02 第一阶段 专题一 §1 三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换-（课件PPT+教案Word）【高考快车道】2025年高考数学大二轮专题复习高考总复习学案

专题限时集训(四)　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 1．B　[将函数f (x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，得y＝cos ＝sin x的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得g(x)＝sin ．故选B．] 2．C　[由题意T＝＝π，解得ω＝2， 所以f (x)＝cos ＋1， 当x∈时，t＝2x＋∈， 所以f (x)在区间上的最大值为cos＋1＝，当x＝0时取到最大值． 故选C．] 3．C　[因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π， 函数y＝2sin 的最小正周期为T＝， 所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin 有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点． 故选C．] 4．D　[f (x)＝－3cos ， 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z， 所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 故函数f (x)的单调递增区间为，k∈Z． 故选D．] 5．B　[由tan ＝－3，得＝－3， 解得tan α＝2，又tan β＝3， 所以＝＝＝＝． 故选B．] 6．A　[因为0≤x≤，所以≤ωx＋ω＋， 因为函数f (x)＝sin (ω>0)在区间上有两个零点， 所以2π≤ω＋<3π，解得≤ω<4， 即ω的取值范围是．故选A．] 7．ABD　[由题意cos θ＝－sin θ－，代入sin2θ＋cos2θ＝1，即sin2θ＋ 整理得sin2θ＋sinθ－＝0，即＝0， 解得sin θ＝或sin θ＝－．因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝， 于是cos θ＝－sin θ－＝－＝－，故B正确． 因为所以θ∈，故A正确； tan θ＝＝－，故C错误； sin θ－cos θ＝＝，故D正确． 故选ABD．] 8．ABD　[对于A，B，根据函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象知，A＝2, T＝4×＝π，∴ω＝＝2，故A、B正确； 对于C，由五点法画图知，×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z， 由于0<φ<，∴φ＝， ∴f (x)＝2sin ． 令2x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝kπ，k∈Z， 当k＝－2时，x＝－；当k＝－1时，x＝－； 当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝．故f (x)在内有2个极值点，分别为x＝，x＝，故C错误； 对于D，∵x∈，∴2x＋∈， 故当2x＋＝，此时f (x)取最大值2sin ＝2sin ＝，故D正确．故选ABD．] 9．　[由题可知sin α－sin β＝－cos α＋cos β， 所以sin α＋cos α＝sin β＋cos β， 所以sin ＝sin ， 因为α，β∈， 所以α＋∈，β＋∈， 又α≠β，所以α＋＋β＋＝π，故α＋β＝， 所以sin α－sin β＝sin α－cos α＝－， 两边平方后得sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝， 故sinαcos α＝， tan α＋tan β＝tan α＋＝＝＝．] 10．cos x　6(答案不唯一，符合＜ω≤即可)　[因为f (x)的最小正周期为π，所以T＝＝π，解得ω＝2． 所以f (x)＝sin ，将f (x)的图象向左平移个单位长度， 可得y＝sin ＝sin ＝cos 2x的图象， 再把y＝cos 2x图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝cos x． 因为x∈，所以ωx＋∈， f (x)在区间上有3个零点， 所以3π<≤4π，解得<ω≤， 则ω的一个取值可以为6．] 11．解：　(1)当ω＝0时，f (x)＝sin x＋cos x ＝sin ，T＝2π， 令＋2kπ≤x＋＋2kπ(k∈Z)，得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)， 所以函数f (x)的最小正周期为2π，单调递减区间为(k∈Z)． (2)当ω＝2，f (x)＝sin 2x＋sin x＋cos x ＝2sin x cos x＋sin x＋cos x， 设sin x＋cos x＝sin ＝t(－≤t≤)，则sin 2x＝t2－1， 令g(t)＝t2＋t－1，t∈， 又g(t)＝－， 故当t＝时，g(t)取得最大值1＋， 当t＝－时，g(t)取得最小值－， 所以f (x)的值域为． 12．解：　(1)因为a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函数f (x)＝a·b， 所以f (x)＝2cos2x＋2sinx cos x＝cos 2x＋1＋sin 2x＝2＋1＝2sin ＋1， 因为f (x0)＝，所以2sin ＋1＝，所以sin ＝， 又x0∈，所以2x0＋∈， 所以cos ＝－＝－， 所以cos2x0＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝－＝． (2)将f (x)的图象向右平移个单位长度，得到y＝2sin ＋1＝2sin ＋1的图象，再将y＝2sin ＋1的图象向下平移1个单位长度，得到y＝2sin ， 最后将y＝2sin 图象的所有点的纵坐标变为原来的(横坐标不变)，得到y＝sin ， 即g(x)＝sin ， 由g(x)≥，即sin ， 所以＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 令k＝0可得x∈，令k＝－1可得x∈，又x∈， 所以x∈， 即当x∈时，不等式g(x)≥的解集为． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时集训(四)　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 一、单项选择题 1．(2024·山东潍坊二模)将函数f (x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象，则g(x)＝(　　) A．sin 2x B．sin C．－sin D．cos 2x 2．已知函数f (x)＝cos ＋1(ω>0)的最小正周期为π，则f (x)在区间上的最大值为(　　) A． B．1 C． D．2 3．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 4．(教材改编)函数f (x)＝－3cos 的单调递增区间为(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 5．(2025·河北保定模拟)若tan ＝－3，tan β＝3，则＝(　　) A．－1 B． C． D． 6．已知函数f (x)＝sin (ω>0)，若f (x)在上有两个零点，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 二、多项选择题 7．已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝－，则下列结论正确的是(　　) A．θ∈ B．cos θ＝－ C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝ 8．(2024·湖北武汉模拟)已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．A＝2 B．f (x)的最小正周期为π C．f (x)在内有3个极值点 D．f (x)在区间上的最大值为 三、填空题 9．(2024·江苏南京一模)已知α，β∈，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan α＋tan β＝________． 10．(2024·北京通州二模)已知函数f (x)＝sin (ω>0)．若f (x)的最小正周期为π，将f (x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________；若f (x)在区间上有3个零点，则ω的一个取值为________． 四、解答题 11．(2024·浙江台州一模)已知函数f (x)＝sin ωx＋sin x＋cos x(ω∈R)． (1)当ω＝0时，求f (x)的最小正周期以及单调递减区间； (2)当ω＝2时，求f (x)的值域． 12．(2024·山东临沂一模)已知向量a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函数f (x)＝a·b． (1)若f (x0)＝，且x0∈，求cos 2x0的值； (2)将f (x)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象向下平移1个单位长度，最后使所有点的纵坐标变为原来的(横坐标不变)，得到函数g(x)的图象，当x∈时，解不等式g(x)≥． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一阶段　突破核心　升华思维 专题一　三角函数与解三角形 专题一　三角函数与解三角形 解答三角函数问题 阅卷案例 四字解题 (2024·新高考Ⅰ卷，T15，13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab． (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c． 读 a2＋b2－c2＝ab， sin C＝cos B △ABC的面积为3＋，求c 想 余弦定理及其推论 三角形的面积公式 算 求C，sin C，cos B，B 用c表示三角形的面积 思 转化与化归 函数与方程 专题一　三角函数与解三角形 规范解答 [解]　(1)因为⇐ 所以在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos C＝＝＝，……………………………………………………1分 ⇐…………………………………… 2分 从而sin C＝，………………………………………………………………… 3分 又sin C＝cos B，所以cos B＝，…………………………………………… 4分 ⇐…………………………………… 5分 专题一　三角函数与解三角形 规范解答 (2)因为B＝，C＝，从而A＝π－＝，………………………………… 6分 所以sin A＝sin ＝sin ＝＝，……………………7分 由正弦定理，得＝＝，………………………………………………8分 从而a＝c＝c，b＝c＝c，……………………………10分 所以S△ABC＝ab sin C＝c×c×＝c2，……………………… 11分 又△ABC的面积为3＋，故c2＝3＋，即c2＝8，……………………12分 所以c＝2．……………………………………………………………………13分 专题一　三角函数与解三角形 满分心得 得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分，如第(2)问，只要列出＝＝ ，即得1分． 得关键分：解题过程中的关键点，有则给分， 无则没分， 如第(1)问中说明C∈(0，π)，从而C＝，不说明C∈(0，π)，要扣分；同理，不说明B∈(0，π)，要扣分． 得计算分：计算准确是得满分的保证． 1．高考阅卷采用踩点计分的方式，尽量“能得尽得”！ 2．体会转化与化归及函数与方程思想，总结解三角形的求解策略． 专题一　三角函数与解三角形 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 【备考指南】　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换是高考的三个核心命题点，难度中等或偏下．其中三角函数的诱导公式与和(差)公式是化简、求值的根本，三角函数的概念是建立三角函数模型的依据，数形结合是研究三角函数性质的重要方法． 7 能力考点　三角函数的性质及应用 基础考点1　三角函数的概念、诱导公式及三角恒等变换 （一） 基础考点2　三角函数的图象与解析式 （二） （三） 专题限时集训(四)　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 （四） §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 基础考点1　三角函数的概念、诱导公式及三角恒等变换 【典例1】　(1)(2024·九省联考)已知θ∈，tan 2θ＝－4tan ， 则＝(　　) A． B． C．1 D． √ (2)(多选)(2023·四省联考)质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为 2 rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5 rad/s，起点为射线y＝－x与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为(　　) A． B． C． D． √ √ √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 (1)A　(2)ABD　[(1)由题意tan 2θ＝－4tan ， 得＝ ⇒－4 (tan θ＋1)2＝2tan θ， 则(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0⇒tan θ＝－2或tan θ＝－， 因为θ∈，所以tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－， 所以＝＝＝＝． 故选A． (2)由题意，点Q的初始位置Q1的坐标为，设点P的初始位置为P1，则∠Q1OP1＝，设t时刻两点重合，则5t－2t＝＋2kπ， 即t＝π，此时点Q， 即Q， 当k＝0时，Q，故A正确； 当k＝1时，Q， 即Q，故B正确； 当k＝2时，Q， 即Q，故D正确． 由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合．故选ABD．] 三角恒等变换的目的和策略 (1)目的：统一角、统一函数、统一结构． (2)策略：复角化单角、弦切互化、万能公式及升降幂公式． 提醒：匀速圆周运动是重要的数学模型之一． 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 2 4 3 题号 1 5 1．(多选)(2024·广东佛山一模)已知角θ的终边过点P(3，4)，则(　　) A．cos 2θ＝－ B．tan 2θ＝－ C．cos ＝ D．tan ＝ √ ABD　[因为角θ的终边过点P(3，4)， 所以cos θ＝＝，sin θ＝＝，tan θ＝， 所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－， tan2θ＝＝＝－，故A和B正确， √ √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 2 4 3 题号 1 5 因为2kπ<θ<2kπ＋(k∈Z)， 所以kπ<<kπ＋(k∈Z)，即角的终边位于第一象限或第三象限， 所以tan>0，但cos >0或cos <0均满足题意，故C错误； 由tan θ＝＝，得2tan2＋3tan －2＝0，解得tan ＝－2(舍去)或tan ＝，故D正确．故选ABD．] 2 4 3 题号 1 5 2．(2024·江西九江二模)已知α，β∈，cos (α－β)＝， tan α·tan β＝，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 2 4 3 题号 1 5 A　[因为cos (α－β)＝，tan α·tan β＝， 所以解得 所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝， 又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝．故选A．] 2 4 3 题号 1 5 3．(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件　 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件　 C．甲是乙的充要条件　 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 2 4 3 题号 1 5 B　[当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝，β＝0， 但sinα＋cos β≠0， 即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cos β＝0； 当sin α＋cos β＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1， 即sinα＋cos β＝0能推出sin2α＋sin2β＝1． 综上可知，sin2α＋sin2β＝1是sinα＋cos β＝0成立的必要不充分条件．故选B．] 2 4 3 题号 1 5 4．(2024·浙江宁波十校联考)若sin ＝，则cos ＝________． 　[令θ－＝t，则sin t＝， 所以cos ＝cos＝cos (2t＋π)＝－cos 2t＝2sin2t－1＝2×－1＝．] 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 2 4 3 题号 1 5 5．(tan10°－)·＝________． －2　[(tan 10°－)·＝(tan 10°－tan 60°)· ＝＝ ＝－＝－2．] －2 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 【教师备选资源】 1．(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m　　B．－　　C．　　D．3m √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 A　[因为cos (α＋β)＝m， 所以cos αcos β－sin αsin β＝m， 而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β， 故cos αcos β－2cos αcos β＝m， 即cos αcos β＝－m， 从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝－3m． 故选A．] 2．(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) A．　　B．　　C．－　　D．－ √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 B　[∵sin (α－β)＝， ∴sin αcos β－cos αsin β＝， ∴sin αcos β＝＋cos αsin β＝＝， ∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＝， 则cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝．故选B．] 基础考点2　三角函数的图象与解析式 【典例2】　(1)(2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 √ (2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝________． － 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 (1)D　(2)－　[(1)因为y＝2sin ＝2sin ，所以把函数y＝2sin 图象上所有的点向右平移个单位长度即可得到函数y＝2sin 3x的图象，故选D． (2)设A，B，由＝可得x2－x1＝， 由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由题图可知， ωx2＋φ－＝＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4． 因为f ＝sin ＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)． 所以f (x)＝sin ＝sin (k∈Z)， 所以f ＝sin 或f ＝－sin ， 又因为f <0，所以f (x)＝sin ， 所以f ＝sin ＝－．] 由三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的方法 (1)最值定A，B：A＝，B＝． (2)T定ω：由 T＝，可得ω＝． (3)特殊点定φ：一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势． 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 1．(多选)已知函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)＋b的部分图象如图，则(　　) A．b＝2 B．ω＝4 C．φ＝ D．f (x)的图象关于点对称 √ √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 BD　[由题图可得解得故A错误； 由题图可知，f (x)的最小正周期T＝＝，所以＝，则ω＝4，B正确； 由题图可知，直线x＝＝是函数f (x)图象的一条对称轴， 所以4×＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z． 又0<φ<，所以φ＝，C错误； 由上述可得f (x)＝2cos ＋1． 令4x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z． 当k＝0时，f (x)的图象的一个对称中心为，D正确．故选BD．] 2．(2024·四川攀枝花三模)将函数y＝sin2x－cos2x的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的图象与y＝sin2x的图象关于原点对称，则m的最小值是(　　) A． B． C． D． √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 B　[令f (x)＝sin2x－cos2x，则有f (x)＝－cos2x， 设f (x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的函数为g(x)，则有g(x)＝－cos [2(x－m)]＝－cos (2x－2m)， 根据已知条件g(x)的图象与y＝sin 2x的图象关于原点对称，则有g(x)＝－sin (－2x)＝sin 2x， 即－cos (2x－2m)＝sin 2x，所以－2m＝＋2kπ(k∈Z)，解得m＝－－kπ(k∈Z)，又因为m>0，所以当k＝－1时，m取最小值为．故选B．] 3．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f (x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到y＝g(x)的图象．若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为____________． (－2，－] 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 (－2，－]　[由f (x)的部分图象，可得A＝1． 由题图可知点在f (x)的图象上，则sin ＝1，sin ＝－， 由五点作图法可得ω×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，ω×＋φ＝2π－＋2kπ，k∈Z，又ω＞0，|φ|＜，解得ω＝，φ＝， 则f (x)＝sin ． 将函数f (x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin 的图象， 再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g(x)＝2sin 的图象． 作出函数g(x)的部分图象如图所示， 根据函数g(x)的图象知： 当－2＜m≤－时，直线y＝m与函数g(x)在上 的图象有两个交点， 即方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根．] 2 4 3 题号 1 【教师备选资源】 1．(2023·全国甲卷)函数y＝f (x)的图象由函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f (x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 2 4 3 题号 1 C　[将y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到函数y＝ cos ＝cos ＝－sin 2x的图象， 所以f (x)＝－sin 2x，而直线y＝x－显然过与(1，0)两点， 作出曲线y＝f 与直线y＝x－的 部分大致图象如图所示． 所以由图象可知，y＝f 的图象 与直线y＝x－的交点个数为3．] 2 4 3 题号 1 2．(多选)为了得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 的图象(　　) A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度 B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 √ √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 2 4 3 题号 1 AC　[将y＝sin 图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝sin的图象， 再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，A正确； 将y＝sin 的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin 的图象， 再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin 的图象，C正确．故选AC．] 2 4 3 题号 1 3．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为(　　) A．y＝sin x＋sin 2x＋sin 3x B．y＝sin x－sin 2x－sin 3x C．y＝sin x＋cos 2x＋cos 3x D．y＝cos x＋cos 2x＋cos 3x √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 2 4 3 题号 1 A　[对于A，函数y＝f ＝sin x＋sin 2x＋sin 3x， 因为f ＝－sin x－sin 2x－sin 3x＝－f ， 所以函数为奇函数， 又f ＝＝>0，故A符合题意； 2 4 3 题号 1 对于B，函数y＝f ＝sin x－sin 2x－sin 3x， 因为f ＝－sin x＋sin 2x＋sin 3x＝－f ， 所以函数为奇函数， 又f ＝＝<＝0，故B不符合题意； 对于C，函数y＝f ＝sin x＋cos 2x＋cos 3x， 因为f ＝，故C不符合题意； 对于D，当x＝0时，y＝cos x＋cos 2x＋cos 3x＝，故D不符合题意．故选A．] 2 4 3 题号 1 4．(2021·全国甲卷)已知函数f (x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件＞0的最小正整数x为________． 2 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 2 4 3 题号 1 2　[由题图可知，T＝＝(T为f (x)的最小正周期)，得T＝π，所以ω＝2，所以f (x)＝2cos (2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×＋φ＝，得φ＝－，所以f (x)＝ 2cos ，所以f ＝2cos ＝2cos ＝2cos ＝1，f ＝2cos ＝2cos ＝0，所以＞0，即(f (x)－1)f (x)＞0， 2 4 3 题号 1 可得f (x)＞1或f (x)＜0，所以cos ＞或cos ＜0．当x＝1时，2x－＝2－∈，cos ∈，不符合题意；当x＝2时，2x－＝4－∈，cos ＜0，符合题意．所以满足题意的最小正整数x为2．] 能力考点　三角函数的性质及应用 【典例3】　(1)(2024·北京高考)设函数f (x)＝sin ωx(ω>0)．已知 f (x1)＝－1，f (x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 √ (2)(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f (x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论： ①f (x)是偶函数； ②f (x)在区间上单调递增； ③f (x)在区间[－π，π]上有4个零点； ④f (x)的最大值为2． 其中所有正确结论的编号是(　　) A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 (3)(2024·北京高考)在平面直角坐标系Oxy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈，则cos β的最大值为________． － 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 (1)B　(2)C　(3)－　[(1)因为f (x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f (x1)＝ －1，f (x2)＝1，|x1－x2|min＝，所以f (x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2． (2)法一：f (－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f (x)， ∴f (x)为偶函数，故①正确；当＜x＜π时，f (x)＝sin x＋sin x＝2sin x， ∴f (x)在区间上单调递减，故②不正确；f (x)在区间[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f (x)在区间[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin |x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④．故选C． 法二：画出函数f (x)＝sin |x|＋|sin x|的图象，由图象可得①④正确．故选C． (3)因为α与β的终边关于原点对称，所以β＝2kπ＋π＋α(k∈Z)，所以cos β＝cos (2kπ＋π＋α)＝－cos α． 因为α∈，所以cos α∈，所以cos β∈，所以cos β的最大值为－．] 研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))的值域、单调性、零点及对称性时，可将ωx＋φ看成一个整体，然后对照y＝sin x(或y＝cos x)的图象求解． 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 2 4 3 题号 1 1．(2024·山东济宁三模)已知函数f (x)＝(sin x＋cos x)cos x－，若f (x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 2 4 3 题号 1 D　[依题意，函数f (x)＝sin x cos x＋cos2x－＝sin2x＋cos 2x ＝sin ， 当x∈时，2x＋∈， 显然sin ＝sin ＝－，sin ＝1， 且正弦函数y＝sin x在上单调递减， 由f (x)在区间上的值域为， 得≤2m＋，解得≤m≤， 所以实数m的取值范围是．故选D．] 2 4 3 题号 1 2．(多选)(2024·广东汕头一模)已知函数f (x)＝cos 2x·cos ，则(　　) A．曲线y＝f (x)的对称轴为直线x＝kπ－，k∈Z B．f (x)在区间上单调递增 C．f (x)的最大值为 D．f (x)在区间上的所有零点之和为8π √ √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 2 4 3 题号 1 BC　[由题意可得，f (x)＝cos 2x·cos ＝cos 2x＝cos22x－sin2x cos 2x－＝cos 4x－sin 4x＝cos ． 对于选项A，令4x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z， 所以曲线y＝f (x)的对称轴为直线x＝，k∈Z，故A错误； 对于选项B，因为x∈，则4x＋∈， 且y＝cos x在内单调递增，所以f (x)在区间上单调递增，故B正确； 2 4 3 题号 1 对于选项C，当4x＋＝2kπ，k∈Z，即x＝，k∈Z时，f (x)取到最大值为，故C正确； 对于选项D，令4x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，可知f (x)的零点为x＝，k∈Z， 则f (x)在区间上的零点为，…，，共8个，结合A选项可知，这些零点两两关于直线x＝对称， 所以f (x)在区间上的所有零点之和为4×2×π＝π，故D错误．故选BC．] 2 4 3 题号 1 3．[高考变式]已知偶函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称，且在区间上单调，则ω＝________． 　[因为f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)为偶函数，所以φ＝kπ＋，k∈Z， 即f (x)＝cos ωx或f (x)＝－cos ωx． 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 2 4 3 题号 1 又f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称， 所以cos ω＝0，即ω＝kπ＋，k∈Z， 所以ω＝3k＋，k∈Z． 因为当x∈时，函数f (x)单调，所以0≤ωx≤≤π，即0<ω≤4，所以当k＝0时，ω＝符合条件．] 2 4 3 题号 1 4．(2023·四省联考)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调，其中ω为正整数，|φ|<，且f ＝f ． (1)求y＝f (x)图象的一条对称轴； (2)若f ＝，求φ． 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 2 4 3 题号 1 [解]　(1)因为函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调，所以函数f (x)的最小正周期T≥2×＝． 又因为f ＝f ，且＝＜T， 所以直线x＝，即x＝为y＝f (x)图象的一条对称轴． 2 4 3 题号 1 (2)由(1)知T≥，故ω＝≤3， 由ω∈N*，得ω＝1，2或3． 由x＝为f (x)＝sin (ωx＋φ)的图象的一条对称轴， 得ω＋φ＝＋k1π，k1∈Z． 因为f ＝， 所以ω＋φ＝＋2k2π或ω＋φ＝＋2k3π，k2，k3∈Z， 2 4 3 题号 1 若ω＋φ＝＋2k2π，k2∈Z，则ω＝π，k1，k2∈Z， 即ω＝，k1，k2∈Z， 不存在整数k1，k2，使得ω＝1，2或3． 若ω＋φ＝＋2k3π，k3∈Z，则ω＝－π，k1，k3∈Z， 即ω＝－，k1，k3∈Z， 不存在整数k1，k3，使得ω＝1或3． 当k1＝2k3＋1时，ω＝2． 此时φ＝＋2k3π，k3∈Z，由|φ|<，得φ＝． 2 4 3 题号 1 5 【教师备选资源】 1．(2024·安徽合肥三模)“φ＝－＋kπ，k∈Z”是“函数y＝ tan (x＋φ)的图象关于点对称”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 2 4 3 题号 1 5 A　[若函数y＝tan (x＋φ)的图象关于点对称， 则＋φ＝，k∈Z，解得φ＝－，k∈Z， 因为是的真子集， 所以“φ＝－＋kπ，k∈Z”是“函数y＝tan (x＋φ)的图象关于点对称”的充分不必要条件．故选A．] 2 4 3 题号 1 5 2．(多选)(2024·广东广州模拟)已知点P是函数f (x)＝sin ＋b(ω>0)的图象的一个对称中心，则(　　) A．f －1是奇函数 B．ω＝－k，k∈N* C．若f (x)的图象在区间上有且仅有2条对称轴，则ω＝2 D．若f (x)在区间上单调递减，则ω＝2或ω＝ √ √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 2 4 3 题号 1 5 BC　[依题意，点P是函数f (x)＝sin＋b(ω>0)的图象的一个对称中心， 所以b＝1，且sin ＝0，ω＋＝kπ，k∈N*，ω＝－k，k∈N*，B选项正确． 则f (x)＝sin ＋1，k∈N*， 所以f －1＝sin ＝sin ， 由于1－2k是奇数，所以f －1＝sin是偶函数，A选项错误． 2 4 3 题号 1 5 C选项，因为<x<，所以ω＋<ωx＋<ω＋， 将ω＝－k，k∈N*代入得： <x＋<，k∈N*， 整理得kπ<x＋<kπ＋，k∈N*， 由于f (x)的图象在区间上有且仅有2条对称轴， 所以<， 解得<k≤，由于k∈N*，所以k＝1， 对应ω＝－＝2，所以C选项正确． 2 4 3 题号 1 5 D选项，f (x)在区间上单调递减， 因为<x<，所以ω＋<ωx＋<ω＋， 将ω＝－k，k∈N*代入得： <x＋<，k∈N*， 整理得k＋<x＋<k－，k∈N*， 2 4 3 题号 1 5 则k－≤π，解得1≤k≤，而k∈N*，所以k＝1或k＝2， 当k＝1时，＝，符合单调性， 当k＝2时，＝，不符合单调性，所以k＝2舍去， 所以ω＝－×1＝2，所以D选项错误．故选BC．] 2 4 3 题号 1 5 3．(2023·全国乙卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f (x)的图象的两条相邻对称轴，则f ＝(　　) A．－　　B．－　　C．　　D． √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 2 4 3 题号 1 5 D　[因为f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，所以＝＝(T为函数f (x)的最小正周期)，则T＝π，ω＝＝2． 因为直线x＝和x＝为函数y＝f (x)的图象的两条相邻对称轴，f (x)在区间单调递增， 所以当x＝时，f 取得最小值，则2×＋φ＝2kπ－，k∈Z， 则φ＝2kπ－，k∈Z， 所以f (x)＝sin ＝sin ， 所以f ＝sin ＝sin ＝sin ＝．故选D．] 2 4 3 题号 1 5 4．(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 ________． [2，3)　[因为0≤x≤2π，ω＞0，所以0≤ωx≤2ωπ， 令f (x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根， 令t＝ωx，则cos t＝1有且仅有3个根，其中t∈[0，2ωπ]， 结合余弦函数y＝cos t的图象可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3．] [2，3) 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 5．(2020·北京高考)若函数f (x)＝sin (x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为_______________________________________． (答案不唯一，只要符合＋2kπ，k∈Z即可) [法一：由f (x)＝sin (x＋φ)＋cos x＝sin x cos φ＋cos x sin φ＋cos x ＝cos φsin x＋(1＋sin φ)cos x＝ (x＋θ)． 2 4 3 题号 1 5 (答案不唯一，只要符合＋2kπ，k∈Z即可) 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 2 4 3 题号 1 5 ∵sin (x＋θ)≤1， ∴当(2+2sin φ)＝2时，f (x)的最大值为2，∴2sin φ＝2， ∴sin φ＝1，∴φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ的一个取值可为． 法二：∵f (x)＝sin (x＋φ)＋cos x的最大值为2， 又sin (x＋φ)≤1，cos x≤1， ∴当sin (x＋φ)＝cos x＝1时，f (x)取得最大值2． 由诱导公式，得φ＝＋2kπ，k∈Z．∴φ的一个取值可为．] 一、单项选择题 1．(2024·山东潍坊二模)将函数f (x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象，则g(x)＝(　　) A．sin 2x B．sin C．－sin D．cos 2x 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 专题限时集训(四)　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 B　[将函数f (x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，得y＝cos ＝sin x的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得g(x)＝sin ．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 2．已知函数f (x)＝cos ＋1(ω>0)的最小正周期为π，则f (x)在区间上的最大值为(　　) A． B．1 C． D．2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 C　[由题意T＝＝π，解得ω＝2， 所以f (x)＝cos ＋1， 当x∈时，t＝2x＋∈， 所以f (x)在区间上的最大值为cos＋1＝，当x＝0时取到最大值．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 3．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 C　[因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π， 函数y＝2sin 的最小正周期为T＝， 所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin 有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 4．(教材改编)函数f (x)＝－3cos 的单调递增区间为(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 D　[f (x)＝－3cos ， 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z， 所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 故函数f (x)的单调递增区间为，k∈Z． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 5．(2025·河北保定模拟)若tan ＝－3，tan β＝3，则＝(　　) A．－1 B． C． D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 B　[由tan ＝－3，得＝－3， 解得tan α＝2，又tan β＝3， 所以＝＝＝＝． 故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 6．已知函数f (x)＝sin (ω>0)，若f (x)在上有两个零点，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 A　[因为0≤x≤，所以≤ωx＋ω＋， 因为函数f (x)＝sin (ω>0)在区间上有两个零点， 所以2π≤ω＋<3π，解得≤ω<4， 即ω的取值范围是．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 二、多项选择题 7．已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝－，则下列结论正确的是(　　) A．θ∈ B．cos θ＝－ C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 ABD　[由题意cos θ＝－sin θ－，代入sin2θ＋cos2θ＝1，即sin2θ＋ 整理得sin2θ＋sinθ－＝0，即＝0， 解得sin θ＝或sin θ＝－．因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝， 于是cos θ＝－sin θ－＝－＝－，故B正确． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 因为所以θ∈，故A正确； tan θ＝＝－，故C错误； sin θ－cos θ＝＝，故D正确． 故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 8．(2024·湖北武汉模拟)已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．A＝2 B．f (x)的最小正周期为π C．f (x)在内有3个极值点 D．f (x)在区间上的最大值为 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ √ 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 ABD　[对于A，B，根据函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象知，A＝2，T＝4×＝π，∴ω＝＝2，故A、B正确； 对于C，由五点法画图知，×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z， 由于0<φ<，∴φ＝，∴f (x)＝2sin ． 令2x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝kπ，k∈Z， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 当k＝－2时，x＝－；当k＝－1时，x＝－； 当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝．故f (x)在内有2个极值点，分别为x＝，x＝，故C错误； 对于D，∵x∈，∴2x＋∈， 故当2x＋＝，此时f (x)取最大值2sin ＝2sin ＝，故D正确．故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 三、填空题 9．(2024·江苏南京一模)已知α，β∈，且sin α－sin β＝ －，cos α－cos β＝，则tan α＋tan β＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 　[由题可知sin α－sin β＝－cos α＋cos β， 所以sin α＋cos α＝sin β＋cos β， 所以sin ＝sin ， 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 因为α，β∈， 所以α＋∈，β＋∈， 又α≠β，所以α＋＋β＋＝π，故α＋β＝， 所以sin α－sin β＝sin α－cos α＝－， 两边平方后得sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝，故sinαcos α＝， tan α＋tan β＝tan α＋＝＝＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 10．(2024·北京通州二模)已知函数f (x)＝sin (ω>0)．若 f (x)的最小正周期为π，将f (x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________；若f (x)在区间上有3个零点，则ω的一个取值为_______________________________________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 cos x 6(答案不唯一，符合＜ω≤即可) 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 cos x　6(答案不唯一，符合＜ω≤即可)　[因为f (x)的最小正周期为π，所以T＝＝π，解得ω＝2． 所以f (x)＝sin ，将f (x)的图象向左平移个单位长度， 可得y＝sin ＝sin ＝cos 2x的图象， 再把y＝cos 2x图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝cos x． 因为x∈，所以ωx＋∈， f (x)在区间上有3个零点，所以3π<≤4π，解得<ω≤， 则ω的一个取值可以为6．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 四、解答题 11．(2024·浙江台州一模)已知函数f (x)＝sin ωx＋sin x＋cos x(ω∈R)． (1)当ω＝0时，求f (x)的最小正周期以及单调递减区间； (2)当ω＝2时，求f (x)的值域． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 [解]　(1)当ω＝0时，f (x)＝sin x＋cos x ＝sin ，T＝2π， 令＋2kπ≤x＋＋2kπ(k∈Z)，得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)， 所以函数f (x)的最小正周期为2π，单调递减区间为(k∈Z)． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 (2)当ω＝2，f (x)＝sin 2x＋sin x＋cos x ＝2sin x cos x＋sin x＋cos x， 设sin x＋cos x＝sin ＝t(－≤t≤)，则sin 2x＝t2－1， 令g(t)＝t2＋t－1，t∈， 又g(t)＝－， 故当t＝时，g(t)取得最大值1＋， 当t＝－时，g(t)取得最小值－，所以f (x)的值域为． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 12．(2024·山东临沂一模)已知向量a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x， cos x)，函数f (x)＝a·b． (1)若f (x0)＝，且x0∈，求cos 2x0的值； (2)将f (x)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象向下平移1个单位长度，最后使所有点的纵坐标变为原来的(横坐标不变)，得到函数g(x)的图象，当x∈时，解不等式g(x)≥． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 [解]　(1)因为a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函数f (x)＝a·b， 所以f (x)＝2cos2x＋2sinx cos x＝cos 2x＋1＋sin 2x＝2＋1＝2sin ＋1，因为f (x0)＝，所以2sin ＋1＝， 所以sin ＝，又x0∈，所以2x0＋∈， 所以cos ＝－＝－， 所以cos2x0＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝－＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 (2)将f (x)的图象向右平移个单位长度，得到y＝2sin ＋1＝2sin ＋1的图象，再将y＝2sin ＋1的图象向下平移1个单位长度，得到y＝2sin ， 最后将y＝2sin 图象的所有点的纵坐标变为原来的(横坐标不变)，得到y＝sin ， 即g(x)＝sin ， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 由g(x)≥，即sin ， 所以＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 令k＝0可得x∈，令k＝－1可得x∈， 又x∈，所以x∈， 即当x∈时，不等式g(x)≥的解集为． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 能力考点 §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 THANK YOU 专题一　三角函数与解三角形 $$ 解答三角函数问题 阅卷案例 四字解题 (2024·新高考Ⅰ卷，T15，13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab． (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c． 读 a2＋b2－c2＝ab，sin C＝cos B △ABC的面积为3＋，求c 想 余弦定理及其推论 三角形的面积公式 算 求C，sin C，cos B，B 用c表示三角形的面积 思 转化与化归 函数与方程 规范解答 满分心得 [解]　(1)因为⇐ 所以在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos C＝＝＝，………………………………1分 ⇐………………2分 从而sin C＝，……………………………………………3分 又sin C＝cos B，所以cos B＝，……………………4分 ⇐………………5分 (2)因为B＝，C＝，从而A＝π－＝，…………6分 所以sin A＝sin ＝sin ＝＝， ……………………………………………………………7分 由正弦定理，得＝＝，……………………8分 从而a＝c＝c，b＝c＝c，……10分 所以S△ABC＝ab sin C＝c×c×＝c2，…11分 又△ABC的面积为3＋，故c2＝3＋，即c2＝8， ……………………………………………………………12分 所以c＝2．………………………………………………13分 得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分，如第(2)问，只要列出＝＝，即得1分． 得关键分：解题过程中的关键点，有则给分， 无则没分， 如第(1)问中说明C∈(0，π)，从而C＝，不说明C∈(0，π)，要扣分；同理，不说明B∈(0，π)，要扣分． 得计算分：计算准确是得满分的保证． 1．高考阅卷采用踩点计分的方式，尽量“能得尽得”！ 2．体会转化与化归及函数与方程思想，总结解三角形的求解策略． §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 【备考指南】　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换是高考的三个核心命题点，难度中等或偏下．其中三角函数的诱导公式与和(差)公式是化简、求值的根本，三角函数的概念是建立三角函数模型的依据，数形结合是研究三角函数性质的重要方法． 基础考点1　三角函数的概念、诱导公式及三角恒等变换 【典例1】　(1)(2024·九省联考)已知θ∈，tan 2θ＝－4tan ，则＝(　　) A． B． C．1 D． (2)(多选)(2023·四省联考)质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2 rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5 rad/s，起点为射线y＝－x与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为(　　) A． B． C． D． [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三角恒等变换的目的和策略 (1)目的：统一角、统一函数、统一结构． (2)策略：复角化单角、弦切互化、万能公式及升降幂公式． 提醒：匀速圆周运动是重要的数学模型之一． 1．(多选)(2024·广东佛山一模)已知角θ的终边过点P(3，4)，则(　　) A．cos 2θ＝－ B．tan 2θ＝－ C．cos ＝ D．tan ＝ 2．(2024·江西九江二模)已知α，β∈，cos (α－β)＝，tan α·tan β＝，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． 3．(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件　 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件　 C．甲是乙的充要条件　 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4．(2024·浙江宁波十校联考)若sin ＝，则cos ＝________． 5．(tan10°－)·＝________． 基础考点2　三角函数的图象与解析式 【典例2】　(1)(2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 (2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝________． [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 由三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的方法 (1)最值定A，B：A＝，B＝． (2)T定ω：由 T＝，可得ω＝． (3)特殊点定φ：一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势． 1．(多选)已知函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)＋b的部分图象如图，则(　　) A．b＝2 B．ω＝4 C．φ＝ D．f (x)的图象关于点对称 2．(2024·四川攀枝花三模)将函数y＝sin2x－cos2x的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的图象与y＝sin2x的图象关于原点对称，则m的最小值是(　　) A． B． C． D． 3．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f (x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到y＝g(x)的图象．若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 能力考点　三角函数的性质及应用 【典例3】　(1)(2024·北京高考)设函数f (x)＝sin ωx(ω>0)．已知f (x1)＝－1，f (x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f (x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论： ①f (x)是偶函数； ②f (x)在区间上单调递增； ③f (x)在区间[－π，π]上有4个零点； ④f (x)的最大值为2． 其中所有正确结论的编号是(　　) A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ (3)(2024·北京高考)在平面直角坐标系Oxy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈，则cos β的最大值为________． [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))的值域、单调性、零点及对称性时，可将ωx＋φ看成一个整体，然后对照y＝sin x(或y＝cos x)的图象求解． 1．(2024·山东济宁三模)已知函数f (x)＝(sin x＋cos x)cos x－，若f (x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 2．(多选)(2024·广东汕头一模)已知函数f (x)＝cos 2x·cos ，则(　　) A．曲线y＝f (x)的对称轴为直线x＝kπ－，k∈Z B．f (x)在区间上单调递增 C．f (x)的最大值为 D．f (x)在区间上的所有零点之和为8π 3．[高考变式]已知偶函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称，且在区间上单调，则ω＝________． 4．(2023·四省联考)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调，其中ω为正整数，|φ|<，且f ＝f ． (1)求y＝f (x)图象的一条对称轴； (2)若f ＝，求φ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 解答三角函数问题 阅卷案例 四字解题 (2024·新高考Ⅰ卷，T15，13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab． (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c． 读 a2＋b2－c2＝ab，sin C＝cos B △ABC的面积为3＋，求c 想 余弦定理及其推论 三角形的面积公式 算 求C，sin C，cos B，B 用c表示三角形的面积 思 转化与化归 函数与方程 规范解答 满分心得 [解]　(1)因为⇐ 所以在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos C＝＝＝，………………………………1分 ⇐………………2分 从而sin C＝，……………………………………………3分 又sin C＝cos B，所以cos B＝，……………………4分 ⇐………………5分 (2)因为B＝，C＝，从而A＝π－＝，…………6分 所以sin A＝sin ＝sin ＝＝， ……………………………………………………………7分 由正弦定理，得＝＝，……………………8分 从而a＝c＝c，b＝c＝c，……10分 所以S△ABC＝ab sin C＝c×c×＝c2，…11分 又△ABC的面积为3＋，故c2＝3＋，即c2＝8， ……………………………………………………………12分 所以c＝2．………………………………………………13分 得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分，如第(2)问，只要列出＝＝，即得1分． 得关键分：解题过程中的关键点，有则给分， 无则没分， 如第(1)问中说明C∈(0，π)，从而C＝，不说明C∈(0，π)，要扣分；同理，不说明B∈(0，π)，要扣分． 得计算分：计算准确是得满分的保证． 1．高考阅卷采用踩点计分的方式，尽量“能得尽得”！ 2．体会转化与化归及函数与方程思想，总结解三角形的求解策略． §1　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 【备考指南】　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换是高考的三个核心命题点，难度中等或偏下．其中三角函数的诱导公式与和(差)公式是化简、求值的根本，三角函数的概念是建立三角函数模型的依据，数形结合是研究三角函数性质的重要方法． 基础考点1　三角函数的概念、诱导公式及三角恒等变换 【典例1】　(1)(2024·九省联考)已知θ∈，tan 2θ＝－4tan ，则＝(　　) A． B． C．1 D． (2)(多选)(2023·四省联考)质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2 rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5 rad/s，起点为射线y＝－x与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为(　　) A． B． C． D． (1)A　(2)ABD　[(1)由题意tan 2θ＝－4tan ， 得＝⇒－4 (tan θ＋1)2＝2tan θ， 则(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0⇒tan θ＝－2或tan θ＝－， 因为θ∈，所以tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－， 所以＝＝＝＝． 故选A． (2)由题意，点Q的初始位置Q1的坐标为，设点P的初始位置为P1，则∠Q1OP1＝，设t时刻两点重合，则5t－2t＝＋2kπ， 即t＝π， 此时点Q， 即Q， 当k＝0时，Q，故A正确； 当k＝1时，Q， 即Q，故B正确； 当k＝2时，Q， 即Q，故D正确． 由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合．故选ABD．] 三角恒等变换的目的和策略 (1)目的：统一角、统一函数、统一结构． (2)策略：复角化单角、弦切互化、万能公式及升降幂公式． 提醒：匀速圆周运动是重要的数学模型之一． 1．(多选)(2024·广东佛山一模)已知角θ的终边过点P(3，4)，则(　　) A．cos 2θ＝－ B．tan 2θ＝－ C．cos ＝ D．tan ＝ ABD　[因为角θ的终边过点P(3，4)， 所以cos θ＝＝，sin θ＝＝，tan θ＝， 所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－， tan2θ＝＝＝－，故A和B正确， 因为2kπ<θ<2kπ＋(k∈Z)， 所以kπ<<kπ＋(k∈Z)，即角的终边位于第一象限或第三象限， 所以tan>0，但cos >0或cos <0均满足题意，故C错误； 由tan θ＝＝，得2tan2＋3tan －2＝0，解得tan ＝－2(舍去)或tan ＝，故D正确．故选ABD．] 2．(2024·江西九江二模)已知α，β∈，cos (α－β)＝，tan α·tan β＝，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． A　[因为cos (α－β)＝，tan α·tan β＝， 所以解得 所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝， 又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝．故选A．] 3．(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件　 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件　 C．甲是乙的充要条件　 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 B　[当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝，β＝0， 但sinα＋cos β≠0， 即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cos β＝0； 当sin α＋cos β＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1， 即sinα＋cos β＝0能推出sin2α＋sin2β＝1． 综上可知，sin2α＋sin2β＝1是sinα＋cos β＝0成立的必要不充分条件．故选B．] 4．(2024·浙江宁波十校联考)若sin ＝，则cos ＝________． 　[令θ－＝t，则sin t＝， 所以cos ＝cos＝cos (2t＋π)＝－cos 2t＝2sin2t－1＝2×－1＝．] 5．(tan10°－)·＝________． －2　[(tan 10°－)·＝(tan 10°－tan 60°)· ＝＝＝－＝－2．] 【教师备选资源】 1．(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m　　B．－　　C．　　D．3m A　[因为cos (α＋β)＝m， 所以cos αcos β－sin αsin β＝m， 而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β， 故cos αcos β－2cos αcos β＝m， 即cos αcos β＝－m， 从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝－3m． 故选A．] 2．(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) A．　　B．　　C．－　　D．－ B　[∵sin (α－β)＝， ∴sin αcos β－cos αsin β＝， ∴sin αcos β＝＋cos αsin β＝＝， ∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＝， 则cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝．故选B．] 基础考点2　三角函数的图象与解析式 【典例2】　(1)(2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 (2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝________． (1)D　(2)－　[(1)因为y＝2sin ＝2sin ，所以把函数y＝2sin 图象上所有的点向右平移个单位长度即可得到函数y＝2sin 3x的图象，故选D． (2)设A，B，由＝可得x2－x1＝， 由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由题图可知， ωx2＋φ－＝＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4． 因为f ＝sin ＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)． 所以f (x)＝sin ＝sin (k∈Z)， 所以f ＝sin 或f ＝－sin ， 又因为f <0，所以f (x)＝sin ， 所以f ＝sin ＝－．] 由三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的方法 (1)最值定A，B：A＝，B＝． (2)T定ω：由 T＝，可得ω＝． (3)特殊点定φ：一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势． 1．(多选)已知函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)＋b的部分图象如图，则(　　) A．b＝2 B．ω＝4 C．φ＝ D．f (x)的图象关于点对称 BD　[由题图可得解得故A错误； 由题图可知，f (x)的最小正周期T＝＝，所以＝，则ω＝4，B正确； 由题图可知，直线x＝＝是函数f (x)图象的一条对称轴， 所以4×＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z． 又0<φ<，所以φ＝，C错误； 由上述可得f (x)＝2cos ＋1． 令4x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z． 当k＝0时，f (x)的图象的一个对称中心为，D正确．故选BD．] 2．(2024·四川攀枝花三模)将函数y＝sin2x－cos2x的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的图象与y＝sin2x的图象关于原点对称，则m的最小值是(　　) A． B． C． D． B　[令f (x)＝sin2x－cos2x，则有f (x)＝－cos2x， 设f (x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的函数为g(x)，则有g(x)＝－cos [2(x－m)]＝－cos (2x－2m)， 根据已知条件g(x)的图象与y＝sin 2x的图象关于原点对称，则有g(x)＝－sin (－2x)＝sin 2x， 即－cos (2x－2m)＝sin 2x，所以－2m＝＋2kπ(k∈Z)，解得m＝－－kπ(k∈Z)，又因为m>0，所以当k＝－1时，m取最小值为．故选B．] 3．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f (x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到y＝g(x)的图象．若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． (－2，－]　[由f (x)的部分图象，可得A＝1． 由题图可知点在f (x)的图象上，则sin ＝1，sin ＝－， 由五点作图法可得ω×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，ω×＋φ＝2π－＋2kπ，k∈Z，又ω＞0，|φ|＜，解得ω＝，φ＝，则f (x)＝sin ． 将函数f (x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin 的图象， 再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g(x)＝2sin 的图象． 作出函数g(x)的部分图象如图所示， 根据函数g(x)的图象知： 当－2＜m≤－时，直线y＝m与函数g(x)在上的图象有两个交点， 即方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根．] 【教师备选资源】 1．(2023·全国甲卷)函数y＝f (x)的图象由函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f (x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 C　[将y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到函数y＝cos ＝cos ＝－sin 2x的图象，所以f (x)＝－sin 2x，而直线y＝x－显然过与(1，0)两点， 作出曲线y＝f 与直线y＝x－的部分大致图象如图所示． 所以由图象可知，y＝f 的图象与直线y＝x－的交点个数为3．] 2．(多选)为了得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 的图象(　　) A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度 B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 AC　[将y＝sin 图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝sin的图象， 再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，A正确； 将y＝sin 的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin 的图象， 再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin 的图象，C正确．故选AC．] 3．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为(　　) A．y＝sin x＋sin 2x＋sin 3x B．y＝sin x－sin 2x－sin 3x C．y＝sin x＋cos 2x＋cos 3x D．y＝cos x＋cos 2x＋cos 3x A　[对于A，函数y＝f ＝sin x＋sin 2x＋sin 3x， 因为f ＝－sin x－sin 2x－sin 3x＝－f ， 所以函数为奇函数， 又f ＝＝>0，故A符合题意； 对于B，函数y＝f ＝sin x－sin 2x－sin 3x， 因为f ＝－sin x＋sin 2x＋sin 3x＝－f ， 所以函数为奇函数， 又f ＝＝<＝0，故B不符合题意； 对于C，函数y＝f ＝sin x＋cos 2x＋cos 3x， 因为f ＝，故C不符合题意； 对于D，当x＝0时，y＝cos x＋cos 2x＋cos 3x＝，故D不符合题意．故选A．] 4．(2021·全国甲卷)已知函数f (x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件＞0的最小正整数x为________． 2　[由题图可知，T＝＝(T为f (x)的最小正周期)，得T＝π，所以ω＝2，所以f (x)＝2cos (2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×＋φ＝，得φ＝－，所以f (x)＝2cos ，所以f ＝2cos ＝2cos ＝2cos ＝1，f ＝2cos ＝2cos ＝0，所以＞0，即(f (x)－1)f (x)＞0，可得f (x)＞1或f (x)＜0，所以cos ＞或cos ＜0．当x＝1时，2x－＝2－∈，cos ∈，不符合题意；当x＝2时，2x－＝4－∈，cos ＜0，符合题意．所以满足题意的最小正整数x为2．] 能力考点　三角函数的性质及应用 【典例3】　(1)(2024·北京高考)设函数f (x)＝sin ωx(ω>0)．已知f (x1)＝－1，f (x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f (x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论： ①f (x)是偶函数； ②f (x)在区间上单调递增； ③f (x)在区间[－π，π]上有4个零点； ④f (x)的最大值为2． 其中所有正确结论的编号是(　　) A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ (3)(2024·北京高考)在平面直角坐标系Oxy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈，则cos β的最大值为________． (1)B　(2)C　(3)－　[(1)因为f (x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f (x1)＝－1，f (x2)＝1，|x1－x2|min＝，所以f (x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2． (2)法一：f (－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f (x)，∴f (x)为偶函数，故①正确；当＜x＜π时，f (x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f (x)在区间上单调递减，故②不正确；f (x)在区间[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f (x)在区间[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin |x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④．故选C． 法二：画出函数f (x)＝sin |x|＋|sin x|的图象，由图象可得①④正确．故选C． (3)因为α与β的终边关于原点对称，所以β＝2kπ＋π＋α(k∈Z)，所以cos β＝cos (2kπ＋π＋α)＝－cos α． 因为α∈，所以cos α∈，所以cos β∈，所以cos β的最大值为－．] 研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))的值域、单调性、零点及对称性时，可将ωx＋φ看成一个整体，然后对照y＝sin x(或y＝cos x)的图象求解． 1．(2024·山东济宁三模)已知函数f (x)＝(sin x＋cos x)cos x－，若f (x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． D　[依题意，函数f (x)＝sin x cos x＋cos2x－＝sin2x＋cos 2x＝sin ， 当x∈时，2x＋∈， 显然sin ＝sin ＝－，sin ＝1， 且正弦函数y＝sin x在上单调递减， 由f (x)在区间上的值域为， 得≤2m＋，解得≤m≤， 所以实数m的取值范围是．故选D．] 2．(多选)(2024·广东汕头一模)已知函数f (x)＝cos 2x·cos ，则(　　) A．曲线y＝f (x)的对称轴为直线x＝kπ－，k∈Z B．f (x)在区间上单调递增 C．f (x)的最大值为 D．f (x)在区间上的所有零点之和为8π BC　[由题意可得，f (x)＝cos 2x·cos ＝cos 2x ＝cos22x－sin2x cos 2x－＝cos 4x－sin 4x＝cos ． 对于选项A，令4x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z， 所以曲线y＝f (x)的对称轴为直线x＝，k∈Z，故A错误； 对于选项B，因为x∈，则4x＋∈， 且y＝cos x在内单调递增，所以f (x)在区间上单调递增，故B正确； 对于选项C，当4x＋＝2kπ，k∈Z，即x＝，k∈Z时，f (x)取到最大值为，故C正确； 对于选项D，令4x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，可知f (x)的零点为x＝，k∈Z， 则f (x)在区间上的零点为，…，，共8个，结合A选项可知，这些零点两两关于直线x＝对称， 所以f (x)在区间上的所有零点之和为4×2×π＝π，故D错误．故选BC．] 3．[高考变式]已知偶函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称，且在区间上单调，则ω＝________． 　[因为f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)为偶函数，所以φ＝kπ＋，k∈Z， 即f (x)＝cos ωx或f (x)＝－cos ωx． 又f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称， 所以cos ω＝0，即ω＝kπ＋，k∈Z， 所以ω＝3k＋，k∈Z． 因为当x∈时，函数f (x)单调，所以0≤ωx≤≤π，即0<ω≤4，所以当k＝0时，ω＝符合条件．] 4．(2023·四省联考)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调，其中ω为正整数，|φ|<，且f ＝f ． (1)求y＝f (x)图象的一条对称轴； (2)若f ＝，求φ． [解]　(1)因为函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调，所以函数f (x)的最小正周期T≥2×＝． 又因为f ＝f ，且＝＜T， 所以直线x＝，即x＝为y＝f (x)图象的一条对称轴． (2)由(1)知T≥，故ω＝≤3， 由ω∈N*，得ω＝1，2或3． 由x＝为f (x)＝sin (ωx＋φ)的图象的一条对称轴， 得ω＋φ＝＋k1π，k1∈Z． 因为f ＝， 所以ω＋φ＝＋2k2π或ω＋φ＝＋2k3π，k2，k3∈Z， 若ω＋φ＝＋2k2π，k2∈Z，则ω＝π，k1，k2∈Z， 即ω＝，k1，k2∈Z， 不存在整数k1，k2，使得ω＝1，2或3． 若ω＋φ＝＋2k3π，k3∈Z，则ω＝－π，k1，k3∈Z， 即ω＝－，k1，k3∈Z， 不存在整数k1，k3，使得ω＝1或3． 当k1＝2k3＋1时，ω＝2． 此时φ＝＋2k3π，k3∈Z，由|φ|<，得φ＝． 【教师备选资源】 1．(2024·安徽合肥三模)“φ＝－＋kπ，k∈Z”是“函数y＝tan (x＋φ)的图象关于点对称”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[若函数y＝tan (x＋φ)的图象关于点对称， 则＋φ＝，k∈Z，解得φ＝－，k∈Z， 因为是的真子集， 所以“φ＝－＋kπ，k∈Z”是“函数y＝tan (x＋φ)的图象关于点对称”的充分不必要条件．故选A．] 2．(多选)(2024·广东广州模拟)已知点P是函数f (x)＝sin ＋b(ω>0)的图象的一个对称中心，则(　　) A．f －1是奇函数 B．ω＝－k，k∈N* C．若f (x)的图象在区间上有且仅有2条对称轴，则ω＝2 D．若f (x)在区间上单调递减，则ω＝2或ω＝ BC　[依题意，点P是函数f (x)＝sin＋b(ω>0)的图象的一个对称中心， 所以b＝1，且sin ＝0，ω＋＝kπ，k∈N*，ω＝－k，k∈N*，B选项正确． 则f (x)＝sin ＋1，k∈N*， 所以f －1＝sin ＝sin ， 由于1－2k是奇数，所以f －1＝sin是偶函数，A选项错误． C选项，因为<x<，所以ω＋<ωx＋<ω＋， 将ω＝－k，k∈N*代入得： <x＋<，k∈N*， 整理得kπ<x＋<kπ＋，k∈N*， 由于f (x)的图象在区间上有且仅有2条对称轴， 所以<， 解得<k≤，由于k∈N*，所以k＝1， 对应ω＝－＝2，所以C选项正确． D选项，f (x)在区间上单调递减， 因为<x<，所以ω＋<ωx＋<ω＋， 将ω＝－k，k∈N*代入得： <x＋<，k∈N*， 整理得k＋<x＋<k－，k∈N*， 则k－≤π，解得1≤k≤，而k∈N*，所以k＝1或k＝2， 当k＝1时，＝，符合单调性， 当k＝2时，＝，不符合单调性，所以k＝2舍去， 所以ω＝－×1＝2，所以D选项错误．故选BC．] 3．(2023·全国乙卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f (x)的图象的两条相邻对称轴，则f ＝(　　) A．－　　B．－　　C．　　D． D　[因为f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，所以＝＝(T为函数f (x)的最小正周期)，则T＝π，ω＝＝2． 因为直线x＝和x＝为函数y＝f (x)的图象的两条相邻对称轴，f (x)在区间单调递增， 所以当x＝时，f 取得最小值，则2×＋φ＝2kπ－，k∈Z， 则φ＝2kπ－，k∈Z， 所以f (x)＝sin ＝sin ， 所以f ＝sin ＝sin ＝sin ＝．故选D．] 4．(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 ________． [2，3)　[因为0≤x≤2π，ω＞0，所以0≤ωx≤2ωπ， 令f (x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根， 令t＝ωx，则cos t＝1有且仅有3个根，其中t∈[0，2ωπ]， 结合余弦函数y＝cos t的图象可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3． ] 5．(2020·北京高考)若函数f (x)＝sin (x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． (答案不唯一，只要符合＋2kπ，k∈Z即可) [法一：由f (x)＝sin (x＋φ)＋cos x＝sin x cos φ＋cos x sin φ＋cos x ＝cos φsin x＋(1＋sin φ)cos x＝ (x＋θ)． ∵sin (x＋θ)≤1， ∴当(2+2sin φ)＝2时，f (x)的最大值为2，∴2sin φ＝2， ∴sin φ＝1，∴φ＝＋2kπ，k∈Z， ∴φ的一个取值可为． 法二：∵f (x)＝sin (x＋φ)＋cos x的最大值为2， 又sin (x＋φ)≤1，cos x≤1， ∴当sin (x＋φ)＝cos x＝1时，f (x)取得最大值2． 由诱导公式，得φ＝＋2kπ，k∈Z． ∴φ的一个取值可为．] 专题限时集训(四)　三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换 一、单项选择题 1．(2024·山东潍坊二模)将函数f (x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象，则g(x)＝(　　) A．sin 2x B．sin C．－sin D．cos 2x B　[将函数f (x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，得y＝cos ＝sin x的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得g(x)＝sin ．故选B．] 2．已知函数f (x)＝cos ＋1(ω>0)的最小正周期为π，则f (x)在区间上的最大值为(　　) A． B．1 C． D．2 C　[由题意T＝＝π，解得ω＝2， 所以f (x)＝cos ＋1， 当x∈时，t＝2x＋∈， 所以f (x)在区间上的最大值为cos＋1＝，当x＝0时取到最大值． 故选C．] 3．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 C　[因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π， 函数y＝2sin 的最小正周期为T＝， 所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin 有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点． 故选C．] 4．(教材改编)函数f (x)＝－3cos 的单调递增区间为(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z D　[f (x)＝－3cos ， 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z， 所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 故函数f (x)的单调递增区间为，k∈Z． 故选D．] 5．(2025·河北保定模拟)若tan ＝－3，tan β＝3，则＝(　　) A．－1 B． C． D． B　[由tan ＝－3，得＝－3， 解得tan α＝2，又tan β＝3， 所以＝＝＝＝． 故选B．] 6．已知函数f (x)＝sin (ω>0)，若f (x)在上有两个零点，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． A　[因为0≤x≤，所以≤ωx＋ω＋， 因为函数f (x)＝sin (ω>0)在区间上有两个零点， 所以2π≤ω＋<3π，解得≤ω<4， 即ω的取值范围是．故选A．] 二、多项选择题 7．已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝－，则下列结论正确的是(　　) A．θ∈ B．cos θ＝－ C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝ ABD　[由题意cos θ＝－sin θ－，代入sin2θ＋cos2θ＝1，即sin2θ＋ 整理得sin2θ＋sinθ－＝0，即＝0， 解得sin θ＝或sin θ＝－．因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝， 于是cos θ＝－sin θ－＝－＝－，故B正确． 因为所以θ∈，故A正确； tan θ＝＝－，故C错误； sin θ－cos θ＝＝，故D正确． 故选ABD．] 8．(2024·湖北武汉模拟)已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．A＝2 B．f (x)的最小正周期为π C．f (x)在内有3个极值点 D．f (x)在区间上的最大值为 ABD　[对于A，B，根据函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象知，A＝2, T＝4×＝π，∴ω＝＝2，故A、B正确； 对于C，由五点法画图知，×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z， 由于0<φ<，∴φ＝， ∴f (x)＝2sin ． 令2x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝kπ，k∈Z， 当k＝－2时，x＝－；当k＝－1时，x＝－； 当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝．故f (x)在内有2个极值点，分别为x＝，x＝，故C错误； 对于D，∵x∈，∴2x＋∈， 故当2x＋＝，此时f (x)取最大值2sin ＝2sin ＝，故D正确．故选ABD．] 三、填空题 9．(2024·江苏南京一模)已知α，β∈，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan α＋tan β＝________． 　[由题可知sin α－sin β＝－cos α＋cos β， 所以sin α＋cos α＝sin β＋cos β， 所以sin ＝sin ， 因为α，β∈， 所以α＋∈，β＋∈， 又α≠β，所以α＋＋β＋＝π，故α＋β＝， 所以sin α－sin β＝sin α－cos α＝－， 两边平方后得sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝， 故sinαcos α＝， tan α＋tan β＝tan α＋＝＝＝．] 10．(2024·北京通州二模)已知函数f (x)＝sin (ω>0)．若f (x)的最小正周期为π，将f (x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________；若f (x)在区间上有3个零点，则ω的一个取值为________． cos x　6(答案不唯一，符合＜ω≤即可)　[因为f (x)的最小正周期为π，所以T＝＝π，解得ω＝2． 所以f (x)＝sin ，将f (x)的图象向左平移个单位长度， 可得y＝sin ＝sin ＝cos 2x的图象， 再把y＝cos 2x图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝cos x． 因为x∈，所以ωx＋∈， f (x)在区间上有3个零点， 所以3π<≤4π，解得<ω≤， 则ω的一个取值可以为6．] 四、解答题 11．(2024·浙江台州一模)已知函数f (x)＝sin ωx＋sin x＋cos x(ω∈R)． (1)当ω＝0时，求f (x)的最小正周期以及单调递减区间； (2)当ω＝2时，求f (x)的值域． [解]　(1)当ω＝0时，f (x)＝sin x＋cos x ＝sin ，T＝2π， 令＋2kπ≤x＋＋2kπ(k∈Z)，得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)， 所以函数f (x)的最小正周期为2π，单调递减区间为(k∈Z)． (2)当ω＝2，f (x)＝sin 2x＋sin x＋cos x ＝2sin x cos x＋sin x＋cos x， 设sin x＋cos x＝sin ＝t(－≤t≤)，则sin 2x＝t2－1， 令g(t)＝t2＋t－1，t∈， 又g(t)＝－， 故当t＝时，g(t)取得最大值1＋， 当t＝－时，g(t)取得最小值－， 所以f (x)的值域为． 12．(2024·山东临沂一模)已知向量a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函数f (x)＝a·b． (1)若f (x0)＝，且x0∈，求cos 2x0的值； (2)将f (x)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象向下平移1个单位长度，最后使所有点的纵坐标变为原来的(横坐标不变)，得到函数g(x)的图象，当x∈时，解不等式g(x)≥． [解]　(1)因为a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函数f (x)＝a·b， 所以f (x)＝2cos2x＋2sinx cos x＝cos 2x＋1＋sin 2x＝2＋1＝2sin ＋1， 因为f (x0)＝，所以2sin ＋1＝，所以sin ＝， 又x0∈，所以2x0＋∈， 所以cos ＝－＝－， 所以cos2x0＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝－＝． (2)将f (x)的图象向右平移个单位长度，得到y＝2sin ＋1＝2sin ＋1的图象，再将y＝2sin ＋1的图象向下平移1个单位长度，得到y＝2sin ， 最后将y＝2sin 图象的所有点的纵坐标变为原来的(横坐标不变)，得到y＝sin ， 即g(x)＝sin ， 由g(x)≥，即sin ， 所以＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 令k＝0可得x∈，令k＝－1可得x∈，又x∈， 所以x∈， 即当x∈时，不等式g(x)≥的解集为． 4/26 学科网（北京）股份有限公司 $$