专题03 一次函数图像性质【知识串讲+十大考点】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版）

专题03 一次函数的图像性质 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）一次函数图像性质 函数解析式 （） （） k，b符号 k＞0 k<0 b＞0 b＜0 b=0 b>0 b<0 b=0 大致 图象 经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四 图象性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 定点 （，0）（0，b） （1，k） （0，0） （，0）（0，b） （1，k） （0，0） （二）一次函数系数k、b与图像的关系 （1）k＞0→y随x的增大而增大；k＜0→y随x的增大而减小 （2）b＞0→与y轴交于正半轴； b＜0→与y轴交于负半轴 （三）一次函数图像的平移 （1）一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同. （2）若向上平移h单位，则+h；若向下平移h单位，则-h。即“上加下减” （3）若向左平移h单位，则；若向右平移h单位，则。即“左加右减” 模块三 考点一遍过 考点1：正比例函数图像性质 典例1：关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 【答案】A 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：对于正比例函数，，图象过原点，经过二、四象限，且随的增大而减小， 当时，，即点在函数的图象上； 所以B、C、D三个选项正确，选项A不正确； 故选：A． 【变式1】如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点，那么一定有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正比例函数的性质、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查正比例函数图象与性质、平面直角坐标系中点的坐标特征，先根据坐标特征分析点所在象限，从而确定正比例函数的图象所过的象限，再由两点不在同一个象限即可得到答案，熟练掌握一次函数图象与性质及平面直角坐标系中点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：∵点的横坐标为， ∴此点在二、三象限； ∵点的纵坐标为， ∴此点在一、二象限， ∴此函数的图象一定经过一、三象限， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴， 故选：D． 【变式2】已知，在正比例函数的图象上，则 .（填“”或“”或“”）. 【答案】 【分析】根据正比例函数的增减性解答. 【详解】∵<0， ∴y随着x的增大而减小， ∵1<2， ∴>， 故答案为：>. 【点睛】此题考查了正比例函数的增减性：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握正比例函数的增减性是解此题的关键. 【变式3】若函数是正比例函数，且图象在二、四象限，则 ． 【答案】-2 【知识点】正比例函数的性质、正比例函数的定义 【分析】依据正比例函数的定义可知，由正比例函数的性质可知，故此可求得m的值． 【详解】解：函数是正比例函数，且图象在二、四象限， 且，解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx．当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． 考点2判断一次函数图像 典例2：若，，则一次函数的图象大致是（   ） A．   B． C．   D．   【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数，当，时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当，时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当，时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当，时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键．根据，，可得，，从而得到 ，进而得到一次函数的图象经过第二、三、四象限，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴，， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：C． 【变式1】如图，该直线是某个一次函数的图像，这个一次函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查了一次函数图像与系数的关系：一次函数（为常数，）是一条直线，当，时，图像经过一、二、三象限；当，时，图像经过一、三、四象限；当，时，图像经过一、二、四象限；当，时，图像经过二、三、四象限；由图像得出函数图像经过第一、二、四象限，故，，再逐项判断即可得出答案． 【详解】解：由图像可得：该函数图像经过第一、二、四象限，故，， A、若，则，不符合题意； B、若，则，不符合题意； C、中，，，不符合题意； D、若，则，符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】此题考查函数的图象，根据一次函数图象的性质分析，了解一次函数图象的性质：当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．同时注意直线越陡，则越大． 【详解】解：由图象可得：，，，， 由于直线比陡，直线比陡， ，， ， 故答案为：． 【变式3】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥． （1）y随x的增大而增大的有 ；（2）y随x的增大而减小的有 ；（3）图象互相平行的有 ；（4）与x轴交于正半轴的有 ；（5）与y轴交于正半轴的有 ． 【答案】 ②③⑥ ①④⑤ ②⑥ ①② ①③ 【知识点】判断一次函数的图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大；反之，y随x的增大而减小．当时，与y轴交于正半轴，反之与y轴交于负半轴．根据一次函数的图象和性质，逐个判断即可． 【详解】解：①， ∵， ∴y随x的增大而减小， 当时，，解得， ∴与x轴交于正半轴， ∵， ∴与y轴交于正半轴； ② ∵， ∴y随x的增大而增大， 当时，，解得， ∴与x轴交于正半轴， ∵， ∴与y轴交于负半轴； ③， ∵， ∴y随x的增大而增大， 当时，，解得， ∴与x轴交于负半轴， ∵， ∴与y轴交于正半轴； ④， ∵， ∴y随x的增大而减小， 当时，，解得， ∴与x轴交于负半轴， ∵， ∴与y轴交于负半轴； ⑤， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴该函数经过原点； ⑥， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴该函数经过原点； ∵和的k值相等， ∴和互相平行； （1）y随x的增大而增大的有②③⑥； （2）y随x的增大而减小的有①④⑤； （3）图象互相平行的有②⑥； （4）与x轴交于正半轴的有①②； （5）与y轴交于正半轴的有①③． 故答案为：②③⑥；①④⑤；②⑥；①②；①③． 考点3：一次函数——图像经过的象限 典例3：已知一次函数的图象如图所示，则函数的图象一定经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【知识点】正比例函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数，函数值随自变量的增大而增大，可以得到，再根据图像可以得到，即可得出，然后根据正比例函数的性质，即可得到函数的图象经过哪几个象限． 【详解】解：一次函数，函数值随自变量的增大而增大， ， 交y轴负半轴， ， ∴ 函数的图象经过二、四象限， 故选：B． 【变式1】一次函数 （b为常数，且）的图象不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数图象与系数的关系等知识点，掌握一次函数图像与系数的关系是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质可得出，再利用一次函数图象与系数的关系即可解答． 【详解】解：一次函数 （b为常数，且）， ∴， ∴y随着x的增大而减小， ∵， ∴一次函数的图象经过第二、一、四象限， ∴一次函数的图象不经过第三象限． 故选：C． 【变式2】已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查一次函数的性质，先一次函数的图象过第一，三，四象限得到，然后根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一，三，四象限， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， 即直线不经过第三象限． 故答案为：三． 【变式3】一次函数 不经过第 象限． 【答案】二 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k，b关系，熟练掌握一次函数图象的位置与k，b的符号关系是解答此题的关键； 一次函数的系数，那么图象经过二、四象限，常数项，所以直线与y轴的交点在负半轴上，即可结果。 【详解】一次函数，中，， 该函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 考点4：一次函数——求字母的取值 典例4：一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数之间的关系，由一次函数的图象不经过第一象限可以得到其经过二、三、四象限或二、四象限，由此即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第一象限， ∴，， 解得：， 故选：C． 【变式1】一次函数的图象经过第一、二、四象限，若点在该一次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】A 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和系数的关系以及增减性是解题关键．根据一次函数图象经过的象限，得出，再利用一次函数的增减性，即可判断出函数值的大小． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， 随的增大而减小， ， ， 故选：A． 【变式2】若直线与坐标轴围成的三角形内（不包含边界）有且仅有6个整点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，根据表达式判断出图象，通过图象找出临界点，再进行计算即可，画出图象，找出临界点是解题的关键． 【详解】解：如图，直线一定过点， 把代入得，，此时直线与坐标轴围成的三角形内有3个顶点， 把，代入得，，此时直线与坐标轴围成的三角形内有6个顶点， 直线与坐标轴围成的三角形内（不包含边界）有且仅有6个整点， 的取值范围是． 【变式3】若直线经过点，与x轴交于点A，且，则 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数关系式．先利用三角形面积公式求出或，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设， ， ∵， ∴由题意得，则， 解得或， ∴或， 把，代入， ，解得； 把，代入， ，解得； 综上，的值为． 故答案为：． 考点5：一次函数——坐标轴交点 典例5：一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题．解题的关键是求出一次函数与坐标轴的交点坐标．求出的图象与坐标轴的交点，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：一次函数与轴交于点， 又当时，，解得， 一次函数与轴交于点， 一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为． 故选：B． 【变式1】已知一次函数与坐标轴交于点和点，如图，以为边作正方形，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数图象与坐标轴的交点问题、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查一次函数图像与坐标轴的交点坐标和正方形的性质，先根据正方形的性质证明，得出，，再求出一次函数与坐标轴的交点坐标，即可得出点的坐标．得出，是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点， ∴， ∵轴轴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵一次函数与坐标轴交于点和点， 当时，则；当时，则，得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标是． 故选：C． 【变式2】若一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“的图象在二、四象限；的图象在二、三、四象限”是解题的关键． 分两种情况考虑，当一次函数的图象经过第二、四象限时，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于k的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出k值；当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：分两种情况考虑： 当一次函数的图象经过第二、四象限时，得 解得：； 当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，得 ， 解得：． ∴k的取值范围是． 故答案为：． 【变式3】若一次函数的图象经过第一、第二、第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，由一次函数的图象经过第一、第二、第四象限可得，解不等式组即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、第二、第四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 考点6：一次函数——平移问题 典例6：将直线经过适当变换后得到直线，要使经过原点，则可以将直线（   ） A．向上平移个单位 B．向下平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】C 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，首先求出一次函数图象与轴的交点坐标为，如果平移后直线经过原点，则要平移后图象要经过点，所以要向右平移个单位长度． 【详解】解：当时，可得：， 解得：， 直线与轴的交点坐标为， 直线经过适当变换后得到直线，要使经过原点， 则直线与轴的交点坐标为， 需要向右平移个单位长度， 故选：C． 【变式1】在平面直角坐标系中，将直线平移后得直线．下列平移方法正确的是（   ）． A．向上平移个单位长度 B．向下平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据一次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，逐项判断即可求解，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：、将直线向上平移个单位长度后得到的直线为，该选项不合题意； 、将直线向下平移个单位长度后得到的直线为，该选项符合题意； 、将直线向左平移个单位长度后得到的直线为，该选项不合题意； 、将直线向右平移个单位长度后得到的直线为，该选项不合题意； 故选：． 【变式2】已知一次函数的图象经过点，则 ，y随x的增大而 ，图象经过 象限，若把该函数图象沿y轴向下平移5个单位，所得图象的函数表达式是 ． 【答案】 2 增大 第一、二、三 / 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性 【分析】此题主要考查了一次函数的性质，把代入解析式求出的值，然后根据一次函数的性质以及平移的规律得出结论． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ， ， ， 随的增大而增大， ，， 图象经过第一、二、三象限， 把该函数图象沿轴向下平移5个单位，所得图象的函数表达式是， 故答案为：2，增大，第一、二、三，． 【变式3】在平面直角坐标系中，将直线向左平移个单位长度，得到直线，则 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：将直线向左平移个单位长度得， ∵， ∴，解得， 故答案为：． 考点7：一次函数——判断增减性 典例7：在一次函数的图象上有、两点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质．熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．一次函数中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故选：C． 【变式1】若一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．y随x的增大而增大 D．时， 【答案】B 【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据一次函数的图象和一次函数的性质，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， ，故选项A错误，不符合题意； 当，时，故选项B正确，符合题意； 随的增大而减小，故选项C错误，不符合题意； 当时，，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】已知一次函数的图象不经过第三象限，且图象经过、、三点，则、、的大小关系 ． 【答案】/ 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的图象不经过第三象限可得，，进而根据图象经过、、三点，即可求解． 【详解】∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴，， ∴随的增大而减小， ∵一次函数的图象经过、、三点， ∴ 故答案为：． 【变式3】若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、判断一次函数的增减性、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 先根据点代入可得，再根据一次函数的增减性即可得． 【详解】点在一次函数的图象上， ，解得：， 一次函数解析式为， ， 随的增大而减小， 又点，点都在一次函数的图象上，且， ． 故答案为：． 考点8：一次函数——增减性应用 典例8：当时，一次函数有最大值，则实数的值为（    ） A．1 B．1或 C．2 D．2或 【答案】D 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的解析式得出该函数随的增大而减小，结合题意得出当时，，计算即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴该函数随的增大而减小， ∵当时，一次函数有最大值， ∴当时，， 解得：， 故选：D． 【变式1】已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查了一次函数的性质，先求出此直线交轴于，交轴于，画出图象，结合一次函数的增减性，逐项判断即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：当时，，则此直线交轴于， 当时，，解得：，则此直线交轴于， 画出一次函数的图象如图所示： ， 若，且， ，， 此时，但的正负无法判断，故A选项错误，不符合题意； 若，且， ，， 此时，，故，故B选项正确，符合题意； 若，且， 或， 当时，，此时的正负无法判断，故C选项错误，不符合题意； 若，且， ，，此时，但的正负无法判断，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】已知一次函数，当时，，则的值为 ． 【答案】1或 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质．利用一次函数的性质，当时，，；，，当时，，；，，然后分别利用待定系数法求出一次函数解析式，从而得到的值． 【详解】解：当时，，；，， ， 解得， 当时，，；，， ， 解得， 综上所述，k的值为或； 故答案为：1或． 【变式3】已知a，b，c是非负数，且满足，设，则y的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】三元一次方程组的定义及解、求不等式组的解集、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查了三元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的图象与性质．熟练掌握三元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的图象与性质是解题的关键． 依题意得，，解得，，由a，b，c是非负数，可得，解得，，则，根据一次函数的性质求解作答即可． 【详解】解：依题意得，， 解得，， ∵a，b，c是非负数， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴当时，， 故答案为：4． 考点9：一次函数——比较函数值 典例9：已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：， 随的增大而减小， 又点，，，在一次函数的图象上，且， ． 故选：C． 【变式1】已知，是直线上的两个点，且，下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质和，是直线上的两个点，且，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：直线， 随的增大而减小，当时，， ，是直线上的两个点，且， 若，则可能大于，也可能小于，故无法判断的正负，选项A、B均不符合题意； 若，则，故，故选项C符合题意，选项D不符合题意； 故选：C． 【变式2】当 时，函数是一次函数．已知点，都在这个一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 【答案】 1 / 【知识点】比较一次函数值的大小、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质及一次函数的定义，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据一次函数定义可得，且，再解即可； （2）根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）由题意得：，且， 由可得， 由可得， 由此可得：， （2）一次函数的， 随的增大而增大， ， ． 故答案为：；． 【变式3】已知正比例函数（）的图象经过第二、四象限，不同的两点均在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，则 0．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据的图象经第二、四象限，判断出，可知的图象中，y随x值的增大而减小，由此可解．解题的关键是根据经过的象限判断出k值的正负． 【详解】解：∵（）的图象经第二、四象限， ∴， ∴的图象中，y随x值的增大而减小， 若，则， ∴，， ∴． 反之，也成立，即， 故答案为：． 考点10：一次函数——规律探究 典例10：如图，在平面直角坐标系中，点都在直线上，点都在轴上，都是等腰直角三角形，其中都是直角．如果点的坐标为，那么点的纵坐标是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列、、纵坐标得出一般规律，再按照规律求出的纵坐标即可得到答案，罗列、、纵坐标得出一般规律是解决问题的关键． 【详解】解：直线与轴交于点， ，解得， 直线解析式为， 作轴，轴，轴，如图所示： ， ；的纵坐标为1， 都是等腰直角三角形， 设， ，将坐标代入直线解析式得，解得， ，的纵坐标为， 设，则， 代入直线解析式，解得， ， 的纵坐标为， 的纵坐标为， 故选：C． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点……依次进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及规律型中数字的变化类，找出点的横坐标是解题的关键．由题意分别求出的坐标，找出的横坐标的规律，即可求解． 【详解】解：∵过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，……依次进行下去， ∴与横坐标相同，与纵坐标相同， ∴当时，， ∴， ∴当时，， ， 同理可得：，，，，… ∴的横坐标为， 当时，， ∴点的横坐标． 故选：C． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则的顶点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】一次函数的规律探究问题、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、等腰直角三角形的性质，先求出的坐标并归纳出规律是解题关键．先求出的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题． 【详解】解：由题意得：把代入直线， 得， 把代入直线得： ∴， 由等腰直角三角形的性质得：， 的横坐标为 则的横坐标为1，代入直线得，，即， 由等腰直角三角形的性质得， ， 即的横坐标为， 同理可得：的横坐标为， ∴的横坐标为（为正整数）， ∴的横坐标为：， 把代入，得：， ∴； 故答案为：． 【变式3】在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点…在直线l上，点…在y轴正半轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、一次函数的规律探究问题 【分析】此题考查一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标的变化，根据一次函数图象上点的坐标特征找出、、、的坐标，结合图形即可得所求点是线段的中点，由此即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，直线l：与轴交于点，x轴交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，，， ∴，点是线段的中点， ∴， 同理，，…， ∴（n为正整数），点是线段的中点， ∴点的坐标是， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一次函数的图像性质 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）一次函数图像性质 函数解析式 （） （） k，b符号 k＞0 k<0 b＞0 b＜0 b=0 b>0 b<0 b=0 大致 图象 经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四 图象性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 定点 （，0）（0，b） （1，k） （0，0） （，0）（0，b） （1，k） （0，0） （二）一次函数系数k、b与图像的关系 （1）k＞0→y随x的增大而增大；k＜0→y随x的增大而减小 （2）b＞0→与y轴交于正半轴； b＜0→与y轴交于负半轴 （三）一次函数图像的平移 （1）一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同. （2）若向上平移h单位，则+h；若向下平移h单位，则-h。即“上加下减” （3）若向左平移h单位，则；若向右平移h单位，则。即“左加右减” 模块三 考点一遍过 考点1：正比例函数图像性质 典例1：关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 【变式1】如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点，那么一定有（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知，在正比例函数的图象上，则 .（填“”或“”或“”）. 【变式3】若函数是正比例函数，且图象在二、四象限，则 ． 考点2判断一次函数图像 典例2：若，，则一次函数的图象大致是（   ） A．   B． C．   D．   【变式1】如图，该直线是某个一次函数的图像，这个一次函数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 【变式3】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥． （1）y随x的增大而增大的有 ；（2）y随x的增大而减小的有 ；（3）图象互相平行的有 ；（4）与x轴交于正半轴的有 ；（5）与y轴交于正半轴的有 ． 考点3：一次函数——图像经过的象限 典例3：已知一次函数的图象如图所示，则函数的图象一定经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限 【变式1】一次函数 （b为常数，且）的图象不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 象限． 【变式3】一次函数 不经过第 象限． 考点4：一次函数——求字母的取值 典例4：一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】一次函数的图象经过第一、二、四象限，若点在该一次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 【变式2】若直线与坐标轴围成的三角形内（不包含边界）有且仅有6个整点，则的取值范围是 ． 【变式3】若直线经过点，与x轴交于点A，且，则 考点5：一次函数——坐标轴交点 典例5：一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】已知一次函数与坐标轴交于点和点，如图，以为边作正方形，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 【变式3】若一次函数的图象经过第一、第二、第四象限，则的取值范围是 ． 考点6：一次函数——平移问题 典例6：将直线经过适当变换后得到直线，要使经过原点，则可以将直线（   ） A．向上平移个单位 B．向下平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【变式1】在平面直角坐标系中，将直线平移后得直线．下列平移方法正确的是（   ）． A．向上平移个单位长度 B．向下平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式2】已知一次函数的图象经过点，则 ，y随x的增大而 ，图象经过 象限，若把该函数图象沿y轴向下平移5个单位，所得图象的函数表达式是 ． 【变式3】在平面直角坐标系中，将直线向左平移个单位长度，得到直线，则 ． 考点7：一次函数——判断增减性 典例7：在一次函数的图象上有、两点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【变式1】若一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．y随x的增大而增大 D．时， 【变式2】已知一次函数的图象不经过第三象限，且图象经过、、三点，则、、的大小关系 ． 【变式3】若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是 ． 考点8：一次函数——增减性应用 典例8：当时，一次函数有最大值，则实数的值为（    ） A．1 B．1或 C．2 D．2或 【变式1】已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】已知一次函数，当时，，则的值为 ． 【变式3】已知a，b，c是非负数，且满足，设，则y的最小值为 ． 考点9：一次函数——比较函数值 典例9：已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】已知，是直线上的两个点，且，下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】当 时，函数是一次函数．已知点，都在这个一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 【变式3】已知正比例函数（）的图象经过第二、四象限，不同的两点均在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，则 0．（填“”“”或“”） 考点10：一次函数——规律探究 典例10：如图，在平面直角坐标系中，点都在直线上，点都在轴上，都是等腰直角三角形，其中都是直角．如果点的坐标为，那么点的纵坐标是（   ） A．2025 B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点……依次进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则的顶点的坐标为 ． 【变式3】在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点…在直线l上，点…在y轴正半轴上，则点的横坐标是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$