任意角及弧度制与任意角的三角函数 -知识点训练卷 广东省”3+证书“高考《数学考纲百套卷》第16卷（原卷版+解析版 ）

编写说明：广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及近五年高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试范围涉及的知识点编写的58份知识点训练卷。第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等32份专题训练卷。第三部分是按照课程标准及高考命题趋势编写的10份综合模拟卷。 本试卷是广东省“3+证书”《数学考纲百套卷》的第16卷，是知识点训练卷。主要考查终边相同的角、象限角、角度与弧度的转化、三角函数定义。 广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》 第16卷 任意角及弧度制与任意角的三角函数 知识点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．下列各角的终边与角终边相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同角的定义，角度制度与弧度制的转换即可求解. 【详解】由题意得，与角终边相同的角的集合为. 对A，当时，，故A错误. 对B，D，当时，，故B错误，D正确. 对C，当时，，故C错误. 故选：D. 2．方程，的实根为（    ） A． B． C． 或 D．以上都不是 【答案】C 【分析】结合正弦函数根的性质求解. 【详解】方程，则： 或，， 因为，所以或， 故选：C. 3．下列说法中，正确的是（    ） A．第一象限的角一定是锐角 B．锐角一定是第一象限的角 C．小于的角一定是锐角 D．第一象限的角一定是正角 【答案】B 【分析】根据象限角的定义逐项判断即可得解. 【详解】是第一象限角，但不是锐角，故选项错误； 锐角是大于小于的角，一定是第一象限的角，故选项正确； 负角也小于，例如但不是锐角，故选项错误； 是第一象限角，但不是正角，故选项错误； 故选：. 4．若角的终边与相同，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】先找到与角的终边相同的角，即可求解. 【详解】因为角的终边与相同， 所以， 即角的终边与的终边相同， 又是第三象限角，故角是第三象限角. 故选：C. 5．已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边上一点的坐标求解三角函数值即可； 【详解】因为角的终边经过点， 所以， 所以； 所以， 故选：C 6．已知是锐角，那么是（    ） A．小于的正角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第一或第二象限角 【答案】A 【分析】根据锐角的定义，结合象限角，界限角的概念即可求解. 【详解】是锐角，， 即，故是小于的正角，选项A正确， 当时，是界限角，它不属于任何象限，故BCD错误， 故选：A. 7．若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终边上点的坐标求出三角函数值进行计算即可解得. 【详解】由题，角的终边过点， 则， ， 则. 故选：B 8．一个圆形的电子感应装置，半径为 4cm，当有信号触发时，装置边缘的指示灯在 0.1 秒内划过的弧长为 2π cm，指示灯转动的圆心角是（    ）弧度. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心角公式即可得解. 【详解】由题意可知，弧长cm，cm， 所以指示灯转动的圆心角为， 故选：. 9．在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单位圆的概念和三角函数的定义即可求解. 【详解】因为角的终边与单位圆交于点，单位圆的半径， 故， 故选：A. 10．若，则角所在的象限应为（    ） A．第二或第四象限 B．第一或第三象限 C．第一或第四象限 D．第二或第三象限 【答案】C 【分析】由三角函数值的正负判断所在象限即可. 【详解】若，则同号， 当时，则角在第一象限； 当时，则角在第四象限， 故若，则角所在的象限应为第一或第四象限. 故选：C. 11．已知角终边过点，若，则的值是（   ）． A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任意角的三角函数的定义列方程求解即可. 【详解】已知角终边过点， 则，得， 即，则， 解得，因为， 所以， 故选：C. 12．如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则  （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过小正方形与大正方形的面积求出边长，设出直角三角形的较短的直角边，结合勾股定理列出方程求解，最后即可求出. 【详解】小正方形的面积为，则小正方形的边长为， 大正方形的面积为，则大正方形的边长为， 设直角三角形中较短的直角边边长为，则较长的直角边边长为， 所以， 解得（舍）或， 所以直角三角形中较短的直角边边长为，较长的直角边边长为， 则， 故选：. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.） 13．若为第一象限的角，则为第 象限的角． 【答案】四 【分析】根据象限角范围推断出范围即可. 【详解】依题意可得，， 则，， 所以为第四象限的角． 故答案为：四． 14．求值： . 【答案】/ 【分析】由特殊角的函数值计算即可. 【详解】原式. 故答案为：. 15．已知角的终边经过，且,，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据三角函数的定义列式可求出结果. 【详解】， 由，得，得， 由，得，得， 综上所述：. 故答案为： 16．代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合弧度制的定义，弧长公式即可得解. 【详解】如图， 依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为， 则，则，即， 因为，所以，所以该扇形的中心角的弧度数， 故答案为：． 三、解答题（本大题共4小题，共40分。将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 17．（本小题9分） 计算. (1)， (2). 【答案】(1)8 (2)0 【分析】由特殊角的三角值计算即可. 【详解】（1） . （2） . 18．（本小题9分） 如图，已知角的终边上有一点，求：    (1) (2)与的值. 【答案】(1)5 (2)， 【分析】（1）由勾股定理可得. （2）由三角函数的定义可得与的值. 【详解】（1） （2）根据三角函数的定义：    19．（本小题9分） 如图，一船由西向东航行，测得某岛的方位角为，前进5km后测得此岛的方位角为．已知该岛周围3km内有暗礁，如果继续东行，有无触礁危险？（） 【答案】无触礁危险 【分析】解直角三角形，求出MC的长度，即可得出答案. 【详解】由题意得在中，， 在中，， 因为，所以， 即， 故该船继续东行，无触礁危险. 20．（本小题13分） 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为等腰梯形，，以为圆心的圆经过点，且与轴相切于原点，点坐标为，. (1)求点坐标; (2)求阴影部分面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意分析可得，再根据圆与轴相切于原点及，可得，进而可得点的坐标； （2）由（1）可知，可求得以为圆心角的扇形面积，再过点作垂直于交于点，求出梯形的面积，最后根据阴影部分的面积梯形的面积以为圆心角的扇形面积求解即可. 【详解】（1）四边形为等腰梯形，，， ，又，， ， 以为圆心的圆经过点，且与轴相切于原点， ， 点的坐标为. （2）由（1）知，， 以为圆心角的扇形面积， 过点作垂直于交于点，如图：   四边形为等腰梯形， ， ， 梯形的面积， 阴影部分的面积梯形的面积以为圆心角的扇形面积 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 9 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及近五年高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试范围涉及的知识点编写的58份知识点训练卷。第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等32份专题训练卷。第三部分是按照课程标准及高考命题趋势编写的10份综合模拟卷。 本试卷是广东省“3+证书”《数学考纲百套卷》的第16卷，是知识点训练卷。主要考查终边相同的角、象限角、角度与弧度的转化、三角函数定义。 广东省“3+证书”高考《数学考纲百套卷》 第16卷 任意角及弧度制与任意角的三角函数 知识点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．下列各角的终边与角终边相同的是（   ） A． B． C． D． 2．方程，的实根为（    ） A． B． C． 或 D．以上都不是 3．下列说法中，正确的是（    ） A．第一象限的角一定是锐角 B．锐角一定是第一象限的角 C．小于的角一定是锐角 D．第一象限的角一定是正角 4．若角的终边与相同，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 6．已知是锐角，那么是（    ） A．小于的正角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第一或第二象限角 7．若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 8．一个圆形的电子感应装置，半径为 4cm，当有信号触发时，装置边缘的指示灯在 0.1 秒内划过的弧长为 2π cm，指示灯转动的圆心角是（    ）弧度. A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．若，则角所在的象限应为（    ） A．第二或第四象限 B．第一或第三象限 C．第一或第四象限 D．第二或第三象限 11．已知角终边过点，若，则的值是（   ）． A．2 B． C． D． 12．如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则  （   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.） 13．若为第一象限的角，则为第 象限的角． 14．求值： . 15．已知角的终边经过，且,，则实数的取值范围是 . 16．代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为 ． 三、解答题（本大题共4小题，共40分。将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 17．（本小题9分） 计算. (1)， (2). 18．（本小题9分） 如图，已知角的终边上有一点，求：    (1) (2)与的值. 19．（本小题9分） 如图，一船由西向东航行，测得某岛的方位角为，前进5km后测得此岛的方位角为．已知该岛周围3km内有暗礁，如果继续东行，有无触礁危险？（） 20．（本小题13分） 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为等腰梯形，，以为圆心的圆经过点，且与轴相切于原点，点坐标为，. (1)求点坐标; (2)求阴影部分面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$