第九章 样本的数字特征（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第二册）

第九章 样本的数字特征 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一上·河南焦作·期末）数据2，3，5，5，6，7，8，8，9，10的分位数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．7.5 2．（2025高三下·安徽亳州·开学考试）现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一下·安徽芜湖·阶段练习）已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（2025·安徽宣城·模拟预测）某公司计划招收500名新员工，共报名了2000人，远超计划，故该公司采用笔试的方法进行选拔，并按照笔试成绩择优录取.现采用随机抽样的方法抽取200名报名者的笔试成绩，绘制频率分布直方图如下： 则录取分数线可估计为（    ） A．70.5 B．72.5 C．75.5 D．77.5 5．（2025高一·全国·课后作业）已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入三个新数据4，5，6，若新样本的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（2025·全国·模拟预测）已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本容量分别为，，，样本平均数分别为，，，样本方差分别为，，，若，则（   ） A． B． C．总体样本平均数 D．当时，总体方差 7．（2025高一下·河北石家庄·阶段练习）已知是互不相等的自然数，且，标准差为2，则该样本数据的极差为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 8．（2025高三上·广西南宁·开学考试）某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（    ） A．成绩在上的人数最多 B．成绩不低于70分的学生所占比例为 C．50名学生成绩的平均分小于中位数 D．50名学生成绩的极差为50 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025·浙江·模拟预测）下列统计量中，能度量样本，，…，的离散程度的是（    ） A．样本，，…，的极差 B．样本，，…，的中位数 C．样本，，…，的标准差 D．样本，，，…，的方差 10．（2025高二下·湖南衡阳·阶段练习）2017年至2022年湖南省年生产总量及其增长速度如图所示，则（    ） A．2017年至2022年湖南省年生产总量逐渐增加 B．2017年至2022年湖南省年生产总量的极差为14842.3亿元 C．2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的众数为 D．2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的分位数为 11．（2024·湖南邵阳·三模）为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木，测量底部周长（单位：cm），所得数据均在区间内，其频率分布直方图如图所示，则（    ） A．图中的值为0.025 B．样本中底部周长不小于110cm的树木有12株 C．估计该片经济林中树木的底部周长的分位数为115 D．估计该片经济林中树木的底部周长的平均数为104（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高一下·山西运城·期末）已知样本数据，…，的平均数为5，方差为3，另一组样本数据，…，的平均数为10，方差为4，则样本数据，…，，，…，的方差为 . 13．（24-25高二下·上海金山·期末）已知个正整数，它们中的最小数是，平均数是，中位数是，唯一的众数是，若这个数的方差最小，则个数中的最大数为 ． 14．（2025·山西太原·二模）为获得某校高一年级全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个样本，其中有30名男生和20名女生，计算得男生样本的均值为170，方差为15．女生样本的均值为160，方差为30，则由上述数据计算该校高一年级学生身高的均值是 ，方差是 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高一下·甘肃酒泉·阶段练习）甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环). 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙两人只有1人入选，你认为应如何选择？ 16．（2025·全国·模拟预测）随着人们生活水平的提高，对零食的需求也在增加，特别是在年轻人群中，零食已经成为他们日常消费的一部分，新兴的消费群体和消费观念为零食集合店的发展提供了巨大的机会和包容性某公司为了了解青少年消费者对甲、乙两个品牌零食集合店的满意程度，统计了10名青少年消费者对这两个品牌零食集合店的打分（满分10分），结果如下： 甲品牌零食集合店 6 10 7 9 6 5 6 8 8 5 乙品牌零食集合店 5 9 5 4 5 7 10 9 8 8 (1)求样本平均数和方差； (2)判断青少年消费者对甲、乙两个品牌零食集合店的满意度是否有明显差异（若，则认为青少年消费者对甲、乙两个品牌零食集合店的满意度无明显差异，否则认为有明显差异）． 17．（2025高二上·黑龙江大庆·期中）为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100)六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题： （1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表） 18．（2025高一·全国·课堂例题）某公司全体职工的月工资如下： 月工资/元 18000 12000 8000 6000 4000 2500 2000 1500 1200 人数 1（总经理） 2（副总经理） 3 4 10 20 22 12 6 (1)试求出该公司月工资数据中的众数、中位数和平均数． (2)你认为用平均数、中位数或众数中的哪一个更能反映该公司的工资水平？ (3)对于职工月工资数据的平均数、中位数和众数，你认为该公司总经理、普通员工及应聘者将分别关注哪一个？说说你的理由． 19．（2025高二上·云南玉溪·阶段练习）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数； （2）现从以上各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的宣传使者.若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 样本的数字特征 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一上·河南焦作·期末）数据2，3，5，5，6，7，8，8，9，10的分位数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．7.5 【答案】D 【分析】根据百分位数的定义进行求解. 【详解】，从小到大第6个数据为7，第7个数据为8， 故分位数为. 故选：D 2．（2025高三下·安徽亳州·开学考试）现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平均数和方差公式可求得新数据的方差. 【详解】设甲组数据分别为、、、，乙组数据分别为、、、， 甲组数据的平均数为，可得，方差为，可得， 乙组数据的平均数为，可得，方差为，可得， 混合后，新数据的平均数为， 方差为 . 故选：D. 3．（2025高一下·安徽芜湖·阶段练习）已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式计算即可求解． 【详解】设7个数为， 则， ， 所以， 所以， 则这个数的平均数为， 方差为． 故选：A． 4．（2025·安徽宣城·模拟预测）某公司计划招收500名新员工，共报名了2000人，远超计划，故该公司采用笔试的方法进行选拔，并按照笔试成绩择优录取.现采用随机抽样的方法抽取200名报名者的笔试成绩，绘制频率分布直方图如下： 则录取分数线可估计为（    ） A．70.5 B．72.5 C．75.5 D．77.5 【答案】D 【分析】由频率分布直方图求出75百分位对应的分数即可得． 【详解】．因此的人不能录取． 由频率分布直方图得70分以下的频率为，80分以下的频率为， 设录取分数线为，则，解得． 故选：D． 5．（2025高一·全国·课后作业）已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入三个新数据4，5，6，若新样本的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平均数、方差公式计算可得. 【详解】解：设新样本的10个数据分别为，，…，，，，， 由题意得，又，所以， 所以， ． 故选：B 6．（2025·全国·模拟预测）已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本容量分别为，，，样本平均数分别为，，，样本方差分别为，，，若，则（   ） A． B． C．总体样本平均数 D．当时，总体方差 【答案】D 【分析】根据样本平均数以及方差的定义，即可判断A、B项；计算可判断C；根据分层抽样，总体方差的求解，计算即可得出D. 【详解】对于A、B项，由于样本容量与样本平均数、样本方差之间并不是成某种比例关系，所以选项A，B错误； 对于C项，设， 则总体样本平均数，所以选项C错误； 对于D项，当时，总体样本平均数， 所以总体方差，所以选项D正确. 故选：D． 7．（2025高一下·河北石家庄·阶段练习）已知是互不相等的自然数，且，标准差为2，则该样本数据的极差为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】不妨设，平均数为，方差为，根据条件可得，，，然后分、、三种情况讨论求解即可. 【详解】不妨设，平均数为，方差为， 则，解得，即， 所以，则. 当时，数据依次为5，6，7，8，9，则样本的方差为 ，不满足题意； 当时，数据依次为4，6，7，8，10，则样本的方差为 ，满足题意； 当时，，，，此时，方差大于4，不合题意. 故样本中最大的数为10，最小的数为4，极差为6. 故选：B 8．（2025高三上·广西南宁·开学考试）某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（    ） A．成绩在上的人数最多 B．成绩不低于70分的学生所占比例为 C．50名学生成绩的平均分小于中位数 D．50名学生成绩的极差为50 【答案】D 【分析】根据频率分布直方图求出的频率，A项可由各矩形高度可得；B项由频率计算可得；C项分别求出平均数、中位数比较可知；D项由极差定义可得. 【详解】设组的频率为，则由各组频率之和为1可得 ，解得； ，，，，各组频率依次为：， A项， 组频率最大，即成绩在上的人数最多，故A正确； B项，成绩低于70分的学生频率为，即不低于70分的学生频率为， 所以成绩不低于70分的学生所占比例为，故B正确； C项，根据频率分布直方图，可得50名学生成绩的平均数是 ， 由，故50名学生成绩的中位数为80， 所以50名学生成绩的平均分小于中位数，故选项C正确； D项，极差为数据中最大值与最小值的差， 已知50名学生的成绩都在区间内， 但成绩的最大值不一定是100，最小值也不一定是， 故极差小于等于，但不一定等于50，故D错误. 故选：D. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025·浙江·模拟预测）下列统计量中，能度量样本，，…，的离散程度的是（    ） A．样本，，…，的极差 B．样本，，…，的中位数 C．样本，，…，的标准差 D．样本，，，…，的方差 【答案】ACD 【分析】根据极差，中位数，标准差，方差的含义，即可依次求解． 【详解】对于A，极差为一组数据中最大值与最小值的差，极差越大数据越分散，极差越小数据越集中，故该样本的极差能度量该样本的离散程度，故A正确； 对于B，中位数为一组数据中中间的数，故该样本的中位数刻画了该样本的集中趋势，故B错误； 对于C，标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据离散程度越大，标准差越小，数据的离散程度越小，故该样本的标准差能度量该样本的离散程度，故C正确； 对于D，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，又样本，，，…，的方差与样本，，…，的方差是一样的，故样本，，，…，的方差能度量样本，，…，的离散程度，故D正确． 故选：ACD． 10．（2025高二下·湖南衡阳·阶段练习）2017年至2022年湖南省年生产总量及其增长速度如图所示，则（    ） A．2017年至2022年湖南省年生产总量逐渐增加 B．2017年至2022年湖南省年生产总量的极差为14842.3亿元 C．2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的众数为 D．2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的分位数为 【答案】ABC 【分析】根据给定的条形图及折线图，结合极差、众数及分位数的意义判断即得. 【详解】对于A，2017年至2022年湖南省年生产总量逐渐增加，A正确； 对于B，2017年至2022年湖南省年生产总量的极差为（亿元），B正确； 对于C，2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的众数为，C正确； 对于D，2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度从小到大依次为： ，而，所以该组数据的分位数为，D错误. 故选：ABC 11．（2024·湖南邵阳·三模）为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木，测量底部周长（单位：cm），所得数据均在区间内，其频率分布直方图如图所示，则（    ） A．图中的值为0.025 B．样本中底部周长不小于110cm的树木有12株 C．估计该片经济林中树木的底部周长的分位数为115 D．估计该片经济林中树木的底部周长的平均数为104（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） 【答案】AC 【分析】根据频率分布直方图的性质，以及平均数和百分位数，以及频数与频率的计算方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由频率分布直方图的性质，可得， 解得，所以A正确； 对于B中，由频率分布直方图，可得不小于110 cm的频数为， 所以不小于110 cm的树木有株，所以B错误； 对于C中，由频率分布直方图得，前三个矩形的面积为， 前四个矩形的面积为， 所以分位数位于区间，则，所以C正确； 对于D中，由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ，所以D错误； 故选：AC. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高一下·山西运城·期末）已知样本数据，…，的平均数为5，方差为3，另一组样本数据，…，的平均数为10，方差为4，则样本数据，…，，，…，的方差为 . 【答案】9.6 【分析】由题得， ， ，再利用方差公式化简求解. 【详解】由题得， ， 由题得， 所以样本数据，…，，，…，的方差为 故答案为：9.6 13．（24-25高二下·上海金山·期末）已知个正整数，它们中的最小数是，平均数是，中位数是，唯一的众数是，若这个数的方差最小，则个数中的最大数为 ． 【答案】 【分析】分析可知，将这个正整数由小到大排列分别为、、、、、，由已知条件得出，求得且，利用方差公式并结合二次函数的基本性质可求得的最小值及其对应的的值，即为所求. 【详解】将这个正整数由小到大排列可知，个正整数中有个， 由于该组数的中位数为，可设该组数由小到大排列为、、、、、， 因为该组的平均数为，则，可得，故， 因为，即，因为，可得， 这个正整数的方差为， 因为且，故当时，取最小值. 故答案为：. 14．（2025·山西太原·二模）为获得某校高一年级全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个样本，其中有30名男生和20名女生，计算得男生样本的均值为170，方差为15．女生样本的均值为160，方差为30，则由上述数据计算该校高一年级学生身高的均值是 ，方差是 ． 【答案】 166 45 【分析】由样本均值、方差的计算公式，代入数据即可求得. 【详解】设样本中男生的身高为，女生的身高为， 则，该校高一年级学生身高的均值是， 方差为 . 故答案为：166，45. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高一下·甘肃酒泉·阶段练习）甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环). 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙两人只有1人入选，你认为应如何选择？ 【答案】应让甲入选 【分析】根据题意分别求平均数与方差，再对比分析即可得结果. 【详解】由题意可得：甲的平均数为，甲的方差为； 乙的平均数为，甲的方差为； ∵甲、乙两人平均数相同，但，说明乙的波动性大， 故应让甲入选． 16．（2025·全国·模拟预测）随着人们生活水平的提高，对零食的需求也在增加，特别是在年轻人群中，零食已经成为他们日常消费的一部分，新兴的消费群体和消费观念为零食集合店的发展提供了巨大的机会和包容性某公司为了了解青少年消费者对甲、乙两个品牌零食集合店的满意程度，统计了10名青少年消费者对这两个品牌零食集合店的打分（满分10分），结果如下： 甲品牌零食集合店 6 10 7 9 6 5 6 8 8 5 乙品牌零食集合店 5 9 5 4 5 7 10 9 8 8 (1)求样本平均数和方差； (2)判断青少年消费者对甲、乙两个品牌零食集合店的满意度是否有明显差异（若，则认为青少年消费者对甲、乙两个品牌零食集合店的满意度无明显差异，否则认为有明显差异）． 【答案】(1)甲乙平均数分别为7，7，甲乙方差分别为，4 (2)可以认为青少年消费者对甲、乙两个品牌零食集合店的满意度有明显差异 【分析】（1）根据样本平均数、方差的概念及公式可得. （2）根据题意以及第（1）问的所得数据进行运算判断即可. 【详解】（1）由题意可得： ， ， ， . （2）由（1）可得，， 所以， 所以可以认为青少年消费者对甲、乙两个品牌零食集合店的满意度有明显差异． 17．（2025高二上·黑龙江大庆·期中）为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100)六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题： （1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表） 【答案】（1）第四组的频率为0.3，直方图见解析；（2）众数：75，中位数：，均分为71分 【分析】（1）由各组的频率和等于1求解第四组频率，再补全直方图即可 （2）利用最高的矩形得众数；利用左右面积相等求中位数；利用组中值估算抽样学生的平均分 【详解】(1)因为各组的频率和等于1，所以第四组的频率为. 补全的频率分布直方图如图所示． (2)众数为：， 设中位数为x,则 抽取学生的平均分约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分)，所以可估计这次考试的平均分为71分． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图、用样本估计总体、等可能事件的概率，同时考查了作图能力，属于中档题． 18．（2025高一·全国·课堂例题）某公司全体职工的月工资如下： 月工资/元 18000 12000 8000 6000 4000 2500 2000 1500 1200 人数 1（总经理） 2（副总经理） 3 4 10 20 22 12 6 (1)试求出该公司月工资数据中的众数、中位数和平均数． (2)你认为用平均数、中位数或众数中的哪一个更能反映该公司的工资水平？ (3)对于职工月工资数据的平均数、中位数和众数，你认为该公司总经理、普通员工及应聘者将分别关注哪一个？说说你的理由． 【答案】(1)众数是2000，中位数2250，平均数为 (2)众数及中位数较能反映月工资水平的实际情况 (3)答案见解析 【分析】（1）根据平均数和中位数及众数计算公式计算即可； （2）根据已知工资的实际情况结合众数和中位数定义较能反映实际情况； （3）根据平均数和中位数及众数定义结合实际情况判断即可. 【详解】（1）在上述80个数据中，2000出现了22次，出现的次数最多，因此这组数据的众数是2000． 把这80个数据按从小到大的顺序排列后，位于中间的数是2000，2500，因此这组数据的中位数是． 这组数据的平均数为． 我们把这组数据的众数、中位数、平均数表示在图6.4-1中．      （2）由于大多数员工的月工资达不到平均数3115，显然用平均数作为该公司员工月工资的代表值并不合适；众数2000及中位数2250在一定程度上代表了大多数人的工资水平，较能反映月工资水平的实际情况． （3）公司总经理最关心的是月工资的总额，所以他关注的是平均数； 普通员工关注的是自己的收入在本公司职工群体中的位置，中位数能帮助职工了解自己的工资收入处于什么样的水平； 应聘者最想知道公司发给大多数员工的工资数额，这也是一般应聘者将会拿到的工资，因此应聘者关注的是该公司月工资的众数． 19．（2025高二上·云南玉溪·阶段练习）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数； （2）现从以上各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的宣传使者.若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【答案】（1）平均年龄岁，第80百分位数为；（2）10. 【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和百分位数； （2）由分层抽样得第四组和第五组分别抽取人和人，进而设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，进而根据方差公式有，代入计算即可得答案. 【详解】解：（1）设这人的平均年龄为，则 . 设第80百分位数为，由，解得. （2）由频率分布直方图得各组人数之比为， 故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取人和人， 设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为. 则， ， 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10， 据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$