5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.1 正弦函数、 余弦函数的图象 第五章 三角函数 数学 学习目标 ①掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的与正弦、余弦有关的函数的图象. ②理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系. 学习重难点 重点： 正弦函数、余弦函数的图象. 难点： 正弦函数与余弦函数图象间的关系. 课堂导入 情境1 研究一个新函数的步骤 画出函数图象 观察图象的形状 研究 特殊点 借助图象研究函数性质 值域 单调性 奇偶性 最值 …… 课堂导入 情境2 回忆我们以前学过的指数函数、对数函数，如何画出它们的图象? 列表描点法：列表→描点→连线 请尝试画出当x∈[0，2π]时,y=sin x的图象. 课堂导入 问题 阅读教材第196~199页，思考并完成以下问题. 1.任意角的正弦函数在单位圆中是怎样定义的? 2.怎样作出正弦函数y=sin x的图象? 3.怎样作出余弦函数y=cos x的图象? 4.正弦曲线与余弦曲线的区别与联系. 探究一　正弦、余弦曲线的定义 课堂探究 1.正弦曲线 正弦函数，∈R的图象叫做正弦曲线, 是一条“_________”的连续光滑曲线. 波浪起伏 探究一　正弦、余弦曲线的定义 课堂探究 2.余弦曲线 余弦函数，∈R的图象叫做余弦曲线． 它是与正弦曲线具有_________的“波浪起伏”的连续光滑曲线. 相同形状 探究二　“五点法”画图 课堂探究 步骤： (1)列表 0 π 2π 0 1 0 0 1 0 1 0 1 探究二　“五点法”画图 课堂探究 (2)描点 画正弦函数y=sin x，x∈[0,2π]的图象,五个关键点是 ,, ,, ； 画余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象,五个关键点是 ,, ,, . (0，0) (π，0) (2π，0) (0，1) (π，1) (2π，1) 探究二　“五点法”画图 课堂探究 (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦、余弦曲线的简图. 探究三　正弦、余弦曲线的联系 课堂探究 依据诱导公式cos x=sin， 要得到y=cos x的图象, 只需把y=sin x的图象向 平移 个单位长度即可. 左 课堂探究 x sinx 1+sinx 0 1 0 1 0 1 2 1 0 1 0  2 解 (1)按五个关键点列表： 题型一　作正弦函数、余弦函数的简图 例1　画出下列函数的简图： (1)y=1+sin x，x∈[0,2π]； (2)y=−cos x,x∈[0,2π]. 课堂探究 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图). 步骤： 1.列表 2.描点 3.连线 题型一　作正弦函数、余弦函数的简图 例1　画出下列函数的简图： (1)y=1+sin x，x∈[0,2π]； (2)y=−cos x,x∈[0,2π]. 课堂探究 x 0 π 2π cosx 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 题型一　作正弦函数、余弦函数的简图 解 (2)按五个关键点列表： 例1　画出下列函数的简图： (1)y=1+sin x，x∈[0,2π]； (2)y=−cos x,x∈[0,2π]. 课堂探究 题型一　作正弦函数、余弦函数的简图 例1　画出下列函数的简图： (1)y=1+sin x，x∈[0,2π]； (2)y=−cos x,x∈[0,2π]. 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图). 课堂探究 简单三角函数图象的画法 (1)五点作图法 作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图. “五点”即y=sin x或y=cos x的图象在区间 [0,2π] 内的最高点、最低点和与x轴的交点. (2)图象变换 平移变换、对称变换、翻折变换. 解题技巧　 【跟踪训练1】 (1)画出函数y=|sin x|， x∈R的简图. 解 (1)按五个关键点列表： x sinx |sinx| 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0  2 课堂探究 【跟踪训练1】 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图). 课堂探究 (1)画出函数y=|sin x|， x∈R的简图. 【跟踪训练1】 解 (2)列表取点如下： 课堂探究 x 0 π π 2π f(x) 1 0 0 1 (2)如图，在给定的直角坐标系中,作出函数f(x)=cos在区间[0,π]上的图象. 描点、连线，作出函数f(x)=cos在 区间[0,π]上的图象,如图所示. 课堂探究 【跟踪训练1】 (2)如图，在给定的直角坐标系中,作出函数f(x)=cos在区间[0,π]上的图象. 课堂探究 例2　求函数f(x)=lg sin x+的定义域. 题型二　正弦函数、余弦函数图象的简单应用 解 由题意，得x满足不等式组 作出y=sin x的图象,如图所示. 结合图象可得x∈[−4,−π)∪(0,π). 课堂探究 例3　在同一直角坐标系中，作函数y=sin x和y=lg x的图象,根据图象判断方程 sin x=lg x的解的个数. 题型二　正弦函数、余弦函数图象的简单应用 解 在平面直角坐标系Oxy中分别画出函数y=sin x和y=lg x的图象，如图所示. 由图象可知方程sin x=lg x有3个解. 课堂探究 正弦函数、余弦函数图象的简单应用 (1)解不等式问题 解与三角函数有关的不等式可以借助三角函数图象直观地观察得到， 同时要注意区间端点的取舍. (2)方程的根(或函数零点)问题 三角函数的图象是研究三角函数的重要工具,通过图象可较简便地解决问题, 这正是数形结合思想方法的应用. 解题技巧 【跟踪训练2】 (1)函数y=的定义域是　　　　　　　　　　　　　. 解析 由题意知，自变量x应满足2sin x−1≥0, 即sin x≥. 由y=sin x在区间[0,2π]上的图象, 可知≤x≤, 所以y=的定义域是,k∈Z. 课堂探究 ,k∈Z 【跟踪训练2】 (2)若函数f(x)=sin x−2m-1，x∈[0,2π]有两个零点,求实数m的取值范围. (2)解 由题意可知，sin x−2m-1=0在区间[0,2π]上有2个根, 即sin x=2m+1在区间[0,2π]上有两个根. 则函数y=sin x, x∈[0,2π]的图象与直线y=2m+1有2个交点. 由函数y=sin x, x∈[0,2π]的图象可知-1<2m+1<1, 且2m+1≠0, 解得-1<m<0, 且m≠ 故m∈ 课堂探究 1. 函数y=sin x(x∈R)图象的一条对称轴是(　　) A.x轴 B.y轴 C.直线y=x D.直线x= D 评价反馈 2. 函数y=−cos x的图象与余弦函数y=cos x的图象(　　) A.只关于x轴对称 B.关于原点对称 C.关于原点、x轴对称 D.关于原点、坐标轴对称 C 3. 若x∈[0，2π],则函数y=的定义域是(　　) A.[0,π] B. C. D. C 评价反馈 4. 在区间(0，2π)内,使sin x>|cos x|的x的取值范围是(　　) A. B. C. D. A 5. 利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y=−sin x(0≤x≤2π)； (2)y=1+cos x(0≤x≤2π). 评价反馈 解 利用“五点法”作图. (1)列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 0 −sin x 0 0 1 0 描点作图，如图所示. 5. 利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y=−sin x(0≤x≤2π)； (2)y=1+cos x(0≤x≤2π). 评价反馈 (2)列表： x 0 π 2π cos x 1 0 0 1 1+cos x 2 1 0 1 2 描点作图，如图所示. 6. 画出函数y=sin|x|，x∈R的图象. 评价反馈 解 y=sin|x|= 其图象如图所示, 归纳总结 课堂小结 一、简单三角函数图象画法 1.五点作图法. 2.图象变换： 平移变换、对称变换、翻折变换. 二、正弦函数、余弦函数图象的简单应用 1.解不等式问题 结合图象，注意区间端点的取舍. 2.方程的根(或函数零点)问题 数形结合. 布置作业 完成教材第200页练习，第213页习题5.4第1题. 谢谢大家 $$