专题2 区间及一元二次不等式（讲义） - 河南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块2不等式中的第2个专题区间及一元二次不等式。本专题涵盖区间、一元一次不等式、一元二次不等式及其解法等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题2 区间及一元二次不等式（讲义） 知识点1 区间 1. 区间的表示 （1）设a，b是两个实数，且a＜b，则有下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b] （2）实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如： 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 集合 {x|x≥a} x＞a {x|x≤a} {x|x＜a} 知识点2 一元二次不等式 1．解不等式的有关理论 （1）若两个不等式的解集相同，则称它们是 同解不等式 ； （2）一个不等式变形为另一个不等式时,若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形； （3）解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示． 2．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是 a＝0，b＜0 ． 3．一元二次不等式及其解法 （1）我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 一元二次 不等式． （2）使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 解集 ． （3）若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 两边 ，小于号取 中间 ”求解集． （4）一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 【考试题型1】通过解一元一次及一元二次不等式求定义域 【例1】（2025年·河南对口升学高考）求函数的定义域. 【考试题型2】考查区间的表示 【例2】（2022年·河南对口升学高考）数集，用区间表示为（ ） A. B. C. D. 【考试题型3】考查用因式分解法求解一元二次不等式 【例3】（2021年·河南对口升学高考）解不等式. 【考试题型4】考查用求根公式法求解一元二次不等式 【例4】（2020年·河南对口升学高考）解不等式. 【考试题型5】求一元二次不等式无解时不等式中参数的取值范围 【例5】（2018年·河南对口升学高考）若一元二次不等式无解，求实数的取值范围. 题型考点一 区间及其表示 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．＝（   ） A． B． C． D． 4．若全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则 . 6．设集合，则 . 7．已知，且，则的取值范围为 . 8．已知区间，求． 题型考点二 一元一次不等式的解法 1．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．若不等式的最小整数解是方程的解，则a的值为（　　） A． B． C． D． 3．已知不等式组的解集是，则= . 4．不等式组的整数解是 . 5．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来. 题型考点三 一元二次不等式的解法 1．不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 2．不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 3．一元二次不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（ ） A． B．（－4，1） C．（－1，4） D． 5．不等式的解集是（ ） A． B． C．或 D． 6．已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 7．不等式的解集是 . 8．不等式的解集为 ． 9．关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 10．不等式的解集为（ ） A．或 B． C．或 D． 题型考点四 求一元二次不等式中的参数及范围 1．若方程无实数解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ） A． B．2 C．22 D． 4．关于x的不等式的解集是，则等于（ ） A． B．7 C． D．5 5．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 6．已知关于x的不等式的解集为或，则b的值为 . 7．若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为 . 8．若不等式的解集是， (1)求的值； (2)求不等式的解集. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块2不等式中的第2个专题区间及一元二次不等式。本专题涵盖区间、一元一次不等式、一元二次不等式及其解法等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题2 区间及一元二次不等式（讲义） 知识点1 区间 1. 区间的表示 （1）设a，b是两个实数，且a＜b，则有下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b] （2）实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如： 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 集合 {x|x≥a} x＞a {x|x≤a} {x|x＜a} 知识点2 一元二次不等式 1．解不等式的有关理论 （1）若两个不等式的解集相同，则称它们是 同解不等式 ； （2）一个不等式变形为另一个不等式时,若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形； （3）解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示． 2．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是 a＝0，b＜0 ． 3．一元二次不等式及其解法 （1）我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 一元二次 不等式． （2）使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 解集 ． （3）若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 两边 ，小于号取 中间 ”求解集． （4）一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 【考试题型1】通过解一元一次及一元二次不等式求定义域 【例1】（2025年·河南对口升学高考）求函数的定义域. 【答案】 【分析】利用偶次根号下大于等于零和对数函数真数大于零，结合一元二次不等式的解法可求. 【解析】解：要使函数有意义，则， 不等式可化为， 解得或， 解不等式得到， 综上， 所以函数的定义域为. 【考试题型2】考查区间的表示 【例2】（2022年·河南对口升学高考）数集，用区间表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据区间的符号可知，数集， 用区间表示为：， 故选：C. 【考试题型3】考查用因式分解法求解一元二次不等式 【例3】（2021年·河南对口升学高考）解不等式. 【答案】 【解析】解：由， 得， 所以， 所以或， 所以不等式的解集为：. 【考试题型4】考查用求根公式法求解一元二次不等式 【例4】（2020年·河南对口升学高考）解不等式. 【答案】 【解析】解：由求根公式可得方程的两根为：， 所以不等式的解集为：. 【考试题型5】求一元二次不等式无解时不等式中参数的取值范围 【例5】（2018年·河南对口升学高考）若一元二次不等式无解，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】解：若一元二次不等式无解， 则要满足二次函数开口向上， 且图像与轴最多一个交点，即， 由， 解得， 所以实数的取值范围为：. 题型考点一 区间及其表示 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用区间的运算即可得解. 【解析】】因为，， 所以. 故选：B. 2．知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的运算性质计算即可. 【解析】因为，， 所以. 故选：C． 3．＝（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据区间的运算求解即可. 【解析】. 故选：D. 4．若全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得， 所以， 故选：B. 5．已知集合，，则 . 【答案】 【解析】集合，则， 又，所以， 故答案为：. 6．设集合，则 . 【答案】 【解析】由于，所以， 故答案为：. 7．已知，且，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】，又， 如图，结合数轴分析知，故的取值范围为. 8．已知区间，求． 【答案】 【分析】根据交集和并集的概念，以及区间的含义，求解即可. 【解析】解：∵， ∴，． 题型考点二 一元一次不等式的解法 1．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解不等式组为， ∵该不等式组无解，∴，解得， 故选：B． 2．若不等式的最小整数解是方程的解，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵解不等式得，， ∴其最小整数解为，∴，解得． 故选：A． 3．已知不等式组的解集是，则= . 【答案】4 【解析】由的解集是可知，，， 则， 故答案为：4． 4．不等式组的整数解是 . 【答案】 【解析】，由①得：，由②得：， ∴不等式组的解集为：，∴不等式组的整数解为：， 故答案为：． 5．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来. 【答案】 【解析】解：，解不等式①得：，解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 把解集在数轴上表示出来如图所示： 题型考点三 一元二次不等式的解法 1．不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】结合一元二次不等式的解法即可解出不等式. 【解析】因为二次函数开口向上，两根为， 所以不等式的解集为. 故选：C. 2．不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】与不等式对应的一元二次函数为：， 如图函数开口向上，与轴的交点为：，， 可得不等式的解集为：或， 故选：B． 3．一元二次不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式即可得解. 【解析】一元二次不等式，解得， 所以解集为， 故选：. 4．不等式的解集为（       ） A． B．（－4，1） C．（－1，4） D． 【答案】C 【解析】因为不等式可化为:， 解得:，所以解集为:， 故选：C. 5．不等式的解集是（ ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】原式化为，即， 故不等式的解集为， 故选：D． 6．已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据二次函数与二次不等式的关系分析求解即可. 【解析】由二次函数图像知时，， 当时，在和之间， 则有， 所以不等式的解集是. 故选：A. 7．不等式的解集是 . 【答案】 【解析】不等式可化为，则解集为， 故答案为：. 8．不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】不等式可化为，∴ 不等式的解集是， 故答案为：. 9．关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 因为，所以不等式的解集为， 故选：A. 10．不等式的解集为（ ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【解析】可化为， 即，即或， 所以不等式的解集为或， 故选：A. 题型考点四 求一元二次不等式中的参数及范围 1．若方程无实数解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次方程无实数时判别式小于零，列式即可得解. 【解析】因为方程无实数解， 即，，解得， 可得的取值范围是. 故选：B. 2．若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于关于的一元二次不等式的解集为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 3．已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ） A． B．2 C．22 D． 【答案】C 【解析】由题意得：2与3是方程的两个根， 故，，所以， 故选：C. 4．关于x的不等式的解集是，则等于（ ） A． B．7 C． D．5 【答案】A 【分析】根据题意，结合根与系数的关系即可求解. 【解析】因为关于x的不等式的解集是， 所以当时，， 则， ， 所以， 故选：A 5．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】关于x的不等式的解集是， 则有，即，， 代入不等式中，得， 化为，解得， 所求不等式的解集为， 故选：C． 6．已知关于x的不等式的解集为或，则b的值为 . 【答案】2 【解析】因为关于x的不等式的解集为或， 所以1和是方程的两个根， 所以，解得， 故答案为：2. 7．若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意，， 故答案为：． 8．若不等式的解集是， (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用韦达定理由一元二次不等式的解集求参数即可； （2）利用一元二次不等式的解法可解. 【解析】解：（1）依题意可得：=0的两个实数根为和2， 由韦达定理得：，解得：；. （2）不等式，可化为， 即，所以，解得：， 故不等式的解集． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$