8.5.3平面与平面平行（第一课时）教案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

《8.5.3 平面与平面平行(第一课时)》教案 一、课标及课标分析 1. 重点: 平面与平面平行的判定定理的理解和应用, 掌握运用判定定理证明两个平面平行的方法。 2. 难点: 理解判定定理中“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”这一条件的必要性, 以及在具体问题中如何找到满足条件的两条相交直线。 二、教材分析 “平面与平面平行(第一课时)”主要内容是平面与平面平行的判定,它是在学生学习了直线与平面平行的相关知识后,对空间中平面与平面位置关系的进一步探究。 平面与平面平行的判定定理是判断两个平面平行的重要依据, 是立体几何中研究空间位置关系的重要定理之一。本节课不仅是对前面知识的深化和拓展,也是后续学习平面与平面平行性质以及空间几何体相关性质的基础,在立体几何知识体系中起着承上启下的关键作用。通过本节课的学习,有助于培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和数学转化思想。 三、学情分析 学生在之前已经学习了直线与平面的位置关系以及直线与平面平行的判定方法, 对空间几何的基本概念和判定思路有了一定的了解, 具备了一定的空间想象能力和逻辑推理能力。然而, 从直线与平面平行的判定过渡到平面与平面平行的判定, 学生可能在理解判定定理的条件以及如何在具体问题中运用定理进行证明等方面存在困难。 同时,将空间问题转化为平面问题的数学思想,对学生来说也需要进一步的强化和理解。但学生已有的知识基础为学习本节课提供了支撑,教师可引导学生通过类比、探究等方法, 逐步掌握本节课的内容。 四、教学目标/核心素养目标 1. 逻辑推理素养:理解并掌握平面与平面平行的判定定理, 能够运用定理进行严谨的逻辑推理,证明两个平面平行,培养逻辑思维能力。 2. 直观想象素养:通过观察实例、模型和图形,直观感知平面与平面平行的判定条件,提升空间想象能力,能在脑海中构建出两个平面平行的空间图形。 3. 数学抽象素养:从具体的生活实例和几何图形中抽象出平面与平面平行的判定定理, 理解其本质, 提高从具体到抽象的思维能力。 4. 数学建模素养:学会将实际生活中的空间问题抽象为数学模型,运用平面与平面平行的判定定理解决问题,增强数学应用意识,提升数学建模能力。 五、教学过程 (一)、检查预习 提问学生平面与平面平行的判定定理相关内容:学生填空 平面与平面平行的判定定理: 如果一个平面内的两条 (相交直线) 与另一个平面平行,那么这两个平面平行。 用符号表示平面与平面平行的判定定理为: 。 在正方体 中,证明平面 平面 时,除了得到 ,还需证明 平面 ,以及 与 (相交),交点为 。 已知 是长方体,平面 内直线 ,且 平面 平面 ,但平面 与平面 的位置关系是 (相交)。 根据学生的回答情况进行点评,对回答不准确的地方进行纠正和补充,引出本节课对平面与平面平行判定定理的深入学习。 (二)、引入课题 1. 知识回顾(3 分钟):提问学生判定直线与平面平行的方法, 引导学生回顾: 根据定义, 直线与平面没有公共点, 则直线与平面平行; 根据判定定理, 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行。强调线面平行判定中平面问题与空间问题的转化思想。 提问学生空间两平面的位置关系, 引导学生回答: 两个平面平行 (没有公共点) 和两个平面相交 (有一条公共直线), 并用图形语言和符号语言表示。 (三)、合作探究 1. 问题探究 (6 分钟): 问题 1: 平面 内有一条直线 平行平面 ,则 吗? 请举例说明。 引导学生思考并举例,如教室的墙面与地面,墙面内有一条直线平行于地面,但墙面与地面是相交的,得出平面 内有一条直线 平行平面 时, 与 不一定平行。 问题 2: 平面 内有两条直线 平行平面 ,则 吗? 请举例说明。让学生分组讨论,尝试举例。 可引导学生以正方体为例,正方体中平面 内有两条平行直线 和 都平行于平面 ,但平面 与平面 是平行关系；而平面 内有两条平行直线 和 (可通过平移使它们在同一平面内观察)都平行于平面 ,但平面 与平面 是相交关系,得出平面 内有两条直线 平行平面 时, 与 不一定平行。 问题3: 平面 内有两条相交直线 平行平面 ,则 吗? 请举例说明。引导学生借助 GeoGebra 课件或正方体模型进行观察和分析, 通过直观感受, 让学生发现此时 与 是平行的。 2. 判定定理讲解(6 分钟):给出平面与平面平行的判定定理:文字语言:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 那么这两个平面平行。展示图形语言 和符号语言: 。强调定理中的关键条件: “一个平面内”“两条相交直线”“平行于另一个平面”,通过反例让学生理解这些条件的必要性,如前面探究的问题 1 和问题 2 中不满足 “两条相交直线” 这一条件时,两平面不一定平行。 (四)小试牛刀与归纳总结(5分钟) 1. 小试牛刀 (3 分钟): 布置练习题: 判断下列命题是否正确,并说明理由。 1　 若平面 内的两条直线分别与平面 平行,则 与 平行; (答案: 错误,这两条直线需相交才满足判定定理 ) 2　 若平面 内有无数条直线分别与平面 平行,则 与 不一定平行; (答案: 正确, 无数条直线可能互相平行, 不满足相交条件) 3　 若 内任意直线都平行于 ,则 (答案:正确,符合面面平行定义) 4　 平行于同一直线的两个平面平行；(答案:错误,两平面可能相交) 5　 若 ,则 的位置关系是 (平行或异面)。 6　 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条,那么这两个平面 ( 平行或相交)。 让学生独立完成,教师巡视,对学生的解题过程进行指导,纠正错误,强化对判定定理的理解。 2. 归纳总结 ( 2 分钟 ) : 总结判定平面与平面平行的方法: 平面与平面平行的定义:平面与平面没有公共点。 平面与平面平行的判定定理。强调利用判定定理证明两个平面平行时,必须具备的两个条件: 平面内有两条直线平行于另一个平面; 这两条直线必须相交。再次强调面面平行、线面平行、线线平行之间的转化关系,以及空间问题转化为平面问题的数学思想。 (四)、学以致用 1. 例题讲解 (6 分钟): 例 1: 已知正方体 ,求证: 平面 // 平面 。 引导学生分析证明思路: 要证明平面 平面 ,根据判定定理,需要在平面 内找到两条相交直线都平行于平面 。 因为 为正方体,所以 ,又 , ,所以 ,则四边形 为平行四边形,所以 。 因为 平面 平面 ,所以 平面 。 同理可证 平面 。 又 ,满足判定定理条件,所以平面 平面 。详细书写证明过程,强调证明的规范性和逻辑性,让学生理解如何运用判定定理进行证明。 2. 练习巩固 (6 分钟): 练习 1: 已知三棱锥 中, 分别是 , 的中点。求证: 平面 平面 。 引导学生思考: 在 中,因为 分别是 的中点,根据中位线定理可得 。 又 平面 平面 ,所以 平面 。 同理,在 中, 平面 平面 ,所以 平面 。 又因为 ,满足判定定理条件,所以平面 平面 。 练习 2: 在正方体 中, 分别是 的中点,求证: 平面 平面 。 引导学生利用中位线和平行四边形的性质寻找平行线,如连接 ,可证 ,进而证得 ,同理证明其他直线平行关系,最终得出平面 平面 。让学生独立完成练习,教师巡视,对学生的解题过程进行指导, 纠正错误, 强化对判定定理的应用能力, 总结寻找平行线常用的方法: 中位线、平行四边形。 (五)、课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容,包括平面与平面平行的判定方法(定义、判定定理),以及证明面面平行过程中体现的数学思想(空间问题转化为平面问题,面面平行转化为线面平行再转化为线线平行)。 2. 教师进行补充和完善,强调重点知识, 帮助学生构建知识体系, 梳理各知识点之间的联系,明确本节课的核心内容和学习要点。 (六)、布置作业和预习 1. 必做题: 完成课本 144 页第 8 题; 完成小本课时作业中的基础和综合部分, 巩固平面与平面平行判定定理的应用。 2. 选做题:思考在生活中还有哪些现象可以用平面与平面平行的判定定理来解释；预习面面平行的性质定理, 思考平面与平面平行后会有哪些性质 教学反思 在教学过程中,要注重引导学生通过观察生活实例和模型,直观感受直线与平面平行的现象,从而更好地理解判定定理。在讲解判定定理的证明和例题时,要注重逻辑推理的引导,让学生理解每一步的依据,培养学生的逻辑思维能力。练习环节要关注学生的解题情况, 及时发现学生在应用定理时出现的问题, 如条件使用不完整、证明过程不严谨等,并给予针对性的指导。根据学生的学习情况,灵活调整教学策略, 如增加一些拓展性的练习或补充更多的实例, 帮助学生更好地掌握本节课的知识, 提升教学效果。 学科网（北京）股份有限公司 $$