考前提个醒：《考点·题型一遍过》（高考知识回顾）-冲刺2025年高考数学提分宝典（新高考通用）

1. 集合运算时要根据代表元素注意区分集合的形式 【过关练】—函数的定义域；—函数的值域；—函数图象上的点集. 2. 已知集合、元素间的关系求参数时，注意验证集合元素的互异性 【过关练】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合，，若，则（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 3.条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况 【过关练】（2025高三下·全国·专题练习）已知全集，集合，，若，则实数的取值范围是 ． 4.已知集合中有n个元素，如何确定子集、真子集的个数？（子集2n,真子集2n-1个） 【过关练】（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有 个. 5.如何判断充分必要条件？定义法、集合法、图示法. 【过关练】（2025·广西桂林·一模）“，使”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 6.会写全称命题、特称命题的否定吗？转换量词否定结论 【过关练】（2025·陕西咸阳·二模）已知命题：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 7.利用基本不等式求最值的三个条件是什么？一正二定三相等 【过关练】（2025高三·云南·模拟）下列结论正确的是（   ） A．任意，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，，则 8.利用基本不等式求最值的常见模型有哪些？ (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. （5）模型五：“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. 【过关练】（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 1、 判断函数是否相同的三要素是什么？定义域、对应法则、值域 2、 函数的定义域一定要写成集合或区间形式还知道吗？如何求复合函数的定义域？ 【过关练】（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3、 一定要在函数的定义域内求单调区间，多个单调区间不能用连接还记得吗？ 【过关练】（2025高三·广东·模拟）函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 4、 关于单调性的常用结论还知道吗？ （1）∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． （2）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． （3）函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． （4）复合函数的单调性：同增异减． 【过关练】（2025高三·江苏·期中）（多选）下列函数中，满足对任意，有的是（   ） A． B． C． D． 5、已知分段函数的单调性求参数，要注意什么？每段的单调性和分段处函数值的大小关系 【过关练】已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6、奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称这一必要条件还记得吗？ 7、已知函数的奇偶性如何求参数？特殊值法、定义法. 【过关练】（2025·江苏·模拟预测）已知函数（且）是偶函数，则 . 8、常见奇偶性函数模型有哪些？ (1)奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． (2)偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数. 9、函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 10、对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 11、函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 【过关练】（2025·宁夏银川·二模）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B． C． D． 12.求解抽象函数问题的常用方法是：赋值求值、探究性质、构造特殊函数 【过关练】（2025高三·辽宁·三模）定义在R上的连续函数满足，，，，则（    ） A． B．当x，时， C．若，则为偶函数 D．当时， 13.借鉴模型函数进行类比探究中常见的函数模型有哪些？ ①正比例函数型： ---------------； ②幂函数型： --------------，； ③指数函数型： ----------，； ④对数函数型： ---，； ⑤三角函数型： ----- 。 14.恒成立问题的求解策略有哪些？分离参数法；最值法；化为一次或二次方程根的分布问题. 【过关练】（24-25高三·天津·阶段练习）对任意的， 不等式恒成立， 则实数的取值范围为 . 15.有解问题的求解策略呢？ ，使得a≥f(x)成立a≥[f(x)]min,; ，使得a≤f(x)成立a≤[f(x)]max; 【过关练】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数，对任意实数，存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1、 导数的定义式你知道吗？ 【过关练】已知函数，则的值为（    ） A． B． C．10 D．20 2、 导数的数学意义、物理意义、几何意义分别是什么？ 【过关练】一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 3、 求导公式和法则是知道哪些？ ①常见函数的导数公式: ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧。 ②导数的四则运算法则：；； 4、 如何区分在P点的切线和过P点的切线？如何求两个曲线的公切线？ 【过关练】（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）过点可作两条直线与的图象相切，则b的值不可能是（   ） A． B．0 C．e D．2e 5、 利用导数求函数的单调区间要注意什么？注意定义域，写成区间，不能取并 【过关练】（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 6、 含参函数的单调区间在讨论时要注意几方面：系数正负、根的存在性（是否有根，根是否在定义域）和根的大小关系。 【过关练】（2025·北京西城·一模）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值； (2)求函数的单调区间； 7、 如何求函数的极值？ 【过关练】（2025·青海海东·二模）函数的极小值是 . 8、 已知函数的极值求参数要注意什么？ 要检验是否满足，因为导函数的零点不一定是极值点 【过关练】函数处有极小值10，则a+b的值为____ 9、 利用导数证明不等式的基本策略是什么？ 【过关练】（2025·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 10、 什么是极值点偏移和隐零点问题？ 【过关练】证明：． 1. 处理数列中的最值问题的基本策略有哪些？ （1） 数列单调性法（2）不等式法（3）分类讨论：含有按奇偶数讨论（4）函数法（5）找变号项（等差数列和的最值问题） 【过关练】（1）在数列中，，则数列中的最大项可以是      A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项 （2）已知数列{an}的通项公式为an＝，其最大项和最小项的值分别为(　　) A．1，－ B．0，－ C.，－ D．1，－ 2. 如何证明等差、等比数列？ 3. 等比数列基本量计算中要注意是同号的。 【过关练】等比数列中，求 4. 等差、等比数列常用的性质有哪些？ （1）等差数列的性质 （1）通项公式的推广：an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）； （2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an； （3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列；（4）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为m2d. （2）等比数列性质 (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)． (4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外) 【过关练】（2025·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．81 B．71 C．61 D．51 5. 求通项公式的常见题型及解题策略有哪些？ （1） 累加法（2）累乘法（3）已知求：两大步一小结（4）已知求：转化为项的关系或和的关系，注意一定要判断递推关系是否到首项！！！！（5）构造法 【过关练】（2025·陕西·模拟预测）记为数列的前项和，若，求 ． 6. 数列的求和有哪些基本方法？每种方法适用于什么样的题型？ （1）裂项相消法（分式型和根式型）（2）错位相减（差比数列）（3）并项法（前后项的和为常数或特殊数列）（4）倒序相减（首尾等距的两项和为常数或特殊数列） 7.分段数列求和的基本策略是什么？ 注意奇偶数的讨论，复杂问题可列一列看一看，先求n为偶数的情况，当n为奇数时，求则不用讨论。 【过关练】设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 1、 空间几何体 1、 空间几何体的体积、面积公式记得吗？圆台的侧面积公式是什么？体积公式是什么？表面积与侧面积的区别是什么？ 【过关练】某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 2、外接球、内切球问题 (1)长方体的外接球的直径为体对角线，正方体的内切球的直径为正方体的棱长． (2)正四面体的外接球、内切球球心重合，且在垂线上，R外接球∶r内切球＝3∶1. (3)直棱柱的外接球球心为上、下底面的外心连线的中点． (4)棱锥中若有三条侧棱两两垂直，一般补成长方体． (5)棱锥中若有一条侧棱垂直于底面，一般补成直棱柱，如图①②. (6)三棱锥中，若对棱相等，一般补成长方体，使三棱锥的棱为面对角线． (7)棱锥中若没有侧棱垂直于底面，一般找两个面，再找这两个面的外心，过外心作面的垂线，两垂线的交点即为外接球球心． 【注意】旋转体的外接、内切问题一般画轴截面进行分析. 【过关练】在三棱锥中，平面，，为边长等于的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 3．直观图与斜二测画法 任何一个平面图形的面积S与它的斜二测画法得到的直观图的面积S′之间的关系为S′＝S. 【过关练】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 二、空间位置关系的证明： 1、 平行关系的证明 （1） 线面平行的证明：思路一：线面平行的判定定理 思路二：面面平行的性质定理：即构造一个包含该直线的平面，先证面面平行，再证线面平行.思路三：坐标法 （2） 线线平行的证明：思路一：线面平行的性质定理 思路二：平行公理 注：经常出现的结论和定理：（1）垂直于同一平面的两直线平行；（2）两平行平面与第三个平面相交，则交线平行. 2、 垂直关系的证明 （1） 线面垂直的证明：思路1：线面垂直的判定定理 思路2：面面平行的性质定理. （2） 线线垂直：线面垂直的性质定理和勾股定理（涉及长度关系的相交直线） （3） 面面垂直：面面垂直的判定定理 注：能直接建系也可以用向量法证明 【过关练】（2025高三·全国·专题练习）如图，三棱柱的侧面与侧面均为正方形，为的中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； 3.如何建系求坐标 建系三原则：重合性原则、对称性原则和右手系原则 注：必须先证垂直关系再建系 4、求点的坐标 （1）直接法： 坐标轴、坐标平面上的点的坐标 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 点的坐标 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 记忆：“在哪哪非零，其他都为零”． 空间点的对称点 初始点的坐标 (x，y，z) (x，y，z) (x，y，z) (x，y，z) (x，y，z) (x，y，z) 对称轴(平面) x轴上 y轴上 z轴上 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 对称点的坐标 (x，－y，－z) (－x，y，－z) (－x，－y，z) (x，y，－z) (－x，y，z) (x，－y，z) 记忆“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”． 空间点在坐标平面投影点的坐标 初始点的坐标 (x，y，z) (x，y，z) (x，y，z) 坐标平面 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 投影点的坐标 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 记忆“投影到哪哪不变，第三个坐标为零”． 用法：以上规律一般逆用，在写空间中点的坐标时，先写坐标平面内的投影点的坐标，再确定第三个坐标，而第三个坐标为该点到该坐标平面的距离．如在棱长为1的正方体中的点B1，在Oxy平面内的投影为B，而B(1，1，0)，则B1(1，1，1)． （2）公式法： 涉及到中点或重心的点的坐标，可直接利用公式求解： 若点，则线段的中点坐标； 三角形的重心. （3）根据向量关系 向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，两用向量之间的相等、平行、垂直等关系求解． （4） 待定系数法 类型1：当点在坐标轴上时，可直接设出点的坐标再根据条件求解 类型2：当点在直线上时，用一个变量就可以表示出所求点的坐标，如，再根据向量相等表示出点的坐标或直接利用向量的线性运算求出所需向量的坐标． （5） 三角函数法 当知道OP与坐标轴的夹角时，可以利用三角函数的知识求出P点坐标 注：“与哪个轴的夹角已知，该轴上的坐标就是该点与原点的距离与夹角的余弦的乘积，另一个轴上的坐标就是该点与原点的距离与夹角的正弦的乘积，第三个轴上的坐标为零”． 5.空间角与距离的计算公式 （1）异面直线所成的角： 已知两条直线的方向向量分别为：，异面直线所成的角为，则 （2）直线与平面所成的角： 已知直线的方向向量和平面的法向量分别为：，，直线与平面所成角为，则 （3）点到平面的距离 已知平面的法向量为，则 （4）.二面角： 已知两个半平面的法向量分别为：，锐二平面角为，则 （5）点到线的距离公式 【过关练】（2025·广西桂林·一模）如图，梯形中，为上一点，，且，将沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，得到四棱锥为的中点.    (1)若为的中点，证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由. 1.扇形的弧长和面积 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|＝. 相关公式：(1)l＝|α|r. (2)S＝lr＝|α|r2. 【过关练】（2025·浙江温州·二模）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（    ） A．1 B． C．3 D．6 2. 任意角的三角函数的定义是什么？ 【过关练】（2025·甘肃·二模）若为坐标原点，，当绕点逆时针旋转至时，的坐标为（    ） A． B． C． D． 3. 同角关系式和诱导公式还记得吗？ 注意：利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号． 【过关练】（2025·河北张家口·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 4. 三角变换涉及到的公式有哪些？变换的基本策略是什么？ 能写出二倍角公式及其变形吗？cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α， 降幂公式：sin2α＝，cos2α＝ 【过关练】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5. 三角函数的图像与性质有哪些？ 注意：（1）在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围． （2）求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解． 6. 如何进行三角函数图像的变换？ 三角函数图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，平移量为，而不是φ. 7. 如何根据图像求函数的解析式？ 8. 三角函数根据单调性、零点个数求参数范围的基本策略是什么？ 【过关练】已知函数在区间，有且仅有3个零点，则的取值范围是 　　． 9. 利用正弦定理解三角形时如何判断解的个数？大边对大角以及正弦值的范围 【过关练】（1）在中，内角的对边分别为.若，则（ ） （2）中，已知，，.（角对边型） （1）若恰有一解，则实数的取值范围是　　； （2）若有两解，则实数的取值范围是　　； （3）若无解，则实数的取值范围是　　； 10. 解三角形中的“三线”问题的处理策略是什么？ 中线或比例端点的处理策略： 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB，AC，及∠A，求中线AD长． 策略一：如图，倍长中线构造全等,再用余弦定理即可 策略二：向量法，,等式两边再进行平方 策略三：两次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即 补充：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”也适用，此时需要倍长等分线构造相似 角平分线问题的处理策略： △ABC中，AD平分∠BAC. 策略一：角平分线定理： 策略二：利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理 ， 策略三：角互补： +. 【过关练】（2025·广东广州·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（    ） A． B． C． D． 11. 解三角形中的范围问题如何求解？ 【过关练】在锐角中，，， (1)求角A； (2)求的周长l的范围. 1. 直线方程的五种形式和使用环境是什么？ 直线方程的五种形式 (1)点斜式：y－y0＝k(x－x0)(直线过点P0(x0，y0)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)． (2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)． (3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)． (4)截距式：＋＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)． (5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)． 【过关练】（1）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 （2）直线 l 经过点（-2，3），且原点到直线l的 距离是2，直线l的方程. 2.如何判断两条直线的位置关系？ (1)当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时： ①两直线平行：l1∥l2⇔k1＝k2. ②两直线垂直：l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 提醒　当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略． (2)直线方程一般式是Ax＋By＋C＝0. ①若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－B1A2＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)． ②若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 提醒　无论直线的斜率是否存在，上式均成立，但平行求参数时一定检验是否重合！！！． 【过关练】若直线与直线垂直，则的值为（ ） 或-3 3.点到直线的距离公式是什么？ (1)点到直线的距离d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0))． (2)两平行线间的距离d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0))． 提醒　应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数对应相等． 4. 直线与圆的位置关系有几种？ 【过关练】已知直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ） 【提醒】二元二次方程对应的轨迹为圆是有条件的，满足，即圆的半径大于0. 5. 求过某点的圆的切线方程时要注意什么？点与圆的位置关系，确定切线条数，勿忘斜率不存在的情况。 注意：圆的切线方程，切线长公式，切点弦方程，直线和圆相交的弦长，与圆相关的几何性质直线与圆关系,常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理,构造Rt△解决弦长问题，过圆x2+y2=r2上点P(x0,y0)的切线为:x0x+y0y=r2;过圆x2+y2=r2外点P(x0,y0)作切线后切点弦方程:x0x+y0y=r2;过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直x轴. 6. 圆锥曲线的定义知道是什么吗？三种圆锥曲线定义中的限制条件各是什么？ 7. 椭圆、双曲线的焦点三角形面积公式还记得吗？ 【过关练】已知椭圆 上有一点 分别为左、右焦点，的面积为 ，则下列选项正确的是 （    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．面积的最大值为 D．若 为钝角三角形，则 8. 抛物线的焦点弦常用性质你知道多少？ 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，且y1>0>y2，则(1)焦半径|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝. (2)x1x2＝，y1y2＝－p2. (3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝. (4)＋＝. (5)以弦AB为直径的圆必与准线相切． (6)S△OAB＝(O为抛物线的顶点)． 【过关练】已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9.圆锥曲线在审题时的关键是什么？（1）圆锥曲线的焦点在哪个轴上？（不要受惯性思维影响默认焦点在x轴）（2）动点的变化谁起决定性因素？ 10.如何求动点的轨迹：直接法、定义法、相关点法、消参法 注意：（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等. （2） 要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点. 11.如何处理圆锥曲线中“定”的问题： 圆锥曲线中的“定”问题常有以下类题型： 题型1：定值问题——解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值． 定值问题的解法：选好参数，求出题目所需的代数表达式，然后对表达式进行直接推理、计算，并在推理计算的过程中消去变量，从而得到定值．这种方法可简记为：一选（选好参变量）、二求（对运算能力要求颇高）、三定值（确定定值）． 题型2：定点问题——解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线和曲线（中的参数）如何变化，直线和曲线都经过某一个定点． 定点问题的三种解法：一是从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明．二是设出直线方程y=kx+b，再根据条件寻找k,b的关系；三是根据动点坐标写出直线方程，根据直线方程判断所过定点（此时可利用恒成立求解或结合对称性判断出定点位置，进而求出）. 题型3：定直线问题——对于求证某个点不管如何变化，始终在某条直线上的题目，其本质就是求动点的轨迹方程． 【过关练】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 12、设点斜式要讨论！！！！何时何地、何情何景都需要 13、联立方程要看二次项系数和判别式 14、如何求离心率？别忘自带范围 15、弦长公式的一式三变 16、最值范围问题的求解策略 【过关练】（2025·山东青岛·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.点在的右支上，当轴时，. (1)求的方程; (2)若直线与的右支的另一个交点为，求面积的最小值. 1、 排列数、组合数公式还记得吗？ （1）排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…·(n－m＋1)= （2）组合数的计算公式：C＝＝＝，由于0！＝1，所以C＝1. （3）组合数的性质：①C＝C；②C＝C＋C. 2、排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)特殊元素或特殊位置优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题排除法处理．(7)正难则反，等价条件． 【过关练】为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　） A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法 D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法 3、会求二项展开式的特定项吗？公式法、原理法. 二项式定理应用时的注意事项 (1)注意区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细． 项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正． (2)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. 【过关练】在的展开式中（    ） A．所有奇数项的二项式系数的和为128 B．二项式系数最大的项为第5项 C．有理项共有两项 D．所有项的系数的和为 （2）若，则（    ） A． B． C． D． 4.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 【过关练】为加强学生体质健康，邢台市第一中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（    ） A．第一次投篮的人是甲的概率为 B．第三次投篮的人是乙的概率为 C．已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为 D．设第n次投篮的人是甲的概率为，则 5.统计中四个数据特征 (1)众数： ①在样本数据中，出现次数最多的那个数据． ②频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边中点的横坐标． (2)百分位数：给出样本数据如何求？给出频率分布直方图如何求？ (3)平均数：样本数据和频率分布直方图如何求 (4)方差与标准差：反应样本数据的分散程度． 方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 标准差： s＝. 思考：（1）给出频率分布直方图如何求方差呢？公式是否一样？ （2） 分层抽样中每一层的平均数和方差与总体平均数、方差有什么关系？ 【过关练】数据2，3，5，6，7，7，8，10的上四分位数为（    ） A．7.5 B．8 C．7 D．4 （2）为了调查学生对两会相关知识的了解情况，某高校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们得分（满分100分）的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．若全校参与该活动的学生共2000人，则得分在内的人数约为650 B．全校参与知识问答活动的学生的平均分约为65分 C．该校学生得分的分位数约为77.7（结果精确的到0.1） D．若此次知识问答的得分，则 6.离散型随机变量 (1)离散型随机变量的分布列的两个性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. (2)均值公式：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn (3)均值的性质 ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；③若X服从两点分布，则E(X)＝p. (4)方差公式 D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2·pn=E(X2)-(EX)2，标准差为. (5)方差的性质 ①D(aX＋b)＝a2D(X)；②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． 正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件． 7.如何判断两个事件是否独立？ P(AB)＝P(A)P(B)． 【过关练】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2点”，B=“第二次的点数小于5点”，C=“两次点数之和为奇数”，D=“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（ ） A. A 与 B 不互斥且相互独立 B. A 与 D 互斥且不相互独立 C. B 与 D 互斥且不相互独立 D. A 与 C 不互斥且相互独立 8、 独立性检验问题 【过关练】（2025·辽宁·二模）在哈尔滨2025年第九届亚洲冬季运动会的志愿者选拔工作中，面试满分为100分，现随机抽取了120名候选人的面试成绩分为五组，第一组[45，55），第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三组的频率成等差数列，第一组的频率等于第五组的频率． (1)求a，b的值，并估计这120名候选人成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）； (2)已知120名候选人中，男、女生各60人，男生想去冰上赛区的有35人，女生想去冰上赛区的有20人，请补全下面列联表．请问是否有的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关？（结果精确到0.001） 志愿者 性别 合计 男生 女生 想去冰上赛区 35 20 不想去冰上赛区 合计 60 60 附： 0.050 0.010 0.001 3.941 6.635 10.828 (3)滑冰项目的场地服务需要4名志愿者，有4名男生和2名女生通过选拔入围，现随机从6名同学中抽取4人服务该场地，记男生被抽中的人数为，求的分布列及期望． 9、回归方程：线性、非线性 回归经验方程内容中如何应用相关线性系数进行判断？决定系数有什么作用？ 非线性回归方程如何求解？近似求解要注意题目要求！ 【过关练】（2025·山东济南·二模）每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况， 天数 1 2 3 4 5 胚芽长度（厘米） 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2 通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①；②， (1)根据以上数据，计算模型①中的关于的相关系数（结果精确到0.01），若，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？ (2)根据（1）的结果，试建立关于的回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度（结果精确到0.01）． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 样本相关系数为． 参考数据：． 令． 1．复数的相关概念及运算法则 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类 ①z是实数⇔b＝0；②z是虚数⇔b≠0；③z是纯虚数⇔a＝0且b≠0. (2)共轭复数：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝a－bi. (3)复数的模：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝. (4)复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． 特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)． (5)复数的运算法则 加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i； 乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； 除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i (c＋di≠0)．(其中a，b，c，d∈R) 2．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i.(2)＝i，＝－i.(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)． （4）；（5）；（6） 【过关练】（2025·云南昆明·二模）已知虚数，互为共轭复数，则（   ） A．为实数 B．为纯虚数 C． D． 3.如何根据平面向量的夹角求参数范围？ 【过关练】设向量，，向量与的夹角为锐角，则x的范围为 . 【答案】且 4.什么是极化恒等式？ 在三角形ABD中（M为BD的中点），则极化恒等式可表示为：（三角形模式） 【过关练】如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 5.三角形“四心”的向量表示的应用 【过关练】若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ） A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心 C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1. 集合运算时要根据代表元素注意区分集合的形式 【过关练】—函数的定义域；—函数的值域；—函数图象上的点集. 2. 已知集合、元素间的关系求参数时，注意验证集合元素的互异性 【过关练】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合，，若，则（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系，分类讨论，即可求解a的值． 【详解】因为集合，，， 所以，所以或， 若，则，此时，满足题意； 若，则，此时集合不满足集合元素的互异性，舍去． 综上，． 故选：C． 3.条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况 【过关练】（2025高三下·全国·专题练习）已知全集，集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分集合B是空集和非空集合两种情况，再利用集合之间的包含关系分别求解即可. 【详解】①当时，则，即，因为集合， ，则或， 又，则或，解得或，又，所以； ②当时，则，即，此时，符合题意． 综上所述，实数的取值范围为或． 故答案为： 4.已知集合中有n个元素，如何确定子集、真子集的个数？（子集2n,真子集2n-1个） 【过关练】（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有 个. 【答案】7 【分析】结合子集和真子集的概念求解即可. 【详解】由⫋，则集合中一定有元素， 且至少含有其中一个元素， 则这样的集合共有个. 故答案为：7. 5.如何判断充分必要条件？定义法、集合法、图示法. 【过关练】（2025·广西桂林·一模）“，使”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】分、、三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】当时，有解； 当时，二次函数开口向上，所以有解； 当时，有解，则，解得； 综上可得； 因为真包含于， 所以“，使”的一个充分不必要条件是. 故选：C. 6.会写全称命题、特称命题的否定吗？转换量词否定结论 【过关练】（2025·陕西咸阳·二模）已知命题：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由全称命题的否定：将任意改存在并否定结论，即可写出原命题的否定. 【详解】：，. 故选：D 7.利用基本不等式求最值的三个条件是什么？一正二定三相等 【过关练】（2025高三·云南·模拟）下列结论正确的是（   ） A．任意，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，，则 【答案】BD 【分析】举例即可判断A；根据不等式的性质即可判断B；根据基本不等式即可判断CD. 【详解】对于A，当时，为负数，故A错误； 对于B，若，则，所以，故B正确； 对于C，若，则， 当且仅当，即时取等号， 又因为，所以故C错误； 对于D，若，，， 则，，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 8.利用基本不等式求最值的常见模型有哪些？ (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. （5）模型五：“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. 【过关练】（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】利用基本不等式即得. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，且，即时，取等号， 所以的最小值为2. 故选：D. 1、 判断函数是否相同的三要素是什么？定义域、对应法则、值域 2、 函数的定义域一定要写成集合或区间形式还知道吗？如何求复合函数的定义域？ 【过关练】（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出的定义域，结合函数列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意可知函数的定义域为，即， 故，则的定义域为， 则对于，需满足， 即的定义域为， 故选：C 3、 一定要在函数的定义域内求单调区间，多个单调区间不能用连接还记得吗？ 【过关练】（2025高三·广东·模拟）函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】由可得且，然后求出的减区间即可. 【详解】由可得且， 因为开口向下，其对称轴为， 所以的减区间为和 所以的单调增区间为和 故选：C 4、 关于单调性的常用结论还知道吗？ （1）∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． （2）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． （3）函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． （4）复合函数的单调性：同增异减． 【过关练】（2025高三·江苏·期中）（多选）下列函数中，满足对任意，有的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意，可得函数在区间上单调递减即可，根据函数性质可判断各选项. 【详解】对任意，有，则函数在区间上为减函数， 对于A，，由二次函数的图象与性质可知函数在区间上为减函数，故A正确； 对于B，，根据幂函数的性质，函数在区间上为增函数，故B错误； 对于C，，函数在区间上为减函数，故C正确； 对于D，，当时，递增，所以函数在区间上不是单调函数，故D错误． 故选：AC 5、已知分段函数的单调性求参数，要注意什么？每段的单调性和分段处函数值的大小关系 【过关练】已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是减函数，所以． 又因为函数5）图像的对称轴是直线， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 又函数是上的减函数，所以，解得， 所以的取值范围是． 故选:B． 6、奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称这一必要条件还记得吗？ 7、已知函数的奇偶性如何求参数？特殊值法、定义法. 【过关练】（2025·江苏·模拟预测）已知函数（且）是偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据偶函数的定义可得，即可得结果. 【详解】因为对任意的恒成立，可知函数的定义域为， 因为函数是偶函数，则，即， 整理可得，即， 可得 ， 即，可知是偶函数，符合题意， 所以. 故答案为：. 8、常见奇偶性函数模型有哪些？ (1)奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． (2)偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数. 9、函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 10、对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 11、函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 【过关练】（2025·宁夏银川·二模）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用函数奇偶性的定义推导出，进一步可推导出，结合函数周期性的定义可判断A选项；利用函数解析式以及函数周期性可判断BCD选项. 【详解】因为是偶函数， 所以， 又因为是奇函数，所以，所以， 所以， 所以，所以的周期为，故A错误； 又当时，， 所以，选项B正确； ，选项C正确； ，选项D正确. 故选：BCD. 12.求解抽象函数问题的常用方法是：赋值求值、探究性质、构造特殊函数 【过关练】（2025高三·辽宁·三模）定义在R上的连续函数满足，，，，则（    ） A． B．当x，时， C．若，则为偶函数 D．当时， 【答案】BC 【分析】举反例即可判断A，D；利用赋值法推出，从而可判断B；利用赋值法结合偶函数定义判断C. 【详解】对于A项，令，则满足题中所给条件，但此时有，A项错误； 对于B项，当x，时，取，则，所以， 所以，B项正确； 对于C项，由题意得定义域关于原点中心对称，且， 则，所以为偶函数，C项正确； 对于D项，令，则满足题中所给条件， 但当时，，故不成立，D项错误． 故选：BC 13.借鉴模型函数进行类比探究中常见的函数模型有哪些？ ①正比例函数型： ---------------； ②幂函数型： --------------，； ③指数函数型： ----------，； ④对数函数型： ---，； ⑤三角函数型： ----- 。 14.恒成立问题的求解策略有哪些？分离参数法；最值法；化为一次或二次方程根的分布问题. 【过关练】（24-25高三·天津·阶段练习）对任意的， 不等式恒成立， 则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数，构造函数，结合导数判断函数单调性及最值情况，进而可得参数范围. 【详解】由已知， 不等式恒成立， 即在上恒成立， 设，， 则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 即函数在处取得最大值为， 所以， 故答案为：. 15.有解问题的求解策略呢？ ，使得a≥f(x)成立a≥[f(x)]min,; ，使得a≤f(x)成立a≤[f(x)]max; 【过关练】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数，对任意实数，存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求出在上的最大值，问题转化为存在，使得成立，分离参数求解. 【详解】， 当时，，所以，所以， 所以存在，使得，即成立， 所以，，所以， 故实数的取值范围为. 故选：C. 1、 导数的定义式你知道吗？ 【过关练】已知函数，则的值为（    ） A． B． C．10 D．20 【答案】D 【分析】根据导数的定义可得，再用求导公式可得，代入即可得解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D 2、 导数的数学意义、物理意义、几何意义分别是什么？ 【过关练】一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 3、 求导公式和法则是知道哪些？ ①常见函数的导数公式: ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧。 ②导数的四则运算法则：；； 4、 如何区分在P点的切线和过P点的切线？如何求两个曲线的公切线？ 【过关练】（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）过点可作两条直线与的图象相切，则b的值不可能是（   ） A． B．0 C．e D．2e 【答案】D 【分析】先写出过点的切线方程，将问题转化为直线与新函数的图象有2个交点，利用导数分析新函数的单调性和极值，进一步得到其大致图象，由此可以解出的取值范围. 【详解】因为，所以， 设切点为，则切线斜率， 整理得，设， 问题转化为直线与的图象有2个交点，因为， 令，解得或，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ，，且时，时，， 所以或， 故选：D. 5、 利用导数求函数的单调区间要注意什么？注意定义域，写成区间，不能取并 【过关练】（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导函数，再根据导函数小于0得出函数的减区间即可. 【详解】，则， 由，得，所以单调递减区间是. 故选:D． 6、 含参函数的单调区间在讨论时要注意几方面：系数正负、根的存在性（是否有根，根是否在定义域）和根的大小关系。 【过关练】（2025·北京西城·一模）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值； (2)求函数的单调区间； 【详解】（1）由，则， 则，解得． （2）由，则， 当时，，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，得， 若，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，由，得；由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 7、 如何求函数的极值？ 【过关练】（2025·青海海东·二模）函数的极小值是 . 【答案】 【分析】求出函数的导数，进而求出极小值. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由，得；由，得或， 因此当时，取得极大值，当时，取得极小值， 所以函数的极小值为. 故答案为： 8、 已知函数的极值求参数要注意什么？ 要检验是否满足，因为导函数的零点不一定是极值点 【过关练】函数处有极小值10，则a+b的值为____ 【答案】－7 9、 利用导数证明不等式的基本策略是什么？ 【过关练】（2025·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【详解】（1）的定义域为，． 若，则，在上单调递减： 若，则由得，当时，；当时，； 故在上单调递减，在上单调递增； 故当时，在上单调递减： 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）方法1，当时，由（1）知，当时，取得最小值． 所以，从而． 设，则． 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 故当时，，即； 方法2：当时，由（1）知，当时，取得最小值， 所以，从而， 令，， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，当等号成立； 所以，当时，， 即. 10、 什么是极值点偏移和隐零点问题？ 【过关练】证明：． 证明：令，则在上单调递增， 因为，， 所以在存在唯一实数根，且， 当时，，，时，， 当时，函数取得最小值， 因为，即， 故， 所以． 1. 处理数列中的最值问题的基本策略有哪些？ （1） 数列单调性法（2）不等式法（3）分类讨论：含有按奇偶数讨论（4）函数法（5）找变号项（等差数列和的最值问题） 【过关练】（1）在数列中，，则数列中的最大项可以是      A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项 【答案】AB （2）已知数列{an}的通项公式为an＝，其最大项和最小项的值分别为(　　) A．1，－ B．0，－ C.，－ D．1，－ 答案　A 解析　因为n∈N*，所以当1≤n≤3时，an＝<0，且单调递减；当n≥4时，an＝>0，且单调递减，所以最小项为a3＝＝－，最大项为a4＝＝1. 2. 如何证明等差、等比数列？ 3. 等比数列基本量计算中要注意是同号的。 【过关练】等比数列中，求 【答案】2 4. 等差、等比数列常用的性质有哪些？ （1）等差数列的性质 （1）通项公式的推广：an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）； （2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an； （3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列；（4）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为m2d. （2）等比数列性质 (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)． (4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外) 【过关练】（2025·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．81 B．71 C．61 D．51 【答案】C 【分析】根据等比数列前项和性质，即可求解. 【详解】由题可知，，成等比数列， 所以，即，得， 则此等比数列的首项是1，公比是，那么， ， 所以. 故选：C 5. 求通项公式的常见题型及解题策略有哪些？ （1） 累加法（2）累乘法（3）已知求：两大步一小结（4）已知求：转化为项的关系或和的关系，注意一定要判断递推关系是否到首项！！！！（5）构造法 【过关练】（2025·陕西·模拟预测）记为数列的前项和，若，求 ． 【答案】64 【分析】根据与的关系可得数列是等比数列，首项为1，公比为2，进而求解即可. 【详解】由， 当时，，即； 当时，，即， 所以数列是等比数列，首项为1，公比为2， 则，即. 故答案为：64. 6. 数列的求和有哪些基本方法？每种方法适用于什么样的题型？ （1）裂项相消法（分式型和根式型）（2）错位相减（差比数列）（3）并项法（前后项的和为常数或特殊数列）（4）倒序相减（首尾等距的两项和为常数或特殊数列） 7.分段数列求和的基本策略是什么？ 注意奇偶数的讨论，复杂问题可列一列看一看，先求n为偶数的情况，当n为奇数时，求则不用讨论。 【过关练】设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，解得，所以或． 又因为，所以，所以，故，． （2）， ． 1、 空间几何体 1、 空间几何体的体积、面积公式记得吗？圆台的侧面积公式是什么？体积公式是什么？表面积与侧面积的区别是什么？ 【过关练】某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆台的母线长为l，高为h， 因为圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，母线， 因此圆台的高为， 所以圆台的体积为. 故选：A 2、外接球、内切球问题 (1)长方体的外接球的直径为体对角线，正方体的内切球的直径为正方体的棱长． (2)正四面体的外接球、内切球球心重合，且在垂线上，R外接球∶r内切球＝3∶1. (3)直棱柱的外接球球心为上、下底面的外心连线的中点． (4)棱锥中若有三条侧棱两两垂直，一般补成长方体． (5)棱锥中若有一条侧棱垂直于底面，一般补成直棱柱，如图①②. (6)三棱锥中，若对棱相等，一般补成长方体，使三棱锥的棱为面对角线． (7)棱锥中若没有侧棱垂直于底面，一般找两个面，再找这两个面的外心，过外心作面的垂线，两垂线的交点即为外接球球心． 【注意】旋转体的外接、内切问题一般画轴截面进行分析. 【过关练】在三棱锥中，平面，，为边长等于的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知的外接圆的半径为1，将三棱锥补形为一个直三棱柱， 如图，分别是上下底的外心，则的中点是外接球的球心， 由题设，易得底面外接圆半径，，则，即外接球的半径为， 其外接球的表面积是. 3．直观图与斜二测画法 任何一个平面图形的面积S与它的斜二测画法得到的直观图的面积S′之间的关系为S′＝S. 【过关练】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用直观图和原图面积关系求出底面积，结合正三棱锥体积公式建立方程，求解高即可. 【详解】设底面三角形面积为，三棱锥的高为， 由直观图的性质得，解得， 因为正三棱锥的体积为，所以，解得，故A正确. 故选：A 二、空间位置关系的证明： 1、 平行关系的证明 （1） 线面平行的证明：思路一：线面平行的判定定理 思路二：面面平行的性质定理：即构造一个包含该直线的平面，先证面面平行，再证线面平行.思路三：坐标法 （2） 线线平行的证明：思路一：线面平行的性质定理 思路二：平行公理 注：经常出现的结论和定理：（1）垂直于同一平面的两直线平行；（2）两平行平面与第三个平面相交，则交线平行. 2、 垂直关系的证明 （1） 线面垂直的证明：思路1：线面垂直的判定定理 思路2：面面平行的性质定理. （2） 线线垂直：线面垂直的性质定理和勾股定理（涉及长度关系的相交直线） （3） 面面垂直：面面垂直的判定定理 注：能直接建系也可以用向量法证明 【过关练】（2025高三·全国·专题练习）如图，三棱柱的侧面与侧面均为正方形，为的中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； 【分析】（1）证明出，，可完成证明； （2）通过证明平面，可得⊥，进而可得⊥平面，即可完成证明； 【详解】（1）证明：因为侧面与侧面均为正方形， 所以，， 又平面ABC，所以平面； （2）证明：因为，所以平面， 由平面得，， 因为，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以⊥. 因为平面平面， 所以， 因为平面，所以⊥平面. 又平面，故平面平面 3.如何建系求坐标 建系三原则：重合性原则、对称性原则和右手系原则 注：必须先证垂直关系再建系 4、求点的坐标 （1）直接法： 坐标轴、坐标平面上的点的坐标 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 点的坐标 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 记忆：“在哪哪非零，其他都为零”． 空间点的对称点 初始点的坐标 (x，y，z) (x，y，z) (x，y，z) (x，y，z) (x，y，z) (x，y，z) 对称轴(平面) x轴上 y轴上 z轴上 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 对称点的坐标 (x，－y，－z) (－x，y，－z) (－x，－y，z) (x，y，－z) (－x，y，z) (x，－y，z) 记忆“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”． 空间点在坐标平面投影点的坐标 初始点的坐标 (x，y，z) (x，y，z) (x，y，z) 坐标平面 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 投影点的坐标 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 记忆“投影到哪哪不变，第三个坐标为零”． 用法：以上规律一般逆用，在写空间中点的坐标时，先写坐标平面内的投影点的坐标，再确定第三个坐标，而第三个坐标为该点到该坐标平面的距离．如在棱长为1的正方体中的点B1，在Oxy平面内的投影为B，而B(1，1，0)，则B1(1，1，1)． （2）公式法： 涉及到中点或重心的点的坐标，可直接利用公式求解： 若点，则线段的中点坐标； 三角形的重心. （3）根据向量关系 向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，两用向量之间的相等、平行、垂直等关系求解． （4） 待定系数法 类型1：当点在坐标轴上时，可直接设出点的坐标再根据条件求解 类型2：当点在直线上时，用一个变量就可以表示出所求点的坐标，如，再根据向量相等表示出点的坐标或直接利用向量的线性运算求出所需向量的坐标． （5） 三角函数法 当知道OP与坐标轴的夹角时，可以利用三角函数的知识求出P点坐标 注：“与哪个轴的夹角已知，该轴上的坐标就是该点与原点的距离与夹角的余弦的乘积，另一个轴上的坐标就是该点与原点的距离与夹角的正弦的乘积，第三个轴上的坐标为零”． 5.空间角与距离的计算公式 （1）异面直线所成的角： 已知两条直线的方向向量分别为：，异面直线所成的角为，则 （2）直线与平面所成的角： 已知直线的方向向量和平面的法向量分别为：，，直线与平面所成角为，则 （3）点到平面的距离 已知平面的法向量为，则 （4）.二面角： 已知两个半平面的法向量分别为：，锐二平面角为，则 （5）点到线的距离公式 【过关练】（2025·广西桂林·一模）如图，梯形中，为上一点，，且，将沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，得到四棱锥为的中点.    (1)若为的中点，证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）利用中位线的性质证得线线平行，从而证得线面平行，再证得面面平行，利用面面平行的性质定理证得线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用向量线性运算的坐标表示求出点坐标，再利用向量法求线面角即可. 【详解】（1）    取的中点，连接. 三点分别为的中点 在平面中，， 又平面平面平面 同理，，平面平面，所以平面， 又平面平面， 平面平面， 平面平面. （2）    因为平面平面，平面平面，平面, 所以，平面. 过作的平行线，过作交于点. 以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 梯形中，，， 所以，则. 所以. 假设在上存在点使得，设， 设，则，解得. 因为， 所以，解得. ， 因为平面平面，故取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则 . 所以，线段上存在点使得，直线与平面所成角的正弦值为. 1.扇形的弧长和面积 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|＝. 相关公式：(1)l＝|α|r. (2)S＝lr＝|α|r2. 【过关练】（2025·浙江温州·二模）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（    ） A．1 B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】根据扇形面积公式计算求解. 【详解】设圆心角为，所以，所以3 故选：C. 2. 任意角的三角函数的定义是什么？ 【过关练】（2025·甘肃·二模）若为坐标原点，，当绕点逆时针旋转至时，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点所在终边的关系并利用三角函数定义，结合诱导公式可得解. 【详解】设点在角α的终边上，则在角的终边上， 由三角函数的定义，可知，则， 则点 ，即. 故选：B. 3. 同角关系式和诱导公式还记得吗？ 注意：利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号． 【过关练】（2025·河北张家口·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角的三角函数关系式，将原式化简为关于的式子，然后将已知代入求解即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：D. 4. 三角变换涉及到的公式有哪些？变换的基本策略是什么？ 能写出二倍角公式及其变形吗？cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α， 降幂公式：sin2α＝，cos2α＝ 【过关练】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用两角和与差的正弦公式，结合已知条件即可求解. 【详解】 ，即 故选：D. 5. 三角函数的图像与性质有哪些？ 注意：（1）在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围． （2）求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解． 6. 如何进行三角函数图像的变换？ 三角函数图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，平移量为，而不是φ. 7. 如何根据图像求函数的解析式？ 8. 三角函数根据单调性、零点个数求参数范围的基本策略是什么？ 【过关练】已知函数在区间，有且仅有3个零点，则的取值范围是 　　． 【解答】解：，，函数的周期为，，可得， 函数在区间，有且仅有3个零点， 可得，所以．故答案为：，． 9. 利用正弦定理解三角形时如何判断解的个数？大边对大角以及正弦值的范围 【过关练】（1）在中，内角的对边分别为.若，则（ ） 【答案】A （2）中，已知，，.（角对边型） （1）若恰有一解，则实数的取值范围是　　； （2）若有两解，则实数的取值范围是　　； （3）若无解，则实数的取值范围是　　； 【答案】（1） （2） （3） 10. 解三角形中的“三线”问题的处理策略是什么？ 中线或比例端点的处理策略： 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB，AC，及∠A，求中线AD长． 策略一：如图，倍长中线构造全等,再用余弦定理即可 策略二：向量法，,等式两边再进行平方 策略三：两次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即 补充：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”也适用，此时需要倍长等分线构造相似 角平分线问题的处理策略： △ABC中，AD平分∠BAC. 策略一：角平分线定理： 策略二：利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理 ， 策略三：角互补： +. 【过关练】（2025·广东广州·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由设，可得的值，进而可求得的值，结合余弦定理可得，由可求得，即可求得结果. 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由是边上的中线，得 . 所以，中线长. 故选：A 11. 解三角形中的范围问题如何求解？ 【过关练】在锐角中，，， (1)求角A； (2)求的周长l的范围. 【详解】（1）∵，， 所以，所以， 因为，所以， ，所以. （2），所以,所以，， 所以, 因为是锐角三角形，且， 所以，解得，所以，所以， 所以. 1. 直线方程的五种形式和使用环境是什么？ 直线方程的五种形式 (1)点斜式：y－y0＝k(x－x0)(直线过点P0(x0，y0)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)． (2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)． (3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)． (4)截距式：＋＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)． (5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)． 【过关练】（1）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 【答案】或 （2）直线 l 经过点（-2，3），且原点到直线l的 距离是2，直线l的方程. 2.如何判断两条直线的位置关系？ (1)当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时： ①两直线平行：l1∥l2⇔k1＝k2. ②两直线垂直：l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 提醒　当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略． (2)直线方程一般式是Ax＋By＋C＝0. ①若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－B1A2＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)． ②若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 提醒　无论直线的斜率是否存在，上式均成立，但平行求参数时一定检验是否重合！！！． 【过关练】若直线与直线垂直，则的值为（ ） 或-3 【解析】因为直线与直线垂直，所以，解得或. 当时，直线不存在，故舍去；当时，满足题意，故选. 【答案】 3.点到直线的距离公式是什么？ (1)点到直线的距离d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0))． (2)两平行线间的距离d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0))． 提醒　应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数对应相等． 4. 直线与圆的位置关系有几种？ 【过关练】已知直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ） 【解析】圆的标准方程为，则，所以圆心为，半径为，由直线与圆相离，可知圆心到直线的距离，可得，即实数的取值范围为.故选. 【提醒】二元二次方程对应的轨迹为圆是有条件的，满足，即圆的半径大于0. 5. 求过某点的圆的切线方程时要注意什么？点与圆的位置关系，确定切线条数，勿忘斜率不存在的情况。 注意：圆的切线方程，切线长公式，切点弦方程，直线和圆相交的弦长，与圆相关的几何性质直线与圆关系,常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理,构造Rt△解决弦长问题，过圆x2+y2=r2上点P(x0,y0)的切线为:x0x+y0y=r2;过圆x2+y2=r2外点P(x0,y0)作切线后切点弦方程:x0x+y0y=r2;过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直x轴. 6. 圆锥曲线的定义知道是什么吗？三种圆锥曲线定义中的限制条件各是什么？ 7. 椭圆、双曲线的焦点三角形面积公式还记得吗？ 【过关练】已知椭圆 上有一点 分别为左、右焦点，的面积为 ，则下列选项正确的是 （    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．面积的最大值为 D．若 为钝角三角形，则 【答案】ACD 【详解】对于椭圆，设，，，则 ，由此可得…①， 所以的面积. 对于选项A：若，则，故A正确；对于选项B：由①知 （当且仅当即点是短轴端点时取等号），所以，因此不可能是，故B错误； 对于选项C：当为短轴的端点时，面积的最大值为，故C正确. 对于选项D：由以上分析可知，不可能是钝角，由对称性不妨设是钝角. 先考虑临界情况，当时，易得，此时，结合图形可知， 当是钝角时，故D正确；故选：ACD. 8. 抛物线的焦点弦常用性质你知道多少？ 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，且y1>0>y2，则(1)焦半径|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝. (2)x1x2＝，y1y2＝－p2. (3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝. (4)＋＝. (5)以弦AB为直径的圆必与准线相切． (6)S△OAB＝(O为抛物线的顶点)． 【过关练】已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：过点作轴的垂线，垂足为，则， 所以，所以， 由抛物线定义可得，，所以， 解得，故A正确． 选项B：由A得抛物线的方程为，，直线的方程为， 联立直线方程与抛物线的方程并化简，得，得或， 所以，故，故，B错误． 选项C：由，，得，故C正确． 选项D：由上知，得， 故，故D正确． 故选：ACD 9.圆锥曲线在审题时的关键是什么？（1）圆锥曲线的焦点在哪个轴上？（不要受惯性思维影响默认焦点在x轴）（2）动点的变化谁起决定性因素？ 10.如何求动点的轨迹：直接法、定义法、相关点法、消参法 注意：（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等. （2） 要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点. 11.如何处理圆锥曲线中“定”的问题： 圆锥曲线中的“定”问题常有以下类题型： 题型1：定值问题——解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值． 定值问题的解法：选好参数，求出题目所需的代数表达式，然后对表达式进行直接推理、计算，并在推理计算的过程中消去变量，从而得到定值．这种方法可简记为：一选（选好参变量）、二求（对运算能力要求颇高）、三定值（确定定值）． 题型2：定点问题——解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线和曲线（中的参数）如何变化，直线和曲线都经过某一个定点． 定点问题的三种解法：一是从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明．二是设出直线方程y=kx+b，再根据条件寻找k,b的关系；三是根据动点坐标写出直线方程，根据直线方程判断所过定点（此时可利用恒成立求解或结合对称性判断出定点位置，进而求出）. 题型3：定直线问题——对于求证某个点不管如何变化，始终在某条直线上的题目，其本质就是求动点的轨迹方程． 【过关练】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在， 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出即可得解； （2）由题意可将原问题转换为，设直线的方程为：，，联立椭圆方程，结合韦达定理可求得的值即可. 【详解】（1）∵的周长为8，的最大面积为， ∴，解得，或，． ∴椭圆C的方程为或等． （2）    由（1）及易知， 不妨设直线MN的方程为：，，，， 联立，得． 则，， 若的内心在x轴上，则， ∴，即，即， 可得． 则，得，即． 当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意的点． 故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上. 12、设点斜式要讨论！！！！何时何地、何情何景都需要 13、联立方程要看二次项系数和判别式 14、如何求离心率？别忘自带范围 15、弦长公式的一式三变 16、最值范围问题的求解策略 【过关练】（2025·山东青岛·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.点在的右支上，当轴时，. (1)求的方程; (2)若直线与的右支的另一个交点为，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）根据题意得，代入方程即可求解； （2）设直线方程为，与双曲线联立得，由韦达定理有，代入即得，令，得，设，利用单调性即可求解. 【详解】（1）由题知 ， 又 轴时，有代入方程解得，， 则双曲线的方程为： ； （2）设直线方程为， ，消去得， 则， 所以， ， 因为， 令，则， 得 设，则该函数在上单调递减，则， 故，，即面积的最小值为12. 1、 排列数、组合数公式还记得吗？ （1）排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…·(n－m＋1)= （2）组合数的计算公式：C＝＝＝，由于0！＝1，所以C＝1. （3）组合数的性质：①C＝C；②C＝C＋C. 2、排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)特殊元素或特殊位置优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题排除法处理．(7)正难则反，等价条件． 【过关练】为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　） A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法 D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法 【答案】ABC 【详解】A：6门中选2门共有种选法，故A正确； B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，故B正确； C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确； D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，所以，共有种排法，故D错误. 故选：ABC. 3、会求二项展开式的特定项吗？公式法、原理法. 二项式定理应用时的注意事项 (1)注意区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细． 项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正． (2)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. 【过关练】在的展开式中（    ） A．所有奇数项的二项式系数的和为128 B．二项式系数最大的项为第5项 C．有理项共有两项 D．所有项的系数的和为 【答案】AB 【详解】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为，故A正确； 对于B, 二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确； 对于C,，为有理项，可取的值为，所以有理项共有三项，故C错误；对于D,令，则所有项系数和为，故D错误. （2）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，令，则，故A正确；对于D，令， 令，两式相减得，故D正确； 易知，而中的常数项为1，含项为， 含项为，含项为，同理中的常数项为，含项为， 含项为，含项为，所以，故B错误； ，故C正确. 4.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 【过关练】为加强学生体质健康，邢台市第一中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（    ） A．第一次投篮的人是甲的概率为 B．第三次投篮的人是乙的概率为 C．已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为 D．设第n次投篮的人是甲的概率为，则 【答案】BCD 【详解】对于A，直接使用古典概型方法知，第一次投篮是甲的概率都是，故A错误； 对于C，设分别表示“第一次投篮的人是甲”和“第二次投篮的人是乙”，则 ，故C正确； 对于B，D，设表示“第n次投篮的人是甲”，则有 . 故，，这得到，，及，故B，D正确. 故选：BCD. 5.统计中四个数据特征 (1)众数： ①在样本数据中，出现次数最多的那个数据． ②频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边中点的横坐标． (2)百分位数：给出样本数据如何求？给出频率分布直方图如何求？ (3)平均数：样本数据和频率分布直方图如何求 (4)方差与标准差：反应样本数据的分散程度． 方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 标准差： s＝. 思考：（1）给出频率分布直方图如何求方差呢？公式是否一样？ （2） 分层抽样中每一层的平均数和方差与总体平均数、方差有什么关系？ 【过关练】数据2，3，5，6，7，7，8，10的上四分位数为（    ） A．7.5 B．8 C．7 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，结合百位数的定义和计算方法，即可求解. 【详解】由题意，上四分位数是分位数，又由， 所以分位数为. 故选：A． （2）为了调查学生对两会相关知识的了解情况，某高校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们得分（满分100分）的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．若全校参与该活动的学生共2000人，则得分在内的人数约为650 B．全校参与知识问答活动的学生的平均分约为65分 C．该校学生得分的分位数约为77.7（结果精确的到0.1） D．若此次知识问答的得分，则 【答案】ABD 【详解】对于选项A:得分在内的频率为0.325，因此人数约为650，故A正确； 对于选项B: ，故B正确； 对于选项C:该校学生得分的分位数为，故C错误; 对于选项D: ， 故D正确． 故选:ABD． 6.离散型随机变量 (1)离散型随机变量的分布列的两个性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. (2)均值公式：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn (3)均值的性质 ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；③若X服从两点分布，则E(X)＝p. (4)方差公式 D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2·pn=E(X2)-(EX)2，标准差为. (5)方差的性质 ①D(aX＋b)＝a2D(X)；②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． 正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件． 7.如何判断两个事件是否独立？ P(AB)＝P(A)P(B)． 【过关练】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2点”，B=“第二次的点数小于5点”，C=“两次点数之和为奇数”，D=“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（ ） A. A 与 B 不互斥且相互独立 B. A 与 D 互斥且不相互独立 C. B 与 D 互斥且不相互独立 D. A 与 C 不互斥且相互独立 【答案】ABD 【解析】对于A，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即 A与B 相互独立；第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，A 与 B不互斥，故A正确； 对于B，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即A与 D 不相互独立；第一次出现2点，则两次点数之和最为8，即A与D不能同时发生，即A与D互斥，故B正确. 对于C，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即B与 D不相互独立；若第一次的点数为5，第二次的点数为4，则两次点数之和为9，即B与D可以同时发生，即B与D不互斥，故C错误.对于 D， 则，故A与C 相互独立；若第一次的点数为2，第二次的点数为3，则两次点数之和为5是奇数，即A与C可以同时发生，即A与C不互斥，故D正确. 8、 独立性检验问题 【过关练】（2025·辽宁·二模）在哈尔滨2025年第九届亚洲冬季运动会的志愿者选拔工作中，面试满分为100分，现随机抽取了120名候选人的面试成绩分为五组，第一组[45，55），第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三组的频率成等差数列，第一组的频率等于第五组的频率． (1)求a，b的值，并估计这120名候选人成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）； (2)已知120名候选人中，男、女生各60人，男生想去冰上赛区的有35人，女生想去冰上赛区的有20人，请补全下面列联表．请问是否有的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关？（结果精确到0.001） 志愿者 性别 合计 男生 女生 想去冰上赛区 35 20 不想去冰上赛区 合计 60 60 附： 0.050 0.010 0.001 3.941 6.635 10.828 (3)滑冰项目的场地服务需要4名志愿者，有4名男生和2名女生通过选拔入围，现随机从6名同学中抽取4人服务该场地，记男生被抽中的人数为，求的分布列及期望． 【答案】(1)，平均值为：，中位数为： (2)列联表见解析，有99%的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关 (3)分布列见解析， 【分析】（1）由频率分布直方图列出方程组，能求出a，b，进而能估计这120名候选人成绩的平均数和中位数； （2）补全列联表，求出，从而有99%的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关； （3）男生被抽中的人数可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此求出的分布列及期望． 【详解】（1）由题意：. 又. 解得， 估计这120名候选人成绩的平均数为：， 设中位数为：， 解得中位数. （2） 志愿者 性别 合计 男生 女生 想去冰上赛区 35 20 55 不想去冰上赛区 25 40 65 合计 60 60 120 所以有99%的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关 （3）男生被抽中的人数可能取值为2，3，4. . 的分布列为： 2 3 4 . 9、回归方程：线性、非线性 回归经验方程内容中如何应用相关线性系数进行判断？决定系数有什么作用？ 非线性回归方程如何求解？近似求解要注意题目要求！ 【过关练】（2025·山东济南·二模）每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况， 天数 1 2 3 4 5 胚芽长度（厘米） 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2 通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①；②， (1)根据以上数据，计算模型①中的关于的相关系数（结果精确到0.01），若，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？ (2)根据（1）的结果，试建立关于的回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度（结果精确到0.01）． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 样本相关系数为． 参考数据：． 令． 【答案】(1)应选模型②； (2)，预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米. 【分析】（1）根据已知求得，结合已知及相关系数公式求相关系数，即可得结论； （2）应用最小二乘法求回归方程，再将代入预测第6天种子的胚芽长度. 【详解】（1）由题设，，所以， 所以，故应选模型②； （2）令，则求出线性回归方程， 所以，， 所以， 所以， 又，则，故， 所以回归方程为，故，有厘米， 所以，预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米. 1．复数的相关概念及运算法则 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类 ①z是实数⇔b＝0；②z是虚数⇔b≠0；③z是纯虚数⇔a＝0且b≠0. (2)共轭复数：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝a－bi. (3)复数的模：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝. (4)复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． 特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)． (5)复数的运算法则 加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i； 乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； 除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i (c＋di≠0)．(其中a，b，c，d∈R) 2．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i.(2)＝i，＝－i.(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)． （4）；（5）；（6） 【过关练】（2025·云南昆明·二模）已知虚数，互为共轭复数，则（   ） A．为实数 B．为纯虚数 C． D． 【答案】AB 【分析】利用复数的代数形式表示，再逐项求解判断. 【详解】依题意，设，则， 对于A，，A正确； 对于B，为纯虚数，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，当时，，，D错误. 故选：AB 3.如何根据平面向量的夹角求参数范围？ 【过关练】设向量，，向量与的夹角为锐角，则x的范围为 . 【答案】且 【分析】根据已知可得，且不共线，求解即可. 【详解】向量，，由得，，所以. 由已知得，，所以，即，且不共线. 则，所以. 又不共线，则.所以x的取值范围为且. 故答案为：且. 4.什么是极化恒等式？ 在三角形ABD中（M为BD的中点），则极化恒等式可表示为：（三角形模式） 【过关练】如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接，如图所示，    所以的取值范围是，即，又由， 所以. 5.三角形“四心”的向量表示的应用 【过关练】若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ） A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心 C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心 【答案】B 【详解】，变形得到， 其中分别代表方向上的单位向量， 故所在直线一定为的平分线， 故直线AP一定经过的内心， ，即点到三个顶点相等，故点是的外心， 因为，所以， 如图，取的中点，连接， 则，所以， 故三点共线，且， 所以是的重心，    由可得， 故，同理可得， 故为三条高的交点，为的垂心. 故选：B 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$