8.4.1 平面课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1 平面 侧面 上底面 下底面 顶点 ′ ′ ′ ′ ′ ′ 底面 侧棱 顶点 侧面 立体图形都是由点、直线、平面等基本元素组成的，要研究立体图形的结构特征，就要研究这些基本元素之间的位置关系，我们先从认识点、直线、平面这些基本元素开始． 课堂导入 点A 直线l 现实事物抽象得到的 对于本节要学习的“平面”，可以从生活中哪些物体抽象得到呢？ 平面有什么特点和性质呢？ 不加定义的几何概念 课堂导入 生活中有一些物体：如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的直观感觉. 几何里所说的“平面(plane)”就是从这样的一些物体中抽象出来的. 黑板面 课桌面 平静的水面 “平面”与点和直线一样，都是现实事物抽象得到的，是不加定义的几何概念 课堂探究 4 无限延展 不计大小 绝对的平 平面的 特征 不计厚薄 无限延伸 绝对的直 直线的 特征 类比 课堂探究 不计粗细 不计长短 平 无限延展 平面的表示 图形表示：通常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面． 水平放置 D C A B 课堂探究 类比直线的表示，平面应该如何表示？ 竖直放置 符号表示： 用大写英文字母表示： 平面ABCD、平面AC或平面BD. 用希腊字母表示： 平面α、平面β、平面γ等, 并写在平行四边形一个角内. 课堂探究 平面的表示 A D C B E F 在画两个相交平面时为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚线画出来或不画． A D C B E F 立体几何画图或作辅助线的原则： 看得见的画成实线，看不见的画成虚线. 课堂探究 平面的表示 8 在日常生活中，我们常常可以看到这样的现象：自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”，三脚架的三脚着地就可以支撑照相机. 由这些事实和类似经验，可以得到下面的基本事实 课堂探究 类比两点确定一条直线，几点可以确定一个平面？ 平面的基本性质 结论：过空间中一点或两点可以作无数个平面，过空间中不共线的三点只能作一个. 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 课堂探究 平面的基本性质 存在性 唯一性 基本事实1 不共线的三点确定一个平面 作用：确定一个平面的依据 不在一条直线上三个点A、B、C所确定平面，可记为平面ABC. 图形语言 课堂探究 平面的基本性质 符号语言 文字语言 图形语言 文字语言 符号语言 点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外 课堂探究 直线相交于点 图形语言 文字语言 符号语言 直线在平面外 直线在平面内 α l 直线平面相交于点 平面 相交于直线 课堂探究 思考 如果直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内？ 如果直线l与平面α有两个公共点呢? 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 平面的基本性质 课堂探究 直线上的所有点都在平面内 作用：①判断直线是否在面内 ②判定点是否在面内 平面的基本性质 课堂探究 直线的“直” 平面的“平” 直线的“无限延伸” 刻画 平面的“无限延展” 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 图形语言 符号语言 文字语言 如下图,把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？ B α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 如无特殊说明，本章中的两个平面均指两个不重合的平面. 平面的基本性质 课堂探究 α l P 作用：①判定两平面是否相交 ②判断点是否在直线上 平面的基本性质 课堂探究 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图形语言 符号语言 文字语言 基本 事实 基本事实1 基本事实2 基本事实3 文字语言 图形语言       符号语言 作用 A B C α A B α l P 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β ⇒ α∩β=l，且P∈l A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ⇒ l⊂α C∉AB⇒ 有且只有一个平面α，A∈α，B∈α，C∈α ①确定一个平面的依据 ①判断直线是否在面内 ②判定点是否在面内 ①判定两平面是否相交 ②判断点是否在直线上 总结提升 1．判断正误 (1) 经过空间任意三点能确定一个平面．(　　) (2) 平面的形状是平行四边形．(　　) (3) 一个平面的厚度可以是0.001 cm. (　　) (4) 若直线与平面有公共点，有且只有一个公共点. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 巩固练习 2．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”正确的是(　　) A．A∈l，l ∉α　　　　 B．A∈l，l ⊄α C．A⊂l，l ⊄α D．A⊂l，l ∉α 3．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(　　) A．A⊂a，a⊂α，B∈α B．A∈a，a⊂α，B∈α C．A⊂a，a∈α，B⊂α D．A∈a，a∈α，B∈α B B 巩固练习 4. 用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B； (2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上． 解：(1) 用符号表示： α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B. (2) 用符号表示：A∈α，B∈α， a∩α＝C，C ∉AB. 巩固练习 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 思考 基本事实1给出了确定一个平面的一种方法，利用基本事实1和基本事实2，再 结合“两点确定一条直线”，你还能得到一些确定一个平面的方法吗？ α a A α α b a b a P 平面的基本性质 课堂探究 5、如图所示，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1，l2，l3在同一平面内 巩固练习 5、如图所示，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1，l2，l3在同一平面内 证明：∵l1∩l2＝A， ∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B， ∴B∈l2. 又∵l2⊂α， ∴B∈α. 同理可证C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3， ∴l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面α内． 方法技巧：先确定一个平面 再证明点、线在此平面内 巩固练习 6. 已知，，. 求证：直线在同一平面内. 巩固练习 6. 如图所示，已知，，. 求证：直线在同一平面内. 证明：如图所示，∵， ∴过有且只有一个平面. ∵，， ∴，，且，， ∴. 即直线在同一平面内. 巩固练习 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线. 巩固练习 28 证明：∵MN∩EF=Q， ∴Q∈直线MN，Q∈直线EF， 又M∈直线CD，N∈直线AB， CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴M，N∈平面ABCD， ∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD. 同理，可得EF⊂平面ADD1A1. ∴Q∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD， ∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线. 巩固练习 29 证明三线共点的步骤 总结提升 30 8.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1P=2PA1，C1Q=2QA1. 求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点. 巩固练习 31 8.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1P=2PA1，C1Q=2QA1.求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点. 证明：如图，连接PQ. 由B1P=2PA1，C1Q=2QA1， 得PQ∥B1C1，且PQ=B1C1. 又BC∥B1C1， ∴PQ∥BC，且PQ=BC， ∴四边形BCQP为梯形， ∴直线BP，CQ相交，设交点为R， 则R∈BP，R∈CQ. 巩固练习 32 又BP⊂平面AA1B1B，CQ⊂平面AA1C1C， ∴R∈平面AA1B1B，且R∈平面AA1C1C， ∴R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线AA1上， 即R∈AA1， ∴直线AA1，BP，CQ相交于一点R. 8.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1P=2PA1，C1Q=2QA1.求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点. 巩固练习 33 9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由. 巩固练习 34 解：如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF. ∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1=BC， ∴四边形A1BCD1是平行四边形. ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1. ∴E，F，C，D1四点共面于平面D1CE. ∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE， F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE， ∴平面ABB1A1∩平面D1CE=EF. ∴过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF. 巩固练习 先作后证 35 推论： 　　推论一 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 　　推论二 经过两条相交直线，有且只有一个平面． 　　推论三 经过两条平行直线，有且只有一个平面． 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 符号语言 P∈α，且P∈β ⇒ α∩β=l，且P∈l． 符号语言 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ⇒ l⊂α． 课堂小结 36 $$