专题1 不等式的基本性质（讲义） - 河南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块2不等式的第1个专题不等式的基本性质。本专题涵盖实数大小的比较、不等式的基本性质等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题1 不等式的基本性质（讲义） 知识点1 实数大小的比较 比较实数大小的一般方法：作差与0比较 （1）a＞b⇔a－b＞0； （2）a＝b⇔a－b＝0； （3）a＜b⇔a－b＜0. 步骤：①做差；②变形；③判断；④结论 知识点2 不等式的基本性质 （1）对称性：a>b⇔b<a； （2）传递性：a>b，b>c⇒a>c； （3）不等式加等量：a>b⇔a＋c > b＋c； （4）不等式乘正量：a>b，c>0⇒ac>bc，不等式乘负量：a>b，c<0⇒ac<bc； （5）同向不等式相加：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； （6）异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d； （7）同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； （8）异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒＞； （9）不等式取倒数：a>b，ab>0⇒＜； （10）不等式的乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N且n≥2)； （11）不等式的开方：a>b>0⇒>(n∈N且n≥2)． 注意： 1.（1）（6）说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减； 2.（7）（8）说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除． 【考试题型1】通过考查指数函数的单调性、绝对值、平方来比较大小 【例1】（2025年·河南对口升学高考）设，则下列说法正确的是（       ） A. B. C. D. 【考试题型2】比较无理数式的大小 【例2】（2024年·河南对口升学高考）设，下列结论正确的是（       ） A. B. C. D. 【考试题型3】比较含有幂次方数的大小 【例3】（2020年·河南对口升学高考）比较下面四个值的大小：，，，，下列式子中正确的是（       ） A. B. C. D. 【考试题型4】考查基本不等式的基本性质 【例4】（2019年·河南对口升学高考）已知，则下列式子中，正确的是（       ） A. B. C. D. 【考试题型5】比较幂函数的大小 【例5】（2018年·河南对口升学高考）若，则下列式子中，正确的是（       ） A. B. C. D. 题型考点一 比较实数的大小 1．已知则的大小关系为（       ） A． B． C． D．无法判断 2．已知，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 3．已知，则（       ） A． B． C． D．无法确定 4．设，，，则P、Q的大小为（       ） A． B． C． D． 5．已知 ，那么 的大小关系是（       ） A． B． C． D． 6．如果，，那么 (填“”或“”) 7．设，那么的大小关系是 . 8．设，，则，的大小关系为 ． 9．与的大小关系为 . 10．求证：. 题型考点二 用不等式的性质比较大小 1．若，一定成立的是（       ） A． B． C． D． 2．若，则下列不等式一定成立的是（       ） A． B． C． D． 3．已知，则下列结论不正确的是（       ） A． B． C． D． 4．若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（       ） A． B． C． D． 5．下列不等式中正确的是（       ） A．若且，则； B．若，则 C．若，则； D．若，则. 6．已知，则下列大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 7．下列命题是正确序号 . ①若，则；     ②若，则； ③若，则；  ④若，则. 8．已知，求证：. 题型考点三 不等式性质的运用 1．已知，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2．已知，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 3．已知，，则下列代数式的范围错误的是（       ） A． B． C． D． 4．已知，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 5．已知，则的取值范围为 . 6．若，，则的取值范围为 ． 7．已知，，求的范围. 8．已知，. 求（1）的取值范围； （2）的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块2不等式的第1个专题不等式的基本性质。本专题涵盖实数大小的比较、不等式的基本性质等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题1 不等式的基本性质（讲义） 知识点1 实数大小的比较 比较实数大小的一般方法：作差与0比较 （1）a＞b⇔a－b＞0； （2）a＝b⇔a－b＝0； （3）a＜b⇔a－b＜0. 步骤：①做差；②变形；③判断；④结论 知识点2 不等式的基本性质 （1）对称性：a>b⇔b<a； （2）传递性：a>b，b>c⇒a>c； （3）不等式加等量：a>b⇔a＋c > b＋c； （4）不等式乘正量：a>b，c>0⇒ac>bc，不等式乘负量：a>b，c<0⇒ac<bc； （5）同向不等式相加：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； （6）异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d； （7）同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； （8）异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒＞； （9）不等式取倒数：a>b，ab>0⇒＜； （10）不等式的乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N且n≥2)； （11）不等式的开方：a>b>0⇒>(n∈N且n≥2)． 注意： 1.（1）（6）说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减； 2.（7）（8）说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除． 【考试题型1】通过考查指数函数的单调性、绝对值、平方来比较大小 【例1】（2025年·河南对口升学高考）设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由指数函数的单调性，结合反例逐个判断选项. 【解析】指数函数在上单调递增，当时，根据单调性可得，故B正确； 当，时，，，此时，故A错误； 当，时，，，，故C错误； 指数函数在上单调递减，当时，,故D错误. 故选：B. 【考试题型2】比较无理数式的大小 【例2】（2024年·河南对口升学高考）设，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】把三个数平方后比较大小，直接得到结果. 【解析】， 因为所以， 故选：A. 【考试题型3】比较含有幂次方数的大小 【例3】（2020年·河南对口升学高考）比较下面四个值的大小：，，，，下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，，，， 所以， 故选：B. 【考试题型4】考查基本不等式的基本性质 【例4】（2019年·河南对口升学高考）已知，则下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为即的绝对值大于的绝对值且两者同号， 所以D选项正确， 故选：D. 【考试题型5】比较幂函数的大小 【例5】（2018年·河南对口升学高考）若，则下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，即为正小数，正小数越乘越小， 所以， 故选：B. 题型考点一 比较实数的大小 1．已知则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【解析】由题得， 故选：B. 2．已知，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ，， 故选：C. 3．已知，则（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】, 故. 故选：A. 4．设，，，则P、Q的大小为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，所以， 故选：A. 5．已知 ，那么 的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，． ，， ， 故选：B． 6．如果，，那么 ____ (填“”或“”) 【答案】 【解析】因为，， 根据不等式的性质可得，. 故答案为：. 7．设，那么的大小关系是 . 【答案】 【解析】因为，故， 所以，故， 故答案为：. 8．设，，则，的大小关系为___________． 【答案】 【解析】， 所以. 故答案为： 9．与的大小关系为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 故答案为：． 10．求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为， 故，又， 故. 题型考点二 用不等式的性质比较大小 1．若，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若，则，故A正确； 当时，，故BC错误； 当时，，故C错误. 故选：A. 2．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，由，则，故C正确； 对于D，当时，，则，故D错误， 故选：C. 3．已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，且在内单调递增，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，所以当时，；当时，，故C不正确； 因为，且在内单调递增，所以，故D正确. 故选：C. 4．若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确； 对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误； 对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误； 对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误. 故选：A. 5．下列不等式中正确的是（    ） A．若且，则； B．若，则 C．若，则； D．若，则. 【答案】A 【解析】且，则，A正确； 当时，，B错误； 若，则，，即，C错误； 若，满足，但，D错误， 故选：A． 6．已知，则下列大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】为正数，为负数，所以，， ，所以. 故选：C. 7．下列命题是正确序号 . ①若，则；     ②若，则； ③若，则；  ④若，则 【答案】② 【解析】对于①：不等式，若，解得，若，解得，故①错误； 对于②：若，显然，则，所以，故②正确； 对于③：当，，，时满足，，但是，，显然，故③错误； 对于④：因为，当时，故④错误； 故答案为：②. 8．已知，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为，根据不等式的性质知， 又因为，则 ， 即. 题型考点三 不等式性质的运用 1．已知，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，则， 所以， 故选：B. 2．已知，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据与， 可得， 故选：C. 3．已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，则，则有，A正确； 对于B，，则，则有，B正确； 对于C，，，则有，C错误； 对于D，，，则有，D正确； 故选：C. 4．已知，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得，， 所以， 故选：B. 5．已知，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 因为，所以，所以， 则的取值范围为， 故答案为：. 6．若，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】因为，所以； 又因为，所以， 所以． 故答案为：. 7．已知，，求的范围. 【答案】 【解析】解：，， 又， . 8．已知，. 求（1）的取值范围； （2）的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】解：（1）因为，所以， 所以， 即. （2）因为，， 所以，， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$