10.4 三元一次方程组的解法　同步练习---2024-2025学年人教版（2024）数学七年级下册

10.4 三元一次方程组的解法 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】三元一次方程组的概念 2 【题型2】三元一次方程组的解法 6 【题型3】三元一次方程组的应用 9 1．三元一次方程组的概念 含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，一般一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 2．三元一次方程组的解法 （1）用代入消元法解三元一次方程组的步骤： ①利用代人法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起，就是所求三元一次方程组的解． （2）用加减消元法解三元一次方程组的步骤： ①利用加减法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起，就是所求的三元一次方程组的解． 3．列三元一次方程组解应用题的步骤： （1）审：分析题中的已知量和未知量，明确数量之间的关系； （2）设：设出三个未知数； （3）找：找出与未知数有关的三个相等关系； （4）列：根据这些相等关系列出方程，并组成方程组； （5）解：解这个方程组； （6）答：写出答案，包括单位名称． 三元一次方程组，方程组一共含有三个未知数，每一个方程中不一定都含有三个未知数，可以是一个或两个． 【题型1】三元一次方程组的概念 例1 （2024春•鼓楼区期末）下列方程中，属于三元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程，据此进行判断即可． 【解答】解：、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； 、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意； 、是三元一次方程，符合题意； 、方程化简为：，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意． 故选：． ◄ 点拨 ► 1．三元一次方程组必须具备的三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数； （2）含未知数的项的次数都是1； （3）方程组中的每个方程都是整式方程． 2．三元一次方程组的解：三元一次方程组的三个方程的公共解． 【变式1】　下列各方程组中，三元一次方程组有　　 ①②③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】　（2023春•遵化市期中）下列是三元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【变式3】　下列方程组中是三元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 1．【答案】 【分析】根据三元一次方程组的定义，共含有三个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，进行判断即可． 【解答】解：①是三元一次方程组，故符合题意； ②含有三个未知数，但不是整式方程，所以不是三元一次方程组，故不符合题意； ③是三元一次方程组，故符合题意； ④未知数的最高次数是3，所以不是三元一次方程组，故不符合题意； 故选：． 2．【答案】 【分析】如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一次，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组；利用三元一次方程组的定义逐项判断即可得到答案． 【解答】解：对于选项，第二个方程中未知数的次数是2， 故选项中方程组不是三元一次方程组； 对于选项，第一个方程中分母含有未知数， 故选项中方程组不是三元一次方程组； 对于选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3， 故选项中的方程组不是三元一次方程组； 对于选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次， 故选项中的方程组是三元一次方程组． 故选． 3．【答案】 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【解答】解：选项方程组中的方程含有未知数的项的次数为2，它不是三元一 次方程组； 选项方程组 中的方程含有未知数的项的次数为2，它不是三元一次方程 组； 选项方程组中的每个方程都是整式方程，共含有三个未知 数，且含有未知数的项的次数都是1，它是三元一次方程组； 选项方程组中的未知数共有4个，它不是三元一次方程组． 故选：． 【题型2】三元一次方程组的解法 例2 （2024春•彭山区校级期中）解三元一次方程组． 【分析】①②求出，②③求出，组成一个二元一次方程组，求出方程组的解，把求出的、的值代入③求即可． 【解答】解：①②，得， 即，④ ②③，得，⑤ 由④和⑤组成一个二元一次方程组 解得：，， 再把，代入③，得． 所以方程组的解为． ◄ 点拨 ► （1）要根据方程组的特点决定先消去哪个未知数． （2）原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次． （3）将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组的每一个方程中进行检验，看每个方程等号左、右两边的值是否相等，若都相等，则是原方程组的解，只要有一个方程等号左、右两边的值不相等，就不是原方程组的解． 【变式4】　（2024春•青神县期中）． 【变式5】　（2024春•西峡县期中）解方程组：． 【变式6】　（2024春•嘉定区期末）解方程组：． 4．【答案】． 【分析】方程组后两个方程消元后，与第一个方程联立求出与的值，进而求出的值，即可确定出方程组的解． 【解答】解：， ③②得：， 由①得：，代入得：， 解得：， 将代入得：， 将，代入得：， 则方程组的解为． 5． 【分析】①②得出④，①③得出⑤，由④和⑤组成一个二元一次方程组，求出方程组的解，再求出即可． 【解答】解：， ①②，得④， ①③，得⑤， 由④和⑤组成一个二元一次方程组： ， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以方程组的解是． 6．【答案】． 【分析】利用加减消元法求解即可． 【解答】解：， ①③，得：， 解得， ②③，得：④， 将代入④，得：， 将，代入②，得：， 原方程组的解为． 【题型3】三元一次方程组的应用 例3 （2024秋•长沙月考）有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问： （1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？ （2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？ 【分析】首先设牧场原有草量为，每天生长的草量为，每头牛每天吃草量为，16头牛天吃完草． （1）根据 原草量每天生长的草量放牧的天数每头牛每天吃草量头数天数 列出方程组，可解得的值即为所求． （2）假设要使牧草永远吃不完，至多放牧头牛． 要使牧草才永远吃不完，则有 每头牛每天吃草量放牧的牛头数每天生长的草量，解得结果即为所求． 【解答】解：设牧场原有草量为，每天生长的草量为，每头牛每天吃草量为，16头牛天吃完草． （1）由题意得： 由②①得 ④ 由③②得 ⑤ 将④代入⑤得，解得 （2）设至多放牧头牛，牧草才永远吃不完，则有，即每天吃的草不能多于生长的草，． 答：（1）如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草；（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛． ◄ 点拨 ► 找到问题中的三个未知数，再找出与未知数有关的三个或两个等量关系，根据等量关系列出三个或两个方程，组成方程组，再解方程组．若方程的个数少于未知数的个数，求解时可以利用其他条件及问题的实际意义对字母的取值进行讨论，或者采用“整体求值”的方法进行求解． 【变式7】　（2024秋•东阳市期末）某校七年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47，则三个班的总人数为　　 A．68 B．70 C．72 D．74 【变式8】　（2025春•永春县期中）小明和小华去书店买书．小明买2本小说，3本漫画、1本杂志共需支付45元；小华买3本小说，5本漫画、1本杂志共需支付60元．试问每种书各买一本共需支付 　　 元． 【变式9】　（2025春•潍坊期中）某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜场，平场、负场，则列三元一次方程组为　　 ． 7．【答案】 【分析】根据“一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47”列出三元一次方程组，再根据整体思想求解． 【解答】解：设一班为人，二班有人，三班由人， 则：， 方程组可化为： ， ①②③得：， ， 故选：． 8．【答案】30． 【分析】设小说的单价为元，漫画的单价为元，杂志的单价为元，根据“小明买2本小说，3本漫画、1本杂志共需支付45元；小华买3本小说，5本漫画、1本杂志共需支付60元”，可列出关于，，的三元一次方程组，利用①②，即可求出结论． 【解答】解：设小说的单价为元，漫画的单价为元，杂志的单价为元， 根据题意得：， ①②得：， 每种书各买一本共需支付30元． 故答案为：30． 9．【答案】． 【分析】根据题意，直接列出方程即可． 【解答】解：设该队在联赛中胜场，平场、负场， 根据题意有， ， 故答案为：． 第2页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.4 三元一次方程组的解法 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 一、选择题（共10小题） 1．（2024春•丛台区校级期中）已知且，则的值为　　 A． B． C．7 D．1 2．（2024春•宿迁月考）若方程组的解也是的一个解，则的值为　　 A．1 B． C． D．4 3．（2024春•邹城市校级月考）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需　　元． A．33 B．34 C．35 D．36 4．（2024春•江汉区校级月考）甲、乙、丙三人到超市购零食．甲买薯片3包、饼干2袋、糖果1盒，花费24元；乙买薯片1包、饼干4袋、糖果2盒，花费23元．那么丙买薯片4包，花费　　 A．5元 B．10元 C．20元 D．不确定 5．（2024春•望城区期末）由方程组，可得是　　 A． B． C． D． 6．（2024春•冷水滩区校级月考）方程组的解是　　 A． B． C． D． 7．（2024春•城厢区校级月考）关于，的方程组的解也是方程的解，则的值为　　 A．3 B．1 C． D．2 8．（2024春•兰考县期中）小华到学校超市买铅笔11支，作业本5个，笔芯2支，共花12.5元；小刚在这家超市买同样的铅笔10支，同样的作业本4个，同样的笔芯1支，共花10元钱．若买这样的铅笔1支、作业本1个，笔芯1支共需　　元． A．3 B．2.5 C．2 D．无法求出 9．（2024春•南安市期中）解方程组时，要使解法较为简便，应　　 A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 10．（2023春•秀峰区校级期中）三元一次方程有无数个解，下列四组值中，不是该方程的解的是　　 A． B． C． D． 二、填空题（共8小题） 11．（2024秋•怀化期末）已知，，则　　． 12．（2023秋•彰武县期末）如果方程组的解与方程组的解相同，则　　． 13．（2024春•南召县期中）将三元一次方程组消去未知数，得到的二元一次方程组为 　　． 14．（2024春•彭山区校级期中）对于实数，定义新运算：，其中，，均为常数，且已知，，则的值为　　 ． 15．（2024春•叙州区校级期中）若，则 　　． 16．（2024春•曹县期中）探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出，，的具体数值，但可以解出的值．他的思路是：①②得，所以．根据以上探究，请解决下列问、题：已知，则的值为 　　 ． 17．（2023秋•固原期末）已知：，且，则的值等于 　　． 18．（2024春•新宁县校级月考）若，，同时满足：，，，则　　． 三、解答题（共7小题） 19．（2025春•南京期中）解方程组： （1）； （2）． 20．（2025春•岳麓区校级月考）解下列方程组： （1）； （2）． 21．（2024秋•梓潼县期末）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①得：③ ③得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 22．（2024春•文登区期中）解方程组： （1）； （2）； （3）解三元一次方程组：． 23．（2024春•威海期中）解下列方程组： （1）； （2）； （3）． 24．（2024春•桓台县期中）数学活动：探究不定方程 小张，小王两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出，，的具体数值，但可以解出的值．请在以下横线处补全两人的解法． 小张的方法： ②①，整理可得：　　 ； ①②，整理可得：　　 ， 小王的方法：①②：　　 ③； 　　 得：． 请利用解不定方程的思路解决以下问题：已知买4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；买4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，求买2本英语簿，3本数学簿，1本作文本需要多少钱？ 25．（2024•鄞州区校级自主招生）求关于，，，的方程组的整数解． 一、选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C C D B B B D 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【分析】方程组两方程左右相减表示出，代入中计算即可求出的值． 【解答】解：， ②①得：， 代入得：， 解得：． 故选：． 2．【分析】先解关于，的二元一次方程组，求得，的值后，再代入关于的方程而求解的． 【解答】解：解出方程组， 得， 代入，得， 解得． 故选：． 3．【答案】 【分析】设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元．列方程组得：，然后求得的值． 【解答】解：设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元． 列方程组得：， ①②得：． 故选：． 4．【答案】 【分析】由题意，设薯片1包元，饼干1袋元，糖果1袋元．可得方程组，求解即可． 【解答】解：由题意，设薯片1包元，饼干1袋元，糖果1袋元． 则可得方程组， ①②得，， 解得， ， 丙买薯片4包，花费20元． 故选：． 5．【答案】 【分析】将方程组看成二元一次方程组解出与，与的关系即可求出答案． 【解答】解：由题可知： 解得： ， 故选：． 6．【答案】 【分析】①②得出④，①③得出⑤，由④和⑤组成一个二元一次方程组，求出方程组的解，再把代入③求出即可． 【解答】解：， ①②得：④， ①③得：⑤， 由④和⑤组成一个二元一次方程组：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， 所以方程组的解是． 故选：． 7．【分析】把方程组的中的乘以2再与相加，求出，代入求出，然后把方程组的解代入二元一次方程，从而求出的值． 【解答】解：由题知，方程组，乘以2再与相加得， ， ， 把代入方程组求出， ，的方程组的解也是方程的解， 把，代入方程得， ， 解得； 故选：． 8．【分析】等量关系为：铅笔的单价作业本的单价笔芯的单价；铅笔的单价作业本的单价笔芯的单价，把两个方程相减后即可得到的方程可得购买这样的铅笔1支、作业本1个，笔芯1支共需的钱数． 【解答】解：设购一支铅笔，一个作业本，一支笔芯分别需要，，元， 根据题意得， ①②得． 故买这样的铅笔1支、作业本1个，笔芯1支共需2.5元． 故选：． 9．【答案】 【分析】根据第一个方程缺少未知数，所以利用第二个，第三个方程消去，解方程组比较简单． 【解答】解：第二个，第三个方程消去，把三元方程组转化为二元方程组，比较简单． 故选：． 10．【答案】 【分析】分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解． 【解答】解：、把，，代入方程，左边右边，所以是方程的解； 、把，，代入方程，左边右边，所以是方程的解； 、把，，代入方程，左边右边，所以是方程的解； 、把，，代入方程，左边右边，所以不是方程的解． 故选：． 二、填空题（共8小题） 11．【答案】． 【分析】在，中，未知数 系数相同，的系数互为相反数，通过两个式子相减或相加，即可用的代数式表示出、，进而得出答案． 【解答】解：①， ②， ①②，得，即， ①②，得，即， ． 故答案为：． 12． 【分析】两个方程组的解相同，意思是这两个方程组中的都等于4，都等于3，即是方程组的解，根据方程组的解的定义，即可求出的值． 【解答】解：依题意，知是方程组的解， ①②，得， 方程两边都除以7，得． 13．【答案】． 【分析】利用加减消元法解三元一次方程组即可得． 【解答】解：， 由②③得：④， ， 故答案为：． 14．【答案】2． 【分析】根据所给的条件，可得到，，从而可求得，，整理可求得，从而可求解． 【解答】解：，， ①，②， ②①得：， ①②得：， 则， 整理得：， ． 故答案为：2． 15．【答案】10． 【分析】根据非负数的性质可得，解方程组求出、、的值即可求解． 【解答】解：， ， 解得， ， 故答案为：10． 16．【答案】1． 【分析】分别用含的代数式表示，，然后再相加即可得出的值． 【解答】解：， ①②得：， ． 故答案为：1． 17． 【分析】先设比例系数为，代入，转化为关于的一元一次方程解答． 【解答】解：设， 则，，， 代入， 得， 解得：， ，，， 于是． 故本题答案为：． 18．【答案】58． 【分析】先由①②③得，④，再根据④①得，进而即可解答． 【解答】解：， ①②③得，④， ④， ④①得，， ， ， ， 故答案为：58． 三、解答题（共7小题） 19．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【解答】解：（1）方程组整理得， 由①②得：， 将代入②得：， 解得； 所以此方程组的解为； （2）， ①②得：④， ③②得：⑤， ④⑤得：， 解得：， 把代入④得， 解得， 把，代入③得， 解得：， 所以原方程组的解为． 20．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先把第一个方程进行整理，再利用加减消元法把方程组转化成一元一次方程进行计算即可． （2）利用加减消元法把方程组转化成一元一次方程进行计算即可． 【解答】解：（1）， ①整理得：③， ②得：④， ③④得：， 解得：， 把代入②得：， ， 解得：， 原方程组的解是：； （2）， ①②得：④， ①③得：⑤， ⑤④得：， 把代入④得：， 把，代入①得：， 原方程组的解是：． 21． 【分析】（1）由整体思想求值即可； （2）设购买1本笔记本需要元，1支签字笔需要元，1支记号笔需要元，根据若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；列出三元一次方程组，由整体思想求出，即可解决问题． 【解答】解：（1）， ①②得：③， ③得：， 的值为18； （2）设购买1本笔记本需要元，1支签字笔需要元，1支记号笔需要元， 由题意得：， ②①得：③， ③得：， 答：购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元钱． 22．【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可； （2）先由②①，求出，把代入三元一次方程组得到关于和的二元一次方程组，利用消元法求得和的值，即可求得三元一次方程组的解． 【解答】解：（1）， 方程组整理得：， ①②得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2）， 方程组整理得：， ①②得：，即， 把代入①得，，即， 则方程组的解为； （3）， ②①得，， 把代入方程组，整理得：， 为④式，为⑤式， ④⑤得：，即， 把代入④得，， 则方程组的解为． 23．【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）先用加减消元法求出的值，再用代入消元法求出的值即可． （2）先用加减消元法求出的值，再用代入消元法求出的值即可． （3）先用加减消元法求出的值，再求出的值，然后用代入消元法求出的值即可． 【解答】解：（1）方程组整理得： ， ①②得：， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2）整理得：， ①②，可得， 把代入①，解得， 则原方程组的解是； （3）， ①②得：④， ③②得：⑤， ⑤④得：，解得， 把代入⑤得：，解得， 把，代入①得，解得， 则方程组的解为． 24．【答案】；；；③． 【分析】（1）分别根据题干提示的思路求解即可； （2）由题意，设1本英语簿元，1本数学簿元，1本作文本元，再建立方程组，先求解，再求解，从而可得答案． 【解答】解：， 由题意，小张的方法：②①， 整理可得：； ①②，整理可得：， ， 小王的方法：①②：③； ③得：． 故答案为：；；；③． 由题意，设1本英语簿元，1本数学簿元，1本作文本元， 可得方程组， ②①得，， ． 又①②，整理得，． ． 25．【答案】或或或． 【分析】先把方程组进行变形，化为完全平方形式，再两方程相加，化简得到，利用方程的解是整数，得到结果． 【解答】解：， ， ， ①②得：， ， ， ， ， ，，，均为整数， 或， 解得或或或． 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$