专题2 充要条件（讲义） - 河南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块1集合与充要条件中的第2个专题充要条件。本专题涵盖命题、充要条件等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题2 充要条件（讲义） 知识点1 命题 1．命题及有关的概念 （1）一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． （2）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为互逆命题． （3）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为互否命题． （4）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为互为逆否命题． （5）一般地，设“若p，则q”为原命题，那么若q，则p就叫做原命题的逆命题；若¬p，则¬q就叫做原命题的否命题；若¬q，则¬p就叫做原命题的逆否命题． 2．四种命题间的相互关系 （1）四种命题间的相互关系图 （2）真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性，即等价； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 知识点2 充要条件 1．充要条件的有关概念 （1）充分条件、必要条件 如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． （2）充要条件 如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． （3）充分不必要条件 如果p⇒q，但qp，那么称p是q的充分不必要条件． （4）必要不充分条件 如果pq，但q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件． （5）既不充分也不必要条件 如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件． 2．充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 若p是q的充分不必要条件 则AB 若p是q的必要不充分条件 则BA 若p是q的充要条件 则A＝B 若p是q的既不充分也不必要条件 则AB之间没有子集关系 3．充要条件的传递性 （1）若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的充要条件． （2）若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的充要条件． 【考试题型1】充要条件与三角函数的结合 【例1】（2025年·河南对口升学高考）在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【考试题型2】充要条件与立体几何的结合 【例2】（2024年·河南对口升学高考）在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【考试题型3】充要条件与不等式的结合 【例3】（2022年·河南对口升学高考）“”是“”的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考试题型4】考查对逆否命题定义的理解 【例4】（2019年·河南对口升学高考）已知命题“若，则且”，下列哪一个是该命题的逆否命题（ ） A．若或，则 B．若，则或 C．若且，则 D．若，则且 【考试题型5】充要条件与平面向量的结合 【例5】（2017年·河南对口升学高考）“向量”是（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型考点一 充要条件的简单判断 1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“”是“关于的函数单调递减”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 4．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．“”是“”的（       ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 题型考点二 充要条件与集合的关系 1．集合，的关系如图所示，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设A、B为两个集合，则是“”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，已知两个非空集合，，满足，则下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件 4．已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为 . 5．已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求的取值范围； 题型考点三 命题 1．下列关于不等式的命题中，为真命题的是（    ） A． B． C． D． 2．“若，则”的逆命题是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．命题“若，则”为真命题，那么不可能是（       ） A． B． C． D． 4．命题“若，则”的否命题是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．命题“，则”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（       ） A．0 B．2 C．3 D．4 6．在下列命题中，真命题的序号为 ． ①对任意实数x，均有． ②存在实数x，使得． ③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ④如果为偶数，那么a、b均为偶数． 题型考点四 充要条件和其他知识点的的综合 1．若，为空间内两条直线，则的充要条件是（    ） A．，垂直于同一平面 B．，垂直于同一条直线 C．，平行于同一个平面 D．，与同一条直线的夹角相等 2．“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数是偶函数的充要条件是（     ） A． B． C． D． 4．在中，“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．已知是非零实数，则是成等比数列的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．设为向量, 则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．复数为纯虚数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 9．已知条件，条件． (1)若，试判断条件是否为条件的必要条件，并说明理由； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 10．已知集合． (1)当时，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块1集合与充要条件中的第2个专题充要条件。本专题涵盖命题、充要条件等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题2 充要条件（讲义） 知识点1 命题 1．命题及有关的概念 （1）一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． （2）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为互逆命题． （3）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为互否命题． （4）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为互为逆否命题． （5）一般地，设“若p，则q”为原命题，那么若q，则p就叫做原命题的逆命题；若¬p，则¬q就叫做原命题的否命题；若¬q，则¬p就叫做原命题的逆否命题． 2．四种命题间的相互关系 （1）四种命题间的相互关系图 （2）真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性，即等价； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 知识点2 充要条件 1．充要条件的有关概念 （1）充分条件、必要条件 如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． （2）充要条件 如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． （3）充分不必要条件 如果p⇒q，但qp，那么称p是q的充分不必要条件． （4）必要不充分条件 如果pq，但q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件． （5）既不充分也不必要条件 如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件． 2．充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 若p是q的充分不必要条件 则AB 若p是q的必要不充分条件 则BA 若p是q的充要条件 则A＝B 若p是q的既不充分也不必要条件 则AB之间没有子集关系 3．充要条件的传递性 （1）若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的充要条件． （2）若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的充要条件． 【考试题型1】充要条件与三角函数的结合 【例1】（2025年·河南对口升学高考）在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【分析】由充要条件的定义及正弦定理即可得解. 【解析】在中，若成立，根据正弦定理，可得. 在三角形中，大边对大角，所以等价于， 所以. 因为等价于，且，， 所以. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 【考试题型2】充要条件与立体几何的结合 【例2】（2024年·河南对口升学高考）在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】通过空间中直线与直线的位置关系分析得出结论即可. 【解析】因为空间中两直线垂直，分为相交垂直，异面垂直两种， 所以两直线互相垂直不能推出两直线相交. 反过来，两直线相交所成的角的范围是，不一定是垂直， 即两直线相交不能推出两直线垂直. 所以“两直线互相垂直”是“两直线相交”的既非充分又非必要条件. 故选：. 【考试题型3】充要条件与不等式的结合 【例3】（2022年·河南对口升学高考）“”是“”的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据小范围能够推出大范围，大范围推不出小范围可知， 能推出，但推不出， 所以“”是“”的充分条件， 故选：A. 【考试题型4】考查对逆否命题定义的理解 【例4】（2019年·河南对口升学高考）已知命题“若，则且”，下列哪一个是该命题的逆否命题（ ） A．若或，则 B．若，则或 C．若且，则 D．若，则且 【答案】A 【解析】逆否命题的定义： 设“若p，则q”为原命题，则若¬q，则¬p就叫做原命题的逆否命题， 由逆否命题的定义知， 命题“若，则且”的逆否命题是： “若或，则” 故选：A. 【考试题型5】充要条件与平面向量的结合 【例5】（2017年·河南对口升学高考）“向量”是（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】两向量相加为零向量， 说明两向量是相反向量，模的大小相等方向相反， 所以能推出，但推不出， 所以“向量”是的充分不必要条件 . 故选：A. 题型考点一 充要条件的简单判断 1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】由得或， ∴“”是“”的必要非充分条件， 故选：B． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等式条件判断充分必要性即可求解. 【解析】若，则，所以充分性具备， 若，则，所以必要性不具备， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．“”是“关于的函数单调递减”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【解析】若，则函数单调递减，满足充分性； 若函数单调递减，则，满足必要性， 故“”是“关于的函数单调递减”的充要条件， 故选：D. 4．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】因为且， 因此，“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 5．“”是“”的（       ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】由，可得或， 则由“”可以得到“”； 由“” 不能得到“” 则“”是“”的充分非必要条件， 故选：A. 题型考点二 充要条件与集合的关系 1．集合，的关系如图所示，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由韦恩图知：，∴是的充分不必要条件， 故选：A. 2．设A、B为两个集合，则是“”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的关系和交集的运算和充要条件的概念分析即可. 【解析】因为A、B为两个集合， 所以由，可以得出集合A为集合B的子集，，所以充分性成立， 由，可以得出，所以必要性成立， 综上，是“”的充要条件. 故选：C. 3．设，已知两个非空集合，，满足，则下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件 【答案】A 【解析】因为，非空集合，满足， 所以是的子集，即， 所以是的充分条件， 故选：A. 4．已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】是的必要条件，， ，解得：，即的取值范围为， 故答案为：. 5．已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求的取值范围； 【答案】 【解析】解：令，， ∵是的充分不必要条件，∴， ∴，解得． 题型考点三 命题 1．下列关于不等式的命题中，为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质可判断B正确，取特殊值，可排除A、C、D. 【解析】对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，根据不等式的基本性质可知，，故B正确； 对于C，取，满足，但，故C错误； 对于D，取，满足，但，故D错误. 故选：B. 2．“若，则”的逆命题是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】若，则的逆命题为：若，则， 故选：D. 3．命题“若，则”为真命题，那么不可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：若，则必成立； 对于B：若，则必成立； 对于C：若，则必成立； 对于D：由不能得出，所以不可能是， 故选：D． 4．命题“若，则”的否命题是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】命题“若，则”的否命题为“若，则”， 故选：C. 5．命题“，则”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（       ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为命题“，则”为真命题，所以其逆否命题也为真命题； 其逆命题为：则，显然也为真命题，故其否命题也为真命题； 故命题“，则”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中，真命题有4个； 故选：D. 6．在下列命题中，真命题的序号为 ． ①对任意实数x，均有． ②存在实数x，使得． ③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ④如果为偶数，那么a、b均为偶数． 【答案】②③ 【解析】①因为时，，则对任意实数x，均有为假命题． ②因为时，，则存在实数x，使得为真命题． ③由三角形的外角的性质可知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和为真命题． ④因为满足为偶数，但a、b均不为偶数，因此如果为偶数，那么a、b均为偶数为假命题， 故答案为：②③. 题型考点四 充要条件和其他知识点的的综合 1．若，为空间内两条直线，则的充要条件是（    ） A．，垂直于同一平面 B．，垂直于同一条直线 C．，平行于同一个平面 D．，与同一条直线的夹角相等 【答案】A 【分析】根据空间中直线的位置关系，结合充要条件的判定即可解得. 【解析】选项A：由直线与平面垂直的性质定理可知，垂直于同一平面，则， 若，为空间内两条直线且，则，垂直于同一平面，故A是的充要条件； 选项B：空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行， 如正方体中共点的三条棱两两互相垂直，故不是的充要条件； 选项C：，平行于同一个平面，则，可能平行、相交或异面， 故不是的充要条件； 选项D：，与同一条直线的夹角相等，则，可能平行、相交或异面， 故不是的充要条件； 故选：A. 2．“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当，则且或且， 此时方程表示的曲线一定为双曲线；则充分性成立； 若方程表示的曲线为双曲线，则，则必要性成立， 故选：. 3．函数是偶函数的充要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质易得答案. 【解析】因为函数是偶函数， 所以充要条件是， 所以. 故选：A. 4．在中，“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】在中，，则，必有， 而，满足，此时是直角三角形，不是等腰三角形， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 5．已知是非零实数，则是成等比数列的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件以及必要条件的定义以及等比数列的定义求解即可. 【解析】若，且是非零实数，那么， 根据等比数列的定义，可知成等比数列，所以充分性成立. 若三个非零实数成等比数列，则，必要性成立. 综上，是三个非零实数成等比数列的充要条件. 故选：A. 6．设为向量, 则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】为向量， ， 所以向量的夹角为或， 则“”是 ”的充分必要条件， 故选：C. 7．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，结合两直线平行满足的条件，及充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【解析】当时，两直线方程分别为，， 又直线等价于， 所以两直线平行，即充分性成立； 若两直线平行，则有，即， 解得，故必要性成立． 所以“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：C． 8．复数为纯虚数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】复数为纯虚数的充要条件：实部为0，虚部不为0，据此列式可求解． 【解析】复数为纯虚数 ，即. 故选：B 9．已知条件，条件． (1)若，试判断条件是否为条件的必要条件，并说明理由； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）代入确定条件，结合必要条件的定义，进而确定条件和条件的关系； （2）由是的充分不必要条件，列出式子确定的取值范围. 【解析】解：（1）若，则条件， 已知条件， 因为是的真子集， 则条件可推出条件，但条件推不出条件， 因此条件是条件的必要条件. （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集， 可得，解得， 故实数的取值范围是. 10．已知集合． (1)当时，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合二次不等式的解法，先求出集合A和B，结合并集的概念和运算，即可求解. （2）根据题意，结合子集与推出的关系，易得，即可列式求解. 【解析】解：（1）因为集合， 当时，或， 所以； （2）因为集合， 或， 又是的充分不必要条件，所以， 所以或，解得或， 即实数m的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$