第五章《分式与分式方程》复习与巩固（1） 2024—2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学八年级下册 第五章《分式与分式方程》 复习与巩固（1） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．分式有意义的条件是（　　） A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x≠3 D．x＝3 2．计算的结果是（　　） A． B． C．xy D． 3．计算：（　　） A．1 B．2 C． D． 4．分式方程的解为（　　） A．0 B．6 C．2 D．4 5．若把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 6．若分式可进行约分化简，则整式P不可以是（　　） A．x﹣2 B．x（x﹣2） C．x D．x2﹣4 7．如果m+n＝1，那么代数式的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 8．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．如果关于x的方程有增根，则k的值为（　　） A．﹣10 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4 10．已知分式，其中x为实数，且N≠0．则下列结论： ①若，则x＝1； ②若，则常数a＝﹣1； ③若M×N＝﹣2，则M2+N2＝11； ④不存在实数x，使得． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．若x+y＝2，xy＝﹣3，则　 　 ． 12．若分式的值为零，则x的值等于 　 　 ． 13．若关于x的分式方程有增根，则k的值为　 　 ． 14．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，一年滞尘1100mg所需的国槐树叶的片数与一年滞尘2000mg所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x mg，则根据题意可得方程是　 　 ． 15．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．化简： （1）； （2）． 17．解下列方程： （1）； （2）． 18．化简求值：，其中． 19．先化简：，然后从2，3，4中选一个合适的数作为m的值，代入求值． 20．已知x≠y，x≠﹣y，有三个代数式：A＝2x2﹣2y2，B＝x2﹣xy，C＝3x2﹣6xy+3y2． （1）因式分解A； （2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简． 21．已知关于x的分式方程． （1）当a＝3时，求此时方程的根． （2）若方程无解，求a的值． 22．某公司需向甲地紧急运送200kg的货物，决定使用A、B两种型号的无人机运送．已知每台A型无人机的单次最高载货量比每台B型无人机的单次最高载货量多10kg；在满载情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物，A型无人机共载货60kg，B型无人机共载货40kg． （1）每台A型无人机和B型无人机的单次最高载货量分别是多少kg？ （2）该公司决定使用m台A型无人机（0＜m＜5）和n台B型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成200kg的货物运送： ①求满足条件的m、n值； ②若A型无人机运费为40元/次，B型无人机运费为30元/次．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？ 23．已知，关于x的方程：． （1）若方程无解，求m的取值； （2）若方程的解为整数，求整数m的值． 24．已知，其中a＞0． （1）判断A与B的大小关系，并说明理由． （2）若a为整数时，设，求整数y的值． 25．学习新方法：把比较复杂的单项式、多项式看成一个整体，并用新字母代替（即换元），达到化繁为简的目的，这种方法称为“换元法”．请阅读以下材料，回答问题： 阅读材料（一）解方程：时，设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，当 y＝﹣2时，，解得：，经检验：x＝﹣1或都是原分式方程的解，∴原分式方程的解为x＝﹣1或． 问题（1）用换元法解分式方程：． 问题（2）结合“换元法”的思路探究分解因式：（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4． 阅读材料（二）如图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． 由图形面积之间的关系可以得到等式a2+b2+2ab＝（a+b）2； 若x满足（8﹣x）（x﹣2）＝14，求（2﹣x）2+（x﹣8）2的值． 解：设8﹣x＝a，x﹣2＝b，则（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝14，a+b＝（8﹣x）+（x﹣2）＝6， ∴（8﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×14＝8． 问题（3）请仿照上面的方法求解下面问题： ①已知（2024﹣x）（2023﹣x）＝2022，那么（2024﹣x）2+（2023﹣x）2的值为 　 　 ； ②已知，如图3，正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，则阴影部分的面积为 　 　 ． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B A C A A B B 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11． 12．﹣1． 13．3． 14．． 15．13． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）原式 ； （2）原式＝（）2• • ． 17．解：（1）， 方程两边同时乘x（2x+1），得4x＝2x+1， 解得：， 检验：把代入x（2x+1）≠0， ∴分式方程的解为； （2）， 方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得（x+1）2﹣4＝x2﹣1， 去括号，得x2+2x+1﹣4＝x2﹣1， 解得：x＝1， 检验：把x＝1代入（x+1）（x﹣1）＝0， ∴x＝1是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 18．解：原式• • ， 当a＝2，b时，原式3． 19．解：原式＝[]• • • ， ∵m﹣3≠0，m﹣4≠0， m≠3，4， ∴当m＝2时，原式3． 20．解：（1）A＝2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）； （2）选A作为分子，B作为分母，组成的分式为， ．（答案不唯一） 21．解：（1）把a＝3代入方程得， 方程两边同时乘x（x﹣1），得x（x﹣3）﹣3（x﹣1）＝x（x﹣1）， 去括号，得x2﹣3x﹣3x+3＝x2﹣x， 解得：， 检验：当时，x（x﹣1）≠0， ∴分式方程的解为； （2）， 方程两边同时乘x（x﹣1），得x（x﹣a）﹣3（x﹣1）＝x（x﹣1）， 整理，得（a+2）x＝3， ∵原分式方程无解， 则①（a+2）x＝3 无解，即 a+2＝0， ∴a＝﹣2； ②当分式方程有增根时，则x﹣1＝0， 即 x＝1，代入（a+2）x＝3，得 a＝1． 综上所述，若原分式方程无解，则a的值为1或﹣2． 22．解：（1）设每台A型无人机的单次最高载货量是x kg，则每台B型无人机的单次最高载货量是（x﹣10）kg， 由题意得：， 解得：x＝30， 经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣10＝20， 答：每台A型无人机的单次最高载货量是30kg，每台B型无人机的单次最高载货量是20kg； （2）①由题意得；30m+20n＝200， 整理得：n＝10m， ∵0＜m＜5， ∴或； ②由①可知，有2种运送方案：， 方案1的运费为：40×2+30×7＝290（元）； 方案2的运费为：40×4+30×4＝280（元）； ∵290＞280， ∴为了节省成本，该公司应使用A种型号的无人机4台，B种型号的无人机4台． 23．解：（1）， 去分母，得3（x﹣1）+6（x+1）＝mx， 去括号，得3x﹣3+6x+6＝mx， 移项、合并同类项，得（m﹣9）x＝3， 当x＝﹣1时，得9﹣m＝3， 解得m＝6； 当x＝1时，得m﹣9＝3， 解得m＝12， ∴若方程有增根，m的取值为6或12； ∵（m﹣9）x＝3， ∴当m﹣9＝0时原分式方程无解， ∴m＝9， ∵当m＝6或12时方程有增根， ∴若方程无解，m的取值为6或9或12； （2）由（1）知，（m﹣9）x＝3， ∴， ∵方程的解为整数， ∴m﹣9＝±3，m﹣9＝±1， 当m﹣9＝3时，m＝12（舍去）； 当m﹣9＝﹣3时，m＝6（舍去）； 当m﹣9＝1时，m＝10； 当m﹣9＝﹣1时，m＝8； ∴m＝8或10． 24．解：（1）∵， ∴A﹣B ． ∵a＞0， ∴（a﹣1）2≥0，a+1＞0， ∴， ∴A≥B； （2）∵，， ∴y ， ∵a为大于0的整数，y为整数， ∴a+1＝±1或a+1＝±2， ∴a＝0或a＝﹣2或a＝1或a＝﹣3， ∵a＞0， ∴a＝1， ∴y＝43． 25．解：问题（1）： 设y，则，原方程变为y， 解得y＝±1， 经检验y＝±1是原方程的解， 当y＝1时，即1， 解得x， 当y＝﹣1时，即1， 解得x， 经检验x，x都是原方程的解， ∴原方程的解为x或x； 问题（2）：设y＝x2﹣4x，则原式可化为（y+2）（y+6）+4， ∵（y+2）（y+6）+4 ＝y2+8y+12+4 ＝y2+8y+16 ＝（y+4）2， ∴（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4 ＝（x2﹣4x+4）2， ＝（x﹣2）4； 问题（3）： ①设a＝2024﹣x，b＝2023﹣x，则a﹣b＝1，ab＝（2024﹣x）（2023﹣x）＝2022， ∴（2024﹣x）2+（2023﹣x）2 ＝a2+b2 ＝（a﹣b）2+2ab ＝1+2×2022 ＝4045， 故答案为：4045； ②由题意得，正方形MNRF的边长为x﹣1，正方形DFGH的边长为x﹣3， 设m＝x﹣1，n＝x﹣3，则m﹣n＝2， 由于长方形EMFD的面积是48， ∴（x﹣1）（x﹣3）＝mn＝48， ∵（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝4+4×48＝196， ∴m+n＝14，（取正值） ∴S阴影＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2 ＝m2﹣n2 ＝（m+n）（m﹣n） ＝14×2 ＝28， 故答案为：28． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$