精品解析：河南省南阳市2024-2025学年高一下学期期中质量评估数学试卷

2025年春期高中一年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、单选题．（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. （ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切函数周期性求解. 【详解】. 故选：D 2. 设扇形的弧长为18，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A 108 B. C. 180 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用弧长公式计算可得扇形半径为，再由扇形面积公式计算可得结果. 【详解】由题知，，由解得， 故扇形的面积． 故选：A． 3. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义分计算求解即可. 【详解】因为角的终边经过点， 当时，由三角函数的定义可得， ，此时，； 当时，由三角函数的定义可得， ，此时，． 综上，． 故选：B． 4. 函数的图象的对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质，应用整体法求对称中心即可. 【详解】令，，解得，， 所以的对称中心为， 故选：D． 5. 在中，若，，则点的轨迹必经过的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量加法及数乘的几何意义作出图形，即可得出判断． 【详解】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心， 故选：A． 6. ，零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将函数零点个数问题转化为与的函数图象的交点个数，利用余弦函数的图象与性质作出两个函数图象，即可判断. 【详解】令得，则函数零点的个数为方程，解的个数， 从而转化为与的交点个数， 在同一坐标系下分别作出，的函数图象，如图： 观察图象可知有两个交点（如图），所以，零点的个数为2. 故选：C 7. 在“函数”一章，已经学习了函数，对于每一个实数，其函数值是不超过的最大整数，如，，则在下列周期函数中，最小正周期最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据取整函数的性质，AB画出函数的图象即可得其周期，选项CD根据三角函数的周期可得，进而可确定. 【详解】对于A，作出函数图象如图， 易知周期为2， 对于B， 作出函数图象如图 易知周期为1， 对于C， 周期为， 对于D， 周期为， 故选：B． 8. 在平行四边形中，若，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】应用余弦定理计算结合已知条件，得出，即可得出． 【详解】在中，利用余弦定理得， 在中，利用余弦定理得， 在中，，且，所以， 所以 ，即，所以， 故或． 故选：C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 有以下四种变换方式，其中能将的图象变换成函数的图象的是（ ） A. 先向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍 B. 先向右平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍 C. 先将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度 D. 先将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象变换性质逐一判断即可. 【详解】将的图象先向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍可得函数的图象，故A满足要求； 将的图象先向右平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍可得函数的图象，故B不满足要求； 先将的图象上每个点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度可得函数的图象，故C不满足要求； 先将的图象上每个点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度可得函数的图象，故D满足要求. 答案：AD 10. 如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动．设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，则下列说法正确的有（ ） A. 是周期函数，且最小正周期为4 B. 的最大值为 C. 时，的图象与轴围成的封闭图形的面积为 D. 时，点经过的路程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据正方形滚动过程确定函数周期，再分别计算滚动过程中P点运动轨迹所形成的扇形面积以及正方形本身与x轴围成的面积，进而得出图像与x轴围成的封闭图形的面积，以此来判断选项正误 【详解】假设落在轴上时开始计时，下一次落在轴上，过程中四个顶点依次落在了轴上，而相邻两个顶点距离为正方形边长，即为1，因此该函数周期为4．考查正方形向右滚动时，点运动情况： 首先以为圆心，正方形边长为半径运动个圆， 然后以为圆心，正方形对角线长为半径运动个圆， 最后以为圆心，正方形边长为半径运动个圆，最终运动轨迹如下曲线： 由图知：图像与轴围成的封闭图形的面积为，C错误， 故选:ABD 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，两条中线，相交于点（如图），已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正弦定理及余弦定理结合向量数量积计算判断A,根据三角形面积公式计算判断B，应用数量积公式及向量夹角余弦计算判断C，D. 【详解】由得， 化简，所以 又因为，所以， ∵为边中线，， 两边平方可得，，故A正确， 又，则∽，故，则，B正确， 对于CD: 解法一： . ， 前面已得， 所以. 故C正确，D错误. 解法二：因为，所以， ， 又 ，C正确， 由A选项知：，同理：，， 所以D错误， 故选:ABC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量，满足，，，则在方向上的投影数量为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】利用投影数量的定义代入计算可得结果. 【详解】根据题意可得在方向上的投影数量为． 故答案为：3 13. 函数的值域是______． 【答案】 【解析】 【分析】分3段讨论后，根据正余弦函数的性质可得． 【详解】解：当时，，； 当时，，； 当时，，， ∴时，， 根据正余弦函数的周期性可知，． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角函数的最值,周期性，属中档题． 14. 如图在中，，，若满足，则当取最小值时，实数_____． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求得，作出图形，结合图形及两点间线段最短求出取最小值条件即可. 【详解】在中，内角所对边分别为，则 由及正弦定理，得，则， 由余弦定理，得，而，则， 如图，过点B作射线BE，使，过D作于E，则， 因此，当且仅当点共线时取等号， 此时，，，， 所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在平面直角坐标系xOy中，点. （1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数满足，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知，根据给的坐标可直接表示以AB、AC为邻边的对角线的向量坐标，然后利用坐标直接计算向量的模； （2）由已知，分别表示出，，带入给的关系式中，利用向量的数量积运算解方程即可. 【小问1详解】 由已知，设以线段AB、AC为邻边的平行四边形为， 所以，， 对角线，因此； 另一条对角线， 因此； 小问2详解】 因为，所以，， 由，即， 解得． 16. 如图是函数的一段图象． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数的图象观察函数的最大值和最小值由此求出和，观察函数的周期求出，由特殊点求出的值，从而求得函数的解析式； （2）根据正弦函数的性质得出，，求解即可． 【小问1详解】 由图易知，， ， ， ， 当时，，， 又，， 所以所求函数的解析式是：． 【小问2详解】 令，， 解得， 即函数的单调递减区间是：． 17. 在中，角所对的边分别为，，，向量，． （1）若，试判断的形状； （2）若，，，求周长的最小值． 【答案】（1）等腰三角形或直角三角形 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据向量平行利用余弦定理计算可求出或，可判断三角形形状； （2）由向量垂直的坐标表示可得，再由基本不等式计算可得周长最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 化简得， 所以有或，即或， 即为等腰三角形或直角三角形． 【小问2详解】 因为，所以． 由可得，即， 所以 当且仅当时，即取等号 于是， 所以周长的最小值是． 18. 如图，在中，，是平分线，． （1）若为锐角，，求的长； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）方法一：应用同角三角函数关系结合正弦定理及面积公式计算求解；方法二：根据余弦定理计算得出或 ，分类计数求解； （2）应用余弦定理计算得出或，再结合角平分线定理及面积公式计算求解. 【小问1详解】 方法一：，B是三角形内角，， 由正弦定理得：，又，所以， 即，由为锐角可知：， 易得，即，， 于是在中，有， 即， 解得：． 方法二：由题，，设，由余弦定理可得：， 即，可化为： 解得或 ， 当时，易知，不符合题意， ，此时， 于是在中，有， 即， 解得：． 【小问2详解】 设，则，在△ABC中，由余弦定理可得：， 解得：或． 因为AD是的平分线，所以， 即，而，所以． 又由（1）知， ①当时，； ②当时，． 综上，的面积为或． 19. 人脸识别技术是一种通过分析人脸图象或视频流中的特征信息来识别或验证个体身份的生物识别技术．其核心是将人脸图象转化为特征向量，结合机器学习实现高精度识别．而余弦相似度就是人脸识别中常用的一种衡量特征向量相似性的方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，设．（参考公式：） （1）求，两点余弦距离的最大值； （2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）2 （2）． 【解析】 【分析】（1）由数量积公式，可得，进而可得余弦距离为，即可得最大值； （2）不等式可转化为，根据，和的符号进行分类，当时，，当时，进而可得，当时，，进而可得. 小问1详解】 由题： ， 所以，两点余弦距离为：， 易知当时，，两点的余弦距离最大值为． 【小问2详解】 由（1）知不等式即为， 即在上恒成立， 由，得， 当，即时，，则不等式即为成立，此时； 当，即时，， 则不等式等价于恒成立， 此时，所以； 当，即时，， 则不等式等价于恒成立， 此时，所以， 所述：实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春期高中一年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、单选题．（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1 （ ） A. B. C. D. 1 2. 设扇形的弧长为18，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A 108 B. C. 180 D. 3. 若角的终边经过点，则（ ） A B. C. D. 4. 函数的图象的对称中心为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，，则点的轨迹必经过的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 6. ，零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 在“函数”一章，已经学习了函数，对于每一个实数，其函数值是不超过的最大整数，如，，则在下列周期函数中，最小正周期最小的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平行四边形中，若，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 有以下四种变换方式，其中能将的图象变换成函数的图象的是（ ） A. 先向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍 B. 先向右平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍 C. 先将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度 D. 先将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度 10. 如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动．设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，则下列说法正确的有（ ） A. 是周期函数，且最小正周期为4 B. 的最大值为 C. 时，的图象与轴围成的封闭图形的面积为 D. 时，点经过的路程为 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，两条中线，相交于点（如图），已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量，满足，，，则在方向上的投影数量为_____． 13. 函数的值域是______． 14. 如图在中，，，若满足，则当取最小值时，实数_____． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在平面直角坐标系xOy中，点. （1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数满足，求的值. 16. 如图是函数的一段图象． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间． 17. 在中，角所对的边分别为，，，向量，． （1）若，试判断的形状； （2）若，，，求周长的最小值． 18. 如图，在中，，是的平分线，． （1）若为锐角，，求的长； （2）若，求的面积． 19. 人脸识别技术是一种通过分析人脸图象或视频流中特征信息来识别或验证个体身份的生物识别技术．其核心是将人脸图象转化为特征向量，结合机器学习实现高精度识别．而余弦相似度就是人脸识别中常用的一种衡量特征向量相似性的方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，设．（参考公式：） （1）求，两点余弦距离的最大值； （2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $