专题06：第22章四边形章节复习提升（六大考点） 【强基篇+重难点篇】2024-2025学年沪教版（上海）八年级数学第二学期同步培优课程

2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（强基篇） 专题06 第22章四边形章节复习提升 多边形 矩形 菱形 正方形 平行四边形 梯形 四边形 等腰梯形 直角梯形 平面向量 向量的加法与减法 考点1：多边形 【例1】如果过多边形的一个顶点共有8条对角线，那么这个多边形的内角和是 　　度． 【答案】1620． 【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线 【分析】从多边形一个顶点可作8条对角线，则这个多边形的边数是11，边形的内角和可以表示成，代入公式就可以求出内角和． 【解答】解：过多边形的一个顶点共有8条对角线， ， ， 该多边形边数为11， ， 这个多边形的内角和为． 故答案为：1620． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，比较简单． 【例2】一个凸多边形的内角中最多有几个锐角(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据任意凸多边形的外角和是可知它的外角中，最多有个钝角，则内角中，最多有个锐角． 【详解】解：一个凸多边形的内角中，最多有个锐角． 理由是：因为凸多边形的外角和是度，在外角中最多有个钝角，如果超过个，则和一定大于度，多边形的内角与外角互为邻补角， 所以外角中最多有个钝角，内角中就最多有个锐角． 故选：C． 【点睛】本题考查多边形的内角和外角，注意每个内角与其相邻的外角是邻补角，由于多边形的外角和是不变的，所以要分析内角的情况可以借助外角来分析． 【例3】下列图形中，是中心对称图形且旋转后能与自身重合的图形是(   ) A．等边三角形 B．正方形 C．正八边形 D．正十二边形 【答案】D 【分析】根据中心对称图形排除A，计算，判断是的倍数即可． 【详解】A、等边三角形不是中心对称图形，错误，不符合题意； B、正方形是中心对称图形，，不是的整数倍数，错误，不符合题意； C、正八边形是中心对称图形，，不是的整数倍数，错误，不符合题意； D、正十二边形是中心对称图形，，是的整数倍数，正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了中心对称图形即图形绕某点旋转后与原图形完全重合，熟练掌握定义是解题的关键． 【例4】当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，其中，，那么的度数为　　． 【答案】． 【考点】等腰直角三角形；多边形的对角线 【分析】根据“等腰四边形”的定义画出图形，对角线是该四边形的“等腰线”，所以和为等腰三角形，由于，中分两种情形：①，②．当时，由于，可得为等边三角形，，则，结论可得；当时，过点作，根据等腰三角形的三线合一，，过点作，交延长线于点，根据四边形为矩形，，可得，由于，可得，从而可求． 【解答】解：凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”， 和为等腰三角形． 由于，在中分两种情形：①，②． 当①时，如图： ，． ． 为等边三角形． ． ， ． ， ． 当②时，如图， 过点作，过点作，交延长线于点， ，， ． ，，， 四边形为矩形． ． ， ． 在中，， ． ， ． ， ． ， ． 综上，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等腰三角形，多边形的对角线，等腰直角三角形等知识点．本题是阅读题，正确理解题意是解题的关键． 考点2：平行四边形 【例5】下列命题中，真命题的是（　　） A．一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且一组对角互补的四边形是平行四边形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．一组邻边相等且一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题． 【详解】解：、一组对角相等且一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，原命题是假命题,不符合题意； B、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题,不符合题意； C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，原命题是真命题,符合题意； D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题,不符合题意； 故选：C 【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性． 【例6】在四边形中，对角线与交于点，下列各组条件，其中不能判定四边形是平行四边形的是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【考点】平行四边形的判定 【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【解答】解：、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； 、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； 、，， 四边形不是平行四边形．故不能判定这个四边形是平行四边形； 、，， 四边形是平行四边形，故能判定这个四边形是平行四边形． 故选：． 【点评】此题考查了平行四边形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键． 【例7】下列命题是真命题的是（   ） A．平行四边形的邻边相等； B．平行四边形的对角线互相平分； C．平行四边形内角都相等； D．平行四边形是轴对称图形． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可进行求解． 【详解】解：由平行四边形的性质可知：平行四边形的两组对边相等；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的对角相等；平行四边形是中心对称图形； 故选B． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及真命题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【例8 【答案】20． 【考点】平行四边形的性质；勾股定理 【分析】由平行四边形的性质得，，，，再证，然后由含角的直角三角形的性质得，，即可解决问题． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，，，， ，， ，，， ， ， ， ， ，， ，， 的周长， 故答案为：20． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【例9】已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E、F，AE、CF分别与BD相交于点G、H，联结AH、CG． 求证：四边形AGCH是平行四边形． 【分析】法1：由平行四边形对边平行，且CF与AD垂直，得到CF与BC垂直，根据AE与BC垂直，得到AE与CF平行，得到一对内错角相等，利用等角的补角相等得到∠AGB＝∠DHC，根据AB与CD平行，得到一对内错角相等，再由AB＝CD，利用AAS得到三角形ABG与三角形CDH全等，利用全等三角形对应边相等得到AG＝CH，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； 法2：连接AC，与BD交于点O，利用平行四边形的对角线互相平分得到OA＝OC，OB＝OD，再由AB与CD平行，得到一对内错角相等，根据CF与AD垂直，AE与BC垂直，得一对直角相等，利用ASA得到三角形ABG与三角形CDH全等，利用全等三角形对应边相等得到BG＝DH，根据等式的性质得到OG＝OH，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证． 【解答】证明：法1：在□ABCD中，AD∥BC，AB∥CD， ∵CF⊥AD， ∴CF⊥BC， ∵AE⊥BC， ∴AE∥CF，即AG∥CH， ∴∠AGH＝∠CHG， ∵∠AGB＝180°﹣∠AGH，∠DHC＝180°﹣∠CHG， ∴∠AGB＝∠DHC， ∵AB∥CD， ∴∠ABG＝∠CDH， ∴△ABG≌CDH， ∴AG＝CH， ∴四边形AGCH是平行四边形； 法2：连接AC，与BD相交于点O， 在□ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，∠ABE＝∠CDF，AB∥CD， ∴∠ABG＝∠CDH， ∵CF⊥AD，AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴∠BAG＝∠DCH， ∴△ABG≌CDH， ∴BG＝DH， ∴BO﹣BG＝DO﹣DH， ∴OG＝OH， ∴四边形AGCH是平行四边形． 【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 【例10】如图，在中，，点是斜边上的一点，，点是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）联结、，如果，求证：． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【考点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，进而得出，由平行四边形的判定则可得出结论； （2）由三角形中位线定理得出，得出，由角平分线的定义证得，则可得出结论． 【解答】证明：（1）， 是等腰三角形， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2），点是的中点， 垂直平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 考点3：特殊四边形 【例11】已知四边形中，，，下列说法不正确的是　　 A．如果，那么四边形是矩形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果，那么四边形是矩形 D．如果，那么四边形是矩形 【答案】 【考点】矩形的判定 【分析】根据矩形的判定判断即可． 【解答】解：、，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形，故不符合题意； 、当，，，不能判定四边形是矩形，故符合题意； 、，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形，故不符合题意； 、如图， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形，故不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【例12】已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是　　 A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是正方形 【考点】：正方形的判定；：矩形的判定；：平行四边形的性质；：菱形的判定 【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【解答】解：、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故本选项不符合题意； 、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当时，四边形是菱形，故本选项不符合题意； 、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当时，四边形是矩形，故本选项不符合题意； 、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当时，它是矩形，不是正方形，故本选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【例13】下列命题中是假命题的是　　 A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．一组邻边相等的矩形是正方形 【考点】：平行四边形的判定；：菱形的判定；：矩形的判定；：正方形的判定 【分析】做题时首先熟悉各种四边形的判定方法，然后作答． 【解答】解：、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（平行四边形判定定理）；故不符合题意． 、一组对边相等且有一个角是直角的四边形，不一定是矩形，还可能是不规则四边形，故符合题意． 、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故不符合题意； 、一组邻边相等的矩形是正方形，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心． 【例14】如图，E、F、H分别为正方形的边、、上的点，连接，，且，平分交于点G．若，则的度数为（    ） A．26° B．38° C．52° D．64° 【答案】D 【分析】过点作，由正方形的性质，，，四边形为矩形，利用HL易证得，可得，进而可得，由角平分线可得的度数，即可求得得度数． 【解析】解：过点作， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴（HL）， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线，构造全等三角形，利用其性质转化角度是解决问题的关键． 【例15】如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则的值为________________． 【答案】 【分析】连接BE，BD，证明△BCD是等边三角形，证得∠ABE=∠CEB=90°，由折叠可得AF=EF，由EF2=BE2+BF2可求出答案． 【解析】解：如图，连接BE，BD， ∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°， ∴AB=4=BC=CD，∠A=60°=∠C， ∴△BCD是等边三角形， ∵E是CD中点， ∴DE=2=CE，BE⊥CD，∠EBC=30°， ∴， ∵CD∥AB， ∴∠ABE=∠CEB=90°， 由折叠可得AF=EF， ∵EF2=BE2+BF2， ∴EF2=12+（4-EF）2，解得，， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度． 【例16】已知，如图，中，，是边的延长线上一点，过作，交的延长线于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）联结，当是的中点时，求证：四边形为矩形． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定 【分析】（1）由等腰三角形的性质证出，由平行四边形的判定可得出结论； （2）证出，由矩形的判定可得出结论． 【解答】（1）证明：， ， ， ， 又， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：为的中点， ， ，， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 又四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 【例17】已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，平分，过点作分别交、于点、． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求证：． 【答案】（1）（2）证明见解析． 【考点】菱形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 【分析】（1），，得到四边形是平行四边形，由角平分线定义，平行线的性质推出，得到，即可证明问题； （2）连接，由菱形的性质得到，又，因此，推出四边形是等腰梯形，即可证明． 【解答】证明：（1），， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． （2）连接， 四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是等腰梯形， ． 【点评】本题考查菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，等腰梯形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，关键是由角平分线定义，平行线的性质推出；由菱形的性质推出四边形是等腰梯形． 【例18】如图，在三角形中，，、分别是 与它的邻补角的平分线，于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）联结交于点，若，求证：四边形是正方形． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【考点】正方形的判定；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质 【分析】（1）由，是的平分线，可得，于点，所以可得出四边形为矩形； （2）证出，由正方形的判定可得出结论． 【解答】（1）证明：，是的平分线， ， 是的平分线，是的外角平分线， ，即， 为等腰三角形， 为高， 又， ， 四边形为矩形； （2）证明：如图， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 四边形是正方形． 【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 考点4：梯形 【例19】已知等腰梯形的中位线长为9，对角线互相垂直，那么该梯形的一条对角线长是 ． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，根据等腰梯形的性质得出，根据得出是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵ ∴， 又∵,，设交于点, ∴是等腰直角三角形， ∴ 设，则 ∴ 即, 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，中位线的性质，勾股定理，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键． 【例20】顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形的两条对角线为a、b，则等腰梯形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据同意得到一条对角线是梯形得中位线，另一条是梯形的高，然后利用梯形的面积公式求解即可． 【详解】根据同意可得， 一条对角线是梯形得中位线，另一条是梯形的高， ∴等腰梯形的面积（上底＋下底）高． 故答案为：． 【点睛】此题考查了梯形的中位线和梯形的面积，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【例21】在梯形ABCD中，AD∥BC，AH是高，已知AB＝，AD＝3，CD＝5，AH＝4，则梯形ABCD的面积是 　　． 【分析】分三种情况进行讨论，先根据勾股定理和线段的和差关系求出下底，再根据梯形的面积公式即可求解． 【解答】解：过D点作DE⊥BC于E， ∵AH是高，AH＝4， ∴DE＝4， ∵CD＝5， ∴CE＝＝3， ∵AB＝， ∴BH＝＝1， ∵AD∥BC， ∴HE＝AD＝3， ①梯形ABCD的面积＝（（3+1+3+3）×4÷2＝20； ②梯形ABCD的面积＝（（3+1+3﹣3）×4÷2＝8； ③梯形ABCD的面积＝（（3+3+3﹣1）×4÷2＝16． 故梯形ABCD的面积是20或8或16． 故答案为：20或8或16． 【点评】本题考查了梯形，关键是求出梯形的下底，注意分类思想的应用． 【例22】在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17，则CD的长是 　　． 【分析】分两种情况画图：①过点C作CE⊥AB于E，再根据勾股定理求出BE的长，进而可得CD的长；②过点C作BE⊥CD于E，再根据勾股定理求出CE的长，进而可得CD的长． 【解答】解：①如图，过点C作CE⊥AB于E， 得四边形DAEC为矩形， ∴CE＝AD＝15，CD＝AE， 在Rt△ABE中，BC＝17，根据勾股定理，得 BE＝＝＝8， ∴AE＝AB﹣BE＝16﹣8＝8， ∴CD＝8； ②如图，过点C作BE⊥CD于E， 得四边形ADEB为矩形， ∴BE＝AD＝15，DE＝AB＝16， 在Rt△CBE中，BC＝17，根据勾股定理，得 CE＝＝＝8， ∴CD＝DE+CE＝16+8＝24， 综上所述：CD的长为8或24． 故答案为：8或24． 【点评】本题考查了直角梯形，勾股定理，矩形的判定与性质，解决本题的关键是利用分类讨论思想画图解答． 【例23】在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，，CD＝3，那么∠C＝　　． 【分析】可分两种情况：当∠C为锐角时，当∠C为钝角时，过D（C）作垂线，结合矩形的判定与性质，利用勾股定理可求解∠CDF（∠DCF）的度数，进而可求解． 【解答】解：当∠C为锐角时，如图，过D作DF⊥BC，垂足为F， ∵AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠A+∠B＝180°， ∴∠B＝90°， ∴四边形ABFD是矩形， ∴DF＝AB＝， ∵CD＝3， ∴CF＝， ∴CD＝2CF， ∴∠CDF＝30°， ∴∠C＝90°﹣30°＝60°； 当∠C为钝角时，如图，过C作CF⊥AD，垂足为F， ∵AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠A+∠B＝180°， ∴∠B＝90°， ∴四边形ABCF是矩形， ∴CF＝AB＝，∠BCF＝90°， ∵CD＝3， ∴DF＝， ∴∠DCF＝30°， ∴∠BCD＝90°+30°＝120°． 综上，∠BCD＝60°或120°， 故答案为：60°或120°． 【点评】本题主要考查直角梯形，矩形的判定与性质，含30° 角的直角三角形，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 【例24】已知：如图，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延长线于E，EF⊥AD交AD的延长线于F，下列结论：①BD∥EF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE+EF．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据已知利用等腰梯形的性质对各个结论进行分析从而得出最后的答案． 【解答】解：根据四边形ABCD是等腰梯形，可得出的条件有：AC＝BD，∠OAB＝∠OBA＝∠ODC＝∠OCD（可通过全等三角形ABD和BAC得出），OA＝OB，OC＝OD，∠ACB＝∠ADB＝90°（三角形ACB和BDA全等）． ①要证BD∥EF就要得出∠ADB＝∠EFD，而∠ADB＝90°，∠EFD＝90°，因此∠ADB＝∠EFD，此结论成立； ②由于BD∥EF，∠AEF＝∠AOD，而∠AOD＝∠OAB+∠OBA＝2∠OAB，因此∠AEF＝2∠OAB，此结论成立． ③在直角三角形ABE中，∠OAB＝∠OBA，∠OAB+∠OEB＝∠OBA+∠OBE＝90°，因此可得出∠OEB＝∠OBE，因此OA＝OB＝OE，那么O就是直角三角形ABE斜边AE的中点，由于OD∥EF，因此OD就是三角形AEF的中位线，那么D就是AF的中点，因此此结论也成立． ④由③可知EF＝2OD＝2OC，而OA＝OE＝OC+CE．那么AC＝OA+OC＝OC+OC+CE＝2OC+CE＝EF+CE，因此此结论也成立． 故选：D． 【点评】本题主要考查了等腰梯形的性质．根据等腰梯形的性质得出的角和边相等是解题的基础． 考点5：平面向量及加减运算 【例25】已知四边形是矩形，点是对角线与的交点．下列四种说法：①向量与向量是相等的向量；②向量与向量是互为相反的向量；③向量与向量是相等的向量；④向量与向量是平行向量．其中正确的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4． 【考点】：矩形的性质；平面向量 【分析】利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可． 【解答】解：四边形是矩形， ，，，， ①向量与向量是相等的向量，正确． ②向量与向量是互为相反的向量，正确． ③向量与向量是相等的向量，错误． ④向量与向量是平行向量，正确． 故选：． 【点评】本题考查平面向量，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【例26】在矩形中，下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】平行线的性质；平面向量 【分析】根据矩形的性质及向量的性质可进行求解． 【解答】解：如图， 四边形是矩形， ，，， ，故错误； ，故错误； ，故错误； ，故正确； 故选：． 【点评】本题主要考查向量及矩形的性质，熟练掌握向量及矩形的性质是解题的关键． 【例27】如图，在平行四边形中，对角线与相交于点． 时那么向量用向量表示为 　．　． 【答案】． 【考点】平行四边形的性质；平面向量 【分析】由平行四边形的性质以及三角形法则求解． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【例28】下列关于向量的等式中，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】平面向量 【分析】根据平面向量的加减运算法则逐一判断即可． 【解答】解：、， 、， 、， 、， 选项、、错误，选项正确， 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键． 【例29】如果，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. 与是相等向量 C. 与是相反向量 D. 与是平行向量 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可以判定四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质和相等向量、平行向量的定义作出判断． 【详解】解：， ，． 四边形是平行四边形． A、当平行四边形是矩形时，该结论才成立，故不符合题意． B、由四边形是平行四边形得到：，且，则与是相等向量，故符合题意． C、如图所示，与不是相反向量，故不符合题意． D、如图所示，与不是平行向量，故不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面向量，解题的关键是根据题意判定四边形是平行四边形． 考点6：特殊四边形的存在性问题 【例30】已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出与满足的数量关系式． 【答案】(1)证明见解析，AF=10cm (2)①；②b=24-a 【分析】（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长； （2）①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可． ②由题意得，以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上，分三种情况，根据平行四边形对边相等建立等式即可求解． 【解析】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴//． ∴． ∵垂直平分，垂足为， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴． ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴四边形为菱形； 设菱形的边长，则， 在中，， 即， 解得x=10， ∴AF=10cm； （2）解：由（1）得，则． ①显然当点在上时，点在上， 此时A、、、四点不可能构成平行四边形； 同理点在上时，点在或上，也不能构成平行四边形． 因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形， ∴以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵点的速度为每秒5cm，点的速度为每秒4cm，运动时间为秒， ∴， ， ∴， 解得， ∴以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②由题意得，以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上．分三种情况∶ i：如图1，当点在上、点在上时，， ∴，即， ∴b=24-a； ii：如图2，当点在上、点在上时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴b=24-a； iii：如图3，当点在上、点在上时，， ∴，即， ∴b=24-a； 综上所述，a与b满足的函数关系式是b=24-a． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，矩形的性质，勾股定理等，解题的关键在于综合应用上述知识，利用分类讨论的思想进行求解． 【例31】已知：正方形ABCD的边长为8，点E是BC边的中点，点F是边AB上的动点，联结DE、EF． （1）如图1，如果BF=2，求证：EF⊥DE； （2）如图2，如果BF=3，求证：∠DEF=3∠CDE； （3）联结DF，设DF的中点为G，四边形AFEG是否可能为菱形？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不可能，证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接DF，求出EF，DE，EF，利用勾股定理的逆定理可得∠FED=90°，即可得证； （2）过E作EH⊥AD于H，连接AE，证明∠CDE=∠DEH=∠AEH=∠FEA即可得到∠DEF=3∠CDE． （3）结论：四边形AFEG不可能是菱形，利用反证法证明EF＞AF即可． 【详解】解：（1）证明：如图1中，连接DF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=AD=8， ∵点E是BC边的中点， ∴BE=CE=4， ∵BF=2， ∴AF=6， ∴DF==10，EF==，DE==， ∴， ∴∠FED=90°， ∴EF⊥DE． （2）证明：如图中，过E作EH⊥AD于H，连接AE． ∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AD于H， ∴AB∥EH∥CD， ∴∠CDE=∠DEH， ∵E是BC中点， ∴AH=DH， ∴EH垂直平分AD， ∴∠AEH=∠DEH， ∴∠CDE=∠DEH=∠AEH， Rt△BEF中，BF=3，BE=4， ∴EF==5， ∴AF=AB-BF=5， ∴EF=AF， ∴∠FAE=∠FEA， 而∠FAE=∠AEH， ∴∠FEA=∠AEH， ∴∠CDE=∠DEH=∠AEH=∠FEA， ∴∠DEF=3∠CDE． （3）结论：四边形AFEG不可能是菱形． 理由：连接AE．假设四边形AFEG是菱形，则AE⊥DF， ∴∠BAE+AFD=90°，∠AFD+∠ADF=90°， ∴∠BAE=∠ADF， ∵AB=DA，∠B=∠DAF=90°， ∴△ABE≌△DAF（ASA）， ∴BE=AF， ∵BE=EC，BC=AB， ∴AF=BF， 在Rt△BEF中，EF＞BF， ∴EF＞AF，这与假设矛盾， ∴四边形AFEG不可能是菱形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握四边形的性质，属于中考压轴题． 一、选择题 1．（2022春•浦东新区期中）一条边长为5的平行四边形，它的对角线长可能是（　　） A．4和6 B．4和3 C．2和6 D．4和8 【分析】根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断可知． 【解答】解：A、对角线一半分别是2和3，2+3＝5，故不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、对角线一半分别是2和1.5，2+1.5＝3.5＜5，故不能构成三角形，故本选项不符合题意； C、对角线一半分别是1和3，1+3＜5，故不能构成三角形，故本选项不符合题意； D、对角线一半分别是2和4，符合三角形的三边关系，能构成三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质及三角形的三边关系，注意平行四边形中两条对角线的一半和一边构成三角形，另外要熟练三角形的三边关系． 2．（2022春·上海·八年级期中）下列说法：（1）多边形边数增加条时，它的内角和增加；（2）在四边形中，对角线AC，BD交于点O，，，那么这个四边形是平行四边形；（3）三角形的外角和小于其它多边形的外角和；（4）边形共有条对角线；（5）四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．其中正确说法的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据多边形，三角形的外角，平行四边形的判定以及多边形的内角和公式逐一判断即可． 【详解】解：（1）当多边形边数增加1条时，它的内角和增加180°，说法正确． （2）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，那么这个四边形是平行四边形，原说法正确． （3）三角形的外角和等于其它多边形的外角和，原说法错误． （4）n边形共有条对角线，原说法错误． （5）四边形的四个内角至少有一个角不小于直角，说法正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，多边形的内角与外角以及三角形的外角性质，熟记相关知识是解答本题的关键． 3．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，下列条件中，不一定能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（    ） A．AD＝BC B．∠ABC＝∠BAD C．AB＝2DC D．∠OAB＝∠OBA 【答案】C 【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可． 【解析】解：A、∵AD＝BC， ∴梯形ABCD是等腰梯形，故本选项错误； B、∵∠ABC＝∠BAD， ∴梯形ABCD是等腰梯形，故本选项错误； C、∵AB＝2DC， ∴不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确； D、根据∠OAB＝∠OBA，能推出梯形ABCD是等腰梯形，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰梯形的判定，属于基础题型． 4．（2022春•杨浦区期中）在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　） ①S△ADO＝S△ABO ②△ADB≌△CBD ③∠BAD＝2∠BAC ④AC＝BD A．①④ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【分析】由平行四边形的性质可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，AD＝BC，AD∥BC， ∴①S△ADO＝S△ABO，正确； ②△ADB≌△CBD正确； ③∠BAD＝2∠BAC，错误； ④AC＝BD，错误． 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键． 5．如图，、、、分别是四边形四条边的中点，顺次连接、、、得四边形，连接、，下列命题不正确的是（　） A．当四边形是矩形时，四边形是菱形 B．当四边形是菱形时，四边形是矩形 C．当四边形满足时，四边形是菱形 D．当四边形满足，时，四边形是矩形 【答案】C 【分析】先证四边形EFGH是平行四边形；再根据选项条件结合矩形、菱形的判定定理进行判断即可． 【解析】解：，分别是，的中点， ，， ，分别是，的中点， ，， ，， 四边形是平行四边形； ，分别是，的中点，、分别是、中点， ，， 当四边形是矩形时，， ， 四边形是菱形，故A正确，不符合题意； 当四边形是菱形时，， ，， ， 四边形是菱形，故B正确，不符合题意； 当四边形满足时，不能证明四边形是菱形，故C错误，符合题意； 当四边形满足，时， ∵，， ∴AC是BD的垂直平分线，即 ∵， ∴∠HEF=∠EFG=∠DGH=∠GHE=90° ∴四边形是矩形，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中点四边形，灵活利用矩形、菱形的判定定理是解答本题的关键 6．如图：是边长为1的正方形的对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过作，利用面积法求解，的值等于点到的距离，即正方形对角线的一半． 【解析】解：连接，过作，如图所示： ， ， ， 四边形是正方形， ，，， ， ，， 为中点， ， 即值是． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法求解是解决问题的关键． 二、填空题 7．（2022春•杨浦区期中）一个多边形的每一个外角都等于36°，那么这个多边形的内角和是 　　． 【分析】由多边形外角的性质可求解多边形的边数，再利用多边形的内角和定理可求解． 【解答】解：360°÷36°＝10， （10﹣2）×180°＝1440°． 即这个多边形的内角和是1440°， 故答案为1440． 【点评】本题主要考查多边形的内角与外角，求解多边形的边数是解题的关键． 8．（2022春•杨浦区期中）如果把对角线与一边垂直的平行四边形称为“联想平行四边形”，现有一个“联想平行四边形”的一组邻边长为4和2，那么它的最小内角为 　　度． 【分析】由勾股定理求出AC＝2，得出∠B＝30°即可． 【解答】解：如图所示： 在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝2，BC＝4时，∠B最小， 由勾股定理得：AC＝＝2， ∴AC＝AB， ∴∠B＝30°， 故答案为：30． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、“联想平行四边形”、勾股定理、直角三角形的性质；熟练掌握“联想平行四边形”的性质，求出∠B＝30°是解题的关键． 9．（22-23八年级下·上海虹口·期末）等腰梯形中，对角线的夹角为，中位线长为6，则梯形面积为 ． 【答案】或/或 【分析】作于点E，反向延长交于点F，分两种情况讨论，①当时，设，则，求得，，得到，利用梯形面积公式即可求解；②当时，同法求解即可． 【详解】解：作于点E，反向延长交于点F，    分两种情况讨论，①当时， ∵等腰梯形中，中位线长为6， ∴，，， ∵， ∴都是等边三角形， 设，则， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴， 设，则，同理可得，， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，梯形中位线定理，梯形面积计算，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，分情况讨论是解题的关键． 10． 如图，在正方形中，、是射线上的动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接，在下列结论中：①；②；③；④若，则，⑤，其中正确的结论有________ 11． 【分析】由“”可证，可得，故正确； 如图，在上截取连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得， ，故正确； 如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，由勾股定理可得，故正确； 如图1，设，则，利用勾股定理可求,故错误； 由三角形的面积公式可求，故正确； 【解析】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 故正确； 如图1，在上截取，连接， ，,， ， ,， ， ， ， 又，， ， ，， 故正确； 如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，， ，，， ， ，， ， ， 又，， ， ， 在中， ， ， 故正确； ， 设，则， ， 如图1，在上截取，连接， 由可得：， 设，则， ， ， ， ， ， 故错误； 如图1，， ， ， 故正确； 正确的结论有，共个． 故选： 【点睛】本题属于几何综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 11．如图，矩形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的周长是______． 【答案】40 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，即可求出其周长． 【解析】∵四边形为矩形， ，，且， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形， ． 故答案为：40 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 12．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上一点，且，则的度数是______． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，，可得，由三角形内角和定理求得的度数，据此即可求解． 【解析】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 13．如图，在菱形中，E，F，G分别是，，的中点，且，，则菱形的面积是___． 【答案】96 【分析】连接，，交点为，与交于点，与交于点，由三角形中位线定理得出，，，，得出，由勾股定理求出的长，根据菱形的面积公式可得出答案． 【解析】解：如图，连接，，交点为，与交于点，与交于点， 四边形是菱形， ， ，，分别是，，的中点， ，，，， 四边形是矩形， ， ，， ， ，， 菱形的面积是． 故答案为96． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，菱形的面积，根据三角形的中位线定理求出AC和BD的长是解题的关键． 14．如图，梯形ABCD中对角线，，，点E为BC边上一点，如果，那么BE：BC=_______． 【答案】 【分析】根据平行线与等腰三角形证明，进而证明，得到AD=DF，再证明EF=CE，根据线段的和差关系求得CE，进而得到BE即可得出答案． 【解析】，， ∵梯形ABCD中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查梯形的性质，等腰三角形的性质与判断，互余的性质，求出CE的长是关键． 15．在四边形中，，分别是边，的中点，若，，，，则______． 【答案】145° 【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到BD＝2EF＝12，EF∥BD，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，结合图形计算即可． 【解析】解：连接BD， ∵点E、F分别是边AB、AD的中点， ∴BD＝2EF＝12，EF∥BD， ∴∠ADB＝∠AFE＝55°， ∵，， ∵， ， ∴， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝145°， 故答案为：145°． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 三、解答题 16．（2024·上海徐汇·二模）如图，在△ACB中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，四边形CBDE是平行四边形． （1）如图1，延长ED交AB于点F，求证：EF垂直平分AB； （2）如图2，联结BE、AE，如果BE平分∠ABC，求证：AB＝3BC． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得出DE∥BC，由平行线的性质得出DF⊥AB，由直角三角形的性质得出AD＝BD，则可得出结论； （2）延长ED交AB于点F，由三角形中位线定理得出DF＝BC，得出EF＝DF+DE＝BC，由角平分线的定义证得BF＝EF，则可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形CBDE是平行四边形， ∴DE∥BC， ∵∠ABC＝90°， ∴∠AFD＝90°， ∴DF⊥AB， 又∵D为AC的中点， ∴AD＝BD， ∴AF＝BF， 即EF垂直平分AB； （2）证明：延长ED交AB于点F， 由（1）知，EF垂直平分AB， ∴DF＝BC， ∵四边形CBDE是平行四边形， ∴BC＝DE， ∴EF＝DF+DE＝BC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠FBE＝45°， ∴∠FBE＝∠FEB＝45°， ∴BF＝EF， ∴BF＝BC， ∴AB＝2BF＝3BC． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 17．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，已知等腰梯形ABCD中，，E、F分别是两腰的中点，联结AF，过点F作，交BC于点G，联结EG． (1)求证：四边形AEGF是平行四边形； (2)当∠GFC＝2∠EGB时，求证：四边形AEGF是矩形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据等腰梯形的性质得到∠B＝∠C，根据平行线的性质得到∠FGC＝∠B，得到∠FGC＝∠C，则AE＝FG，进而可证四边形AEGF是平行四边形； （2）连接DG，根据直角三角形的判定得到∠DGC＝90°，∠FDG＝∠FGD，由三角形的外角的性质得到∠CFG＝2∠DGF，等量代换得到∠DGF＝∠BGE，求得∠EGF＝90°，进而可得结论． （1） 证明：∵梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD， ∴∠B＝∠C， ∵ABFG， ∴∠FGC＝∠B， ∴∠FGC＝∠C， ∴FG＝FC， ∵AB＝CD，E、F分别是腰AB、CD的中点， ∴AE＝CF， ∴AE＝FG， ∴四边形AEGF是平行四边形； （2） 证明：连接DG， 由（1）得：FG＝DF＝CF， ∴∠DGC＝90°， ∵∠CFG＝∠FDG+∠DGF， ∴∠CFG＝2∠DGF， ∵∠GFC＝2∠EGB， ∴∠DGF＝∠BGE， ∵∠DGF+∠FGC＝90°， ∴∠FGC+∠BGE＝90°， ∴∠EGF＝90°， ∴四边形AEGF是矩形． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 17．（2022春·上海奉贤·八年级期末）已知：如图，在中，点D在上，，E、F、G分别是、、的中点，、的延长线相交于点H．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题目的已知条件可得是的中位线，所以，由此可得，再根据三角形外角和定理即可证明； （2）连接，易证是等腰三角形，所以，再根据平行线的性质以及对顶角相等可证明，进而可得：， 【详解】（1）证明，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， ； （2）解：连接， ，，分别是，，的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，解题的关键是掌握中位线的性质． 18．（2022春•奉贤区期末）如图，已知四边形ABCD中，点E是CD上的点（不与CD的中点重合），DE＝AB，∠BAC＝∠D，AD＝AC． （1）求证：四边形AECB是等腰梯形； （2）点F是AB延长线上一点，且BC＝CF，联结CF、EF，若AC⊥EF，求证：四边形AECF是菱形． 【分析】（1）由AD＝AC，证得∠D＝∠ACD，由∠BAC＝∠D，推出∠ACD＝∠BAC，由平行线的判定推出AB∥DE，根据三角形的判定证得△ADE≌△CAB，即可证得AE＝BC，由等腰梯形的判定即可证得结论； （2）通过全等三角形的性质得到AF＝CE，推出四边形AECF是平行四边形，然后由菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵AD＝AC， ∴∠D＝∠ACD， ∵∠BAC＝∠D， ∴∠ACD＝BAC， ∴AB∥DE， 在△ADE和△CAB中，， ∴△ADE≌△CAB， ∴AE＝BC， ∴四边形AECB是等腰梯形； （2）由（1）得AE＝BC，∠AEC＝∠BCE，AB∥EC， ∴∠FAC＝∠ACE， ∵BC＝CF， ∴AE＝CF，∠FBC＝∠BFC， ∴∠BFC＝∠AEC， 在△AEC和△CFA中，， ∴△AEC≌△AFC， ∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴▱AECF是菱形． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 19．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P是下底BC上一动点（点P与点B不重合），AB＝AD＝10，BC＝24，∠C＝45°，，设BP＝x，四边形APCD的面积为y． (1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； (2)连接PD，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，求四边形APCD的面积． 【答案】(1) (2)88或96或48 【分析】（1）过A作于，过作于，设，表示出与的长，利用解出，从而计算四边形的面积，得到与的函数关系式； （2）分两种情形：①，②．先求出两种情形下的值，再代入函数解析式中求出的值，即四边形的面积． 【解析】（1）解：过A作于，过作于，设． ，， ，， , ， 解得或， ，， ， ，即， 当时，不成立，舍去；当时，，符合题意． ． ，即． （2）解：连接． ①当时， ， ， 由（1）得， ，即． ． ②当时， ， ， 又， 四边形是平行四边形或等腰梯形， 或， 即或， 当时，； 当时，． 综上，四边形的面积为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，勾股定理的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形与等腰梯形的性质，解题的关键是熟练运用相关性质定理． 20．如图1，已知在中，平分，交于点，过点作，交于点，是的中点，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，如图2所示： ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②1 【分析】（1）根据平行四边形的性质与判定得出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义得出，根据等角对等边得出，即可证明四边形是菱形； （2）①根据题意得出四边形是正方形，根据已知条件证明，即可得证； ②取的中点，连接，则是的中位线，进而得出，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【解析】（1）证明：四边形是平行四边形， ，即， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． （2）①证明：，四边形是菱形， 四边形是正方形． 又是的中点， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ，，． 四边形是矩形， ， ，即， ， ， 即． ②解：如图，取的中点，连接，则是的中位线， ，． 四边形是正方形， ，， ，， 又， ， 由（2）①得， ， 在中，． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，三角形中位线的性质，含度角的直角三角形的性质，正方形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 21．在梯形中，，点分别在边上，，点与在直线的两侧，，射线与边分别相交于点，设． （1）求边的长； （2）如图，当点在梯形内部时，求关于的函数解析式； （3）如果的长为，求梯形的面积． 【答案】（1）3；（2）；（3）或 【分析】（1）过作，与、分别相交于点、，从而判定四边形是矩形，在中求出的长，利用可得出的长； （2）首先确定，过点作，与、分别相交于、，根据，，可表示出、，继而可得出关于的函数解析式； （3）①当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，，可求得梯形的面积，②当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，，可求得梯形的面积． 【解析】解：（1）如图1，过作，与、分别相交于点、， 梯形中，， ， 又， 四边形是矩形， ， ， ， ． （2），， ， ， ， ，， ， ， 如图2，过点作，与、分别相交于、， ，， ，， ， ， 关于的函数解析式为； （3）当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，， ， 当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，， ， 综上所述，梯形的面积为或． 【点睛】本题考查直角梯形及由实际问题列一次函数关系式的知识，属于综合性较强的题目，难度较大，对于此类题目要学会由小及大，将所求的问题缩小，一步一步求解． 19．（19-20八年级下·上海松江·期末）如图，已知在正方形中，，点为线段上一点（点不与、重合）， ，过点作．交射线于点，以、为邻边作矩形． （1）求证：； （2）连接、，设，的面积为．求关于的函数关系式并写出定义域； （3）设、相交于点如果是等腰三角形，求线段的长． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)或 【分析】（1）过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，得到EN＝EM，通过证明△DEM≌△FEM，即可得到答案； （2）通过“SAS”可证△ADE≌△CDG，可得AE＝CG，证明∠ACG＝90°即可解决问题． （3）分两种情形：如图1中，当ED＝EH时，如图2中，当HD＝HE时，分别求解即可． 【解析】解：（1）如图，过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE． （2）∵四边形DEFG是矩形，EF＝DE， ∴矩形DEFG是正方形； ∵四边形ABCD是正方形， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∵AD＝DC＝2，∠ADC＝90°， ∴AC＝， ∴y＝EC•CG＝•x•（﹣x）＝﹣x2+x（0＜x＜）； （3）如图1中，当ED＝EH时， ∵ED＝EH， ∴∠EDH＝∠EHD， ∵∠EHD＝∠HEC+∠ECH＝45°+∠CEH，∠CED＝∠CEH+∠DEG＝∠CEH+45°， ∴∠CDE＝∠CEH+45°， ∴∠CDE＝∠CED， ∴CD＝CE＝2， ∴AE＝AC﹣EC＝． 如图2中，当HD＝HE时，点C与F重合，此时AE＝EC＝， 综上所述， AE的值为或2． 【点睛】本题考查了四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（强基篇） 专题06 第22章四边形章节复习提升 多边形 矩形 菱形 正方形 平行四边形 梯形 四边形 等腰梯形 直角梯形 平面向量 向量的加法与减法 考点1：多边形 【例1】如果过多边形的一个顶点共有8条对角线，那么这个多边形的内角和是 　　度． 【例2】一个凸多边形的内角中最多有几个锐角(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 【例3】下列图形中，是中心对称图形且旋转后能与自身重合的图形是(   ) A．等边三角形 B．正方形 C．正八边形 D．正十二边形 【例4】当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，其中，，那么的度数为　　． 考点2：平行四边形 【例5】下列命题中，真命题的是（　　） A．一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且一组对角互补的四边形是平行四边形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．一组邻边相等且一组对边平行的四边形是平行四边形 【例6】在四边形中，对角线与交于点，下列各组条件，其中不能判定四边形是平行四边形的是　　 A．， B．， C．， D．， 【例7】下列命题是真命题的是（   ） A．平行四边形的邻边相等； B．平行四边形的对角线互相平分； C．平行四边形内角都相等； D．平行四边形是轴对称图形． 【例9】已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E、F，AE、CF分别与BD相交于点G、H，联结AH、CG． 求证：四边形AGCH是平行四边形． 【例10】如图，在中，，点是斜边上的一点，，点是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）联结、，如果，求证：． 考点3：特殊四边形 【例11】已知四边形中，，，下列说法不正确的是　　 A．如果，那么四边形是矩形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果，那么四边形是矩形 D．如果，那么四边形是矩形 【例12】已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是　　 A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是正方形 【例13】下列命题中是假命题的是　　 A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．一组邻边相等的矩形是正方形 【例14】如图，E、F、H分别为正方形的边、、上的点，连接，，且，平分交于点G．若，则的度数为（    ） A．26° B．38° C．52° D．64° 【例15】如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则的值为________________． 【例16】已知，如图，中，，是边的延长线上一点，过作，交的延长线于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）联结，当是的中点时，求证：四边形为矩形． 【例17】已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，平分，过点作分别交、于点、． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求证：． 【例18】如图，在三角形中，，、分别是 与它的邻补角的平分线，于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）联结交于点，若，求证：四边形是正方形． 考点4：梯形 【例19】已知等腰梯形的中位线长为9，对角线互相垂直，那么该梯形的一条对角线长是 ． 【例20】顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形的两条对角线为a、b，则等腰梯形的面积为 ． 【例21】在梯形ABCD中，AD∥BC，AH是高，已知AB＝，AD＝3，CD＝5，AH＝4，则梯形ABCD的面积是 　　． 【例22】在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17，则CD的长是 　　． 【例23】在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，，CD＝3，那么∠C＝　　． 【例24】已知：如图，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延长线于E，EF⊥AD交AD的延长线于F，下列结论：①BD∥EF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE+EF．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点5：平面向量及加减运算 【例25】已知四边形是矩形，点是对角线与的交点．下列四种说法：①向量与向量是相等的向量；②向量与向量是互为相反的向量；③向量与向量是相等的向量；④向量与向量是平行向量．其中正确的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4． 【例26】在矩形中，下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【例27】如图，在平行四边形中，对角线与相交于点． 时那么向量用向量表示为 　．　． 【例28】下列关于向量的等式中，正确的是　　 A． B． C． D． 【例29】如果，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. 与是相等向量 C. 与是相反向量 D. 与是平行向量 考点6：特殊四边形的存在性问题 【例30】已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出与满足的数量关系式． 【例31】已知：正方形ABCD的边长为8，点E是BC边的中点，点F是边AB上的动点，联结DE、EF． （1）如图1，如果BF=2，求证：EF⊥DE； （2）如图2，如果BF=3，求证：∠DEF=3∠CDE； （3）联结DF，设DF的中点为G，四边形AFEG是否可能为菱形？请说明理由． 一、选择题 1．（2022春•浦东新区期中）一条边长为5的平行四边形，它的对角线长可能是（　　） A．4和6 B．4和3 C．2和6 D．4和8 2．（2022春·上海·八年级期中）下列说法：（1）多边形边数增加条时，它的内角和增加；（2）在四边形中，对角线AC，BD交于点O，，，那么这个四边形是平行四边形；（3）三角形的外角和小于其它多边形的外角和；（4）边形共有条对角线；（5）四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．其中正确说法的个数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，下列条件中，不一定能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（    ） A．AD＝BC B．∠ABC＝∠BAD C．AB＝2DC D．∠OAB＝∠OBA 4．（2022春•杨浦区期中）在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　） ①S△ADO＝S△ABO②△ADB≌△CBD③∠BAD＝2∠BAC④AC＝BD A．①④ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 5．如图，、、、分别是四边形四条边的中点，顺次连接、、、得四边形，连接、，下列命题不正确的是（　） A．当四边形是矩形时，四边形是菱形 B．当四边形是菱形时，四边形是矩形 C．当四边形满足时，四边形是菱形 D．当四边形满足，时，四边形是矩形 6．如图：是边长为1的正方形的对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2022春•杨浦区期中）一个多边形的每一个外角都等于36°，那么这个多边形的内角和是 　　． 8．（2022春•杨浦区期中）如果把对角线与一边垂直的平行四边形称为“联想平行四边形”，现有一个“联想平行四边形”的一组邻边长为4和2，那么它的最小内角为 　　度． 9．（22-23八年级下·上海虹口·期末）等腰梯形中，对角线的夹角为，中位线长为6，则梯形面积为 ． 10． 如图，在正方形中，、是射线上的动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接，在下列结论中：①；②；③；④若，则，⑤，其中正确的结论有________ 11．如图，矩形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的周长是______． 12．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上一点，且，则的度数是______． 13．如图，在菱形中，E，F，G分别是，，的中点，且，，则菱形的面积是___． 14．如图，梯形ABCD中对角线，，，点E为BC边上一点，如果，那么BE：BC=_______． 15．在四边形中，，分别是边，的中点，若，，，，则______． 三、解答题 16．（2024·上海徐汇·二模）如图，在△ACB中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，四边形CBDE是平行四边形． （1）如图1，延长ED交AB于点F，求证：EF垂直平分AB； （2）如图2，联结BE、AE，如果BE平分∠ABC，求证：AB＝3BC． 17．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，已知等腰梯形ABCD中，，E、F分别是两腰的中点，联结AF，过点F作，交BC于点G，联结EG． (1)求证：四边形AEGF是平行四边形； (2)当∠GFC＝2∠EGB时，求证：四边形AEGF是矩形． 18．（2022春·上海奉贤·八年级期末）已知：如图，在中，点D在上，，E、F、G分别是、、的中点，、的延长线相交于点H．求证： (1)； (2)． 19．（2022春•奉贤区期末）如图，已知四边形ABCD中，点E是CD上的点（不与CD的中点重合），DE＝AB，∠BAC＝∠D，AD＝AC． （1）求证：四边形AECB是等腰梯形； （2）点F是AB延长线上一点，且BC＝CF，联结CF、EF，若AC⊥EF，求证：四边形AECF是菱形． 20．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P是下底BC上一动点（点P与点B不重合），AB＝AD＝10，BC＝24，∠C＝45°，，设BP＝x，四边形APCD的面积为y． (1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； (2)连接PD，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，求四边形APCD的面积． 21．如图1，已知在中，平分，交于点，过点作，交于点，是的中点，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，如图2所示： ①求证：； ②若，，求的长． 22．在梯形中，，点分别在边上，，点与在直线的两侧，，射线与边分别相交于点，设． （1）求边的长； （2）如图，当点在梯形内部时，求关于的函数解析式； （3）如果的长为，求梯形的面积． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$