8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系7种题型讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

空间中点、直线和平面的位置关系7种题型 【思维导图】 题型一、点、线共面问题 【解题方法】 证明点、线共面的方法 证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有: (1)辅助平面法,先证明有关点、线确定平面 ,再证明其余点、线确定平面 ,最后证明平面,重合; (2)纳入平面法,先由条件确定一个平面,再证明有关的点、线在此平面内! 1．如图，已知直线，，，．求证：a，b，c，l共面． 1．证明见解析 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题 【分析】根据平面的基本性质分别得到和三线共面，即可求解. 【详解】证明：因为，所以与共面， 又由，，所以三线共面； 同理可证三线共面， 所以四条直线共面. 题型二、点共线问题 【解题方法】 证明点共线的方法 证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.此类问题的证明常用以下两种方法: (1)先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上; (2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上. 2．已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线. 2．证明见解析 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】推导出P，Q，R都在平面ABC与平面α的交线上，即可证明. 【详解】证明：法一：∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α. 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上. ∴P，Q，R三点共线. 法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR， ∴P，Q，R三点共线. 3．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线． 3．证明见解析 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】如下图所示，连接A1B，CD1．易证BD1⊂平面A1BCD1． BD1⊂平面ABC1D1．即 平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1，下证 Q∈平面A1BCD1．Q∈平面A1BCD1．即可. 【详解】如下图所示，连接A1B，CD1．显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1． ∴BD1⊂平面A1BCD1． 同理BD1⊂平面ABC1D1． ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1． ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面ABC1D1． 又∵A1C⊂平面A1BCD1， ∴Q∈平面A1BCD1． ∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线． 【点睛】证明共线问题的主要依据是公理3，常用的有两种方法：①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上． 题型三、线共点问题 【解题方法】 证明三线共点的方法 证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点,再证明第三条直线也过该点.常结合基本事实3,证明该点在不重合的两个平面内，即该点在两个平面的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点、. 4．三个平面两两相交于三条直线，即，，，若直线a和b不平行，求证：三条直线必相交于同一点. 4．证明见解析 【知识点】空间中的线共点问题 【分析】直线a和b不平行可知相交于一点P,根据可知P是平面的公共点，故可证，即可得证. 【详解】证明：如图，    ，，，. ∵直线a和b不平行，必相交. 设，则. . 又. 三条直线必相交于同一点. 【点睛】本题主要考查了多线共点问题，考查了推理论证能力，属于中档题. 题型四、平面的交线问题 【解题方法】 找两个平面交线的突破口 基本事实3告诉我们,如果两个平面有一个公共点,那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点,就找到了它们的交线.因此找两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点. 5．正方体ABCD﹣A'B'C'D'棱长为2，并且E，F分别是棱AA'，CC'的中点． （Ⅰ）求证：平面BED'F⊥平面BB'D'D； （Ⅱ）求直线A'B'与平面BED'F所成的角的正弦值． 5．（Ⅰ）证明见解析　（Ⅱ） 【知识点】线面角的向量求法、证明面面垂直 【分析】（Ⅰ））分别以直线DA，DC，DD′为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，计算平面BED′F的法向量为，平面BB′D′D的法向量为，计算得到证明. （Ⅱ）计算，再计算，得到答案. 【详解】（Ⅰ）分别以直线DA，DC，DD′为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则： D（0，0，0），D′（0，0，2），E（2，0，1），B（2，2，0）， ∴，，， 设平面BED′F的法向量为，则：∴ 消去x得，y＝x，取x＝1，则得出平面BED′F的一个法向量为， 设平面BB′D′D的法向量为，则，∴ ∴y＝﹣x，取x＝1，则得出平面BB′D′D的一个法向量为， ∵，∴， ∴平面BED'F⊥平面BB'D'D； （Ⅱ）∵A′（2，0，2），B′（2，2，2）， ∴，且由（Ⅰ）知平面BED'F的法向量， ∴， ∴直线A'B'与平面BED'F所成的角的正弦值为． 【点睛】本题考查了面面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 题型五、直线与直线的位置关系 【解题方法】 判定或证明两条直线异面的常用方法 1.定义法:不同在任何一个平面内的两条直线异面 2.教材第130页【例2】的结论:与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线.我们称其为异面直线的判定定理. 3.推论法:-条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线. 4.证明立体几何问题的一种重要方法(反证法):第一步,提出与结论相反的假设;第二步,由此假设推出与已知条件或某一基本事实、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果;第三步,推翻假设,从而证明原结论是正确的.. 6．如图，若P是所在平面外一点，，，N为垂足.M为AB的中点，求证：PN与MC为异面直线. 6．见解析 【知识点】异面直线的判定、异面直线的概念及辨析 【解析】根据点和直线、点和平面的位置关系,可证明平面ABC,平面,而,即可证明直线与为异面直线. 【详解】证明：∵,,为垂足,是的中点, ∴点与点不重合 ∵平面,平面,平面, ∴由异面直线的判定定理可知,直线与为异面直线 【点睛】本题考查了异面直线的判定,点和直线、点和平面的位置关系,属于基础题. 题型六、直线与平面的位置关系 【解题方法】 空间中直线与平面有且只有三种位置关系:直线在平面内(有无数个公共点)，直线与平面相交(有且只有一个公共点),直线与平面平行(无公共点).判断空间中直线与平面的位置关系,一般先作出几何图形,直观判断,然后依据基本事实给出证明.另外,借助模型(如正方体、长方体)举反例也是解决这类问题的有效方法. 7．给出以下命题（其中表示直线，表示平面）：①若，则；②若，则；③若，，则；④若的同侧有两点到平面的距离相等，则. 其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．B 【知识点】线面平行的性质、判断线面平行 【解析】通过长方体中的线面关系可说明①②③错误，而④可由线面平行的判定定理证明． 【详解】 借助长方体判断，如图，在长方体中，平面，平面，但与相交，故①错误；，平面，但平面，故②错误；平面，平面，但与异面，故③错误，④两个距离，则是平行四边形，从而有，于是有线面平行，④正确. 故选：B 【点睛】本题考查线面平行的判定与性质定理，掌握两个定理是解题关键．举反例说明命题不正确是常用方法． 题型七、平面与平面的位置关系 【解题方法】 两个平面之间的位置关系有且只有两种:平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言,借助空间图形进行判断. 8．α，β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是(　　) A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β 8．D 【详解】对于，与可能相交或平行，错；对于B，与可能相交或平行，错；对于C， 与可能相交或平行，错；D符合面面平行的定义，正确，选D. 点睛：本题主要考查了空间中的点、线、面的位置关系的判定，解答中涉及到平面与平面的判定，直线与平面的判定等知识点的综合应用，试题比较基础，属于基础题，解答中熟记点、线、面位置的关系的判定与性质定理是解答的关键. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间中点、直线和平面的位置关系7种题型 【思维导图】 题型一、点、线共面问题 【解题方法】 证明点、线共面的方法 证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有: (1)辅助平面法,先证明有关点、线确定平面 ,再证明其余点、线确定平面 ,最后证明平面,重合; (2)纳入平面法,先由条件确定一个平面,再证明有关的点、线在此平面内! 1．如图，已知直线，，，．求证：a，b，c，l共面． 题型二、点共线问题 【解题方法】 证明点共线的方法 证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.此类问题的证明常用以下两种方法: (1)先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上; (2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上. 2．已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线. 3．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线． 题型三、线共点问题 【解题方法】 证明三线共点的方法 证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点,再证明第三条直线也过该点.常结合基本事实3,证明该点在不重合的两个平面内，即该点在两个平面的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点、. 4．三个平面两两相交于三条直线，即，，，若直线a和b不平行，求证：三条直线必相交于同一点. 题型四、平面的交线问题 【解题方法】 找两个平面交线的突破口 基本事实3告诉我们,如果两个平面有一个公共点,那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点,就找到了它们的交线.因此找两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点. 5．正方体ABCD﹣A'B'C'D'棱长为2，并且E，F分别是棱AA'，CC'的中点． （Ⅰ）求证：平面BED'F⊥平面BB'D'D； （Ⅱ）求直线A'B'与平面BED'F所成的角的正弦值． 题型五、直线与直线的位置关系 【解题方法】 判定或证明两条直线异面的常用方法 1.定义法:不同在任何一个平面内的两条直线异面 2.教材第130页【例2】的结论:与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线.我们称其为异面直线的判定定理. 3.推论法:-条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线. 4.证明立体几何问题的一种重要方法(反证法):第一步,提出与结论相反的假设;第二步,由此假设推出与已知条件或某一基本事实、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果;第三步,推翻假设,从而证明原结论是正确的.. 6．如图，若P是所在平面外一点，，，N为垂足.M为AB的中点，求证：PN与MC为异面直线. 题型六、直线与平面的位置关系 【解题方法】 空间中直线与平面有且只有三种位置关系:直线在平面内(有无数个公共点)，直线与平面相交(有且只有一个公共点),直线与平面平行(无公共点).判断空间中直线与平面的位置关系,一般先作出几何图形,直观判断,然后依据基本事实给出证明.另外,借助模型(如正方体、长方体)举反例也是解决这类问题的有效方法. 7．给出以下命题（其中表示直线，表示平面）：①若，则；②若，则；③若，，则；④若的同侧有两点到平面的距离相等，则. 其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型七、平面与平面的位置关系 【解题方法】 两个平面之间的位置关系有且只有两种:平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言,借助空间图形进行判断. 8．α，β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是(　　) A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$