05 第一阶段 专题一 培优课2 三角函数中ω，φ的范围问题-（课件PPT+教案Word）【高考快车道】2025年高考数学大二轮专题复习高考总复习学案

第一阶段　突破核心　升华思维 专题一　三角函数与解三角形 培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题 三角函数中ω，φ的范围求解问题是高考的重点和热点问题之一，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，解决这类问题的一般思路是利用“团体”思想，数形结合求解． 培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题 类型3　零点与ω，φ的取值范围 类型1　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围 （一） 类型2　单调性与ω，φ的取值范围 （二） （三） 培优专练2　三角函数中ω，φ的范围问题 （四） 培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题 类型1　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围 【典例1】　(1)(2024·浙江温州一模)若函数f (x)＝2sin (ω>0)，x∈的值域为，则ω的取值范围是(　　) A．　　　　 B． C． D． (2)(2024·云南楚雄模拟)若函数f (x)＝4sin (4x＋φ)(－π<φ<π)在上的最小值大于－2，则φ的取值范围是________． √ (1)D　(2)　[(1)由x∈，得ωx－∈． 显然当x＝0时，可得2sin ＝－， 由f (x)的值域为，利用三角函数图象性质可得ω－＋π，解得≤ω≤，即ω的取值范围是． 故选D． (2)因为x∈，所以4x＋φ∈，因为－π<φ<π，所以－<＋φ<， 则 解得－<φ<． 故φ的取值范围是．] 求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的取值范围． 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题 [跟进训练] 1．(1) (2024·湖北武汉模拟)已知函数f (x)＝sin (x＋φ)，0<φ<π，若函数f (x)在上存在最大值，但不存在最小值，则φ的取值范围是(　　) A． C． (2)将函数f (x)＝sin (ω>0)的图象向右平移个周期后所得的图象在内有5个极值点，则ω的取值范围是________． √ 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题 (1)D　(2)　[(1)若0≤x＜，则φ≤x＋φ＜＋φ，又因为0<φ<π，函数f (x)在上存在最大值，但不存在最小值，所以当＋φ≥π，即φ≥时，只需满足＋φ≤，此时≤φ≤；当＋φ<π，即φ<时，函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则－φ<＋φ－，此时，<φ<．综上，<φ≤，即φ的取值范围是．故选D． (2)函数f (x)的最小正周期T＝， 将函数f (x)的图象向右平移后的解析式为 f ＝sin ＝sin ， 由x∈，可得ωx－∈， 要使得平移后的图象有5个极值点，则函数图象有5个最值点，则需<，解得<ω≤．] 类型2　单调性与ω，φ的取值范围 【典例2】　(1)(2024·河北唐山二模)函数f (x)＝sin(2x－φ)在上单调递增，则φ的取值范围为(　　) A． C． (2)(2024·山东威海模拟)已知函数f (x)＝tan (ω>0)在上是增函数，则ω的取值范围是________． √ (1)C　(2)　[(1)由x∈，可得2x－φ∈， 又|φ|≤，则－φ≤，且f (x)在上单调递增，所以解得≤φ≤， 即φ的取值范围为．故选C． (2)根据题意，，解得ω≤1，又ω>0，则ω∈(0，1]． 当x∈，ωx－∈， 由题可得－ω－≥－ω－，解得ω≤． 综上所述，ω的取值范围是．] 若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解． 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题 [跟进训练] 2．(1)若直线x＝是曲线y＝sin (ω>0)的一条对称轴，且函数y＝sin 在区间上不单调，则ω的最小值为(　　) A．9　　　B．7　　　C．11　　　D．3 (2)已知函数f (x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)，若g(x)在上单调，则φ的最小值为________． √ 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题 (1)C　(2)　[(1)因为直线x＝是曲线y＝sin(ω>0)的一条对称轴， 则ω－＝kπ＋，k∈Z， 即ω＝4k＋3，k∈Z，由－≤ωx－，得－≤x≤， 则函数y＝sin 在上单调递增， 而函数y＝sin 在区间上不单调， 则<，解得ω>9，所以ω的最小值为11． (2)∵函数f (x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ， ∴函数f (x)的图象向左平移φ个单位长度后得到g(x)＝2sin ＝2sin ， 当－≤x≤时，2φ－≤2x＋2φ＋≤2φ＋， 又g(x)在上单调， 由正弦函数的单调性可知，⊆(k∈Z)或⊆(k∈Z)． 要使φ最小，则k取0， 故有或 结合φ>0，解得≤φ≤，综上，φ的最小值为．] 类型3　零点与ω，φ的取值范围 【典例3】　(1)(2024·广东六校联考)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)，若任意φ∈R，f (x)在上有零点，则ω的取值范围为 (　　) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(3，＋∞) √ (2)(2024·山西晋城二模)将函数f (x)＝2sin 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间(0，φ)上恰有两个零点，则φ的取值范围是(　　) A． C． √ 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题 (1)C　(2)C　[(1)由x∈，可得ωx＋φ∈， 令t＝ωx＋φ，因为任意φ∈R，f (x)在上有零点， 则sin t＝0在上有解， 又因为sin t＝0在内有解的最短区间长度为b－a＝π，所以＋φ－φ>π，解得ω>2．故选C． (2)将函数f (x)＝2sin 的图象向右平移φ个单位长度，得g(x)＝2sin 的图象， 由0＜x＜φ，得－3φ＜3x＋－3φ＜， 又g(x)在(0，φ)上恰有2个零点，所以－2π≤－3φ＜－π， 解得＜φ≤，即实数φ的取值范围为．故选C．] 已知函数的零点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式，直接求函数的零点即可． 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题 [跟进训练] 3．(1)(2024·江苏连云港模拟)设函数f (x)＝2sin (ω>0)在上至多有一个零点，则实数ω的取值范围是 ____________________． (2)(2024·陕西西安二模)已知函数f (x)＝3cos (ωx＋φ)(ω>0)，若 f ＝3，f ＝0，且f (x)在区间上没有零点，则ω的一个取值为____________________________________． (答案不唯一，，2，，6均可) 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题 (1)　(2)(答案不唯一，，2，，6均可)　[(1)因为函数f (x)＝2sin (ω>0)在上至多有一个零点， 所以方程sin ＝(ω>0)在上至多有一个解． 现令方程sin ＝(ω>0)在上至少有两个解， 所以ωπ－≤ωx－≤2ωπ－， 所以 k∈Z， 解得k∈Z，所以＋k≤ω≤＋2k，k∈Z． 又因为＋k≤＋2k，k∈Z，所以k≥－，k∈Z， 所以k＝0，1，2，…， 所以≤ω≤或ω≥． 所以方程sin ＝(ω>0)在上至多有一个解时， ω∈． (2)由题意，在f (x)＝3cos(ωx＋φ)(ω>0)中，f ＝3，f ＝0， 所以 所以k1，k2∈Z， 两式相减得ω＝(k2－2k1)π＋， 所以ω＝(k2－2k1)＋，即ω＝，n∈Z， 因为x∈，ω>0，所以ωx＋φ∈， 令ωx＋φ＝t，t∈， 由题意知y＝3cos t在t∈上无零点，故⊆，k∈Z， 所以k∈Z， 即k∈Z， 两式相加得－ω≥－π， 所以0<ω≤6， 又ω＝，n∈Z， 所以，当n＝0时，ω＝；当n＝1时，ω＝2；当n＝2时，ω＝；当n＝3时，ω＝；当n＝4时，ω＝6， 所以ω的取值有5个，取其中一个填写即可．] 1．(2024·浙江杭州二模)设甲：“函数f (x)＝2sin ωx在上单调递增”，乙：“0<ω≤2”，则甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件　　　 D．既不充分也不必要条件 2 4 3 题号 1 5 √ 6 培优专练2　三角函数中ω，φ的范围问题 2 4 3 题号 1 5 6 A　[若“函数f (x)＝2sin ωx在单调递增”，则ω>0， 由－≤ωx≤得－≤x≤， 则解得0<ω≤． 所以甲是乙的充分不必要条件．故选A．] 2 4 3 题号 1 5 6 2．(2024·江苏淮安模拟)已知函数f (x)＝2cos (ω>0)在上恰有2个零点，则ω的取值范围为(　　) A．[18，22)　　　　 B．[22，42) C．(18，22] D．(22，42] √ 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题 2 4 3 题号 1 5 6 B　[因为x∈，所以ωx＋∈． 令2cos ＝0，则cos ＝． 因为f (x)＝2cos 在上有2个零点， 所以<，解得22≤ω<42． 则ω的取值范围为[22，42)，故选B．] 2 4 3 题号 1 5 6 3．已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，若f (x)>2对任意的x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　) A． C． √ 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题 2 4 3 题号 1 5 6 D　[因为函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数周期T＝π，ω＝2， 由f (x)>2知sin (2x＋φ)>， 又当x∈时，2x＋φ∈，且|φ|≤， 所以解得≤φ≤．故选D．] 2 4 3 题号 1 5 6 4．(多选)(2024·海南三亚一模)已知函数f (x)＝sin(ω>0)，则下列说法正确的是(　　) A．若ω＝1，则是f (x)的图象的对称中心 B．若f (x)≤f 恒成立，则ω的最小值为2 C．若f (x)在上单调递增，则0<ω≤ D．若f (x)在上恰有2个零点，则≤ω≤ √ √ √ 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题 2 4 3 题号 1 5 6 ABC　[选项A，若ω＝1， 则f ＝sin ＝sin π＝0， 由正弦函数的图象可知是f (x)的图象的对称中心，A说法正确； 选项B，若f (x)≤f 恒成立，则ω×＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝2＋12k(k∈Z)， 又ω>0，所以ω的最小值为2，B说法正确； 2 4 3 题号 1 5 6 选项C，令g(x)＝ωx＋(ω＞0)，显然g(x)在上单调递增，且g(0)＝， 若f (x)在上单调递增，则g＝ω×，解得ω≤，所以0<ω≤，C说法正确； 选项D，当x∈时，ωx＋∈， 若f (x)在上恰有2个零点，则2π≤2ωπ＋<3π，解得≤ω<，D说法错误．故选ABC．] 2 4 3 题号 1 5 6 3或4　[由x∈，得ωx＋∈， 画出函数y＝sin x的图象，如图， 由图可知，<，解得<ω≤． 因为ω∈N，所以ω＝3或ω＝4．] 5．已知函数f (x)＝sin (ω∈N)在上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值是________． 3或4 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题 2 4 3 题号 1 5 6 6．(2024·福建厦门二模)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)在上单调，f ＝f ＝－f ，则ω的可能取值为_________． 　[设f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的周期为T，函数f (x)在上单调，故T＝≥2＝π，所以0<ω≤2． 类型1 类型2 培优专练 类型3 培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题 由f ＝－f 以及函数f (x)在上单调，得f ＝f ＝0， 由f ＝f ＝，T≥π，得＝T或＝－或＝－， 若＝T，则＝，∴ω＝；若＝－，则＝－，所以ω＝； 若＝－，则＝－，所以ω＝． 故ω的可能取值为．] 2 4 3 题号 1 5 6 THANK YOU 专题一　三角函数与解三角形 $$ 培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题 三角函数中ω，φ的范围求解问题是高考的重点和热点问题之一，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，解决这类问题的一般思路是利用“团体”思想，数形结合求解． 类型1　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围 【典例1】　(1)(2024·浙江温州一模)若函数f (x)＝2sin (ω>0)，x∈的值域为，则ω的取值范围是(　　) A．　　　　 B． C． D． (2)(2024·云南楚雄模拟)若函数f (x)＝4sin (4x＋φ)(－π<φ<π)在上的最小值大于－2，则φ的取值范围是________． (1)D　(2)　[(1)由x∈，得ωx－∈． 显然当x＝0时，可得2sin ＝－， 由f (x)的值域为，利用三角函数图象性质可得ω－＋π，解得≤ω≤，即ω的取值范围是． 故选D． (2)因为x∈，所以4x＋φ∈，因为－π<φ<π，所以－<＋φ<， 则 解得－<φ<． 故φ的取值范围是．] 求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的取值范围． [跟进训练] 1．(1) (2024·湖北武汉模拟)已知函数f (x)＝sin (x＋φ)，0<φ<π，若函数f (x)在上存在最大值，但不存在最小值，则φ的取值范围是(　　) A． C． (2)将函数f (x)＝sin (ω>0)的图象向右平移个周期后所得的图象在内有5个极值点，则ω的取值范围是________． (1)D　(2)　[(1)若0≤x＜，则φ≤x＋φ＜＋φ，又因为0<φ<π，函数f (x)在上存在最大值，但不存在最小值，所以当＋φ≥π，即φ≥时，只需满足＋φ≤，此时≤φ≤；当＋φ<π，即φ<时，函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则－φ<＋φ－，此时，<φ<．综上，<φ≤，即φ的取值范围是．故选D． (2)函数f (x)的最小正周期T＝， 将函数f (x)的图象向右平移后的解析式为 f ＝sin ＝sin ， 由x∈，可得ωx－∈， 要使得平移后的图象有5个极值点，则函数图象有5个最值点，则需<，解得<ω≤．] 类型2　单调性与ω，φ的取值范围 【典例2】　(1)(2024·河北唐山二模)函数f (x)＝sin(2x－φ)在上单调递增，则φ的取值范围为(　　) A． C． (2)(2024·山东威海模拟)已知函数f (x)＝tan (ω>0)在上是增函数，则ω的取值范围是________． (1)C　(2)　[(1)由x∈，可得2x－φ∈， 又|φ|≤，则－φ≤，且f (x)在上单调递增，所以解得≤φ≤， 即φ的取值范围为．故选C． (2)根据题意，，解得ω≤1，又ω>0，则ω∈(0，1]． 当x∈，ωx－∈， 由题可得－ω－≥－ω－，解得ω≤． 综上所述，ω的取值范围是．] 若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解． [跟进训练] 2．(1)若直线x＝是曲线y＝sin (ω>0)的一条对称轴，且函数y＝sin 在区间上不单调，则ω的最小值为(　　) A．9　　　B．7　　　C．11　　　D．3 (2) 已知函数f (x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)，若g(x)在上单调，则φ的最小值为________． (1)C　(2)　[(1)因为直线x＝是曲线y＝sin(ω>0)的一条对称轴， 则ω－＝kπ＋，k∈Z， 即ω＝4k＋3，k∈Z，由－≤ωx－， 得－≤x≤， 则函数y＝sin 在上单调递增， 而函数y＝sin 在区间上不单调， 则<，解得ω>9， 所以ω的最小值为11． (2)∵函数f (x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ， ∴函数f (x)的图象向左平移φ个单位长度后得到g(x)＝2sin ＝2sin ， 当－≤x≤时， 2φ－≤2x＋2φ＋≤2φ＋， 又g(x)在上单调， 由正弦函数的单调性可知，⊆(k∈Z)或⊆(k∈Z)． 要使φ最小，则k取0， 故有或 结合φ>0，解得≤φ≤， 综上，φ的最小值为．] 类型3　零点与ω，φ的取值范围 【典例3】　(1)(2024·广东六校联考)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)，若任意φ∈R，f (x)在上有零点，则ω的取值范围为(　　) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(3，＋∞) (2)(2024·山西晋城二模)将函数f (x)＝2sin 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间(0，φ)上恰有两个零点，则φ的取值范围是(　　) A． C． (1)C　(2)C　[(1)由x∈，可得ωx＋φ∈， 令t＝ωx＋φ，因为任意φ∈R，f (x)在上有零点， 则sin t＝0在上有解， 又因为sin t＝0在内有解的最短区间长度为b－a＝π，所以＋φ－φ>π，解得ω>2．故选C． (2)将函数f (x)＝2sin 的图象向右平移φ个单位长度，得g(x)＝2sin 的图象， 由0＜x＜φ，得－3φ＜3x＋－3φ＜， 又g(x)在(0，φ)上恰有2个零点，所以－2π≤－3φ＜－π， 解得＜φ≤，即实数φ的取值范围为．故选C．] 已知函数的零点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式，直接求函数的零点即可． [跟进训练] 3．(1)(2024·江苏连云港模拟)设函数f (x)＝2sin (ω>0)在上至多有一个零点，则实数ω的取值范围是________． (2)(2024·陕西西安二模)已知函数f (x)＝3cos (ωx＋φ)(ω>0)，若f ＝3，f ＝0，且f (x)在区间上没有零点，则ω的一个取值为________． (1)　(2)(答案不唯一，，2，，6均可)　[(1)因为函数f (x)＝2sin (ω>0)在上至多有一个零点， 所以方程sin ＝(ω>0)在上至多有一个解． 现令方程sin ＝(ω>0)在上至少有两个解， 所以ωπ－≤ωx－≤2ωπ－， 所以 k∈Z， 解得k∈Z，所以＋k≤ω≤＋2k，k∈Z． 又因为＋k≤＋2k，k∈Z，所以k≥－，k∈Z， 所以k＝0，1，2，…， 所以≤ω≤或ω≥． 所以方程sin ＝(ω>0)在上至多有一个解时， ω∈． (2)由题意，在f (x)＝3cos(ωx＋φ)(ω>0)中，f ＝3，f ＝0，所以 所以k1，k2∈Z， 两式相减得ω＝(k2－2k1)π＋， 所以ω＝(k2－2k1)＋，即ω＝，n∈Z， 因为x∈，ω>0，所以ωx＋φ∈， 令ωx＋φ＝t, t∈， 由题意知y＝3cos t在t∈上无零点，故⊆，k∈Z，所以k∈Z， 即k∈Z， 两式相加得－ω≥－π， 所以0<ω≤6， 又ω＝，n∈Z， 所以，当n＝0时，ω＝；当n＝1时，ω＝2；当n＝2时，ω＝；当n＝3时，ω＝；当n＝4时，ω＝6， 所以ω的取值有5个，取其中一个填写即可．] 培优专练2　三角函数中ω，φ的范围问题 1．(2024·浙江杭州二模)设甲：“函数f (x)＝2sin ωx在上单调递增”，乙：“0<ω≤2”，则甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件　　　 D．既不充分也不必要条件 A　[若“函数f (x)＝2sin ωx在单调递增”，则ω>0，由－≤ωx≤得－≤x≤， 则解得0<ω≤． 所以甲是乙的充分不必要条件．故选A．] 2．(2024·江苏淮安模拟)已知函数f (x)＝2cos (ω>0)在上恰有2个零点，则ω的取值范围为(　　) A．[18，22)　　　　 B．[22，42) C．(18，22] D．(22，42] B　[因为x∈，所以ωx＋∈． 令2cos ＝0，则cos ＝． 因为f (x)＝2cos 在上有2个零点，所以<，解得22≤ω<42． 则ω的取值范围为[22，42)，故选B．] 3．已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，若f (x)>2对任意的x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　) A． C． D　[因为函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数周期T＝π，ω＝2，由f (x)>2知sin (2x＋φ)>， 又当x∈时，2x＋φ∈，且|φ|≤，所以解得≤φ≤．故选D．] 4．(多选)(2024·海南三亚一模)已知函数f (x)＝sin(ω>0)，则下列说法正确的是(　　) A．若ω＝1，则是f (x)的图象的对称中心 B．若f (x)≤f 恒成立，则ω的最小值为2 C．若f (x)在上单调递增，则0<ω≤ D．若f (x)在上恰有2个零点，则≤ω≤ ABC　[选项A，若ω＝1， 则f ＝sin ＝sin π＝0， 由正弦函数的图象可知是f (x)的图象的对称中心，A说法正确； 选项B，若f (x)≤f 恒成立，则ω×＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝2＋12k(k∈Z)， 又ω>0，所以ω的最小值为2，B说法正确； 选项C，令g(x)＝ωx＋(ω＞0)，显然g(x)在上单调递增，且g(0)＝， 若f (x)在上单调递增，则g＝ω×，解得ω≤，所以0<ω≤，C说法正确； 选项D，当x∈时，ωx＋∈， 若f (x)在上恰有2个零点，则2π≤2ωπ＋<3π，解得≤ω<，D说法错误．故选ABC．] 5．已知函数f (x)＝sin (ω∈N)在上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值是________． 3或4　[由x∈，得ωx＋∈， 画出函数y＝sin x的图象，如图， 由图可知，<，解得<ω≤． 因为ω∈N，所以ω＝3或ω＝4．] 6．(2024·福建厦门二模)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)在上单调，f ＝f ＝－f ，则ω的可能取值为________． 　[设f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的周期为T，函数f (x)在上单调， 故T＝≥2＝π，所以0<ω≤2． 由f ＝－f 以及函数f (x)在上单调，得f ＝f ＝0， 由f ＝f ＝，T≥π，得＝T或＝－或＝－， 若＝T，则＝，∴ω＝； 若＝－，则＝－，所以ω＝； 若＝－，则＝－， 所以ω＝． 故ω的可能取值为．] 1/9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专练2　三角函数中ω，φ的范围问题 1．(2024·浙江杭州二模)设甲：“函数f (x)＝2sin ωx在上单调递增”，乙：“0<ω≤2”，则甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件　　　 D．既不充分也不必要条件 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．(2024·江苏淮安模拟)已知函数f (x)＝2cos (ω>0)在上恰有2个零点，则ω的取值范围为(　　) A．[18，22)　　　　 B．[22，42) C．(18，22] D．(22，42] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3．已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，若f (x)>2对任意的x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　) A． C． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4．(多选)(2024·海南三亚一模)已知函数f (x)＝sin(ω>0)，则下列说法正确的是(　　) A．若ω＝1，则是f (x)的图象的对称中心 B．若f (x)≤f 恒成立，则ω的最小值为2 C．若f (x)在上单调递增，则0<ω≤ D．若f (x)在上恰有2个零点，则≤ω≤ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5．已知函数f (x)＝sin (ω∈N)在上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值是________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6．(2024·福建厦门二模)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)在上单调，f ＝f ＝－f ，则ω的可能取值为________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1/2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专练2 1．A　[若“函数f (x)＝2sin ωx在单调递增”，则ω>0，由－≤ωx≤得－≤x≤， 则解得0<ω≤． 所以甲是乙的充分不必要条件．故选A．] 2．B　[因为x∈，所以ωx＋∈． 令2cos ＝0，则cos ＝． 因为f (x)＝2cos 在上有2个零点，所以<，解得22≤ω<42． 则ω的取值范围为[22，42)，故选B．] 3．D　[因为函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数周期T＝π，ω＝2，由f (x)>2知sin (2x＋φ)>， 又当x∈时，2x＋φ∈，且|φ|≤，所以解得≤φ≤．故选D．] 4．ABC　[选项A，若ω＝1， 则f ＝sin ＝sin π＝0， 由正弦函数的图象可知是f (x)的图象的对称中心，A说法正确； 选项B，若f (x)≤f 恒成立，则ω×＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝2＋12k(k∈Z)， 又ω>0，所以ω的最小值为2，B说法正确； 选项C，令g(x)＝ωx＋(ω＞0)，显然g(x)在上单调递增，且g(0)＝， 若f (x)在上单调递增，则g＝ω×，解得ω≤，所以0<ω≤，C说法正确； 选项D，当x∈时，ωx＋∈， 若f (x)在上恰有2个零点，则2π≤2ωπ＋<3π，解得≤ω<，D说法错误．故选ABC．] 5．3或4　[由x∈，得ωx＋∈， 画出函数y＝sin x的图象，如图， 由图可知，<，解得<ω≤． 因为ω∈N，所以ω＝3或ω＝4．] 6．　[设f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的周期为T，函数f (x)在上单调， 故T＝≥2＝π，所以0<ω≤2． 由f ＝－f 以及函数f (x)在上单调，得f ＝f ＝0， 由f ＝f ＝，T≥π，得＝T或＝－或＝－， 若＝T，则＝，∴ω＝； 若＝－，则＝－，所以ω＝； 若＝－，则＝－， 所以ω＝． 故ω的可能取值为．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题 三角函数中ω，φ的范围求解问题是高考的重点和热点问题之一，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，解决这类问题的一般思路是利用“团体”思想，数形结合求解． 类型1　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围 【典例1】　(1)(2024·浙江温州一模)若函数f (x)＝2sin (ω>0)，x∈的值域为，则ω的取值范围是(　　) A．　　　　 B． C． D． (2)(2024·云南楚雄模拟)若函数f (x)＝4sin (4x＋φ)(－π<φ<π)在上的最小值大于－2，则φ的取值范围是________． [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的取值范围． [跟进训练] 1．(1) (2024·湖北武汉模拟)已知函数f (x)＝sin (x＋φ)，0<φ<π，若函数f (x)在上存在最大值，但不存在最小值，则φ的取值范围是(　　) A． C． (2)将函数f (x)＝sin (ω>0)的图象向右平移个周期后所得的图象在内有5个极值点，则ω的取值范围是________． 类型2　单调性与ω，φ的取值范围 【典例2】　(1)(2024·河北唐山二模)函数f (x)＝sin(2x－φ)在上单调递增，则φ的取值范围为(　　) A． C． (2)(2024·山东威海模拟)已知函数f (x)＝tan (ω>0)在上是增函数，则ω的取值范围是________． [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解． [跟进训练] 2．(1)若直线x＝是曲线y＝sin (ω>0)的一条对称轴，且函数y＝sin 在区间上不单调，则ω的最小值为(　　) A．9　　　B．7　　　C．11　　　D．3 (2) 已知函数f (x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)，若g(x)在上单调，则φ的最小值为________． 类型3　零点与ω，φ的取值范围 【典例3】　(1)(2024·广东六校联考)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)，若任意φ∈R，f (x)在上有零点，则ω的取值范围为(　　) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(3，＋∞) (2)(2024·山西晋城二模)将函数f (x)＝2sin 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间(0，φ)上恰有两个零点，则φ的取值范围是(　　) A． C． [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 已知函数的零点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式，直接求函数的零点即可． [跟进训练] 3．(1)(2024·江苏连云港模拟)设函数f (x)＝2sin (ω>0)在上至多有一个零点，则实数ω的取值范围是________． (2)(2024·陕西西安二模)已知函数f (x)＝3cos (ωx＋φ)(ω>0)，若f ＝3，f ＝0，且f (x)在区间上没有零点，则ω的一个取值为________． 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $$