精品解析：广东省茂名市化州市2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

2024-2025学年度第二学期期中学科素养测评 高中一年级数学试卷 说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目. 2、选择题每小题选出答案后，把答案填在答题卷相应的位置上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液、不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回. 一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，那么（ ）. A. B. C. D. 5. 已知幂函数图像过点，若，则实数的值为 A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知p：m－2＜x＜m＋1，q：，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（ ） A. 4＜m＜5 B. C. m＞5或m＜4 D. m＞5或 8. 已知是减函数，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选齐全对的得6分，漏选答案得相应分，错选和不选得0分. 9. 在△ABC中a∶b∶c=2∶3∶4，则（ ） A. 最大角为角A B. sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4 C. △ABC钝角三角形 D. 若4，则 10. 已知是两条直线，是两个平面，则下列说法中正确的序号为（ ） A. 若，，则直线就平行于平面内无数条直线 B. 若，，，则与平行直线 C. 若，，则 D. 若，，则与一定相交 11. 定义域为的函数满足，，且时，，则（ ） A. 为奇函数 B. 在单调递增 C. D. 不等式的解集为 三、填空题：本大题共3个小题，每个小题5分，共15分. 12. 若，则函数的最小值为__________. 13. 圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为____. 14. 如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则________． 四、解答题：本大题共5个小题，满分共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 16. 已知平面向量. （1）若，求值； （2）若求值； （3）若向量，若与共线，求 17. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点. （1）求证：∥平面； （2）求三棱锥的体积. 18. 丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”．该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元．若这种水果的市场售价为元/千克，且水果销路畅通．记该水果树的单株年利润为（单位：元）． （1）求函数的解析式； （2）求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 19. 已知函数（）. （1）若不等式恒成立，求m的取值范围； （2）解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中学科素养测评 高中一年级数学试卷 说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目. 2、选择题每小题选出答案后，把答案填在答题卷相应的位置上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液、不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回. 一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，即可根据交集定义求出. 【详解】可知或， . 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解和交集的运算，属于基础题. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题, 即可求解. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：C． 3. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简复数，由虚部定义可得结果. 【详解】，的虚部为. 故选：A. 4. 已知，那么（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合齐次化问题分析求解. 【详解】因为，解得. 故选：B 5. 已知幂函数的图像过点，若，则实数的值为 A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将点代入函数解析式，求出参数值，令函数值等于3，可求出自变量的值. 【详解】依题意有2＝4a，得a＝，所以， 当时，m＝9. 【点睛】本题考查函数解析式以及由函数值求自变量，一般由函数值求自变量的值时要注意自变量取值范围以及题干的要求，避免多解. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算得解. 【详解】由，得. 故选：A 7. 已知p：m－2＜x＜m＋1，q：，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（ ） A. 4＜m＜5 B. C. m＞5或m＜4 D. m＞5或 【答案】B 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式得到，再根据p是q的充分不必要条件，得到与的推导关系，从而得到不等式组，解得即可； 【详解】解：由，得， ∴， 又p是q的充分不必要条件，， 所以由能推出，而由推不出，， . 故选：B． 8. 已知是减函数，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，当时根据函数解析式可得函数的图象，即可求解. 【详解】因为是减函数，且是增函数， 所以， 因为， 又当时，， 所以函数的图象是对称轴为直线，顶点为，开口向上的抛物线的一部分，只有选项B符合题意. 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选齐全对的得6分，漏选答案得相应分，错选和不选得0分. 9. 在△ABC中a∶b∶c=2∶3∶4，则（ ） A. 最大角为角A B. sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4 C. △ABC是钝角三角形 D. 若4，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：由大边对大角可知，角C为最大角；对于B：由正弦定理可知；对于C：利用余弦定理代入计算判定；对于D：根据题意可得，，代入面积公式计算判断． 【详解】解析：由大边对大角可知，角C为最大角，A错误； 由正弦定理可知，B正确； 根据题意可设：，，即角为钝角，C正确； 由C可得，由可得 所以，D正确. 故选：BCD． 10. 已知是两条直线，是两个平面，则下列说法中正确的序号为（ ） A. 若，，则直线就平行于平面内无数条直线 B. 若，，，则与是平行直线 C. 若，，则 D 若，，则与一定相交 【答案】AC 【解析】 【分析】由线线关系、线面关系即线面平行判定定理可得答案.. 【详解】A中，，，则或，所以不管在平面内还是平面外，都有结论成立，故A正确； B中，直线与b没有交点，所以与b可能异面，也可能平行，故B错误； C中，直线与平面没有公共点，所以，故C正确； D中，直线与平面有可能平行，故D错误. 故选：AC. 11. 定义域为的函数满足，，且时，，则（ ） A. 为奇函数 B. 在单调递增 C. D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，令，求出，然后令结合函数奇偶的定义判断，对于B，设，则由题意可得，再结合奇函数的性质进行判断，对于C，令求出，再利用奇函数的定义可求得，对于D，由题意可得，将不等式转化为，再利用其单调性求解即可. 【详解】对于A，由题，，于是，令，则， 即，所以为奇函数，A正确； 对于B，设，则有，即， 即有，所以在上单调递增， 由于，为奇函数，可知在上单调递增，B正确； 对于C，由，得， 又为奇函数，则，C错误； 对于D，由题意得，， 则等价于， 则有，即，D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题是利用抽象函数作为探究创新情境，主要考查函数奇偶性、对称性等基础知识；解题的关键是利用赋值法求解. 三、填空题：本大题共3个小题，每个小题5分，共15分. 12. 若，则函数的最小值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】 将函数构造为，结合均值不等式即可. 【详解】解：因为，所以 所以 当且仅当即时等号成立. 故答案为：6 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 13. 圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为____. 【答案】100π 【解析】 【分析】作出圆柱的轴截面矩形，矩形的外接圆是球的大圆，由轴截面计算出球的半径可得表面积． 【详解】如图矩形是圆柱的轴截面，矩形的外接圆是球的大圆，O是球心，也是矩形对角线交点，中点是圆柱底面圆心，由圆柱的性质知：O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面积为100π. 故答案为：100π． 14. 如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题可用表示，后由B，P，N三点共线可得答案. 【详解】． 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以． 又B，P，N三点共线，所以，． 故答案为： 四、解答题：本大题共5个小题，满分共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角后可求得角； （2）由面积公式求得，再由余弦定理可求得，从而得三角形周长． 【详解】（1）因为，由正弦定理得， ，，所以，即， ，则，所以，． （2）由题意，， 又由余弦定理得， 所以，所以周长． 16. 已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若求的值； （3）若向量，若与共线，求 【答案】（1） （2） （3）18 【解析】 【分析】（1）由垂直向量的数量积为零，建立方程求得向量坐标，利用向量的坐标运算，可得答案； （2）由平行向量的坐标表示，建立方程求得向量坐标，利用向量的模长公式，可得答案； （3）由向量的坐标运算，求得向量坐标，利用平行向量的坐标表示，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 因为，所以，则，解得， 故，. 【小问2详解】 因为，所以，则，. 【小问3详解】 ，， 若与共线，则，解得，即， 故. 17. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点. （1）求证：∥平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）做辅助线，可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）利用转换顶点法，根据面积公式求，结合锥体的体积公式运算求解. 【小问1详解】 连接，设，连接， 在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点， 又因为为的中点，则， 因为平面，平面，所以∥平面. 【小问2详解】 因为， 在中，，E为的中点，， 可得， 所以. 18. 丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”．该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元．若这种水果的市场售价为元/千克，且水果销路畅通．记该水果树的单株年利润为（单位：元）． （1）求函数的解析式； （2）求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）施肥量为时，单株年利润最大为390元 【解析】 【分析】（1）由利润=单株产量售价成本，结合分段函数即可求解； （2）结合二次函数和基本不等式性质分别求出和时对应的，即可得解. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 故； 【小问2详解】 当时，的对称轴为，最大值为， 当时，， 当且仅当时，等号成立， 综上施肥量为时，单株年利润最大为390元. 19. 已知函数（）. （1）若不等式恒成立，求m的取值范围； （2）解不等式. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由不等式恒成立，转化为恒成立，分类讨论，结合二次函数的性质列出不等式组，即可求解； （2）由不等式，得到， 结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； 【小问1详解】 当时，，不满足恒成立，舍去； 当时，由二次函数的性质可得， 解得， 所以m的取值范围为. 【小问2详解】 由不等式，可得， 即， 若时，不等式即为，解得，不等式的解集为； 若时，不等式可化为， ①当时，不等式等价于，解得或， 不等式的解集为； ②当时，不等式等价于， 当时，即时，解得，不等式的解集为； 当时，即时，解得，不等式的解集为； 当时，即时，解得，不等式的解集为， 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $