数学（二）-2025年中考考前20天终极冲刺攻略

第二辑 平面直角坐标系与函数………………………………………………………………………01 一次函数………………………………………………………………………………………10 反比例函数……………………………………………………………………………………20 二次函数………………………………………………………………………………………31 函数综合………………………………………………………………………………………42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 01平面直角坐标系与函数 考点 考情分析 平面上确定物体的位置的方法 主要以选择题、填空题为主，也可能在一些综合应用题的某一小问中出现。 平面直角坐标系 以选择题、填空题为主，也可能在解答题中作为一部分出现，如在函数与几何图形的综合题中，利用平面直角坐标系来求解相关问题。 函数基础知识 选择题、填空题常考查函数的基本概念、性质、图象等基础知识；解答题则更注重函数的综合应用。 考查分值：分值在10-15分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。 考查形式：选择题、填空和解答题均有。 命题趋势：与实际问题结合更紧密；跨学科融合增强；注重考查数形结合思想，要求学生能将函数图象与解析式相互转化，通过图象分析函数性质，利用函数性质解决图象问题；可能会出现条件开放、结论开放或解题方法开放的题目；常与几何图形结合。 知识点1：平面直角坐标 平面内画两条 相互垂直，原点重合 的数轴，组成平面直角坐标系． 水平的数轴称为 横轴或 x 轴 ，取 向右 为正方向； 竖直的数轴称为 纵轴或 y 轴 ，取 向上 为正方向； 两坐标轴的交点称为平面直角坐标系的原点． 知识点2：象限 x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。 知识点3：坐标系内点的特征 （1）x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0。 （2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。 （3）点到轴及原点的距离： 点到x轴的距离为|y|； 点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。 （4） 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。 （5）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。 知识点4：坐标的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数 a，相应的新图形就把原图形向右(左)平移 a 个单位长度: 如果把它各个点的纵坐标都加(或减去) 一个正数 a,相应的新图形就把原图形向上(下)平移 a 个单位长度 点的平移规律： 左右平移一纵坐标不变，横坐标左减右加;上下平移-横坐标不变，纵坐标上加下减 知识点5：函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图象上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 知识点6：函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图象法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图象中只能得到近似的数量关系 真题1（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（    ） A．14 B．11 C．10 D．9 真题2（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标2为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 真题3（2024·贵州·中考真题）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 真题4（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（    ） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 真题5（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（    ）    A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是 真题6（2024·湖北武汉·中考真题）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（    ） A．B． C． D． 真题7（2024·江苏宿迁·中考真题）点在第 象限． 真题8（2024·四川·中考真题）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为 ． 预测1（2025·浙江杭州·一模）如图为冰壶比赛场地示意图，由以为圆心、半径分别为，，，的同心圆组成．三只冰壶的位置如图所示，，的延长线平分，冰壶分别表示为，，则冰壶可表示为（    ） A． B． C． D． 预测2（2025·辽宁鞍山·一模）在化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将盐酸溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映盐酸溶液的值与所加水的体积V之间对应关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   预测3（2025·河南周口·一模）在物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法正确的是（　　） A．实验开始时，冰块的温度为 B．加热后，冰块开始熔化 C．冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到 D．冰块熔化过程持续了 预测4（2025·山东泰安·一模）点在第三象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 预测5（2025·河南新乡·模拟预测）如图，在中，，边在x轴上，顶点A，B的坐标分别为和，F为的中点，将平行四边形沿x轴向右平移．当点D落在上时，点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 预测6（2024·山西太原·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别为，则点的坐标为 预测7（2025·河南周口·一模）如图1，在中，，点P从点A出发，以的速度沿折线A→B→C运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿线段BC运动．当点P到达点C时，P，Q停止运动，连接PQ，AQ．设点P运动的时间为，的面积为．       (1)直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围： (2)在图2所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出函数时x的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）． 押题1在平面直角坐标系中，已知点，则点P在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 押题2如图，若小红的坐标为，小亮的坐标为，则小华的坐标为（   ） A． B． C． D． 押题3下列各图象中，是的函数的是（    ） A． B． C． D． 押题4将盛有部分水的小圆柱形水杯放入事先没有水的大圆柱形水杯中，拿去接水时，让水先进入大圆柱形水杯，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致为图中的（   ） A． B． C． D． 押题5在平面直角坐标系中，点到轴的距离为 ． 押题6如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点为曲线部分的最低点．则的面积是 ． 押题7函数的自变量x的取值范围是 ． 押题8科学兴趣小组利用不同材料制作了，两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为（单位：）时，电池板的输出电压（单位：）和电池板的输出电压（单位：）．部分数据如下： 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0 通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，回答下列问题： (1)①可以看作是关于的正比例函数，则的值为______； ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”； (2)结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出，两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当光照强度为时，电池板的输出电压与电池板的输出电压之差约为______V（结果保留小数点后一位）； ②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于，则光照强度应至少达到______（结果保留整数）． 02 一次函数 考点 考情分析 一次函数的性质与图象 选择题常考查对一次函数基本性质的理解；填空题可能涉及求函数解析式、与坐标轴交点坐标等；解答题则注重综合应用，常与方程、不等式、几何图形结合。 一次函数与方程（组）﹑不等式 选择题可能考查一次函数与方程组、不等式关系的基本概念；填空题常涉及根据给定条件求一次函数表达式，进而解决相关方程组或不等式问题；解答题则注重综合应用。 用一次函数解决实际问题 主要以解答题为主，也可能在选择题或填空题中出现相关的简单应用问题。解答题通常会结合实际情境，要求学生完整地写出解题过程，包括建立函数模型、分析函数性质和得出结论等。 考查分值：在中考中所占分值一般保持在8% - 10%左右，具体分值因地区和试卷结构而异。 考查形式：题型灵活多样，选择题可能会考查一次函数的基本性质、图象特征等基础知识点；填空题常涉及求函数解析式、与坐标轴交点坐标等；解答题则以实际应用和综合应用为主。 命题趋势：注重考查学生的数学思维能力，如建模思想、数形结合思想、分类讨论思想等；跨学科融合与创新：可能会出现与物理、地理等学科知识相结合的题目。 知识点1：一次函数的图象和性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图象呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图象呈下降趋势，y随x的增大减小 图 像 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 图 像 关 系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 高分技巧： 若两直线平行，则； 若两直线垂直，则 知识点2：用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 知识点3：一次函数与方程（组）﹑一元一次不等式 （一）一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标. （二）一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. （三）一次函数与一元一次不等式 思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图象的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 高分技巧： 1.求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点； 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 真题1（2024·山西·中考真题）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 真题2（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 真题3（2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 真题4（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 真题5（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)的值为________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 真题6（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 预测1（2025·湖南长沙·一模）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 预测2（23-24八年级下·全国·期末）直线向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 预测3（2024·河北石家庄·一模）某个一次函数的图象与直线平行，与x轴，y轴的交点分别为A，B，并且过点，则在线段上（包括点A，B），横、纵坐标都是整数的点有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 预测4（2025·广西贵港·一模）小林在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面上拉动木块进行实验．如图用弹簧测力计拉着重为的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，弹簧测力计的读数F（N）是装置高度h（m）的一次函数．当时，F为；当时，F为．当弹簧测力计读数达到最大量程时，此时装置高度h为（   ） A． B． C． D． 预测5（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，一束光经过照射在平面镜(轴)上的点处，其反射光线交轴于点，再被平面镜反射得光线（根据物理知识），则直线的函数表达式为 ． 预测6（2025·吉林·一模）【问题背景】古法造纸术是中国古代四大发明之一，其核心工艺含有两个环节，一是蒸煮脱胶，二是自然干燥． 【实验操作】某文化遗产保护小组在研究古法造纸工艺时，记录关键环节数据，旨在通过数学建模揭示温度与时间、湿度与时间的内在联系． 环节一：蒸煮脱胶 将树皮等原料在溶液中蒸煮，记录蒸煮过程中温度与时间的部分数据如下： 时间 0 1 2 3 4 温度 20 30 40 50 60 环节二：自然干燥 纸张成型后需自然干燥，记录干燥过程中湿度与时间的部分数据如下： 时间 0 2 4 6 8 湿度 80 70 60 50 40 【分析数据】 如图1，根据表中T与t的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 如图2，根据表中H与t的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 观察上述各点的分布规律，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映温度T与时间t及湿度H与时间t的函数关系，并求出这两个函数的解析式（不要求写出t的取值范围）． 【问题解决】 古法造纸术的核心工艺要求： ①蒸煮脱胶温度需在以上（包含）至少持续． ②自然干燥环节必须在蒸煮脱胶环节完成后开始，蒸煮脱胶和自然干燥总时间为． ③自然干燥后的纸张湿度需低于． 根据核心工艺要求，求蒸煮脱胶环节的最短时间，并验证自然干燥环节是否满足湿度要求． 预测7（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）两个透明的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图2）．在甲容器里加满水，此时水面高度为．若由于装置的原因，甲容器内的水无法全部流出，当水面高度刚好是1cm时，停止流水，此时停止计时．上午8：00开始放水后，甲容器的水面高度y(cm)和流水时间x(min)的部分数据如表： 记录时间 8：00 8：10 8：25 8：30 8：40 流水时间x(min) 0 10 25 30 40 水面高度y(cm) 30 28 25 24 22 (1)综合实践小组在平面直角坐标系中描出了以表中各组对应值为坐标的点，并用光滑的曲线（包括直线）把描出的点连接起来（如图3），发现可以用一次函数近似地刻画甲容器的水面高度y(cm)与流水时间x(min)的关系，根据以上信息，求y关于x的函数解析式． (2)当时间正好是时，甲容器的水面高度是多少厘米？ (3)刚好停止流水时是几时几分？ 预测8（23-24八年级下·陕西西安·期末）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图所示． (1)求所在直线的函数解析式； (2)当石块下降的高度为，求此刻弹簧测力计的示数． 预测9（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于平面内点和轴上点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在上，称点为的“赋能点”． (1)已知点的坐标为． ①如图1，在点中，的“赋能点”是_____； ②如图2，若直线上存在点，使点为的“赋能点”，求的取值范围； (2)如图3，点．若线段上存在点，使点为的“赋能点”，直接写出的取值范围． 押题1在一次函数中，的值是（   ） A． B．4 C． D．7 押题2一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是（   ） ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 1 5 9 ．．． A．y的值随值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、三、四象限 C．不等式的解集为 D．关于的方程的解是 押题3某吊绳最大承受拉力对应的重物质量不超过8 吨．当没有吊起任何重物时，吊绳的自然长度是5米，通过实验测定，每吊起1 吨重物，吊绳会伸长0.3米．在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度y（单位：米）与所吊重物的质量x（单位：吨）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 押题4图中两直线，的交点坐标可以看作下列方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 押题6已知一次函数的图象过点，，且，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 押题7已知直线与直线平行，则 ． 押题8科学家通过实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而变化，且满足某种函数关系．某兴趣小组为探究空气的温度x（单位：）与声音在空气中传播的速度y（单位：米秒）之间的关系，在标准实验室里进行了多次实验．下表为实验时记录的一些数据． 温度 … 0 5 10 15 20 … 声音在空气中传播的速度y/（米/秒） … 331 334 337 340 343 … (1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中数据所对应的点． (2)根据描点，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，则这个函数的类型最有可能是______（填“一次函数”或“二次函数”），求出该函数的解析式． (3)某地春季的室外温度是，小明在看到闪电2秒后听到雷声，求小明与发生打雷的地方的距离．（光的传播时间忽略不计） 押题9综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 03 反比例函数 考点 考情分析 反比例函数的图象与性质 选择题常考查反比例函数的基本性质、图象特征、k的几何意义等基础知识点；填空题可能涉及求函数解析式、根据性质比较大小、利用k的几何意义求面积等；解答题多与一次函数结合，考查交点坐标、函数解析式的确定，以及根据函数图象解不等式等，还可能与几何图形综合，利用反比例函数解决几何图形中的计算问题。 用反比例函数解决实际问题 多以解答题形式出现，要求学生完整地写出建立模型、求解和作答的过程。 考查分值：8 - 12分左右，具体分值因地区和试卷结构而异。 考查形式：选择题、填空题会侧重考查反比例函数的基本概念、性质、k的几何意义等基础知识；解答题则以函数综合应用和实际问题为主。 命题趋势：注重考查学生的数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想；跨学科融合与创新：与物理、化学等学科的融合会更加紧密，体现学科间的综合性。 知识点1：反比例函数的概念及其图象﹑性质 （一）反比例函数的概念 （1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： ①y＝；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0) （二）反比例函数的图象 k的符号 图象 经过象限 y随x变化的情况 k>0 图象经过第一、三象限 （x、y同号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而减小. k>0 图象经过第二、四象限 （x、y异号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而增大. （三）反比例函数的图象特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线 （四）待定系数法求解析式 只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可. 高分技巧： 反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断. 知识点2：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合 （一）系数k的几何意义 （1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|. （2）常见的面积类型： 高分技巧： 已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0. （二）与一次函数综合 （1）确定交点坐标： 【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）. 【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 知识点3：反比例函数的实际应用 一般解题步骤： （1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 真题1（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A．B．C．D． 真题2（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 真题3（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． 真题4（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 真题5（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ． 真题6（2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则 ．    真题7（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ． 真题8（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，点为上一点，，过点作交于点．点，的距离为，的周长与的周长之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 真题9（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 预测1（2025·贵州遵义·一模）若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 预测2（2025·江苏淮安·一模）如图，已知点A与点分别在反比例函数与的图象上且，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 预测3（2025·山西阳泉·二模）已知反比例函数，下列关于它的图象和性质的描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点 C．图象越来越靠近坐标轴，最终相交 D．y随x的增大而减小 预测4（2025·江西景德镇·一模）在如图所示的电路图中，当开关闭合以后，滑动变阻器从左往右滑动的过程中，电流表的示数与关系用图象可近似表示为（    ） A． B． C． D． 预测5（2025·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数（k为常数，）的图象相交于A、C两点，过点A作轴于点B，连接，若的面积为4，则k的值为 ． 预测6（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，若点和都在函数的图象上，则的值是 ． 预测7（2025·山东聊城·一模）某同学学习了“函数与变量之间的关系”相关知识后，参考教材设计出了如下数据 … 1 2 3 … … 4 2 … (1)根据上表数据，求出其对应函数的解析式及的值，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)如果点是该函数图象在第一象限上的一点，过点作轴的平行线，将上方的函数图象沿着直线翻折，求翻折后的函数图象与轴的交点坐标； (3)若经过点的直线分别交轴、轴于点，求的长． 预测8（2025·宁夏固原·二模）双曲线的图象与一次函数的图象交于两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)设直线与x轴交于点C，若P为x轴上一点，当的面积为3时，求点P的坐标． 押题1已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．①函数解析式为；②当时，；③当时，；④当电压一定时，电流I随电阻R的增大而减小．上述说法正确的是（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 押题2如图，的顶点和边的中点都在反比例函数的图象上，若的面积是，则的值为（   ） A． B． C． D． 押题3若双曲线与直线的一个交点坐标为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D．或 押题4如图，四边形为平行四边形，线段在x轴上，点D在反比例函数的图象上，线段与y轴的正半轴相交于点E，若，且的面积为1，则常数的值为（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 押题5若点 ，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是 ．（用“”连接） 押题6在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（单位：）与它的受力面积S（单位：）是反比例函数关系，其函数图象如图所示．当时， ． 押题7阅读材料： 在学习反比例函数的性质时，通过图象直观感受到反比例函数的图象关于原点对称．小明利用代数方法进行了推导． 证明：在反比例函数 的图象上任取一点， 则点A关于原点的对称点B的坐标为． ， ∴点B也在反比例函数的图象上． ∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象关于原点对称． 问题解决： 下面我们来研究一个新函数． (1)试运用阅读材料提供的方法，证明函数的图象关于 对称； (2)已知点在函数的图象上，且，直接写出x的取值范围是 ． (3)已知函数的图象在函数的图象的下方，求x的取值范围． 押题8综合与实践-项目式学习 【项目主题】学科融合-用数学的眼光观察现实世界． 【项目背景】学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】 素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 素材二：设表示物体到凸透镜的距离，表示像到凸透镜的距离，表示凸透镜的焦距（凸透镜中心到焦点之间的距离），小明在研究的过程中发现了，和之间在成实像时存在着关系： 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：如图，为物体，点为凸透镜的中心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．当时，求的值． 任务二：已知凸透镜的焦距为，物体的高度为，当物体到凸透镜的距离为 （）时，测量物体的成像的高度为 ． (1)请你利用所学的知识求出与的关系式． (2)当时，随的增大而________（填“增大”或“减小”）． 04 二次函数 考点 考情分析 二次函数的图象与性质 选择题常考查二次函数的基本性质、图象特征、系数与图象的关系等基础知识；填空题可能涉及求函数的顶点坐标、对称轴、最值，或根据函数性质求参数的值等；解答题则以综合应用为主。 二次函数与一元二次方程 选择题常考查二次函数与一元二次方程的基本概念、性质以及简单的应用，如根据函数图象判断方程根的情况；填空题可能涉及根据方程根的条件求函数中的参数值，或者利用函数图象求不等式的解集等；解答题则以综合应用为主。 用二次函数解决实际问题 主要以解答题形式出现，也可能在选择题或填空题中有所涉及。解答题通常会设置多个小问，逐步引导学生分析和解决问题，全面考查学生的数学思维和应用能力。 考查分值：分值在8-12分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。 考查形式：选择题、填空题会考查二次函数的基本性质、图象特征等基础知识；解答题则以综合应用为主。命题趋势：函数本质考查更深入；动态问题灵活多变；跨模块融合更广泛；高阶思维考查有梯度。 知识点1:二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 知识点2：二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 知识点3：二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 知识点4：抛物线的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 知识点5：二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 知识点6：二次函数图象与系数a、b、c的关系 1、系数a、b、c的作用 a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右异”） c的特征与作用 2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶ ①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断; ②含有a、b两个字母时，考虑对称轴; ③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图象判断， 例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）， 当x=1时，y=a+b+c， 当x=-1时，y=a-b+c， 当x=2时，y=4a+2b+c 当x=-2 时，y=4a-2b+c; 另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶ ④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△. ⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图象增减性进行判断。 知识点7：二次函数与不等式 1.当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，根据图象直接写出不等式的解集。 2. 由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围. 知识点8：二次函数的应用 1.利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下： ①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入 ②用含自变量的代数式表示销售商品成本 ③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式 ④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值 2.利润最大化问题与二次函数模型 牢记两公式：①单位利润=售价-进价； ②总利润=单件利润×销量； 谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数； ②总利润转化为售价的二次函数； 函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值； 真题1（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 真题2（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 真题3（2024·四川·中考真题）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 真题4（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 真题5（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 真题6（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ． 真题7（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ． 真题8（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 真题9（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 真题10（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 预测1（2025·甘肃天水·一模）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（    ）    A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 预测2（2025·天津滨海新·一模）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球出手时离地面的高度为，实心球飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为，得出以下结论： ①此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m； ②此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m； ③此次训练实心球离地面最大高为2.25m． 其中正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 预测3（2025·四川雅安·一模）小明从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面4条信息： ①；②；③；④． 其中正确信息的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 预测4（2025·广东·一模）将二次函数向左平移1个单位，向上平移2个单位得到的新的二次函数解析式为 ． 预测5（2025·江苏淮安·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是 （填出所有正确结论的序号）． 预测6（2025·浙江杭州·一模）已知抛物线． (1)若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． (2)直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值． ②点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时，，求a的取值范围． 预测7（2025·广东深圳·模拟预测）【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③． 【问题解决】 (1)若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是______（可省略单位），水池2面积的最大值是_______； (2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_______，此时的值是_______； (3)当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_______； (4)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； 预测8（2025·四川成都·一模）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第一象限抛物线上的一动点，作于点，当最大时，求点的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点，都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，连接，分别交轴、轴于点，若，求证：直线经过一定点． 押题1随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三老屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（    ） A． B． C．9 D．10 押题2已知点，，在二次函数的图象上，且为抛物线的顶点．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 押题3在同一平面直角坐标系内，函数和的图象大致是（　　） A．B．C． D． 押题4已知二次函数（为常数），当自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为，则的值为（   ） A．0或4 B．2或6 C．0或6 D．2或4 押题5二次函数的图象如图所示，则下列结论中： ； ；当时，；对于任意实数m，则有，正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 押题6如图，这是一次函数的图象，则二次函数的图象可能是（　　） A．B．C．D． 押题7若抛物线（m是常数）只经过第一、三、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 押题8已知抛物线，经过和两点，则 （填“”“”或“”） 押题9掷实心球是中招体育考试的选考项目，如图①是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求抛物线的表达式； (2)根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分． 押题10如图所示，抛物线交轴于两点，将在轴下方部分翻折得到抛物线，将抛物线与整体视作曲线，以下设问均不考虑抛物线在轴下方的部分． 【知识技能】 （1）直接写出抛物线的解析式； 【数学理解】 （2）记曲线交轴于点，连接，点为在上方且在曲线上的一个动点，连接，求面积的最大值； 【拓展探究】 （3）设平面内存在动直线 ①讨论并直接写出动直线与曲线的交点个数； ②若动直线与曲线有四个交点，记这四个交点的横坐标从左往右分别为，问是否存在这样的动直线，使满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 05 函数综合 真题1（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 真题2（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 真题3（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 真题4（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 真题5（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 真题6（2024·北京·中考真题）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下， 当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下： /mL 0 40 100 200 300 400 500 /cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 /cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）． 真题7（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … (1)①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． (2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 预测1（2025·河南周口·一模）如图1，已知矩形，是边上的一个动点，，交于点．设的长为，的长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，则矩形的面积为（    ）． A．8 B．6 C．12 D．14 预测2（2025·广东中山·一模）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 预测3（2025·云南楚雄·二模）反比例函数的图象在第 象限． 预测4（2025·湖北宜昌·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，当时，，那么当时， A． 预测5（2025·河南周口·一模）在生物实验中，研究人员对某种微生物在特定营养液中的繁殖情况进行观测．发现微生物的数量增长速率v（个/时）与营养液中关键营养物质的浓度x（）密切相关，通过一系列实验记录得如下数据： 营养物质浓度x/（） 0 10 20 30 40 微生物数量增长速率 v/（个/时） 0 12 18 18 12 (1)请根据表中数据，在平面直角坐标系中绘制出微生物数量增长速率v随营养物质浓度x变化的大致图象． (2)经分析，该关系可以用二次函数 来描述，请利用表格中的数据，通过解方程组的方式求出a、b、c的值（结果保留2位小数）． (3)若希望微生物数量增长速率v不低于15个/时，则营养物质浓度x的范围应是多少？（结果保留2位小数，） 预测6（2025·湖北宜昌·一模）九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． (1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 预测7（2025·江苏宿迁·一模）某县某水果种植户进行软籽石榴销售．已知每千克石榴的成本为元，在整个销售旺季的天里，销售单价（元千克）与时间第 （天）之间的函数关系为： 日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示，请解答： (1)求日销售量与时间的函数关系式？ (2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ 预测8（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知点，在抛物线上．对于，，都有，求a的取值范围． 押题1在平面直角坐标系中，点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 押题2电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量．下面说法不正确的是（   ） 温馨提示：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．与踏板上人的质量之间的函数关系式为：（） B．电压表显示的读数为6伏时，可变电阻电阻是10欧 C．电压表显示的读数为3伏时，对应测重人的质量为90千克 D．对应测重人的质量为105千克，电压表显示的读数为4伏 押题3在平面直角坐标系中，过一点分别向，轴作垂线，若这一点与坐标轴围成的矩形周长和面积相等，则该点叫做“和谐点”，这个矩形称为“和谐矩形”． 【初步理解】 （1），是和谐点的是______； （2）若点是第四象限内的一个“和谐点”，求点的坐标； 【尝试应用】 （3）若双曲线（，）上有且只有一个“和谐点”，求的值； 【回归本质】 （4）若为第一象限内的和谐点，且横、纵坐标均为整数，求满足条件的点的所有坐标． 押题4某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 押题5如图，已知一次函数的图象与函数的图象交于两点，与轴交于点，将直线AB沿轴向下平移个单位长度得到直线，与函数的图象分别交于点D、E，直线与轴交于点． (1)求与的解析式； (2)观察图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，若的面积为4，则的值为___________ 51 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二辑 平面直角坐标系与函数………………………………………………………………………01 一次函数………………………………………………………………………………………20 反比例函数……………………………………………………………………………………41 二次函数………………………………………………………………………………………65 函数综合………………………………………………………………………………………96 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 01平面直角坐标系与函数 考点 考情分析 平面上确定物体的位置的方法 主要以选择题、填空题为主，也可能在一些综合应用题的某一小问中出现。 平面直角坐标系 以选择题、填空题为主，也可能在解答题中作为一部分出现，如在函数与几何图形的综合题中，利用平面直角坐标系来求解相关问题。 函数基础知识 选择题、填空题常考查函数的基本概念、性质、图象等基础知识；解答题则更注重函数的综合应用。 考查分值：分值在10-15分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。 考查形式：选择题、填空和解答题均有。 命题趋势：与实际问题结合更紧密；跨学科融合增强；注重考查数形结合思想，要求学生能将函数图象与解析式相互转化，通过图象分析函数性质，利用函数性质解决图象问题；可能会出现条件开放、结论开放或解题方法开放的题目；常与几何图形结合。 知识点1：平面直角坐标 平面内画两条 相互垂直，原点重合 的数轴，组成平面直角坐标系． 水平的数轴称为 横轴或 x 轴 ，取 向右 为正方向； 竖直的数轴称为 纵轴或 y 轴 ，取 向上 为正方向； 两坐标轴的交点称为平面直角坐标系的原点． 知识点2：象限 x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。 知识点3：坐标系内点的特征 （1）x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0。 （2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。 （3）点到轴及原点的距离： 点到x轴的距离为|y|； 点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。 （4） 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。 （5）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。 知识点4：坐标的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数 a，相应的新图形就把原图形向右(左)平移 a 个单位长度: 如果把它各个点的纵坐标都加(或减去) 一个正数 a,相应的新图形就把原图形向上(下)平移 a 个单位长度 点的平移规律： 左右平移一纵坐标不变，横坐标左减右加;上下平移-横坐标不变，纵坐标上加下减 知识点5：函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图象上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 知识点6：函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图象法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图象中只能得到近似的数量关系 真题1（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（    ） A．14 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，过A作于M，过B作于N，根据A、B、C的坐标可求出，，，，，然后根据求解即可． 【详解】解∶过A作于M，过B作于N， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的面积为 ， 故选：D． 真题2（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标2为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出，从而可求出，即得出顶点的坐标为． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴．　 ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴顶点的坐标为． 故选C． 真题3（2024·贵州·中考真题）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形，先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置． 【详解】解：如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限，    故选A． 真题4（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（    ） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键． 根据函数图象分析即可． 【详解】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运动， 则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意． 故选：C． 真题5（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（    ）    A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是 【答案】D 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图形获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、乙比甲晚出发1h，原说法错误，不符合题意； B、乙全程共用，原说法错误，不符合题意； C、乙比甲早到B地，原说法错误，不符合题意； D、甲的速度是，原说法正确，符合题意； 故选D． 真题6（2024·湖北武汉·中考真题）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象；根据题意，分3段分析，即可求解． 【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢， 所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓． 故选：D． 真题7（2024·江苏宿迁·中考真题）点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点的横坐标，纵坐标， 点在第四象限． 故答案为：四． 真题8（2024·四川·中考真题）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据题意得到圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数是解题关键．根据题意可得：圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数，可得答案． 【详解】解：∵A，B的位置分别表示为． ∴目标C的位置表示为． 故答案为： 预测1（2025·浙江杭州·一模）如图为冰壶比赛场地示意图，由以为圆心、半径分别为，，，的同心圆组成．三只冰壶的位置如图所示，，的延长线平分，冰壶分别表示为，，则冰壶可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标表示位置，理解坐标表示方法是关键． 如图所示，延长到点，则，点所在的角度为，所以，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长到点， ∴， ∴， ∴点所在的角度为， ∴， 故选：C ． 预测2（2025·辽宁鞍山·一模）在化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将盐酸溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映盐酸溶液的值与所加水的体积V之间对应关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，数形结合是解题的关键．根据题意，盐酸溶液呈酸性，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，据此即可求解． 【详解】解：∵盐酸溶液呈酸性，则，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7， 故选：C． 预测3（2025·河南周口·一模）在物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法正确的是（　　） A．实验开始时，冰块的温度为 B．加热后，冰块开始熔化 C．冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到 D．冰块熔化过程持续了 【答案】C 【分析】本题考查函数的图象，理解题意，能从图象中获取信息是解答的关键．根据图象中的数据逐项分析求解即可． 【详解】解：由图可知，实验开始时，冰块的温度为，故A选项说法错误，不符合题意； ∵冰在熔化过程中，温度不变， ∴由图象知， 加热后，冰块开始熔化，故B选项说法错误，不符合题意； ∵加热后，冰块完全熔化， ∴冰的整个熔化过程持续了，故D选项说法错误，不符合题意； 由图象知，第到，用时4分钟，温度升高，平均每分钟升高态，那么冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到，故C选项说法正确，符合题意； 故选：C． 预测4（2025·山东泰安·一模）点在第三象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点所在的象限和解一元一次不等式组，能根据点的位置得出不等式组是解此题的关键．根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵在第三象限， ∴， 解得， 故选：C． 预测5（2025·河南新乡·模拟预测）如图，在中，，边在x轴上，顶点A，B的坐标分别为和，F为的中点，将平行四边形沿x轴向右平移．当点D落在上时，点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形变化-平移，熟练掌握以上知识点是关键．利用平行四边形性质，根据中位线定理求出点E坐标，再求出平移距离，继而得到平移后点E的坐标． 【详解】解：如图， 顶点A，B的坐标分别为和， ，， ，， ， ， 为的中点，四边形是平行四边形， 是的中位线， ，， 由平移的性质可知：， 向右平移距离的距离为， 平移后点E的坐标为： 故选：D 预测6（2024·山西太原·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别为，则点的坐标为 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标． 【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为， ∴建立坐标系如图所示： ∴点B的坐标为． 故答案为：． 预测7（2025·河南周口·一模）如图1，在中，，点P从点A出发，以的速度沿折线A→B→C运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿线段BC运动．当点P到达点C时，P，Q停止运动，连接PQ，AQ．设点P运动的时间为，的面积为．       (1)直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围： (2)在图2所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出函数时x的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）． 【答案】(1) (2)当时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小 (3) 【分析】（1）分当点P在线段上时和当点P在线段上时两种情况求解即可； （2）用描点法画出图象即可； （3）先画出反比例函数的图象，然后利用数形结合求解即可． 【详解】（1）当点P在线段上时，， 此时， ； 当点P在线段上时，， 此时， ， ． 综上所述， （2）函数图象如下： 性质：当时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小． （3）当时，由图形可得，即； 当时，由图形可得，即（负号舍去），（均可） 由图象可知：． 【点睛】本题考查了求函数解析式，画函数图象，反比例函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键． 押题1在平面直角坐标系中，已知点，则点P在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．根据四个象限的符号特点进行分析判断即可． 【详解】解：点的横坐标小于，纵坐标， 点位于第二象限． 故选：B． 押题2如图，若小红的坐标为，小亮的坐标为，则小华的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是正确理解题意，建立平面直角坐标系． 根据小亮的坐标，建立平面直角坐标系，结合图形直接得到答案． 【详解】解：∵小红的坐标为，小亮的坐标为， ∴建立平面坐标系如图： 小华东的坐标应该是． 故选：C． 押题3下列各图象中，是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查函数的定义，函数图象，对于自变量的每一个确定的值都有唯一的确定值与其对应，则是的函数，根据函数的定义解答即可． 【详解】解：根据函数的定义，选项A图象表示是的函数，B、C、D图象中对于的一个值有多个值对应， 故选：A． 押题4将盛有部分水的小圆柱形水杯放入事先没有水的大圆柱形水杯中，拿去接水时，让水先进入大圆柱形水杯，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致为图中的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的图象．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象． 【详解】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化． 故选：B． 押题5在平面直角坐标系中，点到轴的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点到坐标轴的距离，根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为， 故答案为：． 押题6如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点为曲线部分的最低点．则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．从图（）看，当时，点在点处，即，的最小值为，即；在中，，则 ，进而求解． 【详解】解：过点作于点， ∵， 故 ， 从图（）看，当时，点在点处，即， 从图（）看，点为曲线部分的最低点，即的最小值为，即， 在中，，则 ， 故； 的面积为， 故答案为：． 押题7函数的自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可． 【详解】解：有意义， 故， 故， 故答案为：. 押题8科学兴趣小组利用不同材料制作了，两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为（单位：）时，电池板的输出电压（单位：）和电池板的输出电压（单位：）．部分数据如下： 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0 通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，回答下列问题： (1)①可以看作是关于的正比例函数，则的值为______； ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”； (2)结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出，两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当光照强度为时，电池板的输出电压与电池板的输出电压之差约为______V（结果保留小数点后一位）； ②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于，则光照强度应至少达到______（结果保留整数）． 【答案】(1)①；②见解析 (2)见解析 (3)①；②31 【分析】本题考查了函数图象和正比例函数的应用，熟练掌握函数图象是解题关键． （1）①设，利用待定系数法求出，再将代入计算即可得； ②根据当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高即可得； （2）根据表格数据，描点画出函数图象即可得； （3）①根据表格和函数图象求出当时，，的值，由此即可得； ②根据表格和函数图象求出当时，，的值，再根据都是随的增大而增大即可得． 【详解】（1）解：①由题意，设， 将点代入得：，解得， 则， 当时，， 故答案为：． ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．选出中不符合这条规律的数据，在表格中划“”如下： 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.6 1.2 1.8 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0 （2）解：在给出的平面直角坐标系中画出，两个函数的图象如下： ． （3）解：①当时，， 由表格和函数图象可知，当时，， 则， 即当光照强度为时，电池板的输出电压与电池板的输出电压之差约为， 故答案为：． ②由表格数据可知，当时，， 当时，，， ∴当时，， ∵都是随的增大而增大， ∴如果想使两块电池板的输出电压之和不低于，则光照强度应至少达到， 故答案为：31． 02 一次函数 考点 考情分析 一次函数的性质与图象 选择题常考查对一次函数基本性质的理解；填空题可能涉及求函数解析式、与坐标轴交点坐标等；解答题则注重综合应用，常与方程、不等式、几何图形结合。 一次函数与方程（组）﹑不等式 选择题可能考查一次函数与方程组、不等式关系的基本概念；填空题常涉及根据给定条件求一次函数表达式，进而解决相关方程组或不等式问题；解答题则注重综合应用。 用一次函数解决实际问题 主要以解答题为主，也可能在选择题或填空题中出现相关的简单应用问题。解答题通常会结合实际情境，要求学生完整地写出解题过程，包括建立函数模型、分析函数性质和得出结论等。 考查分值：在中考中所占分值一般保持在8% - 10%左右，具体分值因地区和试卷结构而异。 考查形式：题型灵活多样，选择题可能会考查一次函数的基本性质、图象特征等基础知识点；填空题常涉及求函数解析式、与坐标轴交点坐标等；解答题则以实际应用和综合应用为主。 命题趋势：注重考查学生的数学思维能力，如建模思想、数形结合思想、分类讨论思想等；跨学科融合与创新：可能会出现与物理、地理等学科知识相结合的题目。 知识点1：一次函数的图象和性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图象呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图象呈下降趋势，y随x的增大减小 图 像 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 图 像 关 系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 高分技巧： 若两直线平行，则； 若两直线垂直，则 知识点2：用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 知识点3：一次函数与方程（组）﹑一元一次不等式 （一）一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标. （二）一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. （三）一次函数与一元一次不等式 思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图象的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 高分技巧： 1.求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点； 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 真题1（2024·山西·中考真题）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数的图象和性质即可解决问题． 【详解】 随的增大而增大， 又点在正比例函数的图象上，且 ． 故选：B 真题2（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 真题3（2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键． 先求出点的坐标，再根据对称性求出对称点的坐标即可． 【详解】解：令，则， 解得：， 即点为， 则点A关于y轴的对称点是． 故选：A． 真题4（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 真题5（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)的值为________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】(1) (2) (3)没有超速 【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图象、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）由题意可得：当以平均时速为行驶时，小时路程为千米，据此即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出先匀速行驶小时的速度，据此即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：，解得：． 故答案为：． （2）解：设当时，y与x之间的函数关系式为， 则：，解得：， ∴． （3）解：当时，， ∴先匀速行驶小时的速度为：， ∵， ∴辆汽车减速前没有超速． 真题6（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键． （1）根据表格数据即可描点； （2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解； （3）将代入代入即可求解； 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：由图可知：随着的增大而增大， 因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系， 将点代入得： ， 解得： ∴ （3）解：将代入得： ∴估计这个人身高 预测1（2025·湖南长沙·一模）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“的图象在一、二、四象限”是解题的关键． 根据一次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴． 故选：D． 预测2（23-24八年级下·全国·期末）直线向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象的平移变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移规律是解答本题的关键． 【详解】解：直线向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是， 故选B． 预测3（2024·河北石家庄·一模）某个一次函数的图象与直线平行，与x轴，y轴的交点分别为A，B，并且过点，则在线段上（包括点A，B），横、纵坐标都是整数的点有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的解析式之间的关系．平行线的解析式一次项系数相等，设直线为，将点代入可求直线的解析式，可得点，，再根据、的取值范围求解． 【详解】解：根据题意，设一次函数的解析式为， 由点在该函数图象上，得，解得． 所以，．可得点，． 由，且为整数，取，2，4，6时，对应的是整数． 因此，在线段上（包括点、，横、纵坐标都是整数的点有4个． 故选：B． 预测4（2025·广西贵港·一模）小林在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面上拉动木块进行实验．如图用弹簧测力计拉着重为的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，弹簧测力计的读数F（N）是装置高度h（m）的一次函数．当时，F为；当时，F为．当弹簧测力计读数达到最大量程时，此时装置高度h为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数解析式，利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．设一次函数为，根据题意代入和，得出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质即可求解． 【详解】解：设一次函数为， 代入和得，， 解得：， 一次函数为， 当时，， 解得：． 故选：A． 预测5（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，一束光经过照射在平面镜(轴)上的点处，其反射光线交轴于点，再被平面镜反射得光线（根据物理知识），则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，同旁内角互补两直线平行，求一次函数解析式，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握镜面反射中入射光线与镜面所在直线的夹角与反射光线与镜面所在直线的夹角相等以及两直线平行一次项系数相等是解题的关键． 可设直线的解析式为，把点A、B的坐标代入即可求出k和b的值，于是可得直线的解析式，易得，则直线和一次项的系数相等，进而设出直线的解析式，把点C的坐标代入即可求得直线的函数表达式． 【详解】解：由题意得：，，， ，， ， ， 设直线的解析式为：， 把点A、B的坐标代入，得：， 解得：， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， ∵， ∴， 直线的解析式为：， 故答案为：． 预测6（2025·吉林·一模）【问题背景】古法造纸术是中国古代四大发明之一，其核心工艺含有两个环节，一是蒸煮脱胶，二是自然干燥． 【实验操作】某文化遗产保护小组在研究古法造纸工艺时，记录关键环节数据，旨在通过数学建模揭示温度与时间、湿度与时间的内在联系． 环节一：蒸煮脱胶 将树皮等原料在溶液中蒸煮，记录蒸煮过程中温度与时间的部分数据如下： 时间 0 1 2 3 4 温度 20 30 40 50 60 环节二：自然干燥 纸张成型后需自然干燥，记录干燥过程中湿度与时间的部分数据如下： 时间 0 2 4 6 8 湿度 80 70 60 50 40 【分析数据】 如图1，根据表中T与t的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 如图2，根据表中H与t的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 观察上述各点的分布规律，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映温度T与时间t及湿度H与时间t的函数关系，并求出这两个函数的解析式（不要求写出t的取值范围）． 【问题解决】 古法造纸术的核心工艺要求： ①蒸煮脱胶温度需在以上（包含）至少持续． ②自然干燥环节必须在蒸煮脱胶环节完成后开始，蒸煮脱胶和自然干燥总时间为． ③自然干燥后的纸张湿度需低于． 根据核心工艺要求，求蒸煮脱胶环节的最短时间，并验证自然干燥环节是否满足湿度要求． 【答案】建立模型：都是， ， 问题解决：蒸煮脱胶环节的最短时间 ，自然干燥环节满足湿度要求 【分析】本题考查一次函数的实际应用； 建立模型：观察上述各点的分布规律，两个图的点都近似在一条直线上，故都是，然后根据待定系数法求解即可； 问题解决：根据古法造纸术的三条核心工艺要求求解即可． 【详解】解：建立模型：观察上述各点的分布规律，能近似的反映温度T与时间t及湿度H与时间t的函数关系都是， 设，当时，；当时，； ∴，解得， ∴温度T与时间t函数关系； 设，当时，；当时，； ∴，解得， ∴温度T与时间t函数关系； 问题解决：当时，解得， ∵蒸煮脱胶温度需在以上（包含）至少持续， ∴蒸煮脱胶环节的最短时间 ； ∵自然干燥环节必须在蒸煮脱胶环节完成后开始，蒸煮脱胶和自然干燥总时间为， ∴自然干燥时间为 ， 当时，， ∴自然干燥环节满足湿度要求． 预测7（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）两个透明的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图2）．在甲容器里加满水，此时水面高度为．若由于装置的原因，甲容器内的水无法全部流出，当水面高度刚好是1cm时，停止流水，此时停止计时．上午8：00开始放水后，甲容器的水面高度y(cm)和流水时间x(min)的部分数据如表： 记录时间 8：00 8：10 8：25 8：30 8：40 流水时间x(min) 0 10 25 30 40 水面高度y(cm) 30 28 25 24 22 (1)综合实践小组在平面直角坐标系中描出了以表中各组对应值为坐标的点，并用光滑的曲线（包括直线）把描出的点连接起来（如图3），发现可以用一次函数近似地刻画甲容器的水面高度y(cm)与流水时间x(min)的关系，根据以上信息，求y关于x的函数解析式． (2)当时间正好是时，甲容器的水面高度是多少厘米？ (3)刚好停止流水时是几时几分？ 【答案】(1) (2)甲容器中水面的高度是14厘米 (3)刚好停止流水时是 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法．掌握待定系数法，理解、表示的实际意义是解题的关键． （1）设函数解析式是，把、代入解析式，即可求解； （2）从到共80分钟，，代入解析式，即可求解； （3）当时，求出时间，即可求解； 【详解】（1）设函数解析式是， 把、代入，      得， ， ； （2）解：从8：00到9：20共80分钟， ，， 答：甲容器中水面的高度是14厘米 ． （3）当时， ，           解得：， 即为2小时25分钟，时间为            答：刚好停止流水时是． 预测8（23-24八年级下·陕西西安·期末）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图所示． (1)求所在直线的函数解析式； (2)当石块下降的高度为，求此刻弹簧测力计的示数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时，y的值即可． 【详解】（1）解：设所在直线的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴所在直线的函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴当石块下降的高度为，求此刻弹簧测力计的示数为． 预测9（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于平面内点和轴上点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在上，称点为的“赋能点”． (1)已知点的坐标为． ①如图1，在点中，的“赋能点”是_____； ②如图2，若直线上存在点，使点为的“赋能点”，求的取值范围； (2)如图3，点．若线段上存在点，使点为的“赋能点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，，通过计算判断是否在或上，即可得出结论；②根据“赋能点”的定义可得直线与或有交点，再根据直线与、的位置关系讨论即可求解； （2）将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，，根据“赋能点”的定义可得线段与或有交点，再根据线段与、的位置关系讨论即可求解． 【详解】（1）解：①将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，， ，， 点在上，点在上， 点是的“赋能点”， ，， 点不在上，也不在上， 点不是的“赋能点”， 综上所述，的“赋能点”是． 故答案为：． ②直线与轴交于点，与轴交于点， ， ， 直线上存在点，使点为的“赋能点”， 直线与或有交点， 当直线与相切于点，与直线交于点，如图， 连接、，则有， ， 又， ， ， ， ， 点在直线上， ， ； 当直线与相切于点，与直线交于点，如图， 同理可得，， 点在直线上， ， ； 的取值范围为． （2）解：将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，， 线段上存在点，使点为的“赋能点”， 线段与或有交点， 当线段与只有点一个交点，此时， ， 解得：，； 当线段与只有点一个交点，此时， ， 解得：，； 结合图象得，的取值范围为． 【点睛】本题考查了新定义、旋转的性质、解直角三角形、直线与圆的位置关系、一次函数的性质，理解“赋能点”的定义是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 押题1在一次函数中，的值是（   ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据即即可得出答案． 【详解】解：即， ∴， 故选：C． 押题2一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是（   ） ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 1 5 9 ．．． A．y的值随值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、三、四象限 C．不等式的解集为 D．关于的方程的解是 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数与不等式和一元一次方程之间的关系，一次函数图象与其系数的关系，由表格数据可得增减性，进而可得，由当时，，得到，据此可判断A、B、C；再由当时，函数值为5，不是0可判断D． 【详解】解：由表格中的数据可知，y的值随值的增大而增大，故A说法错误，不符合题意 ∴， ∵当时，， ∴， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，故B说法错误，不符合题意； ∵当时，，y的值随值的增大而增大， ∴不等式的解集为，故C说法正确，符合题意； ∵当时，函数值为5，不是0， ∴关于的方程的解不是，故D说法错误，不符合题意； 故选：C． 押题3某吊绳最大承受拉力对应的重物质量不超过8 吨．当没有吊起任何重物时，吊绳的自然长度是5米，通过实验测定，每吊起1 吨重物，吊绳会伸长0.3米．在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度y（单位：米）与所吊重物的质量x（单位：吨）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意即可得到函数关系式，熟知相关等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， 故选：A． 押题4图中两直线，的交点坐标可以看作下列方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象交点与二元一次方程组的关系，理解一次函数图象交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解是解题的关键． 由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此本题应分别解四个选项中的方程组，然后即可确定正确的选项． 【详解】解：由图象可知两直线的交点为，即方程组的解应为， A、解方程组得，故错误，不符合题意； B、解方程组得，正确，符合题意； C、解方程组得，故错误，不符合题意； D、解方程组得，故错误，不符合题意； 故选：B． 押题6已知一次函数的图象过点，，且，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，由题意得出随的增大而减小，根据一次函数的增减性可确定的值的范围．解题的关键是掌握一次函数的图象与性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【详解】解：∵一次函数的图象过点，，且， ∴随的增大而减小， ∴． 故选：A． 押题7已知直线与直线平行，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查两条直线平行问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 根据两直线平行，可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， 解得，． 故答案为：3． 押题8科学家通过实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而变化，且满足某种函数关系．某兴趣小组为探究空气的温度x（单位：）与声音在空气中传播的速度y（单位：米秒）之间的关系，在标准实验室里进行了多次实验．下表为实验时记录的一些数据． 温度 … 0 5 10 15 20 … 声音在空气中传播的速度y/（米/秒） … 331 334 337 340 343 … (1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中数据所对应的点． (2)根据描点，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，则这个函数的类型最有可能是______（填“一次函数”或“二次函数”），求出该函数的解析式． (3)某地春季的室外温度是，小明在看到闪电2秒后听到雷声，求小明与发生打雷的地方的距离．（光的传播时间忽略不计） 【答案】(1)见解析 (2) (3)小明与燃放烟花地的距离为（米）． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意、读懂表格、用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据表格所给数据描点即可； （2）根据（1）的图象可得该函数可能是一次函数，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出时y的值，再由距离速度时间计算即可解答． 【详解】（1）解：根据题意描点如图： （2）解：根据（1）的图象得这个函数可能是一次函数， 设这个函数的解析式为， 将点，代入，得： ，解得：， ∴这个函数的解析式为． （3）解：在中， 当时，， ∵小明同学看到烟花2秒后才听到声响， ∴小明与燃放烟花地的距离为（米）． 押题9综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 【答案】(1)，； (2)，； (3)的函数表达式为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）由即可求出点的坐标为，点的坐标为，从而求解； （）根据“型全等”证明，则有点的坐标为，设解析式为，然后把，坐标代入求解即可； （）过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，证明，则有，设，则，，得出，最后通过待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， 令，解得，令，得，解得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：过点作轴于，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴点的坐标为， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 故答案为：，； （3）解：过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴设直线解析式为 ，解得， ∴的函数表达式为． 03 反比例函数 考点 考情分析 反比例函数的图象与性质 选择题常考查反比例函数的基本性质、图象特征、k的几何意义等基础知识点；填空题可能涉及求函数解析式、根据性质比较大小、利用k的几何意义求面积等；解答题多与一次函数结合，考查交点坐标、函数解析式的确定，以及根据函数图象解不等式等，还可能与几何图形综合，利用反比例函数解决几何图形中的计算问题。 用反比例函数解决实际问题 多以解答题形式出现，要求学生完整地写出建立模型、求解和作答的过程。 考查分值：8 - 12分左右，具体分值因地区和试卷结构而异。 考查形式：选择题、填空题会侧重考查反比例函数的基本概念、性质、k的几何意义等基础知识；解答题则以函数综合应用和实际问题为主。 命题趋势：注重考查学生的数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想；跨学科融合与创新：与物理、化学等学科的融合会更加紧密，体现学科间的综合性。 知识点1：反比例函数的概念及其图象﹑性质 （一）反比例函数的概念 （1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： ①y＝；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0) （二）反比例函数的图象 k的符号 图象 经过象限 y随x变化的情况 k>0 图象经过第一、三象限 （x、y同号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而减小. k>0 图象经过第二、四象限 （x、y异号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而增大. （三）反比例函数的图象特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线 （四）待定系数法求解析式 只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可. 高分技巧： 反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断. 知识点2：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合 （一）系数k的几何意义 （1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|. （2）常见的面积类型： 高分技巧： 已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0. （二）与一次函数综合 （1）确定交点坐标： 【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）. 【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 知识点3：反比例函数的实际应用 一般解题步骤： （1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题 真题1（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 真题2（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 真题3（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵、、， ∴A在第二象限，B，C在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 真题4（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：4． 真题5（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，作轴于，作轴于，则，由点，的坐标分别为，得，，，然后证明得，求出，则，故有点坐标为，求出反比例函数解析式，再求出，最后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作轴于，作轴于，则， ∵点，的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为，代入得，， ∴反比例函数解析式为， ∵轴， ∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 真题6（2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则 ．    【答案】8 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图，    ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍），则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：8． 真题7（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据得出，设，则，结合完全平方公式的变形与应用得出，结合，则，即可作答． 【详解】解：如图：连接 ∵反比例函数的图象与交于两点，且 ∴ 设，则 ∵ ∴ 则 ∵点在第一象限 ∴ 把代入得 ∴ 经检验：都是原方程的解 ∵ ∴ 故答案为： 真题8（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，点为上一点，，过点作交于点．点，的距离为，的周长与的周长之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2)函数图象见解析，随x增大而增大，随x增大而减小 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定： （1）证明，根据相似三角形的性质得到，据此可得答案； （2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，即为所求； 由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小； （3）解：由函数图象可知，当时的取值范围． 真题9（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为． （2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令，则， ∴记直线与轴交点坐标为，连接， 联立方程组， 解得，（舍去）， ， 由题意得：， ∴同底等高， ． 预测1（2025·贵州遵义·一模）若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由反比例函数可知该函数图象在第一、三象限，然后根据“点”可进行求解． 【详解】解：∵， ∴函数图象在第一、三象限， ∵点，都在反比例函数的图象上， ∴； 故选D． 预测2（2025·江苏淮安·一模）如图，已知点A与点分别在反比例函数与的图象上且，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数及反比例函数的图象与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数及反比例函数的图象与性质是解题的关键；分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，由题意易得，然后可证，则有，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，如图所示： ∵点A与点分别在反比例函数与的图象上， ∴根据反比例函数k的几何意义可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 预测3（2025·山西阳泉·二模）已知反比例函数，下列关于它的图象和性质的描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点 C．图象越来越靠近坐标轴，最终相交 D．y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，增减性，根据解析式可得经过的象限和增减性可判断A、B、D；再根据反比例函数自变量不为0，可知函数与坐标轴不会相交可判断C． 【详解】解；∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，且图象越来越靠近坐标轴，但不会相交， 在中，当时，，则图象经过点， ∴四个选项中只有B选项正确，符合题意， 故选：B． 预测4（2025·江西景德镇·一模）在如图所示的电路图中，当开关闭合以后，滑动变阻器从左往右滑动的过程中，电流表的示数与关系用图象可近似表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据，即，当从左往右滑动，即增大时，结合一定，则减小，即可判断出电流表的示数与关系用图象可近似表示为反比例函数图象，进而得出结果． 【详解】解：根据题意得：，即， 当从左往右滑动，即增大时， 因为一定，则减小， 所以电流表的示数与关系用图象可近似表示为反比例函数图象，只有C选项符合题意． 故选：C． 预测5（2025·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数（k为常数，）的图象相交于A、C两点，过点A作轴于点B，连接，若的面积为4，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，首先根据反比例函数中的几何意义可得：，再根据反比例函数的对称性可知：，据此即可求出的值． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数（k为常数，）的图象相交于A、C两点， ∴， 由反比例函数中的几何意义得：， ∴， ， ∵， ． 故答案为：． 预测6（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，若点和都在函数的图象上，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数的计算，掌握反比例函数求自变量或函数值的计算是关键． 根据点在反比例函数图象上，分别求出的值，代入计算即可． 【详解】解：点和都在函数的图象上， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：0 ． 预测7（2025·山东聊城·一模）某同学学习了“函数与变量之间的关系”相关知识后，参考教材设计出了如下数据 … 1 2 3 … … 4 2 … (1)根据上表数据，求出其对应函数的解析式及的值，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)如果点是该函数图象在第一象限上的一点，过点作轴的平行线，将上方的函数图象沿着直线翻折，求翻折后的函数图象与轴的交点坐标； (3)若经过点的直线分别交轴、轴于点，求的长． 【答案】(1)，，图见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查反比例函数，轴对称的性质，一次函数图象的性质，掌握反比例函数，一次函数，轴对称的性质，数形结合分析是关键． （1）根据表格信息计算得到规律，由表格信息绘图即可； （2）根据轴对称的性质作图可得交点与原图之间的距离为，即，即可求解； （3）运用待定系数法得到直线的解析式为，则即，由勾股定定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴根据列表数据可知，该函数是反比例函数，其解析式为， 当时，； 画出该函数的图象如解图： （2）解：点的坐标为，如解图，根据对称性可知，当上方的函数图象沿直线翻折， ∵点的纵坐标为，即直线与轴的距离为， ∴折叠后与轴的交点关于对称， ∴交点与原图之间的距离为，即， ∴， 解得， ∴轴的交点坐标为； （3）解：设直线的解析式为（为常数，），将代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，当时，，即， ∴． 预测8（2025·宁夏固原·二模）双曲线的图象与一次函数的图象交于两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)设直线与x轴交于点C，若P为x轴上一点，当的面积为3时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，已知自变量值求函数值，一次函数和反比例函数交点问题，一次函数与轴交点问题等． （1）先将交点求出，再将其代入反比例函数解析式即可； （2）观察图象一次函数在反比例函数上方即可； （3）先求出，再设，后列式，求出，继而得到或，即可求出本题答案． 【详解】（1）解：由题意得：将分别代入中， ，解得：， ，解得：， ∴， ∴将代入中，得：， ∴反比例函数的解析式：； （2）解：∵一次函数与反比例函数交于， ∴观察图象，不等式的解集为：或； （3）解：∵直线与x轴交于点C，直线为， ∴令，即：， ∴， ∵P为x轴上一点， ∴设， ∵的面积为3， ∴，即：， ∴，解得：或， ∴或． 押题1已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．①函数解析式为；②当时，；③当时，；④当电压一定时，电流I随电阻R的增大而减小．上述说法正确的是（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 将代入求出的值，再根据反比例函数的图象与性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：设，将代入可得， ∴，故①正确； 当，，故②错误； 当，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴时，，故③正确，且④正确， 综上所述，说法正确的是①②④； 故选：C． 押题2如图，的顶点和边的中点都在反比例函数的图象上，若的面积是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义、相似三角形的判定与性质，利用条件求出，，由得到，进而有，从而确定， 再根据的面积是，列方程求解即可得到答案，理解并掌握反比例函数值的几何意义是解决问题的关键． 【详解】解：作轴，垂足为，轴，垂足为，连接，如图所示： ， ， ， ，则， 点是边的中点， ，即，， 点、都在反比例函数图象上， ，则， ，则， ， ， ，则， 的面积是， ，解得， 故选：D． 押题3若双曲线与直线的一个交点坐标为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数及一次函数交点问题．根据题意利用交点坐标及图象即可得到本题答案． 【详解】解：∵双曲线与直线的一个交点坐标为， ∴反比例函数经过二，四象限，一次函数经过二，四象限，另一个交点为， ∴的解集为：或， 故选：C． 押题4如图，四边形为平行四边形，线段在x轴上，点D在反比例函数的图象上，线段与y轴的正半轴相交于点E，若，且的面积为1，则常数的值为（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，设，由平行四边形的性质可得轴，则，证明得到，再根据三角形面积计算公式列式求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形，线段在x轴上， ∴，即轴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 押题5若点 ，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数解析式分布求出的值，进而即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 同理可得，，， ∴， 故答案为：． 押题6在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（单位：）与它的受力面积S（单位：）是反比例函数关系，其函数图象如图所示．当时， ． 【答案】50 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，结合图象，先求出反比例函数的解析式，再把，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：设，由图象可知，点在函数图象上， ∴， ∴， ∴当，； 故答案为：50． 押题7阅读材料： 在学习反比例函数的性质时，通过图象直观感受到反比例函数的图象关于原点对称．小明利用代数方法进行了推导． 证明：在反比例函数 的图象上任取一点， 则点A关于原点的对称点B的坐标为． ， ∴点B也在反比例函数的图象上． ∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象关于原点对称． 问题解决： 下面我们来研究一个新函数． (1)试运用阅读材料提供的方法，证明函数的图象关于 对称； (2)已知点在函数的图象上，且，直接写出x的取值范围是 ． (3)已知函数的图象在函数的图象的下方，求x的取值范围． 【答案】(1)y轴 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，关于y轴对称的点的坐标特点； （1）根据阅读材料的证明过程证明即可； （2）由可得，即，即可得解； （3）结合函数图象与只交于部分，求出与的图象交点，结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：函数的图象关于y轴对称，                                       证明：在的图象上任取一点， 则点A关于y轴的对称点B坐标为， ∵把代入中，，即点B在的图象上， ∴的图象关于y轴对称， 故答案为：y轴； （2）解：∵点在函数的图象上，且， ， ， 或 故答案为： 或； （3）解：如图： 结合函数图象与只交于部分， 此时联立， 解得，                                   经检验，是方程的解， ， ， ∵函数的图象在函数的图象的下方， ∴x的取值范围为：或． 押题8综合与实践-项目式学习 【项目主题】学科融合-用数学的眼光观察现实世界． 【项目背景】学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】 素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 素材二：设表示物体到凸透镜的距离，表示像到凸透镜的距离，表示凸透镜的焦距（凸透镜中心到焦点之间的距离），小明在研究的过程中发现了，和之间在成实像时存在着关系： 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：如图，为物体，点为凸透镜的中心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．当时，求的值． 任务二：已知凸透镜的焦距为，物体的高度为，当物体到凸透镜的距离为 （）时，测量物体的成像的高度为 ． (1)请你利用所学的知识求出与的关系式． (2)当时，随的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】(1)任务一： (2)任务二：（1）；（2）减小 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； 任务一：由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； 任务二：（1）由任务一可知，，，则，从而得，然后根据可得出与 （2）根据反比例数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵光轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）任务二：（1）依题意得：四边形为矩形，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由任务一可知：，设， ∴， ∴， ， ， 解得：， ∴， 即与的关系式是：； （2）由（1）可得，可以看成向右平移个单位， ∵ ∴时，随的增大而减小 故答案为：减小． 04 二次函数 考点 考情分析 二次函数的图象与性质 选择题常考查二次函数的基本性质、图象特征、系数与图象的关系等基础知识；填空题可能涉及求函数的顶点坐标、对称轴、最值，或根据函数性质求参数的值等；解答题则以综合应用为主。 二次函数与一元二次方程 选择题常考查二次函数与一元二次方程的基本概念、性质以及简单的应用，如根据函数图象判断方程根的情况；填空题可能涉及根据方程根的条件求函数中的参数值，或者利用函数图象求不等式的解集等；解答题则以综合应用为主。 用二次函数解决实际问题 主要以解答题形式出现，也可能在选择题或填空题中有所涉及。解答题通常会设置多个小问，逐步引导学生分析和解决问题，全面考查学生的数学思维和应用能力。 考查分值：分值在8-12分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。 考查形式：选择题、填空题会考查二次函数的基本性质、图象特征等基础知识；解答题则以综合应用为主。命题趋势：函数本质考查更深入；动态问题灵活多变；跨模块融合更广泛；高阶思维考查有梯度。 知识点1:二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 知识点2：二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 知识点3：二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 知识点4：抛物线的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 知识点5：二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 知识点6：二次函数图象与系数a、b、c的关系 1、系数a、b、c的作用 a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右异”） c的特征与作用 2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶ ①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断; ②含有a、b两个字母时，考虑对称轴; ③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图象判断， 例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）， 当x=1时，y=a+b+c， 当x=-1时，y=a-b+c， 当x=2时，y=4a+2b+c 当x=-2 时，y=4a-2b+c; 另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶ ④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△. ⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图象增减性进行判断。 知识点7：二次函数与不等式 1.当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，根据图象直接写出不等式的解集。 2. 由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围. 知识点8：二次函数的应用 1.利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下： ①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入 ②用含自变量的代数式表示销售商品成本 ③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式 ④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值 2.利润最大化问题与二次函数模型 牢记两公式：①单位利润=售价-进价； ②总利润=单件利润×销量； 谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数； ②总利润转化为售价的二次函数； 函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值； 真题1（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式． 【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选∶D． 真题2（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 真题3（2024·四川·中考真题）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴负半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，可得，故②正确；当时，二次函数图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴负半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③根据图象可知，当时，图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确，符合题意； 综上所述，①②③结论正确，符合题意． 故选：D． 真题4（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 真题5（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 真题6（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 真题7（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 真题8（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的解析式，设，则：，将转化为二次函数求最值即可； （3）易得垂直平分，设，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分别作点关于轴和直线的对称点，直线，与抛物线的交点即为所求，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，，代入函数解析式得： ∴，解得：； ∴； （2）∵，， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， ∴， ∴ ， ∴当时，的最大值为； （3）存在： 令， 解得：， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ①取点关于轴的对称点，连接，交抛物线与点，则：，， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； ②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点， 则：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作轴，则：，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 真题9（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． （2）解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 真题10（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； （2）解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； （3）解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 预测1（2025·甘肃天水·一模）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（    ）    A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴两个交点的横坐标的差的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：当时，解得或， ∴水喷出的最远水平距离是米， 故选：A． 预测2（2025·天津滨海新·一模）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球出手时离地面的高度为，实心球飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为，得出以下结论： ①此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m； ②此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m； ③此次训练实心球离地面最大高为2.25m． 其中正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，分别求出时的的值，时的的值以及二次函数的最值，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：或（舍去）； ∴此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m；故①正确； 当时，，解得：或； ∴此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m；故②正确； ∵， ∴当时，有最大值为：；故③错误； 故选B． 预测3（2025·四川雅安·一模）小明从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面4条信息： ①；②；③；④． 其中正确信息的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数一般式各项系数与图象的关系，熟练掌握其关系，仔细观察图象进行解答即可． 【详解】①如图，∵抛物线开口方向向下， ∴． ∵对称轴， ∴． ∵抛物线与轴交点在轴正半轴， ∴， ∴； 故①正确，符合题意． ②∵对称轴， ∴ 故②正确； ③如图，当时，， ∴，即． ∴．故③正确，符合题意． ④如图，当时，，即， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴． ∵ ∴． ∴，即．故④正确，符合题意． 综上所述，正确的结论是①②③④，共4个． 故选：D． 预测4（2025·广东·一模）将二次函数向左平移1个单位，向上平移2个单位得到的新的二次函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：平移后的解析式为：． 故答案为：． 预测5（2025·江苏淮安·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是 （填出所有正确结论的序号）． 【答案】① 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式得关系，方程与函数的关系等知识，根据二次根式的特征，二次函数与不等式得关系即可解答，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据函数的特征可知图象关于直线对称，故①正确，符合题意； 由“元宝型函数”函数的图象可知，当且时，图象位于x轴上方， 关于的不等式的解是且；故②正错误，不符合题意； 当时，， 由图象可得：当时，关于的方程有四个实数解；故③错误，不符合题意； 由图象可知，函数的值随值的变化情况取决于函数在时的增减性，并不一定是当时，值随值的增大而减小．故④错误，不符合题意． 综上所述，正确的是①． 故答案为：①． 预测6（2025·浙江杭州·一模）已知抛物线． (1)若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． (2)直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值． ②点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时，，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】(1)利用待定系数法解答即可； (2)①将两个函数关系式联立，解方程组即可得出结论； ②求得抛物线的对称轴，利用对称性得到，将两个函数关系式联立，得到关于x的一元二次方程，利用一元次方程根与系数的关系求得，进而得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】（1）解：抛物线的顶点在轴上， ， ， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：①若，则， 为直线与抛物线的交点， ， ， 若，的值为； ②抛物线的对称轴为直线， ，两点在抛物线上，且点不与点，重合，， ，两点关于对称轴直线对称， ， ， 直线与该抛物线相交于，两点， ， ，是方程的两个根， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线的对称轴，顶点坐标，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 预测7（2025·广东深圳·模拟预测）【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③． 【问题解决】 (1)若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是______（可省略单位），水池2面积的最大值是_______； (2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_______，此时的值是_______； (3)当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_______； (4)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； 【答案】(1)；9 (2)C，E；1或4 (3)或 (4)时，面积差的最大值为 【分析】（1）将函数解析式化为顶点式即可解决问题； （2）交点即为面积相等的点，联立方程组，求出交点坐标即可； （3）观察函数图象，结合点C，点E的坐标可得结论； （4）求出面积差的函数关系式，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为， ∵水池2的面积随长度的增加而减小， ∴长度的取值范围是；水池2面积的最大值是； （2）解：由图象得，两函数交于点C，E， 所以，表示两个水池面积相等的点是C，E； 联立方程组 解得： ∴x的值为1或4； （3）解：由（2）知，，， 又直线在抛物线上方时，或， 所以，水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或； （4）解：在范围内，两个水池面积差， ∵ ∴函数有最大值， ∵ ∴当时，函数有最大值，为， 即，当时，面积差的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键． 预测8（2025·四川成都·一模）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第一象限抛物线上的一动点，作于点，当最大时，求点的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点，都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，连接，分别交轴、轴于点，若，求证：直线经过一定点． 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】（1）将点、点代入抛物线，利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴于点，交直线于点，证明为等腰直角三角形，利用三角函数解得；利用待定系数法求得直线解析式，设，则，易得，进而可得，结合二次函数的性质，即可获得答案； （3）过点作轴于点，过点作轴于点，首先确定抛物线的解析式，设点的坐标为，点的坐标为，易得，，，，再设直线的解析式为，联立直线的解析式和抛物线的解析式，可得，利用一元二次方程的根与系数的关系，可得，；证明，由相似三角形的性质可得，代入数值并整理可得，，由图象可知，易知，进一步可得，即可确定直线的解析式为，当时，可有，即可证明结论． 【详解】（1）解：将点、点代入抛物线， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如下图，过点作轴于点，交直线于点， 对于抛物线，当时，可有， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 设直线解析式为，将点，代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，取最大值，此时点的坐标为； （3）如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵抛物线， ∴将其向右平移一个单位长度得到抛物线，则抛物线的解析式为， ∵点都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限， ∴可设点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， 设直线的解析式为， 联立直线的解析式和抛物线的解析式， 可得，整理可得， 则有，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 整理可得， 由图象可知， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，可有， ∴直线经过一定点． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、一元二次方程的根与系数的关系等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 押题1随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三老屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（    ） A． B． C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、勾股定理，以G为原点，点G所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，则抛物线的表达式为，由题意得出，求出抛物线的解析式为，由题意得出旋转前与水平方向夹角为，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求出，再由勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，以G为原点，点G所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，则抛物线的表达式为， ∵，， ∴， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，当时， ∴旋转前与水平方向夹角为， 设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴， ∴， 故答案为：A． 押题2已知点，，在二次函数的图象上，且为抛物线的顶点．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握对称轴，图象开口是解题的关键． 根据二次函数解析式得到对称轴直线为，由函数值的大小得到抛物线开口向下，结合自变量的取值范围分类讨论即可求解． 【详解】解：二次函数， ∴对称轴直线为， ∵点是顶点， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， 当点，在对称轴直线左边时，， 解得，； 当点，在对称轴直线两侧时，即， ∴， 由离对称轴越近值越大得，， 解得，； ∴， 综上所述：， 故选：A ． 押题3在同一平面直角坐标系内，函数和的图象大致是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象判断．熟练掌握二次函数和一次函数的性质，是解题的关键．根据，直线与轴交于负半轴，根据时，直线随x的增大而增大，抛物线开口向上，时，直线随x的增大而减小，抛物线开口向下，进行判断即可． 【详解】解：∵，当时，， ∴直线与轴交于负半轴； 当时，直线随x的增大而增大，抛物线开口向上，当时，直线随x的增大而减小，抛物线开口向下， ∴只有B选项符合题意， 故选：B． 押题4已知二次函数（为常数），当自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为，则的值为（   ） A．0或4 B．2或6 C．0或6 D．2或4 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值．由解析式可知该函数在时取得最大值2，时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，根据时，函数的最大值为，可分如下两种情况：①若，时，取得最大值；②若，当时，取得最大值，分别列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵，二次函数关于对称，在时取得最大值2， 时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大， ①若，当时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）； ②若，当时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）． 综上，的值为0或6， 故选：C． 押题5二次函数的图象如图所示，则下列结论中： ； ；当时，；对于任意实数m，则有，正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口方向向上， ∴， ∵抛物线对称轴位于轴右侧， ∴、异号，即， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，故正确； 由得抛物线对称轴为直线， 根据图象可知：抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的一个交点为， ∴当时，，故正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴函数的最小值为， ∴当为任意实数时，有，故正确； 综上所述，正确的有，共个， 故选：． 押题6如图，这是一次函数的图象，则二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出， ，再判断二次函数的图象特征，进而求解． 【详解】解：由一次函数的图象可得：，， ∴二次函数图象的对称轴是直线，与轴的交点在正半轴，符合题意的只有A． 故选：A． 押题7若抛物线（m是常数）只经过第一、三、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据题意得出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵抛物线（m是常数）只经过第一、三、四象限， ∴， 解得：， 故选：D． 押题8已知抛物线，经过和两点，则 （填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次函数的函数值的大小，根据解析式可得对称轴和离对称轴越远函数值越大，再求出两个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，且开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴， 故答案为：． 押题9掷实心球是中招体育考试的选考项目，如图①是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求抛物线的表达式； (2)根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分． 【答案】(1) (2)没有得满分，见解析 (3)当掷出点的高度至少达到时，可得满分 【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题． （1）根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可； （3）把，代入得解析式，求出，再令即可求解． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 把代入上式得， 解得． ∴关于的函数表达式为． （2）解：该女生在此项考试中没有得满分．理由如下： 当时，即：， 解得，（舍去）， ∵， ∴该女生在此项考试中没有得满分． （3）解：可设． 把，代入得，， 求出． ∴． ∴ 答：当掷出点的高度至少达到时，可得满分． 押题10如图所示，抛物线交轴于两点，将在轴下方部分翻折得到抛物线，将抛物线与整体视作曲线，以下设问均不考虑抛物线在轴下方的部分． 【知识技能】 （1）直接写出抛物线的解析式； 【数学理解】 （2）记曲线交轴于点，连接，点为在上方且在曲线上的一个动点，连接，求面积的最大值； 【拓展探究】 （3）设平面内存在动直线 ①讨论并直接写出动直线与曲线的交点个数； ②若动直线与曲线有四个交点，记这四个交点的横坐标从左往右分别为，问是否存在这样的动直线，使满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）①当或时有2个交点；当时有4个交点；当时有3个交点 ②不存在这样的，理由见解析 【分析】（1）先求出的顶点是，结合即可求解； （2）作交于点Q，求出，设，则，可得，记边上的高为，则，记边上的高为，则，根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）①根据函数图象解答即可； ②令，可求得，令，可求得，代入求出n的值，结合n的取值范围即可求解． 【详解】（1）∵ ∴的顶点是 ∴的顶点是 （2）作交于点Q，如图所示 设     依题可知 则     解得        ∴ 设，则 ∴ 记边上的高为，则，记边上的高为，则 ∴ 可知为关于的二次函数，其最大值在对称轴处取得 ∴最大值为 （3）①当或时有2个交点   当时有4个交点 当时有3个交点   ②令，即 解得 同理令，即     解得 若，即 即，即     ∴ 由①可知，若动直线与曲线有四个交点，则有    ∴不存在这样的使得 【点睛】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与几何综合，二次函数与一元二次方程的关系，数形结合是解答本题的关键 05 函数综合 真题1（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键． 先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为． 【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移， 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况： ①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立； ②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为， 故选：D． 真题2（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 真题3（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）3；（ⅱ） 【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意求出的顶点为，确定抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，即可求解； （2）根据题意得出， ，然后整理化简；（ⅰ）将代入求解即可；（ⅱ）将代入整理为顶点式，即可得出结果． 【详解】（1）解：， ∴的顶点为， ∵抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1， ∴抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2， ∴， ∴； （2）由（1）得 ∵点在抛物线上，点在抛物线上． ∴， ， 整理得： （ⅰ）∵， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴； （ⅱ）将代入， 整理得， ∵， ∴当，即时，h取得最大值为． 真题4（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】(1) (2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 (3)2 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； （3）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 真题5（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， ∴加工“正”服装的有人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ∴， 整理得： ∴ 任务3：由任务2得， ∴当时，获得最大利润， ， ∴， ∵开口向下， ∴取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 真题6（2024·北京·中考真题）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下， 当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下： /mL 0 40 100 200 300 400 500 /cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 /cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)1.0 (2)见详解 (3)1.2，8.5 【分析】本题考查了函数的图象与性质，描点法画函数图象，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设V与的函数关系式为：，由表格数据得：，则可求，代入即可求解； （2）画与之间的关系图象时，描点，连线即可，画与的关系图象时，由于是正比例函数，故只需描出两点即可； （3）①当时，，由图象可知高度差；②在左右两侧找到等距的体积所对应的高度相同，大致为． 【详解】（1）解：由题意得，设V与的函数关系式为：， 由表格数据得：， 解得：， ∴， ∴当时，， ∴； （2）解：如图所示，即为所画图象， （3）解：①当时，，由图象可知高度差， 故答案为：1.2； ②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为， 故答案为：． 真题7（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … (1)①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． (2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 【答案】(1)①3，6；②； (2)①8，② 【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据， （1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标； （2）①根据第一问可知最大高度为8米； ②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值． 【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，， 故答案为：3，6． ②联立得：， 解得：或 ， ∴点A的坐标是， （2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米， 故答案为：8； ②， 则， 解得（负值舍去）． 预测1（2025·河南周口·一模）如图1，已知矩形，是边上的一个动点，，交于点．设的长为，的长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，则矩形的面积为（    ）． A．8 B．6 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了动点的函数图象性质的应用，结合图象分析题意是解题关键． 设，证明，列出关系式，结合图象求出值，进而求出矩形面积． 【详解】解：根据图2得， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∴， 当时，有最大值， ， ∴矩形的面积为 12 ， 故选：C． 预测2（2025·广东中山·一模）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称性为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时四边形的周长最小， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为， ∴解方程组得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 预测3（2025·云南楚雄·二模）反比例函数的图象在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是关键． 根据反比例函数解析式，反比例函数图象的性质求解即可． 【详解】解：反比例函数中，， ∴图象经过第二、四象限， 当时 ，反比例函数图象在第四象限， 故答案为：四 ． 预测4（2025·湖北宜昌·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，当时，，那么当时， A． 【答案】2 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可设，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可设，把时，代入得：， ∴， 把代入得：； 故答案为2． 预测5（2025·河南周口·一模）在生物实验中，研究人员对某种微生物在特定营养液中的繁殖情况进行观测．发现微生物的数量增长速率v（个/时）与营养液中关键营养物质的浓度x（）密切相关，通过一系列实验记录得如下数据： 营养物质浓度x/（） 0 10 20 30 40 微生物数量增长速率 v/（个/时） 0 12 18 18 12 (1)请根据表中数据，在平面直角坐标系中绘制出微生物数量增长速率v随营养物质浓度x变化的大致图象． (2)经分析，该关系可以用二次函数 来描述，请利用表格中的数据，通过解方程组的方式求出a、b、c的值（结果保留2位小数）． (3)若希望微生物数量增长速率v不低于15个/时，则营养物质浓度x的范围应是多少？（结果保留2位小数，） 【答案】(1)见解析 (2)a、b、c的值分别为、1.50、0.00 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据表中数据，描点画出微生物数量增长速率v随营养物质浓度x变化的大致图象即查； （2）根据表中数可知，，，再将点代入解析式，即可得方程组，解方程组即可； （3），则，解方程得，再结合（1）的图象即可得出结论． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中绘制出微生物数量增长速率v随营养物质浓度x变化的大致图象如图所示， （2）解：根据表中数可知，，， 二次函数过点， ∴， 解得， 即a、b、c的值分别为、1.50、0.00； （3）解：由（2）可知二次函数解析式为， 令，则， 解得， ∵， ∴或， 结合（1）中的图象可知，若希望微生物数量增长速率v不低于15个/时，则营养物质浓度x的范围应是． 预测6（2025·湖北宜昌·一模）九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． (1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2)能， (3)时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得该图形的长为米，然后根据面积公式可进行求解； （2）由题意易得，然后进行求解方程即可； （3）由题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：依题意得：，整理得：， 解得：； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴当时，围成的菜地面积为81平方米． （3）解：∵墙的最大可用长度为15米， ∴，即， 解得， 根据题意得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为105， ∴时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米． 预测7（2025·江苏宿迁·一模）某县某水果种植户进行软籽石榴销售．已知每千克石榴的成本为元，在整个销售旺季的天里，销售单价（元千克）与时间第 （天）之间的函数关系为： 日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示，请解答： (1)求日销售量与时间的函数关系式？ (2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（， 为整数）； (2)第天的日销售利润最大，最大利润为元． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设日销售量与时间的函数解析式为，根据图象把，代入即可求解； （）设日销售利润为，则，然后分当时和当时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：设日销售量与时间的函数解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴（，为整数）； （2）解：设日销售利润为， 则， 当时， ∵， ∴当时，有最大值元； 当时， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，最大值， ∵， ∴第天的日销售利润最大，最大利润为元． 预测8（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知点，在抛物线上．对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）根据函数解析式确定对称轴即可； （2）根据题意得出，再分两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据抛物线的解析式可得抛物线对称轴为直线． （2）解：∵点，是抛物线上的两点，， ， 又 ∵， ， 当时， 又 ∵， ， ， ， 又 ∵， ， ； 当时， 又 ∵， ， ， ， 又 ∵， ∴； 综上所述，a的取值范围是或． 押题1在平面直角坐标系中，点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特征，进行判断即可．熟练掌握象限内点的符号特征，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点位于第一象限； 故选A． 押题2电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量．下面说法不正确的是（   ） 温馨提示：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．与踏板上人的质量之间的函数关系式为：（） B．电压表显示的读数为6伏时，可变电阻电阻是10欧 C．电压表显示的读数为3伏时，对应测重人的质量为90千克 D．对应测重人的质量为105千克，电压表显示的读数为4伏 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 利用待定系数法即可求出与踏板上人的质量之间的函数关系式；根据，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，得到，求出欧；根据题意得到，求出，代入，求出千克；当时，，解得，设电压表显示的读数为伏，则可变电阻两端的电压为伏，得到，解得；即可得到答案． 【详解】解：将代入得， 解得， ， 故A选项不符合题意； 由题意可得，可变电阻两端的电压（伏）， ，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ， （欧）， 故B选项说法正确，不符合题意； 由题意可得，可变电阻两端的电压（伏）， ，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ， （欧）， 当时，， 解得（千克）， 故C选项说法不正确，符合题意； 当时，， 解得， 设电压表显示的读数为伏，则可变电阻两端的电压为伏， ，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ， 解得， 故D选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 押题3在平面直角坐标系中，过一点分别向，轴作垂线，若这一点与坐标轴围成的矩形周长和面积相等，则该点叫做“和谐点”，这个矩形称为“和谐矩形”． 【初步理解】 （1），是和谐点的是______； （2）若点是第四象限内的一个“和谐点”，求点的坐标； 【尝试应用】 （3）若双曲线（，）上有且只有一个“和谐点”，求的值； 【回归本质】 （4）若为第一象限内的和谐点，且横、纵坐标均为整数，求满足条件的点的所有坐标． 【答案】（1） （2） （3） （4）或或 【分析】本题通过新定义“和谐点”和“和谐矩形”，结合坐标系中的几何性质，考查代数方程的建立与求解，涉及二次方程求解和因式分解以及反比例函数理解．本题的核心在于理解“和谐点”的定义，通过建立方程将几何条件转化为代数问题．关键步骤包括周长面积相等方程的建立、参数的求解以及因数分解的枚举．注意各问题的限制条件（如象限、双曲线参数、整数坐标）对解的影响． （1）首先需要理解“和谐点”的定义：即点与坐标轴围成的矩形周长和面积相等，据此进行判定即可； （2）先根据第四象限条件确定坐标符号，进一步建立和谐点方程进行计算即可； （3）先设双曲线上点坐标，根据定义：周长==面积= ，联立方程进行求解即可； （4）设为正整数，满足，进行因式分解得出进一步进行枚举即可． 【详解】解：（1）设点P的坐标为，则矩形周长为，面积为，   代入：周长，面积， 两者相等，故P为和谐点；     代入：周长，面积， ，故Q不是和谐点； 故答案为：；   （2）点在第四象限， 故，得， 可得周长，   面积， 由周长=面积得：，   解得：， 故点P坐标为； （3）设和谐点为，则（，）， 根据定义：周长==面积= ， 联立方程： ，   将代入得：，   化简得：， ， ， ； （4）设为正整数，满足：   ，化简得：，   4的正整数分解为：， 当得出；   当得出；   当得出； 故或或． 押题4某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键． （1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时； （2）当时函数解析式为，将，代入，利用待定系数法即可求解； （3）求出当和，时，求出对应x的值，然后求差即可求解． 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 押题5如图，已知一次函数的图象与函数的图象交于两点，与轴交于点，将直线AB沿轴向下平移个单位长度得到直线，与函数的图象分别交于点D、E，直线与轴交于点． (1)求与的解析式； (2)观察图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，若的面积为4，则的值为___________ 【答案】(1)； (2) (3)2 【分析】本题考查了一次函数于反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式，熟练掌握以上知识点是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）数形结合，直接写出不等式的解集即可； （3）作，垂足为，根据直线解析式得到为等腰直角三角形，利用三角形面积求出，根据等腰直角三角形三边关系求出向下平移的单位长度即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与函数的图象交于两点， ， 解得：， ∴反比例函数解析式为：， ∵点在一次函数图象上， ∴，解得：， ． （2）解：观察图象可得，当时，的取值范围为：； （3）解：原直线向下平移个单位，得到新的直线解析式为， 如图，作，垂足为， ， ， ∵的面积为 4 ， ， 解得：， ∵直线解析式为， ∴为等腰直角三角形， ． 2 / 122 学科网（北京）股份有限公司 $$