处取得极大值，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【例题24】★★★（2025·陕西宝鸡·二模）若函数的极大值点为，则 ． 【例题25】★★★（2024·上海·三模）已知函数在上无极值，则的取值范围是 . 【例题26】★★★（2025高二下·湖南娄底双峰一中·期中）函数既有极大值，又有极小值，则整数a的最大值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一讲·导数与函数的单调性，极值 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（共30分） 1．★★（本题5分）（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】导数研究函数单调性，利用单调性解不等式求解集. 【详解】由定义域为， 因为，所以在上单调递减， 所以不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：D 2．★★（本题5分）（2025·广东·一模）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的极值以及函数的单调性，推出结果． 【详解】解：由导函数的图象可知：导函数在，导函数的符号为正，函数单调递增，A正确； 时，，函数单调递增，，，函数单调递减， 所以是的极大值点，B正确； 在区间上单调递减，D正确； 当时，函数单调递增，可能，所以C不正确； 故选：C． 3．★★（本题5分）（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知函数在处有极大值，则c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．-2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】导数的运算法则、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值点求参数 【分析】求导，令求出或2，检验后得到. 【详解】， 且函数在处有极大值， 故，即，解得或2． 当时，，令得，或， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，不符合题意，应舍去； 当时，，令得或， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 满足在处取得极大值，满足要求.故． 故选：B 4．★★★（本题5分）（24-25高三上·河北承德·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】先利用导数判断出是减函数，然后判断三个数的大小，再结合函数单调性判断对应三个函数值的大小，即可得解. 【详解】由题意得的定义域为，， 因为，所以恒成立，所以是减函数． 又因为， 由单调性可知，． 故选：B 5．★★★★（本题5分）（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、利用导数求函数的单调区间（不含参）、比较函数值的大小关系 【分析】利用奇偶函数的判断方法，得到为偶函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，根据条件有，再比较的大小，即可求解. 【详解】易知的定义域为，关于原点对称 又，所以为偶函数， 又， 当时，，所以当时，， 令，则恒成立，所以在上单调递增， 则当时，，所以当时，，即在区间上单调递增， 因为， 又易知，，， 所以， 故选：B. 【点晴】关键点点晴：本题的关键在利用当时，，从而有当时，，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，可得，即在区间上单调递增，即可求解. 6.★★★★（本题5分）（2025·安徽·一模）若函数是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】对数的运算性质的应用、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据可得，利用求出的取值范围验证取舍可得结果. 【详解】由题意得，函数定义域为. ∵，∴， ∵且，∴，则， ∵，∴，解得， 当时，，，不合题意， ∴的取值范围是. 故选：B. 二、多选题（共24分） 7．★★（本题6分）（2025·江西·一模）已知函数，且是的一个极值点，下列说法正确的是（   ） A．实数的值为1或 B．在上单调递增 C．若是的一个极小值点，则当时， D．若是的一个极大值点，则当时， 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值点求参数 【分析】由是的一个极值点，得，求出实数的值并分析其单调性，并根据单调性判断即可； 【详解】函数的定义域为，． 令，得，， ① 当时，， 由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 此时是的一个极大值点． ② 当时，解得，则， 由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 此时是的一个极小值点． 故A正确，B错误； 若是的一个极小值点，则，在上单调递增， 因为，则，所以，故C正确； 若是的一个极大值点，则，在上单调递增， 因为，所以，，且等价于， 即当时，，所以，故D正确． 故选：ACD. 8．★★★（本题6分）（24-25高三下·浙江·开学考试）已知（    ） A．当时，是的极大值点 B．当时，的所有零点之和为0 C．直线是的切线 D．存在使在上单调递增 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、求零点的和 【分析】求出导数，利用极值的定义判断A；求出零点判断B；求出切点判断C；取特值说明判断D. 【详解】函数定义域为R，求导得， 对于A，，当时，， 当时，，因此是的极小值点，A错误； 对于B，，存在三个零点，， 为方程的两根，则，所有零点之和为0，B正确； 对于C，由时，得，点在函数的图象上， 因此函数的图象在点处的切线为，C正确； 对于D，，而，则不存在使在上单调递增，D错误. 故选：BC 9．★★★（本题6分）（2025高二·全国·专题练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A．当时， B．，都有 C．的解集为 D．的单调递增区间是， 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据函数的单调性解不等式 【分析】对于A，利用奇函数的定义，可得答案；对于B、D，利用导数以及奇函数的性质，可得答案；对于C，根据对数函数的性质以及不等式的性质，可得答案. 【详解】对于A，当时，，则， 函数在其定义域上是奇函数，则，故A错误； 对于B，当时，，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故， 当时，； 当时，，，则， 综上，当时，， 因为函数是奇函数，所以， 当时，，故B正确； 对于C，由B可知，当时，，， 则； 当时，，，则， 因为函数是奇函数，所以当时，；当时，， 因为函数是奇函数，所以， 综上，不等式，其解集为，故C错误； 对于D，由B可知，当时， 单调递增；当时， 单调递减， 因为函数是奇函数，所以当时， 单调递减； 当时， 单调递增，故D正确. 10．★★★★（本题6分）（2025·四川·二模）函数，向右平移3个单位得到，下列说法正确的是（    ） A．的极小值点为 B．当有两解时， C．若，，则 D．若，那么，且有且仅有一解 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】函数图象的变换、根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】由求得，解不等式可得单调区间得极值点，即可判断A；有两解相当于的图象与有两个不同交点，由A作出的图象，即可判断B；根据由向右平移3个单位得到，结合的单调情况得在上的单调性，由此比较大小即可判断C；将函数解析式代入，解方程即可判断D. 【详解】对于A，，由得，由得； ∴在上单调递减；在上单调递增.故在处取极小值，则的极小值点为.故A不正确； 对于B，由A知可知单调性，极小值为，又， 故时，，当时，，； 时，.时，，据此可作图象如图， 则方程有两解相当于图象与有两个不同交点，则由图可得.故B正确； 对于C，因为由向右平移3个单位得到，所以， 由A知在上单调递减；在上单调递增.故，即.故C正确； 对于D，由，得，而，故，解得.故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（共15分） 11．★★（本题5分）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数在处取得极小值，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】对求导，根据题意建立方程组，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 由题有，解得， 此时， 当或时，，当时，， 所以时函数的极小值点， 故满足题意，所以， 故答案为：. 12．★★★（本题5分）（24-25高三上·上海·期中）函数是定义在上的偶函数，其图像如下图所示，满足，设 是的导函数，则关于的不等式的解集是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数与导函数图象之间的关系 【分析】由偶函数得到函数的另一个零点，由图像写出和对应的区间，再写出和对应区间，由不等式转换为不等式组，求出的取值范围. 【详解】函数是偶函数，∴ ∴由图可知： 当时，，∴时，， 当时，，∴时，， 当时，；当时，， ∵，∴或， 即或， ∴或. 故答案为：. 13．★★★（本题5分）（2025高三下·全国·专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】求，根据分离参数，构造函数可得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∵在区间内存在单调递增区间， ∴在上有解，故在上有解， 令，则， ∵，∴，即在上为减函数， ∴，故． 故答案为：. 四、解答题（共45分） 14．★★（本题6分）（2024高三·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调性； 【答案】 答案见解析 【难度】0.65 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导后为可因式分解的类二次函数，的零点为和，首先分为，但函数的定义域为，所以还需要分为和. 【详解】函数的定义域为， 则， ①当时，令，解得，令，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ②当时，令，解得，令，解得或， 在上单调递减，在和上单调递增， ③当时，恒成立， 在上单调递增， ④当时，令，解得，令，解得或， 在上单调递减，在和上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增. 15．★★（本题7分）（24-25高二上·北京·阶段练习）已知函数，若曲线在点处的切线方程为. (1)求和的值； (2)求的单调区间. 【答案】(1)；； (2)的单调递增区间为，单调递减区间为. 【难度】0.85 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）由导数几何意义得到切线斜率进而求出b和切线方程，再由切点在曲线上又在切线上建立关于a的等量关系即可求出a. （2）求出函数定义域，求导，由导数与函数单调性的关系即可求解. 【详解】（1）由题可得， 所以，即，切线方程为， 所以. 所以；. （2）由（1）得，，函数定义域为， 所以当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 16．★★（本题8分）（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试判断函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）当时，求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）对求导，得到，对进行讨论，判断的单调性． 【详解】（1）当时，，则，所以，，， 故当时，函数在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，， 当时，，的减区间为，无增区间； 当时，令，， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 17．★★★（本题9分）（18-19高二·江西南昌·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为. (2). 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出函数的定义域，求出，列出变化时，，的变化情况表，由表即可得其单调区间； （2）由（1）可知在上的极值，再求出在区间端点处的函数值，其最小者为最小值，最大者为最大值，从而得值域； 【详解】（1）函数的定义域是， . 令，解得或. 当x变化时，，的变化情况如下表： 1 2 + 0 0 + 极大值 极小值 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）由（1）可知在区间内， 当时，取得极小值. 由，，， 得， 所以在区间上的值域为. 18．★★★★（本题15分）（23-24高二下·广东东莞·期末）已知函数. (1)若，讨论函数的单调性； (2)若，求证：. 【答案】(1)答案见详解 (2)证明见详解 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据题意得，求导得，对分类谈论，判断函数单调性即可. （2）由（1）得，，因为，整理得，只需证即可，即证，对求导分析单调性，求出最小值即可证明. 【详解】（1）由题可得， 则， ①当，即时，恒成立， 在上单调递增； ②当，即或时， （i）当时，恒成立， 在上单调递增； （ii）当时，由得，，经判断得， 当时，或，当时，， 在，上单调递增；在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减.（其中，）. （2）由（1）得，当，在上单调递增， ， ， ，， 下面证，，即证在上恒成立， ， 令， 在恒成立， 在上单调递增， 恒成立， 在上单调递增， 恒成立， ，即，， ，即. 【点睛】导数含参二次型讨论单调性的参数分类方法： 求导后能通分则通分，通分后对分子因式分解，若不能因式分解，则讨论开口方向或是否为二次函数，接下来分为： ①时，，则单调递增； ②时，时，有两个根，然后需判断两根是否在定义域内. 结合以上情况可以确定参数分类. 19．★★★★（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在，使得恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据函数先求出函数的定义域，求导，得到 ，再令，对函数求导，得出，再对参数a分情况讨论即可. （2）首项将问题转化为即存在，使得成立，即存在，使得成立．再设，求其最大值，即可得到答案. 【详解】（1）因为，的定义域为， 所以． 设，则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即． 所以当时，，单调递增， 当时，若，则，单调递减，若，则，单调递增． 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以． 存在，使得恒成立， 即存在，使得成立， 即存在，使得成立． 设，则． 易知，显然在上单调递减，且， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以． 所以，即的取值范围为 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$