第10章 三角形综合提升-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学课时通(冀教版2024)

本章综合提升（答案P24) 本章知识归纳 1.三角形三边关系定理：三角形的任意两边之和第三边， 三角形的边 三角形的任意两边之差第三边 2.三角形内角和定理 (1)三角形内角是三角形三边的 每个三角形都有三个 内角，且每个内角均0°且 180° (2)三角形内角和定理：三角形的内角和等于 3.三角形的外角性质 三角形的 (1)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角， 内角和外角 叫作三角形的 ,一个三角形共有 外角，其中有公共顶点的 两个外角相等，因此共有 对 (2）三角形的外角性质 ①三角形的外角和为 三角形 ②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 ③三角形的一个外角 与它不相邻的任意一个内角 4.三角形的角平分线、中线和高 (1)从三角形的一个顶点向底边作 垂足与顶点之间的线段叫 作三角形的 (2)三角形一一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内 角的顶点与所交的点间的线段叫作三角形的 (3)三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫作三角形的 三角形的 (4)三角形有 条中线，有条高线，有 条角平分线， 角平分线 中线和高 它们都是线段 (5)锐角三角形的三条高在三角形 相交于三角形内一点： 直角三角形有两条高与直角边，另一条高在三角形内部，它们的 交点是 顶点：钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角 形内部，三条高所在直线交于三角形 一点 思方法0月纳》>2 a+2b=12, (2)若a和b满足方程组 且c为偶 2a-b=-1, 1.整体思想 数，求这个三角形的周长。 :子链接本童 三角形的三边关系定理，熟知三角形任意两 边之和大于第三边，任意两边之差小于第三 边是解答此题的关键 【例1】已知a,b,c是△ABC的三边 (1)化简a-b+c+|a-b-cl. 一中级下猫数学司 107 【变式训练1】已知a,b,c是三角形的三边长，化3.转化思想 简：la-b-c|+Ib-c-a|+|c+a-bl. “台子链接本章 三角形的内角和定理、三角形外角的性质、 角平分线的定义.解答的关键是结合图形， 分析清楚各角之间的关系。 【例3】如图所示，在△ABC中，∠A=50°， ∠ABC的平分线与△ACB的外角∠ACE的平 分线交于点D. (1)求∠D的度数. (2)你能说出∠D与∠A之间存在怎样的数量关 2.分类讨论思想 系吗？ 子链接本章 掌握三角形的三边关系定理，三角形中线、 角平分线、高的定义，并能分情况进行讨论 是解决问题的关键， 【例2】(2024·石家庄栾城区期中)当三角形 中一个内角3是另外一个内角a的0.5时，我们 称此三角形为“友好三角形”.如果一个“友好三 角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角 形”的“友好角a”的度数为 【变式训练3】如图所示，在直角△ABC中，BC边 【变式训练2】在△ABC中，AB=AC,BD为 上有E,D,F三点，BD=CD,∠BAE=∠DAE, △ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为AF⊥BC,垂足为F. 12cm与15cm两部分，求三角形各边长. (1)以AD为中线的三角形是 :以 AE为角平分线的三角形是 ;以AF为 高的钝角三角形有 个 (2)若∠B=35°，求∠CAF的度数. 108 优十学塞·课时通 通模拟]》22>22922>9 6.(2024·邢台月考)如图所示，直线AB∥CD, 点P是直线AB上一个动点，当点P的位置 1.(秦皇岛青龙期末)以下列数据为三边长能构 发生变化时，△PCD的面积( 成三角形的是() A.1,2,3 B.2,3,4 C.14,4,9 D.7,2,4 2.(2024·唐山二模)如图所示，人字梯的支架 A.始终不变 AB,AC的长度都为2m(连接处的长度忽略 B.向右移动变小 不计)，则B,C两点之间的距离可能是() C.向左移动变小 D.向左移动先变小，再变大 7.(2024·沧州南皮期末如图所示，点P在直线 m上移动，A,B是直线n上的两个定点，且直 线m∥.对于下列各值，不会随点P的移动而 变化的是( A.3 m B.4.2m C.5 m D.6m 3.(2024·邢台三模)五条线段的长度分别为3， 4,m,n,14(m,n均为整数，且4<m<n<14), A.∠APB的大小 已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三 B.△PAB的周长 角形，则n的值为( ) C.△PAB的面积 A.7 B.8 C.9 D.11 D.以上答案都不对 4.(2024·保定曲阳期末)如图所示，BE,CF都 是△ABC的角平分线，且∠BDC=130°，则 8.(唐山路北区二模)如图所示，在△ABC中， ∠A=( AB边上的高线画法正确的是() A.50 B.60 C.70° D.80 5.(2024·沧州青县期末)如图所示，AB∥CD, D AE平分∠CAB交CD于点E,若∠C=40°， 则∠AEC的度数是() 9.(2024·邢台襄都区月考)在△ABC中，∠A 40°，∠B=6∠C,则△ABC是 三角 形.（填“锐角”“直角”或“钝角”） A.40° B.70° C.110 D.130° 一女年级下强数学司 109 10.(2024·邢台信都区月考)如图所示，在13.（河北中考）如图所示，将△ABC折叠，使AC △ABC中，AD是△ABC的角平分线，P为 边落在AB边上，展开后得到折痕1，则l是 线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线 △ABC的() BC于点E. (1)若∠B=30°，∠ACB=80°，求∠E的 度数 (2)当P点在线段AD上运动时，若∠E是 A.中线 B.中位线 锐角，请对∠E=(∠ACB-∠B)说明 C.高线 D.角平分线 14.(河北中考)要得知作业纸上两相交直线AB, 理由. CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸 内，无法直接测量.两同学提供了如下间接测 量方案（如图①和图②所示）： 方案I E ① ①作一直线GH,分别交AB,CD于点E,F: ②利用尺规作∠HEN=∠CFG: ③测量∠AEM的大小即可. 通中考 11.(2024·河北中考改编)观察图中尺规作图的 方案Ⅱ 痕迹，可得线段BD一定是△ABC的() A.角平分线 B.高线 C.射线 D.中线 ② ①作一直线GH,分别交AB,CD于点E,F; ②测量∠AEH和∠CFG的大小： 2D ③计算180°-∠AEH一∠CFG即可. 第11题图 第12题图 12.(河北中考)四边形ABCD的边长如图所示， 对于方案I、Ⅱ，说法正确的是( 对角线AC的长度随四边形形状的改变而变 A.I可行、Ⅱ不可行 化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的 B.I不可行、Ⅱ可行 长为( ) C.I、Ⅱ都可行 A.2 B.3 C.4 D.5 D.I、Ⅱ都不可行 110 优十学塞课时通本章综合提升 则有∠ABD+∠A=∠DCF+∠D. :∠DCE是△BCD的外角， 【本章知识归纳】 .∠DCE=∠CBD+∠D, 1.大于，小于 .∠ABD+∠A=∠CBD+∠D+∠D, 2.(1)夹角，大于，小于 .∠ABD+50°=∠ABD+2∠D, (2)180 即2∠D=50°. 3.(1)外角，六个，三 得∠D=25 (2)①360°②和③大于 (2)如图，当∠A=x时 4.(1)垂线，高 ”∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D. (2)角平分线 (3)中线 ·∠ABD=∠CBD=2∠ABC,∠ACD=∠DCE- (4)三，三，三 2∠ACE (5)内部，重合，直角，外 【思想方法归纳】 ∠AFD是△ABF的外角，也是△CDF的外角， 【例1】解：(1)：a,b,e是△ABC的三边， .∠AFD=∠ABD+∠A,∠AFD=∠DCF+∠D, a+c>h,b+c>a. 则有∠ABD+∠A=∠DCF+∠D. .a-b十c>0,a-b-c<0, :∠DCE是△BCD的外角， .a-b+cl+la-b-cl=(a-b+c)-(a-b-c)=a-b+ ∴.∠DCE=∠CBD+∠D, c-a十b+c=2e. ,∠ABD+∠A=∠CBD+∠D十∠D, (2)解方程组口+26=12. .∠ABD+x°=∠ABD+2∠D, l2a-h=-1 解得0=2， b=5, 即2∠D=x, 根据三角形的三边关系得5一2<<2十5，即3<c<7, .∠A=2∠D :c为偶数， 【变式训练3】 c■4或6， 解：(1)△ABC△ABD3 当c=4时，三角形的三边为2,5,4,2+4>5，能构成三角形： (2)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=35, 当=6时，三角形的三边为2,5,6,2十5>6，能构成三角形， .∠C=90°-35=55°. ,.这个三角形的周长为2+5+4=11或2+5+6=13. .AF⊥BC,∴.∠CAF=90°-55°=35 【变式训练1】 【通模拟】 解：：a,b,c为三角形的三边长， 1.B2.A3.C4.D5.B6.A7.C8.B9.钝角 ,'.a十b>c,a十e>b,c十a>b, 10.解：(1)∠B=30°，∠ACB=80°，.∠BAC=70 .原式=a-(b十c)川+b一(c+a)|+lc+a-b ,AD平分∠BAC,.∠DAC=35°，.∠ADC=65 =b+e-a+a+e-b+e十a-b PE⊥AD,.∠E=25 (2)如图所示，设∠B=n°， =3c+a-b. 【例2】54"或108或84 ∠ACB=m°. 【变式训练2】 :AD平分∠BAC, 解：：BD为△ABC的中线，∴AD=CD, ·∠1=∠2=2∠BAC 设AD=CD=x,则AB=2x. :∠B+∠ACB+∠BAC=180°.∠B=n",∠ACB=m', 当x十2.x=12时，解得r=4, BC+x=15,解得BC=11, ∠CAB=(180-1-m八∠1=2180-1-m 此时△ABC的三边长为AB=AC=8, BC=11: ∠8=∠B+☑41=r410-m=90+2-7m 1 当.x十2.x=15.BC+x=12时，解得r=5,BC=7, PE⊥AD,∴∠DPE=90, 此时△ABC的三边长为AB=AC=10,BC=7. ∠B=0-(o+7-7m）ZAB-∠Bm. 1 【例3】解：(1)如图所示： :∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交 【通中考】 于点D. 11.B12.B13.D14.C ·.∠ABD=∠CBD= 2∠ABC, 第十一章一元一次不等式 ∠ACD=∠DCE=∠ACE 和一元一次不等式组 :∠AFD是△ABF的外角，也是△CDF的外角， 11.1不等式 .∠AFD=∠ABD+∠A,∠AFD=∠DCF+∠D, 1.A2.C3.B4.x+4≥7x5.20°C≤T≤26C 24