第9章 复数 易错训练与压轴训练（4易错+1压轴）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第二册）

第9章 复数 易错训练与压轴训练 01 目录 易错题型一忽视复数是纯虚数的充要条件 1 易错题型二 错误的理解复数比大小 3 易错题型三 误把复数当实数代入计算 5 易错题型四 混淆虚部定义致错 7 压轴题型一　根据复数模的集合意义求模的最值（范围） 9 02 易错题型 易错题型一忽视复数是纯虚数的充要条件 例题1：（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数满足，且不是纯虚数．求证：是纯虚数． 【答案】答案见解析 【知识点】复数的分类及辨析、已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】设，根据已知得出，结合复数乘法除法运算即可证明复数类型. 【详解】设，且不是纯虚数． 因为，所以； 又， 所以，即. 所以是纯虚数. 例题2：（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知复数(为虚数单位). (1)求; (2)若，其中，求的值; (3)若，且是纯虚数，求. 【答案】(1) (2) (3)或. 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】（1）代入，结合复数模的定义计算即得. （2）利用复数的除法运算，化成给定形式即可得解. （3）设出复数的代数形式，利用复数模、复数乘法运算，结合纯虚数的意义求解即得. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）， 所以 （3）设，则，即， ， 由是纯虚数，则有， 由，解得或， 所以或. 巩固训练 1．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知复数. (1)若，求； (2)若，且是纯虚数，求. 【答案】(1) (2)或. 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】（1）由复数的运算化简即可； （2）设，由复数的模长和是纯虚数列方程组，解出即可. 【详解】（1）∵复数， ∴. （2）设， ∵，∴①. 又∵， ∴②， 由①②联立，解得或， ∴或. 2．（23-24高一下·吉林四平·阶段练习）已知复数，，其中i为虚数单位. (1)若，求； (2)若复数z为纯虚数，求的值. 【答案】(1)5； (2)或. 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模 【分析】（1）时求出，再由复数模的公式求解； （2）由复数为纯虚数，根据虚部、实部满足条件求解即可. 【详解】（1）时，，所以. （2）因为复数z为纯虚数， 所以，即， 解得或. 易错题型二 错误的理解复数比大小 例题1：（24-25高三上·江苏连云港·期中）设复数，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的乘法，结合实数与复数的概念，可得答案. 【详解】， 由题意可得，解得. 故选：B. 例题2：（23-24高二下·河南南阳）已知(i是虚数单位)，则实数x的值为 ． 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】结合实数能比较大小、复数的知识来求得实数的值. 【详解】依题意， 所以，， 解得. 故答案为： 巩固训练 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知复数是关于的方程（）的一个根，若，则，则 . 【答案】1 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】根据已知条件，设出，结合复数模公式，求出，再结合一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，即可求解. 【详解】因为，可设，， 因为，所以，解得，所以， 又因为是关于的方程（）的一个根， 可知另一个根为， 则，解得，，所以. 故答案为：1. 易错题型三 误把复数当实数代入计算 例题1：（23-24高二下·湖南湘西·期末）虚数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的相等、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数相等可得①，②，即可将选项中的值代入验证.或者利用因式分解求解。 【详解】解法一：设复数, 则，化简得， 故，即①，② 此时，对于选项中的值，代入： 若，则，符合要求， 若，由②得，但不符合①，故舍去， 若，由②得，但不符合①，故舍去， 若，由②得，但不符合①，故舍去， 综上可得 故选：A 解法二：由可得， 故，故或， 由于为虚数，故， 故虚部为1， 故选：A 例题2：（2024·全国·模拟预测）设复数z满足为纯虚数，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】设，解出，然后由复数的模公式可得. 【详解】设，则， 所以． 故选：D． 巩固训练 1．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）已知都是复数，其共轭复数分别为，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】C 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算、复数加减法的代数运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】设，利用复数的运算及共轭复数的概念判断AD，根据复数乘积运算及模的运算判断B，举反例判断C. 【详解】对于A，设， 则，而， 故，故A正确； 对于B，， 则 ， 又， 所以，故B正确； 对于C，令，则，所以， 但是，故C错误； 对于D，，又， 所以，故D正确. 故选：C 2．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）已知复数，的模长为1，且，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数加减法的代数运算、求复数的模、共轭复数的概念及计算、根据相等条件求参数 【分析】设，，分别计算，，，，由可得，即可求得，，即可求解. 【详解】设，， 则，， 所以， ， 因为，，所以，， 因为，所以，所以， 即，所以， 所以，， 所以. 故选：. 易错题型四 混淆虚部定义致错 例题1：（24-25高三上·山西运城·开学考试）已知复数，则的虚部是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】应用复数的除法计算化简，再结合复数的虚部的定义判断即可. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故选：D. 例题2：（24-25高三上·江苏无锡·开学考试）已知复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】先应用复数的除法及乘法运算化简即可求得虚部. 【详解】因为, 所以的虚部为. 故选：D. 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏南通·期中）若，则复数z的虚部（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、根据相等条件求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，然后利用复数相等的概念求解． 【详解】设，则， ，，解得或或 所以复数z的虚部为． 故选：C. 2．（23-24高一下·河北张家口·期末）复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D．i 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的乘方化简复数，从而得到其虚部. 【详解】因为，又，，， 所以， 所以，所以的虚部为. 故选：C. 03 压轴题型 压轴题型一　根据复数模的集合意义求模的最值（范围） 例题1：（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）若复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由复数模求参数、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数的模的几何意义，结合的几何意义，设出圆上任意一点坐标，利用两点间距离公式列式，化简求得的取值范围. 【详解】由于复数满足，故复数对应的点在圆心为原点，半径为2的圆上， 设圆上任意一点的坐标为，表示圆上的点到和两点距离之和， 即①， ①式平方得，由于，所以，所以， 所以，所以 . 故答案为：. 例题2：（2024高一·上海·专题练习）复数满足为虚数单位），则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】由复数模的几何意义得出复数对应点的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆上，结合圆的性质可得最大值和最小值，从而得范围． 【详解】由，可知复数对应点的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆上， 如图，记，， 则复数模的最小值为，最大值为， 复数模的取值范围是． 故答案为：． 例题3：（24-25高一上·上海·单元测试）若复数z满足，求的最小值. 【答案】 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，代入中化简，由，得或，利用复数模的几何意义求的最小值. 【详解】解：设（a、b为实数且不同时为0）， 则. 由题意可知， 得或. 当时，z的轨迹是x轴（除原点外）， 此时的几何意义为复数表示的点和的距离，此时； 当时，复数z的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图.    根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离，如图可知，的最小值是点A与的距离为. 巩固训练 1．（23-24高一下·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数代数形式的乘法运算 【分析】结合复数模的公式，得到复数表示的几何图形，再结合复数的几何意义，利用数形结合求的最大值. 【详解】设，则，整理为， 所以复数表示的点的轨迹是以点为圆心的圆面， ，，表示的几何意义是圆面上的点到原点距离，如图， 的最大值为连结圆心和原点的距离再加半径，所以. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·单元测试）已知复数z满足，求的取值范围. 【答案】. 【知识点】求复数的模 【分析】设，则由，得，然后令，给此式平方化简答案. 【详解】设，则由，得， 令 ， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，即， 因为，所以， 所以的取值范围为. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，求的最大值与最小值. 【答案】最小值为，最大值为. 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】利用复数模的几何意义即可求解. 【详解】设，则， 所以， 即表示的复数在圆心为，半径为的圆上， 因为， 所以， 所以表示圆上的点到点的距离， 因为点到圆心的距离为， 如图所示，圆上的点到点的距离最小值为， 最大值为. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 复数 易错训练与压轴训练 01 目录 易错题型一忽视复数是纯虚数的充要条件 1 易错题型二 错误的理解复数比大小 3 易错题型三 误把复数当实数代入计算 5 易错题型四 混淆虚部定义致错 7 压轴题型一　根据复数模的集合意义求模的最值（范围） 9 02 易错题型 易错题型一忽视复数是纯虚数的充要条件 例题1：（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数满足，且不是纯虚数．求证：是纯虚数． 例题2：（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知复数(为虚数单位). (1)求; (2)若，其中，求的值; (3)若，且是纯虚数，求. 巩固训练 1．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知复数. (1)若，求； (2)若，且是纯虚数，求. 2．（23-24高一下·吉林四平·阶段练习）已知复数，，其中i为虚数单位. (1)若，求； (2)若复数z为纯虚数，求的值. 易错题型二 错误的理解复数比大小 例题1：（24-25高三上·江苏连云港·期中）设复数，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 例题2：（23-24高二下·河南南阳）已知(i是虚数单位)，则实数x的值为 ． 巩固训练 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知复数是关于的方程（）的一个根，若，则，则 . 易错题型三 误把复数当实数代入计算 例题1：（23-24高二下·湖南湘西·期末）虚数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D． 例题2：（2024·全国·模拟预测）设复数z满足为纯虚数，则（    ） A．1 B． C． D．2 巩固训练 1．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）已知都是复数，其共轭复数分别为，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．若，则 D． 2．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）已知复数，的模长为1，且，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 易错题型四 混淆虚部定义致错 例题1：（24-25高三上·山西运城·开学考试）已知复数，则的虚部是（    ） A．2 B． C． D． 例题2：（24-25高三上·江苏无锡·开学考试）已知复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏南通·期中）若，则复数z的虚部（    ） A．4 B． C． D． 2．（23-24高一下·河北张家口·期末）复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D．i 03 压轴题型 压轴题型一　根据复数模的集合意义求模的最值（范围） 例题1：（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）若复数满足，则的取值范围是 . 例题2：（2024高一·上海·专题练习）复数满足为虚数单位），则的取值范围是 ． 例题3：（24-25高一上·上海·单元测试）若复数z满足，求的最小值. 巩固训练 1．（23-24高一下·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为 ． 2．（24-25高一上·上海·单元测试）已知复数z满足，求的取值范围. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，求的最大值与最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$