06 第一阶段 专题一 培优课3 与解三角形有关的最值、范围问题-（课件PPT+教案Word）【高考快车道】2025年高考数学大二轮专题复习高考总复习学案

培优课3　与解三角形有关的最值、 范围问题 在解三角形中，求解某个量(式子)的取值范围、最值是高考命题的热点，解决此类问题的常用的方法主要有函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等． 类型1　求角(函数值)的最值(范围)问题 【典例1】　(1)(2024·福建厦门三模)记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2cos C＝，则B的取值范围是________． (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin A sin B．求： ①角C的大小； ②sin A＋sin B＋sin C的取值范围． [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三角形中的最值与范围问题的两种解决方法 (1)基本不等式法：将所求表达式转化为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值； (2)函数性质法：将所求表达式转化为某一个角的函数，结合函数的性质确定所求表达式的范围． 提醒：注意在锐角△ABC中隐含着：①A＋B＞； ②若A＝，则＜B＜＜C＜． [跟进训练] 1．(2024·四川南充二模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知a＝2，2sin B＋2sin C＝3sin A，则sin A的最大值为________． 2．(2024·山西太原模拟)钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B＝c sin A，则sin A＋sin B的最大值是________． 类型2　求边(周长)的最值(范围)问题 【典例2】　(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝． (1)若C＝，求B； (2)求的最小值． [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 求边(周长)的最值(范围)问题一般通过正弦、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用基本不等式或函数最值求解． [跟进训练] 3．(2024·海南海口一模)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，A＝60°，则b的取值范围是(　　) A．(0，6)　　　　　 B．(0，2) C．(，2) D．(，6) 4．(2024·江苏盐城模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且△ABC的面积为． (1)求C； (2)求△ABC周长的最小值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型3　求面积的最值(范围)问题 【典例3】　(1)在△ABC中，A＝，BC边上的中线AD＝，则△ABC面积的最大值为(　　) A．2　　　B．　　　C．　　　D． (2)(2024·山东济南二模)如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AB＝BC＝，∠ABC＝θ，120°≤θ<180°． ①若θ＝120°，AD＝3，求∠ADC的大小； ②若CD＝，求四边形ABCD面积的最大值． [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 求三角形面积的最值(范围)的两种思路 (1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围． (2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc的最值从而求出三角形面积的最值． [跟进训练] 5．(2024·山东烟台二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a2＋b2－c2)＝ab sin C，且c＝1，则△ABC面积的最大值为________． 6．(2024·安徽江南十校三模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b＋c－2a cos C＝0． (1)求角A； (2)射线AB绕A点旋转90°交线段BC于点E，且AE＝1，求△ABC的面积的最小值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优课3　与解三角形有关的最值、 范围问题 在解三角形中，求解某个量(式子)的取值范围、最值是高考命题的热点，解决此类问题的常用的方法主要有函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等． 类型1　求角(函数值)的最值(范围)问题 【典例1】　(1)(2024·福建厦门三模)记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2cos C＝，则B的取值范围是________． (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin A sin B．求： ①角C的大小； ②sin A＋sin B＋sin C的取值范围． (1)　[因为2cos C＝， 所以2ab cos C＝3b2－a2， 由余弦定理可得2ab cos C＝a2＋b2－c2， 可得b2＝a2－c2，在锐角△ABC中，由余弦定理的推论可得 cos B＝＝＝＝， 因为即即2a2>c2， 所以<， 所以cos B＝<＝，所以B∈．] (2)[解]　①因为cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin A sin B， 所以1－2sin2A＋1－2sin2B－＝1－2sinA sin B， 整理得sin2A＋sin2B－sin2C＝sinA sin B， 由正弦定理得a2＋b2－c2＝ab， 由余弦定理的推论得cos C＝＝， 因为C∈，所以C＝． ②sin A＋sin B＋sin C＝sin A＋sin ＝sin A＋sin cos A－cos sin A＋ ＝sin A＋cos A＋ ＝sin ． 在△ABC中，因为C＝，所以0<A<， 所以<A＋<，所以<sin ≤1， 所以<sin ， 所以sin A＋sin B＋sin C的取值范围为． 三角形中的最值与范围问题的两种解决方法 (1)基本不等式法：将所求表达式转化为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值； (2)函数性质法：将所求表达式转化为某一个角的函数，结合函数的性质确定所求表达式的范围． 提醒：注意在锐角△ABC中隐含着：①A＋B＞； ②若A＝，则＜B＜＜C＜． [跟进训练] 1．(2024·四川南充二模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知a＝2，2sin B＋2sin C＝3sin A，则sin A的最大值为________． 　[因为a＝2，2sin B＋2sin C＝3sin A， 所以由正弦定理可得b＋c＝3． 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A， 得22＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A， 整理得cos A＝－1． 因为bc≤＝，当且仅当b＝c＝时，等号成立， 所以cos A≥，又sin2A＝1－cos2A，所以sin2A≤，即sinA≤．] 2．(2024·山西太原模拟)钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B＝c sin A，则sin A＋sin B的最大值是________． 　[因为a cos B＝c sin A，由正弦定理得sin A cos B＝sin C sin A， 又因为A∈(0，π)，可得sin A≠0， 所以sin C＝cos B，则C＝－B或C＝＋B． 当C＝－B时，可得A＝，与△ABC是钝角三角形矛盾，所以C＝＋B， 由得A＝－2B>0，可得0<B<，所以sin A＋sin B＝sin (B＋C)＋sin B＝cos 2B＋sin B＝－2sin2B＋sinB＋1 ＝－2＋， 所以当sin B＝时，sin A＋sin B的最大值为．] 【教师备选资源】 在△ABC中，sin B·sin C·cos A＋2sin A·sin C·cos B＝3sin A·sin B·cos C，内角A，B，C的对边分别为a，b，c． (1)求的值； (2)求cos C的最小值． [解]　(1)由已知条件及正弦定理可得， bc·cos A＋2ac·cos B＝3ab·cos C， 由余弦定理的推论得，bc·＋2ac·＝3ab·， 化简得＋a2＋c2－b2 ＝， 从而得3c2－a2－2b2＝0，即a2＋2b2＝3c2， ∴＝＝3． (2)由余弦定理的推论得， cos C＝＝ ＝＝＝． ∵在△ABC中a，b均大于0， ∴cos C＝≥2＝， 当且仅当＝，即b2＝2a2时取等号， ∴cos C的最小值为． 类型2　求边(周长)的最值(范围)问题 【典例2】　(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝． (1)若C＝，求B； (2)求的最小值． [解]　(1)因为＝＝＝，即sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝， 而0＜B＜，所以B＝． (2)由(1)知，sin B＝－cos C＞0，所以＜C＜π，0＜B＜， 而sin B＝－cos C＝sin ， 所以C＝＋B，即有A＝－2B． 所以＝＝ ＝＝4cos2B＋－5≥2－5＝4 －5， 当且仅当cos2B＝时取等号，所以的最小值为4－5． 求边(周长)的最值(范围)问题一般通过正弦、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用基本不等式或函数最值求解． [跟进训练] 3．(2024·海南海口一模)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，A＝60°，则b的取值范围是(　　) A．(0，6)　　　　　 B．(0，2) C．(，2) D．(，6) C　[由正弦定理得b＝＝＝2sin B， 又△ABC为锐角三角形，C＝180°－A－B＝120°－B， 所以0°<B<90°，0°＜C＜90°，则0°<120°－B<90°， 解得30°<B<90°，故sin B∈， 所以b＝2sin B∈(，2)． 故选C．] 4．(2024·江苏盐城模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且△ABC的面积为． (1)求C； (2)求△ABC周长的最小值． [解]　(1)由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， 得a2＋b2＋2ab－c2＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab， 则cos C＝＝，由C∈(0，π)，得C＝． (2)S△ABC＝ab sin C＝ab＝，得ab＝3， 由余弦定理，有c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab，得c＝， △ABC周长l＝a＋b＋≥2＝2＝3， 当且仅当a＝b＝时取等号，所以△ABC周长的最小值为3． 【教师备选资源】 1．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小值时，BD＝________． －1　[设CD＝2BD＝2m>0， 则在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ∠ADB＝m2＋4＋2m， 在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CD·AD cos ∠ADC＝4m2＋4－4m， 所以＝＝＝4－ ≥4－＝4－2， 当且仅当m＋1＝，即m＝－1时，等号成立， 所以当取最小值时，BD＝m＝－1．] 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若cos B＝b cos C，且b＝，则△ABC周长的取值范围为________． (2，3]　[因为cos B＝b cos C，由正弦定理可得cos B＝sin B cos C， 所以2sin A cos B＝sin B cos C＋cos B sin C ＝sin ＝sin A， 因为A，B∈，则sin A>0，所以cos B＝，故B＝，由余弦定理可得 3＝b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝－3ac≥－＝， 所以≤12，即a＋c≤2， 当且仅当a＝c＝时，等号成立． 又a＋c>b＝，故2<a＋b＋c≤3， 故△ABC周长的取值范围为(2，3]．] 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos C－asin C＝b． (1)求角A的大小； (2)若a＝2，求BC边上的中线AD长度的最小值． [解]　(1)因为acos C－asin C＝b， 所以sin Acos C－sin Asin C＝sin B． 因为A＋B＋C＝π， 所以sin A cos C－sin A sin C＝sin (A＋C)＝(sin A cos C＋cos A sin C)， 所以－sin A sin C＝cos A sin C， 因为sin C>0，所以tan A＝－． 因为A∈(0，π)，所以A＝． (2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ， 所以4＝b2＋c2＋bc，① 即4－bc＝b2＋c2≥2bc， 解得bc≤． 因为AD为BC边上的中线， 所以＝)， 所以||2＝＝)2＝(c2＋b2－bc)，② 由①得b2＋c2＝4－bc，③ 代入②得||2＝1－bc≥1－＝， 所以AD≥，AD长度的最小值为． 类型3　求面积的最值(范围)问题 【典例3】　(1)在△ABC中，A＝，BC边上的中线AD＝，则△ABC面积的最大值为(　　) A．2　　　B．　　　C．　　　D． (2)(2024·山东济南二模)如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AB＝BC＝，∠ABC＝θ，120°≤θ<180°． ①若θ＝120°，AD＝3，求∠ADC的大小； ②若CD＝，求四边形ABCD面积的最大值． (1)B　[AD为中线，则2＝， 两边平方得4＝＋2， 所以4×()2＝b2＋c2＋2bc·cos ， 所以12＝b2＋c2＋bc≥3bc，所以bc≤4， 当且仅当b＝c时取等号， 则S△ABC＝bc sin A＝bc≤．故选B．] (2)[解]　①在△ABC中，AB＝BC＝，θ＝120°，所以∠BCA＝30°， 由AC2＝()2＋()2－2×＝6，得AC＝． 又BC⊥CD，所以∠ACD＝60°， 在△ADC中，由正弦定理可得＝， 得sin ∠ADC＝， 因为AC<AD，所以0°<∠ADC<60°，所以∠ADC＝45°． ②连接BD(图略)．在Rt△BCD中，BC＝，CD＝，所以BD＝2，∠CBD＝60°． 所以，四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△ABD＝×2sin ∠ABD ＝＋2sin ∠ABD， 因为∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝θ－60°，120°≤θ＜180°，所以60°≤∠ABD＜120°， 所以当∠ABD＝90°，即θ＝150°时，Smax＝＋2， 即四边形ABCD面积的最大值为＋2． 求三角形面积的最值(范围)的两种思路 (1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围． (2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc的最值从而求出三角形面积的最值． [跟进训练] 5．(2024·山东烟台二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a2＋b2－c2)＝ab sin C，且c＝1，则△ABC面积的最大值为________． 　[因为(a2＋b2－c2)＝ab sin C， 所以由余弦定理得2ab cos C＝a2＋b2－c2， 得2ab cos C＝ab sin C，所以sin C＝2cos C． 又sin2C＋cos2C＝1，C∈(0，π)， 则sinC＝，cos C＝， 由余弦定理以及重要不等式得： 1＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－≥2ab－＝， 即ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立， 所以S△ABC＝ab sin C＝ab≤， 即△ABC面积的最大值为．] 6．(2024·安徽江南十校三模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b＋c－2a cos C＝0． (1)求角A； (2)射线AB绕A点旋转90°交线段BC于点E，且AE＝1，求△ABC的面积的最小值． [解]　(1)∵2b＋c＝2a cos C， 由正弦定理得2sin B＋sin C＝2sin A cos C， 则2sin(A＋C)＋sin C＝2sin A cos C， 即2sin A cos C＋2cos A sin C＋sin C＝2sin A cos C， 则2cos A sin C＋sin C＝0． ∵sin C>0且A∈(0，π), ∴cos A＝－，∴A＝． (2)如图，由∠BAC＝和AB⊥AE，可知∠CAE＝＝． 因为S△ABC＝S△AEB＋S△AEC， 所以bc sin ∠BAC＝c·AE·sin ∠BAE＋b·AE·sin ∠CAE， 又因为AE＝1， 所以bc sin ＝c sin ＋b sin ，即bc＝c＋b． 又bc＝c＋b≥2＝， 当且仅当c＝b时，等号成立， 所以bc≥，所以S△ABC＝bc sin ∠BAC≥＝， 所以△ABC的面积的最小值为． 【教师备选资源】 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2c sin ． (1)求C； (2)若c＝1，D为△ABC的外接圆上的点，＝，求四边形ABCD面积的最大值． [解]　(1)因为b＝2c sin ， 在△ABC中，由正弦定理得， sin B＝2sin C sin ． 又因为sin B＝sin ＝sin ， 所以sin ＝2sin C sin ， 展开得sin A cos C＋cos A sin C＝2sin C， 即sin A cos C－sin C sin A＝0， 因为A∈(0，π)，所以sin A≠0， 故cos C＝sin C，即tan C＝． 又因为C∈，所以C＝． (2)法一：如图1，设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，因为＝，所以＝0，即＝0，所以DA⊥BA， 故BD是⊙O的直径，所以BC⊥CD． 在△ABC中，c＝1，2R＝＝＝2，所以BD＝2． 在△ABD中，AD＝＝． 设四边形ABCD的面积为S，BC＝x，CD＝y，则x2＋y2＝4， 所以S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD＋BC·CD＝xy≤＝＋1， 当且仅当x＝y＝时，等号成立． 所以四边形ABCD面积的最大值为＋1． 法二：如图1，设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，在上的投影为λ||， 所以＝λ． 又＝＝，所以λ＝1， 所以在上的投影为||， 所以DA⊥BA． 故BD是⊙O的直径，所以BC⊥CD． 在△ABC中，c＝1，2R＝＝＝2，所以BD＝2， 在△ABD中，AD＝＝． 设四边形ABCD的面积为S，∠CBD＝θ，θ∈， 则CB＝2cos θ，CD＝2sin θ， 所以S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD＋CB·CD＝＋sin 2θ， 当2θ＝时，S最大，所以四边形ABCD面积的最大值为＋1． 法三：设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R， 在△ABC中，c＝1，2R＝＝＝2， 故△ABC外接圆⊙O的半径R＝1． 即OA＝OB＝AB＝1，所以∠AOB＝． 如图2，以△ABC外接圆的圆心为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系Oxy， 则A，B(1，0)． 因为C，D为单位圆上的点，设C(cos α，sin α)，D(cos β，sin β)， 其中α∈，β∈． 所以＝＝(cos β－1，sin β)， 代入＝，即＝1， 可得－cos β＋sin β＝1， 即sin ＝． 由β∈可知β－∈， 所以解得β－＝或β－＝，即β＝或β＝π． 当β＝时，A，D重合，舍去；当β＝π时，BD是⊙O的直径． 设四边形ABCD的面积为S， 则S＝S△ABD＋S△CBD＝BD·BD·＝， 由α∈知≤1，所以当α＝时， 即C的坐标为时，S最大， 所以四边形ABCD面积的最大值为＋1． 培优专练3　与解三角形有关的最值、范围问题 1．在△ABC中，AC＝2，BC＝4，则B的最大值为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． A　[设AB＝x，x>0，由余弦定理的推论可得 cos B＝＝＝≥2＝，当且仅当x＝2时，等号成立． 因为0<B<π，则0<B≤．故选A．] 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin ＝b sin A，b＝1，则△ABC面积的最大值为(　　) A． C． B　[由正弦定理得sin A sin ＝sin B sin A， ∴sin A sin ＝sin A cos ＝2sin cos sin A， ∵A∈(0，π)，∈，∴sin A≠0，cos ≠0， ∴sin ＝，∴＝，解得B＝． 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝1， ∵a2＋c2≥2ac(当且仅当a＝c时取等号)， ∴1≥2ac－ac＝ac， ∴(S△ABC)max＝×1×＝．故选B．] 3．(2024·江苏连云港模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b cos A＝1＋cos B，则边b的取值范围为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．(2，3) B　[由a＝1，b cos A＝1＋cos B，得b cos A＝a＋a cos B， 由正弦定理可得sin B cos A＝sin A＋sin A cos B，即sin B cos A－sin A cos B＝sin A， 所以sin (B－A)＝sin A，所以B－A＝A或B－A＋A＝π(舍去)，所以B＝2A， 由正弦定理得，b＝＝＝2cos A， 而0<A<π，0<B＝2A<π，0<C＝π－3A<π，所以0<A<，所以<cos A<1，所以b＝2cos A∈(1，2)，所以b的取值范围为(1，2)． 故选B．] 4．(2024·黑龙江哈尔滨三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝，BC边上的中线AD长为1，则bc的最大值为(　　) A． C． D．2 A　[由题意得∠ADB＋∠ADC＝π， 所以cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0， 又a＝，且D是BC的中点，所以DB＝DC＝， 在△ABD中，cos ∠ADB＝＝，在△ADC中，cos ∠ADC＝＝， 所以cos ∠ADC＋cos ∠ADB＝＝0， 即b2＋c2＝，得2bc≤b2＋c2＝⇒bc≤，当且仅当b＝c＝时取等号．故选A．] 5．(多选)(2024·贵州黔南二模)已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，则下列说法中正确的是(　　) A．B＝ B．A的取值范围为 C．若b＝，则△ABC的外接圆的半径为2 D．若a＝，则△ABC的面积的取值范围为 ABD　[对于A，由题意可得ac sin B＝(a2＋c2－b2)，由余弦定理可得a2＋c2－b2＝2ac cos B， 即有ac sin B＝×2ac cos B＝ac cos B， 即sin B＝cos B， 故tan B＝，由B∈，得B＝，故A正确； 对于B，由A∈，C＝π－A－B＝π－A∈，解得A∈，故B正确； 对于C，由正弦定理可得2R＝＝＝2，即R＝1，故C错误； 对于D，若a＝，则S＝ac sin B＝c×＝， 由正弦定理可得＝，即c＝·sin C＝， 即S＝＝＝＝＝， 由A∈，则tan A∈， 故S∈，故D正确．故选ABD．] 6．(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2，＝2S，则下列说法中正确的是(　　) A．A＝ B．若b＝2，则△ABC只有一解 C．若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2，4] D．若D为BC边的中点，则AD的最大值为2＋ ABD　[对于A，因为＝2S，所以bc cos A＝2bc sin A，则tan A＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝，故A正确； 对于B，因为b＝2＝a，则B＝A＝，C＝，故△ABC只有一解，故B正确； 对于C，若△ABC为锐角三角形，则B∈，C∈， 则则<B<， 即sin B∈，由正弦定理可知b＝＝4sin B∈(2，4)，故C错误； 对于D，若D为BC边的中点，则＝)，所以＝＋2)＝(b2＋c2＋bc)， 由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝bc＋4， 又b2＋c2＝bc＋4≥2bc，所以bc≤＝4＋8，当且仅当b＝c＝时取等号， 所以＝(b2＋c2＋bc)＝(4＋2bc)≤＝7＋4， 即AD≤＝2＋，故D正确．故选ABD．] 7．已知在△ABC中，AD为BC边上的中线，且BD＝2，AD＝4，则cos ∠BAC的最小值为________． 　[依题意，CD＝BD＝2，AD＝4，如图． 在△ABD中，由余弦定理得， AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB ＝20－16cos ∠ADB， 在△ACD中，由余弦定理得， AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD cos ∠ADC ＝20－16cos ∠ADC， 而∠ADB＋∠ADC＝π，即cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，两式相加得AB2＋AC2＝40， 于是2AB·AC≤AB2＋AC2＝40，当且仅当AB＝AC＝2时取等号． 在△ABC中， cos ∠BAC＝＝＝，所以cos ∠BAC的最小值为．] 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________． 9　[因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D， 所以∠ABD＝∠CBD＝60°， 由三角形的面积公式可得acsin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°， 化简得ac＝a＋c， 又a>0，c>0，所以＝1， 则4a＋c＝(4a＋c)＝5＋≥5＋2＝9， 当且仅当c＝2a＝3时取等号， 故4a＋c的最小值为9．] 9．(2024·辽宁沈阳一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b(b＋a)＝c2． (1)求证：C＝2B； (2)若△ABC为锐角三角形，求2sin C＋cos B－sin B的最大值． [解]　(1)证明：因为b(b＋a)＝c2，即c2＝b2＋ab，由余弦定理c2＝b2＋a2－2ab cos C， 得ab＝a2－2ab cos C，即b＝a－2b cos C， 所以sin B＝sin A－2sin B cos C， 又sin A＝sin (π－B－C)＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C， 所以sin B＝sin B cos C＋cos B sin C－2sin B cos C＝cos B sin C－sin B cos C＝sin (C－B)， 又B，C∈(0，π)，所以B＝C－B或B＋C－B＝π(舍)，所以C＝2B，命题得证． (2)由(1)知C＝2B，所以2sin C＋cos B－sin B＝2sin 2B＋cos B－sin B， 令t＝cos B－sin B＝sin ， 又因为△ABC为锐角三角形， 所以 得到<B<，所以－B∈， 又sin ＝sin ＝sin cos －cos sin ＝， 所以t∈， 又sin 2B＝1－(cos B－sin B)2＝1－t2， 所以2sin C＋cos B－sin B＝2(1－t2)＋t＝－2t2＋t＋2＝－2＋，所以当t＝时，2sin C＋cos B－sin B取到最大值为． 10．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝20，∠BAD＝，∠BCD＝． (1)若∠ABC＝，求BC的长； (2)求四边形ABCD周长的最大值． [解]　(1)连接BD． 因为AB＝AD＝20，∠BAD＝， 故△ABD为等边三角形，所以BD＝20， 所以∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝＝， 则∠BDC＝π－∠BCD－∠CBD＝， 由正弦定理得＝， 所以BC＝＝． (2)在△BCD中，由余弦定理可得400＝BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ＝BC2＋CD2＋BC·CD＝(BC＋CD)2－BC·CD≥(BC＋CD)2－＝， 所以BC＋CD≤，当且仅当BC＝CD＝时，等号成立． 因此，四边形ABCD周长的最大值为40＋． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专练3　与解三角形有关的最值、范围问题 1．在△ABC中，AC＝2，BC＝4，则B的最大值为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin ＝b sin A，b＝1，则△ABC面积的最大值为(　　) A． C． 3．(2024·江苏连云港模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b cos A＝1＋cos B，则边b的取值范围为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．(2，3) 4．(2024·黑龙江哈尔滨三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝，BC边上的中线AD长为1，则bc的最大值为(　　) A． C． D．2 5．(多选)(2024·贵州黔南二模)已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，则下列说法中正确的是(　　) A．B＝ B．A的取值范围为 C．若b＝，则△ABC的外接圆的半径为2 D．若a＝，则△ABC的面积的取值范围为 6．(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2，＝2S，则下列说法中正确的是(　　) A．A＝ B．若b＝2，则△ABC只有一解 C．若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2，4] D．若D为BC边的中点，则AD的最大值为2＋ 7．已知在△ABC中，AD为BC边上的中线，且BD＝2，AD＝4，则cos ∠BAC的最小值为________． 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________． 9．(2024·辽宁沈阳一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b(b＋a)＝c2． (1)求证：C＝2B； (2)若△ABC为锐角三角形，求2sin C＋cos B－sin B的最大值． 10．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝20，∠BAD＝，∠BCD＝． (1)若∠ABC＝，求BC的长； (2)求四边形ABCD周长的最大值． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专练3 1．A　[设AB＝x，x>0，由余弦定理的推论可得 cos B＝＝＝≥2＝，当且仅当x＝2时，等号成立． 因为0<B<π，则0<B≤．故选A．] 2．B　[由正弦定理得sin A sin ＝sin B sin A， ∴sin A sin ＝sin A cos ＝2sin cos sin A， ∵A∈(0，π)，∈，∴sin A≠0，cos ≠0， ∴sin ＝，∴＝，解得B＝． 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝1， ∵a2＋c2≥2ac(当且仅当a＝c时取等号)， ∴1≥2ac－ac＝ac， ∴(S△ABC)max＝×1×＝．故选B．] 3．B　[由a＝1，b cos A＝1＋cos B，得b cos A＝a＋a cos B， 由正弦定理可得sin B cos A＝sin A＋sin A cos B，即sin B cos A－sin A cos B＝sin A， 所以sin (B－A)＝sin A，所以B－A＝A或B－A＋A＝π(舍去)，所以B＝2A， 由正弦定理得，b＝＝＝2cos A， 而0<A<π，0<B＝2A<π，0<C＝π－3A<π，所以0<A<，所以<cos A<1，所以b＝2cos A∈(1，2)，所以b的取值范围为(1，2)． 故选B．] 4．A　[由题意得∠ADB＋∠ADC＝π， 所以cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0， 又a＝，且D是BC的中点，所以DB＝DC＝， 在△ABD中，cos ∠ADB＝＝，在△ADC中，cos ∠ADC＝＝， 所以cos ∠ADC＋cos ∠ADB＝＝0， 即b2＋c2＝，得2bc≤b2＋c2＝⇒bc≤，当且仅当b＝c＝时取等号．故选A．] 5．ABD　[对于A，由题意可得ac sin B＝(a2＋c2－b2)，由余弦定理可得a2＋c2－b2＝2ac cos B， 即有ac sin B＝×2ac cos B＝ac cos B， 即sin B＝cos B， 故tan B＝，由B∈，得B＝，故A正确； 对于B，由A∈，C＝π－A－B＝π－A∈，解得A∈，故B正确； 对于C，由正弦定理可得2R＝＝＝2，即R＝1，故C错误； 对于D，若a＝，则S＝ac sin B＝c×＝， 由正弦定理可得＝，即c＝·sin C＝， 即S＝＝＝＝＝， 由A∈，则tan A∈， 故S∈，故D正确．故选ABD．] 6．ABD　[对于A，因为＝2S，所以bc cos A＝2bc sin A，则tan A＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝，故A正确； 对于B，因为b＝2＝a，则B＝A＝，C＝，故△ABC只有一解，故B正确； 对于C，若△ABC为锐角三角形，则B∈，C∈， 则则<B<， 即sin B∈，由正弦定理可知b＝＝4sin B∈(2，4)，故C错误； 对于D，若D为BC边的中点，则＝)，所以＝＋2)＝(b2＋c2＋bc)， 由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝bc＋4， 又b2＋c2＝bc＋4≥2bc，所以bc≤＝4＋8，当且仅当b＝c＝时取等号， 所以＝(b2＋c2＋bc)＝(4＋2bc)≤＝7＋4， 即AD≤＝2＋，故D正确．故选ABD．] 7．　[依题意，CD＝BD＝2，AD＝4，如图． 在△ABD中，由余弦定理得， AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB ＝20－16cos ∠ADB， 在△ACD中，由余弦定理得， AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD cos ∠ADC ＝20－16cos ∠ADC， 而∠ADB＋∠ADC＝π，即cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，两式相加得AB2＋AC2＝40， 于是2AB·AC≤AB2＋AC2＝40，当且仅当AB＝AC＝2时取等号． 在△ABC中， cos ∠BAC＝＝＝，所以cos ∠BAC的最小值为．] 8．9　[因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D， 所以∠ABD＝∠CBD＝60°， 由三角形的面积公式可得acsin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°， 化简得ac＝a＋c， 又a>0，c>0，所以＝1， 则4a＋c＝(4a＋c)＝5＋≥5＋2＝9， 当且仅当c＝2a＝3时取等号， 故4a＋c的最小值为9．] 9．解：(1)证明：因为b(b＋a)＝c2，即c2＝b2＋ab，由余弦定理c2＝b2＋a2－2ab cos C， 得ab＝a2－2ab cos C，即b＝a－2b cos C， 所以sin B＝sin A－2sin B cos C， 又sin A＝sin (π－B－C)＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C， 所以sin B＝sin B cos C＋cos B sin C－2sin B cos C＝cos B sin C－sin B cos C＝sin (C－B)， 又B，C∈(0，π)，所以B＝C－B或B＋C－B＝π(舍)，所以C＝2B，命题得证． (2)由(1)知C＝2B，所以2sin C＋cos B－sin B＝2sin 2B＋cos B－sin B， 令t＝cos B－sin B＝sin ， 又因为△ABC为锐角三角形， 所以 得到<B<，所以－B∈， 又sin ＝sin ＝sin cos －cos sin ＝， 所以t∈， 又sin 2B＝1－(cos B－sin B)2＝1－t2， 所以2sin C＋cos B－sin B＝2(1－t2)＋t＝－2t2＋t＋2＝－2＋，所以当t＝时，2sin C＋cos B－sin B取到最大值为． 10．解：(1)连接BD． 因为AB＝AD＝20，∠BAD＝， 故△ABD为等边三角形，所以BD＝20， 所以∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝＝， 则∠BDC＝π－∠BCD－∠CBD＝， 由正弦定理得＝， 所以BC＝＝． (2)在△BCD中，由余弦定理可得400＝BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ＝BC2＋CD2＋BC·CD＝(BC＋CD)2－BC·CD≥(BC＋CD)2－＝， 所以BC＋CD≤，当且仅当BC＝CD＝时，等号成立． 因此，四边形ABCD周长的最大值为40＋． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一阶段　突破核心　升华思维 专题一　三角函数与解三角形 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 在解三角形中，求解某个量(式子)的取值范围、最值是高考命题的热点，解决此类问题的常用的方法主要有函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等． 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 类型3　求面积的最值(范围)问题 类型1　求角(函数值)的最值(范围)问题 （一） 类型2　求边(周长)的最值(范围)问题 （二） （三） 培优专练3　与解三角形有关的最值、范围问题 （四） 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 类型1　求角(函数值)的最值(范围)问题 【典例1】　(1)(2024·福建厦门三模)记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2cos C＝，则B的取值范围是________． (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin A sin B．求： ①角C的大小； ②sin A＋sin B＋sin C的取值范围． (1)　[因为2cos C＝， 所以2ab cos C＝3b2－a2， 由余弦定理可得2ab cos C＝a2＋b2－c2， 可得b2＝a2－c2，在锐角△ABC中，由余弦定理的推论可得 cos B＝＝＝＝， 因为即即2a2>c2， 所以<，所以cos B＝<＝，所以B∈．] (2)[解]　①因为cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin A sin B， 所以1－2sin2A＋1－2sin2B－＝1－2sinA sin B， 整理得sin2A＋sin2B－sin2C＝sinA sin B， 由正弦定理得a2＋b2－c2＝ab， 由余弦定理的推论得cos C＝＝， 因为C∈，所以C＝． ②sin A＋sin B＋sin C＝sin A＋sin ＝sin A＋sin cos A－cos sin A＋ ＝sin A＋cos A＋＝sin ． 在△ABC中，因为C＝，所以0<A<， 所以<A＋<，所以<sin ≤1， 所以<sin ， 所以sin A＋sin B＋sin C的取值范围为． 三角形中的最值与范围问题的两种解决方法 (1)基本不等式法：将所求表达式转化为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值； (2)函数性质法：将所求表达式转化为某一个角的函数，结合函数的性质确定所求表达式的范围． 提醒：注意在锐角△ABC中隐含着：①A＋B＞； ②若A＝，则＜B＜＜C＜． 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 [跟进训练] 1．(2024·四川南充二模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知a＝2，2sin B＋2sin C＝3sin A，则sin A的最大值为________． 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 　[因为a＝2，2sin B＋2sin C＝3sin A， 所以由正弦定理可得b＋c＝3． 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A， 得22＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A， 整理得cos A＝－1． 因为bc≤＝，当且仅当b＝c＝时，等号成立， 所以cos A≥，又sin2A＝1－cos2A，所以sin2A≤，即sinA≤．] 2．(2024·山西太原模拟)钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B＝c sin A，则sin A＋sin B的最大值是________． 　[因为a cos B＝c sin A，由正弦定理得sin A cos B＝sin C sin A， 又因为A∈(0，π)，可得sin A≠0， 所以sin C＝cos B，则C＝－B或C＝＋B． 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 当C＝－B时，可得A＝，与△ABC是钝角三角形矛盾，所以C＝＋B， 由得A＝－2B>0，可得0<B<，所以sin A＋sin B ＝sin (B＋C)＋sin B＝cos 2B＋sin B＝－2sin2B＋sinB＋1 ＝－2＋， 所以当sin B＝时，sin A＋sin B的最大值为．] 【教师备选资源】 在△ABC中，sin B·sin C·cos A＋2sin A·sin C·cos B＝ 3sin A·sin B·cos C，内角A，B，C的对边分别为a，b，c． (1)求的值； (2)求cos C的最小值． 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 [解]　(1)由已知条件及正弦定理可得， bc·cos A＋2ac·cos B＝3ab·cos C， 由余弦定理的推论得， bc·＋2ac·＝3ab·， 化简得＋a2＋c2－b2＝， 从而得3c2－a2－2b2＝0，即a2＋2b2＝3c2， ∴＝＝3． (2)由余弦定理的推论得， cos C＝＝ ＝＝＝． ∵在△ABC中a，b均大于0， ∴cos C＝≥2＝， 当且仅当＝，即b2＝2a2时取等号，∴cos C的最小值为． 类型2　求边(周长)的最值(范围)问题 【典例2】　(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝． (1)若C＝，求B；(2)求的最小值． [解]　(1)因为＝＝＝，即sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝， 而0＜B＜，所以B＝． (2)由(1)知，sin B＝－cos C＞0，所以＜C＜π，0＜B＜， 而sin B＝－cos C＝sin ， 所以C＝＋B，即有A＝－2B． 所以＝＝ ＝＝4cos2B＋－5≥2－5＝4 －5， 当且仅当cos2B＝时取等号，所以的最小值为4－5． 求边(周长)的最值(范围)问题一般通过正弦、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用基本不等式或函数最值求解． 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 [跟进训练] 3．(2024·海南海口一模)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，A＝60°，则b的取值范围是(　　) A．(0，6)　　　　　 B．(0，2) C．(，2) D．(，6) √ 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 C　[由正弦定理得b＝＝＝2sin B， 又△ABC为锐角三角形，C＝180°－A－B＝120°－B， 所以0°<B<90°，0°＜C＜90°，则0°<120°－B<90°， 解得30°<B<90°，故sin B∈， 所以b＝2sin B∈(，2)． 故选C．] 4．(2024·江苏盐城模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且△ABC的面积为． (1)求C；(2)求△ABC周长的最小值． [解]　(1)由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， 得a2＋b2＋2ab－c2＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab， 则cos C＝＝，由C∈(0，π)，得C＝． 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 (2)S△ABC＝ab sin C＝ab＝，得ab＝3， 由余弦定理，有c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab，得c＝， △ABC周长l＝a＋b＋≥2＝2＝3， 当且仅当a＝b＝时取等号，所以△ABC周长的最小值为3． 【教师备选资源】 1．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小值时，BD＝________． －1 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 －1　[设CD＝2BD＝2m>0， 则在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ∠ADB＝m2＋4＋2m， 在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CD·AD cos ∠ADC＝4m2＋4－4m， 所以＝＝＝4－ ≥4－＝4－2， 当且仅当m＋1＝，即m＝－1时，等号成立， 所以当取最小值时，BD＝m＝－1．] 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若cos B＝b cos C，且b＝，则△ABC周长的取值范围为________________． (2，3]　[因为cos B＝b cos C，由正弦定理可得cos B＝sin B cos C， 所以2sin A cos B＝sin B cos C＋cos B sin C ＝sin ＝sin A， (2，3] 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 因为A，B∈，则sin A>0，所以cos B＝，故B＝，由余弦定理可得 3＝b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝－3ac≥－＝， 所以≤12，即a＋c≤2， 当且仅当a＝c＝时，等号成立． 又a＋c>b＝，故2<a＋b＋c≤3， 故△ABC周长的取值范围为(2，3]．] 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos C－asin C＝b． (1)求角A的大小； (2)若a＝2，求BC边上的中线AD长度的最小值． 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 [解]　(1)因为acos C－asin C＝b， 所以sin Acos C－sin Asin C＝sin B． 因为A＋B＋C＝π， 所以sin A cos C－sin A sin C＝sin (A＋C)＝(sin A cos C＋cos A sin C)， 所以－sin A sin C＝cos A sin C， 因为sin C>0，所以tan A＝－． 因为A∈(0，π)，所以A＝． (2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ， 所以4＝b2＋c2＋bc，① 即4－bc＝b2＋c2≥2bc， 解得bc≤． 因为AD为BC边上的中线，所以＝)， 所以||2＝＝)2＝(c2＋b2－bc)，② 由①得b2＋c2＝4－bc，③ 代入②得||2＝1－bc≥1－＝， 所以AD≥，AD长度的最小值为． 类型3　求面积的最值(范围)问题 【典例3】　(1)在△ABC中，A＝，BC边上的中线AD＝，则△ABC面积的最大值为(　　) A．2　　　B．　　　C．　　　D． (2)(2024·山东济南二模)如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AB＝BC＝，∠ABC＝θ，120°≤θ<180°． ①若θ＝120°，AD＝3，求∠ADC的大小； ②若CD＝，求四边形ABCD面积的最大值． √ (1)B　[AD为中线，则2＝， 两边平方得4＝＋2， 所以4×()2＝b2＋c2＋2bc·cos ， 所以12＝b2＋c2＋bc≥3bc，所以bc≤4， 当且仅当b＝c时取等号， 则S△ABC＝bc sin A＝bc≤．故选B．] (2)[解]　①在△ABC中，AB＝BC＝，θ＝120°，所以∠BCA＝30°， 由AC2＝()2＋()2－2×＝6，得AC＝． 又BC⊥CD，所以∠ACD＝60°， 在△ADC中，由正弦定理可得＝， 得sin ∠ADC＝， 因为AC<AD，所以0°<∠ADC<60°，所以∠ADC＝45°． ②连接BD(图略)．在Rt△BCD中，BC＝，CD＝，所以BD＝2，∠CBD＝60°． 所以，四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△ABD＝×2sin ∠ABD＝＋2sin ∠ABD， 因为∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝θ－60°，120°≤θ＜180°，所以60°≤∠ABD＜120°， 所以当∠ABD＝90°，即θ＝150°时，Smax＝＋2， 即四边形ABCD面积的最大值为＋2． 求三角形面积的最值(范围)的两种思路 (1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围． (2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc的最值从而求出三角形面积的最值． 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 [跟进训练] 5．(2024·山东烟台二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a2＋b2－c2)＝ab sin C，且c＝1，则△ABC面积的最大值为________． 　[因为(a2＋b2－c2)＝ab sin C， 所以由余弦定理得2ab cos C＝a2＋b2－c2， 得2ab cos C＝ab sin C，所以sin C＝2cos C． 又sin2C＋cos2C＝1，C∈(0，π)，则sinC＝，cos C＝， 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 由余弦定理以及重要不等式得： 1＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－≥2ab－＝， 即ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立， 所以S△ABC＝ab sin C＝ab≤， 即△ABC面积的最大值为．] 6．(2024·安徽江南十校三模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b＋c－2a cos C＝0． (1)求角A； (2)射线AB绕A点旋转90°交线段BC于点E，且AE＝1，求△ABC的面积的最小值． 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 [解]　(1)∵2b＋c＝2a cos C， 由正弦定理得2sin B＋sin C＝2sin A cos C， 则2sin(A＋C)＋sin C＝2sin A cos C， 即2sin A cos C＋2cos A sin C＋sin C＝2sin A cos C， 则2cos A sin C＋sin C＝0． ∵sin C>0且A∈(0，π)，∴cos A＝－，∴A＝． (2)如图，由∠BAC＝和AB⊥AE，可知∠CAE＝＝． 因为S△ABC＝S△AEB＋S△AEC， 所以bc sin ∠BAC＝c·AE·sin ∠BAE＋b·AE·sin ∠CAE， 又因为AE＝1，所以bc sin ＝c sin ＋b sin ，即bc＝c＋b． 又bc＝c＋b≥2＝， 当且仅当c＝b时，等号成立， 所以bc≥，所以S△ABC＝bc sin ∠BAC≥＝， 所以△ABC的面积的最小值为． 【教师备选资源】 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2c sin ． (1)求C； (2)若c＝1，D为△ABC的外接圆上的点，＝，求四边形ABCD面积的最大值． 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 [解]　(1)因为b＝2c sin ， 在△ABC中，由正弦定理得，sin B＝2sin C sin ． 又因为sin B＝sin ＝sin ， 所以sin ＝2sin C sin ， 展开得sin A cos C＋cos A sin C＝2sin C， 即sin A cos C－sin C sin A＝0，因为A∈(0，π)，所以sin A≠0， 故cos C＝sin C，即tan C＝．又因为C∈，所以C＝． (2)法一：如图1，设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，因为＝，所以＝0，即＝0，所以DA⊥BA， 故BD是⊙O的直径，所以BC⊥CD． 在△ABC中，c＝1，2R＝＝＝2，所以BD＝2． 在△ABD中，AD＝＝． 设四边形ABCD的面积为S，BC＝x，CD＝y，则x2＋y2＝4， 所以S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD＋BC·CD ＝xy≤＝＋1， 当且仅当x＝y＝时，等号成立． 所以四边形ABCD面积的最大值为＋1． 法二：如图1，设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，在上的投影为λ||，所以＝λ． 又＝＝，所以λ＝1， 所以在上的投影为||，所以DA⊥BA． 故BD是⊙O的直径，所以BC⊥CD． 在△ABC中，c＝1，2R＝＝＝2，所以BD＝2， 在△ABD中，AD＝＝． 设四边形ABCD的面积为S，∠CBD＝θ，θ∈， 则CB＝2cos θ，CD＝2sin θ， 所以S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD＋CB·CD＝＋sin 2θ， 当2θ＝时，S最大，所以四边形ABCD面积的最大值为＋1． 法三：设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R， 在△ABC中，c＝1，2R＝＝＝2， 故△ABC外接圆⊙O的半径R＝1． 即OA＝OB＝AB＝1，所以∠AOB＝． 如图2，以△ABC外接圆的圆心为原点， OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系Oxy， 则A，B(1，0)． 因为C，D为单位圆上的点，设C(cos α，sin α)，D(cos β，sin β)， 其中α∈，β∈． 所以＝＝(cos β－1，sin β)， 代入＝，即＝1， 可得－cos β＋sin β＝1，即sin ＝． 由β∈可知β－∈， 所以解得β－＝或β－＝，即β＝或β＝π． 当β＝时，A，D重合，舍去；当β＝π时，BD是⊙O的直径． 设四边形ABCD的面积为S， 则S＝S△ABD＋S△CBD＝BD·BD·＝， 由α∈知≤1，所以当α＝时， 即C的坐标为时，S最大， 所以四边形ABCD面积的最大值为＋1． 1．在△ABC中，AC＝2，BC＝4，则B的最大值为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ 培优专练3　与解三角形有关的最值、范围问题 A　[设AB＝x，x>0，由余弦定理的推论可得 cos B＝＝＝≥2＝，当且仅当x＝2时，等号成立．因为0<B<π，则0<B≤．故选A．] 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin ＝ b sin A，b＝1，则△ABC面积的最大值为(　　) A． C． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 B　[由正弦定理得sin A sin ＝sin B sin A， ∴sin A sin ＝sin A cos ＝2sin cos sin A， ∵A∈(0，π)，∈，∴sin A≠0，cos ≠0， ∴sin ＝，∴＝，解得B＝． 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝1， ∵a2＋c2≥2ac(当且仅当a＝c时取等号)， ∴1≥2ac－ac＝ac，∴(S△ABC)max＝×1×＝．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 3．(2024·江苏连云港模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b cos A＝1＋cos B，则边b的取值范围为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．(2，3) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 B　[由a＝1，b cos A＝1＋cos B，得b cos A＝a＋a cos B， 由正弦定理可得sin B cos A＝sin A＋sin A cos B，即sin B cos A－sin A cos B ＝sin A， 所以sin (B－A)＝sin A，所以B－A＝A或B－A＋A＝π(舍去)，所以B＝2A， 由正弦定理得，b＝＝＝2cos A， 而0<A<π，0<B＝2A<π，0<C＝π－3A<π，所以0<A<，所以<cos A<1，所以b＝2cos A∈(1，2)，所以b的取值范围为(1，2)．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 4．(2024·黑龙江哈尔滨三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝，BC边上的中线AD长为1，则bc的最大值为 (　　) A． C．D．2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 A　[由题意得∠ADB＋∠ADC＝π， 所以cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，又a＝，且D是BC的中点，所以DB＝DC＝， 在△ABD中，cos ∠ADB＝＝，在△ADC中，cos ∠ADC＝＝， 所以cos ∠ADC＋cos ∠ADB＝＝0， 即b2＋c2＝，得2bc≤b2＋c2＝⇒bc≤，当且仅当b＝c＝时取等号．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 5．(多选)(2024·贵州黔南二模)已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，则下列说法中正确的是(　　) A．B＝ B．A的取值范围为 C．若b＝，则△ABC的外接圆的半径为2 D．若a＝，则△ABC的面积的取值范围为 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ √ √ 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 ABD　[对于A，由题意可得ac sin B＝(a2＋c2－b2)，由余弦定理可得a2＋c2－b2＝2ac cos B， 即有ac sin B＝×2ac cos B＝ac cos B， 即sin B＝cos B， 故tan B＝，由B∈，得B＝，故A正确； 对于B，由A∈，C＝π－A－B＝π－A∈，解得A∈，故B正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 对于C，由正弦定理可得2R＝＝＝2，即R＝1，故C错误； 对于D，若a＝，则S＝ac sin B＝c×＝， 由正弦定理可得＝，即c＝·sin C＝， 即S＝＝＝＝＝， 由A∈，则tan A∈， 故S∈，故D正确．故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 6．(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2，＝2S，则下列说法中正确的是 (　　) A．A＝ B．若b＝2，则△ABC只有一解 C．若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2，4] D．若D为BC边的中点，则AD的最大值为2＋ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ √ √ 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 ABD　[对于A，因为＝2S，所以bc cos A＝2bc sin A，则tan A＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝，故A正确； 对于B，因为b＝2＝a，则B＝A＝，C＝，故△ABC只有一解，故B正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 对于C，若△ABC为锐角三角形，则B∈，C∈， 则则<B<， 即sin B∈，由正弦定理可知b＝＝4sin B∈(2，4)，故C错误； 对于D，若D为BC边的中点，则＝)，所以＝＋2)＝(b2＋c2＋bc)， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝bc＋4， 又b2＋c2＝bc＋4≥2bc，所以bc≤＝4＋8，当且仅当b＝c＝时取等号， 所以＝(b2＋c2＋bc)＝(4＋2bc)≤＝7＋4， 即AD≤＝2＋，故D正确．故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 　[依题意，CD＝BD＝2，AD＝4，如图． 在△ABD中，由余弦定理得， AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB ＝20－16cos ∠ADB， 7．已知在△ABC中，AD为BC边上的中线，且BD＝2，AD＝4，则cos ∠BAC的最小值为________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 在△ACD中，由余弦定理得， AC 2＝AD2＋CD2－2AD·CD cos ∠ADC ＝20－16cos ∠ADC， 而∠ADB＋∠ADC＝π，即cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，两式相加得AB2＋ AC 2＝40， 于是2AB·AC≤AB2＋AC 2＝40，当且仅当AB＝AC＝2时取等号． 在△ABC中， cos ∠BAC＝＝＝，所以cos ∠BAC的最小值为．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 9 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 9　[因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D， 所以∠ABD＝∠CBD＝60°， 由三角形的面积公式可得acsin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°， 化简得ac＝a＋c， 又a>0，c>0，所以＝1， 则4a＋c＝(4a＋c)＝5＋≥5＋2＝9， 当且仅当c＝2a＝3时取等号， 故4a＋c的最小值为9．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 9．(2024·辽宁沈阳一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b(b＋a)＝c2． (1)求证：C＝2B； (2)若△ABC为锐角三角形，求2sin C＋cos B－sin B的最大值． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 [解]　(1)证明：因为b(b＋a)＝c2，即c2＝b2＋ab，由余弦定理c2＝b2＋a2－2ab cos C， 得ab＝a2－2ab cos C，即b＝a－2b cos C， 所以sin B＝sin A－2sin B cos C， 又sin A＝sin (π－B－C)＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C， 所以sin B＝sin B cos C＋cos B sin C－2sin B cos C＝cos B sin C－ sin B cos C＝sin (C－B)， 又B，C∈(0，π)，所以B＝C－B或B＋C－B＝π(舍)，所以C＝2B，命题得证． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 (2)由(1)知C＝2B，所以2sin C＋cos B－sin B＝2sin 2B＋cos B－sin B， 令t＝cos B－sin B＝sin ， 又因为△ABC为锐角三角形，所以 得到<B<，所以－B∈， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 又sin ＝sin ＝sin cos －cos sin ＝， 所以t∈， 又sin 2B＝1－(cos B－sin B)2＝1－t2， 所以2sin C＋cos B－sin B＝2(1－t2)＋t＝－2t2＋t＋2＝－2＋，所以当t＝时，2sin C＋cos B－sin B取到最大值为． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 10．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝20，∠BAD＝，∠BCD＝． (1)若∠ABC＝，求BC的长； (2)求四边形ABCD周长的最大值． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 [解]　(1)连接BD． 因为AB＝AD＝20，∠BAD＝， 故△ABD为等边三角形，所以BD＝20， 所以∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝＝， 则∠BDC＝π－∠BCD－∠CBD＝， 由正弦定理得＝， 所以BC＝＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 (2)在△BCD中，由余弦定理可得400＝BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ＝BC2＋CD2＋BC·CD＝(BC＋CD)2－BC·CD≥(BC＋CD)2－＝， 所以BC＋CD≤，当且仅当BC＝CD＝时，等号成立． 因此，四边形ABCD周长的最大值为40＋． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课3　与解三角形有关的最值、范围问题 THANK YOU 专题一　三角函数与解三角形 $$