专题18：一元线性回归分析 （强基篇）讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题18 一元线性回归分析 1、离差：通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为离差。残差是随机误差的估计结果，分为正离差和负离差。 2、拟合误差：用离差的平方和Q=来刻画直线和点之间的拟合程度，Q=称为拟合误差。 3、回归直线方程 设所求的直线方程为，回归方程的截距和斜率是用最小二乘法计算出来的. 称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心. 把称为回归方程，对应的直线称为回归直线，x称为自变量或解释变量；Y称为因变量或响应变量，模型的参数a和b称为回归系数，a称为截距参数，b称为斜率参数； 4、求经验回归方程的四个步骤 第一步：列表表示xi，yi，x，xiyi. 第二步：计算，，， 第三步：代入公式计算，的值． 第四步：写出经验回归方程． 5、回归分析。依据具有相关关系的成对数据求回归方程的统计方法叫回归分析.回归分析的一般步骤为画散点图→求回归直线方程→用回归直线方程进行预报. 6、建立一元线性回归模型的基本步骤： ①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量； ②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在线性关系） ③由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程） ④按照最小二乘法估计回归直线方程中的参数a，b。 ⑤得出结果后计算离差，检查数据模型是否合适 （6）利用所求的关系进行预测。 题型1：离差 拟合误差与最小二乘法的概念 【例1】（2023·上海杨浦·二模）对成对数据、、…、用最小二乘法求回归方程是为了使（    ） A． B． C．最小 D．最小 【例2】某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售额y单位：万元）之间有如下关系： x 2 4 5 6 8 y 30 40 70 50 60 已知y与x的线性回归方程为5x+25，则当广告支出费用为5万元时，残差为（　　） A．40 B．30 C．20 D．10 【跟踪训练】 1.某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下表关系： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 与的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（ ） A． B． C．20 D．10 2.某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表： 第天 1 2 3 4 5 使用人数() 15 173 457 842 1333 由表中数据可得y关于x的回归方程为，则据此回归模型相应于点（2，173）的离差为（    ） A． B． C．3 D．2 3.对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（ ） A．由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 D．若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系 题型2：回归直线方程的意义 【例3】两个变量x与y之间的回归方程（    ） A．表示x与y之间的函数关系； B．表示x与y之间的不确定关系； C．反映x与y之间的真实关系； D．是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合． 【例4】设一组成对数据的相关系数为r，线性回归方程为，则下列说法正确的为（    ）. A．越大，则r越大 B．越大，则r越小 C．若r大于零，则一定大于零 D．若r大于零，则一定小于零 【例5】给出下列有关线性回归分析的四个命题，其中为真命题的是（    ） A．线性回归直线未必过样本数据点的中心； B．回归直线就是散点图中经过数据点最多的那条直线； C．当相关系数时，两个变量正相关； D．如果两个变量的相关性越强，则相关系数r就越接近于1． 【跟踪训练】 1.在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则（    ） A． B．1 C． D．无法确定 2.某学校一同学研究温差（℃）与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（    ） A．样本中心点为 B． C．时，残差为 D．若去掉样本点，则样本的相关系数增大 题型3：样本中心的应用 【例6】已知x，y的对应值如下表所示： x 0 2 4 6 8 y 1 11 若y与x线性相关，且回归直线方程为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例7】已知x，y的取值如表所示： x 2 3 4 y 6 4 5 如果y与x线性相关，且线性回归方程为，则等于（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如果在一次试验中，测得的四组值分别是、、、，则与的回归直线方程是（ ） A． B． C． D． 2.某市2015年至2019年新能源汽车年销量（单位：百台）与年份代号的数据如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得关于的回归直线方程为，则表中的值为（ ） 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号 0 1 2 3 4 年销量 10 15 20 35 A．25.5 B．28.5 C．30 D．32.5 题型4：求回归直线方程 【例8】已知两个线性相关变量的统计数据如表所示，则其回归方程是 . 1 2 3 4 5 3 0 -2 -4 -5 【例9】下表是某校高一（2）班学生每周用于数学学习的时间（单位：）与数学成绩（单位：分）之间的数据： 25 15 20 10 12 92 80 85 50 60 某同学每周用于数学学习的时间为18小时，试预测该生数学成绩（保留到整数位）． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 【例10】某市春节期间家超市的广告费用支出（万元）和销售额（万元）数据如下表： 超市 广告费支出 销售额 （1）若用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；提示：，，， （2）用二次函数回归模型拟合与的关系，可得回归方程，经过计算二次函数回归模型和线性回归模型的相关指数分别约为和，请用说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测超市广告费用支出万元时的销售额． 【跟踪训练】 1.已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则（　　） A．﹣0.8 B．0.8 C．﹣1 D．1 2.下表中是某公司一年中每月的广告投入费用与销售额的情况，设广告投入费用为x（单位：万元），销售额为y（单位：万元），则y关于x的回归方程为 .（回归系数精确到0.01） 广告费用（万元） 30 26 21 17 11 18 13 16 17 23 25 29 销售额（万元） 843 725 621 587 485 608 523 554 600 703 728 792 题型5：用回归直线方程进行预测估计 【例11】某社区为了丰富退休人员的业余文化生活，自2018年以来，始终坚持开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2018年以来近5年该社区退休人员的年人均借阅量的数据统计： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 年份代码 1 2 3 4 5 年人均借阅量（册） 16 22 28 （参考数据：）通过分析散点图的特征后，年人均借阅量关于年份代码的回归分析模型为，则2023年的年人均借阅量约为（    ） A．31 B．32 C．33 D．34 【例12】现有某高新技术企业年研发费用投入（百万元）与企业年利润（百万元）之间具有线性相关关系，近5年的年研发费用和年利润的具体数据如表： 年研发费用（百万元） 1 2 3 4 5 年利润（百万元） 2 3 4 4 7 数据表明与之间有较强的线性关系． (1)求对的回归直线方程； (2)如果该企业某年研发费用投入8百万元，预测该企业获得年利润为多少？ 【例13】某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验，得到的实验数据经整理得到如下的折线图： 参考数据：，，. (1)由图可以看出，这种酶的活性指标值与温度具有较强的线性相关性，请用相关系数加以说明； (2)求关于的线性回归方程，并预测当温度为30℃时，这种酶的活性指标值.（计算结果精确到0.01） 【跟踪训练】 1.某社区医院统计了该社区在夏季某4天患肠道感染类疾病的人数与平均气温（℃）的数据如下表，由表中数据算得线性回归方程中的，预测当平均气温为35℃时，该社区患肠道感染类疾病的人数为（ ） 平均气温（℃） 22 26 29 32 患肠道感染类疾病的人数 12 25 27 56 A．57 B．59 C．61 D．65 2.某企业为解决科技卡脖问题，不断加大科技研发投入，下表为该企业2018年至2022年重大科技项目取得突破的个数： 年份： 2018 2019 2020 2021 2022 重大科技项目突破数y（单位：个） 2 4 4 7 8 经过相关系数的计算和分析，发现重大科技项目突破个数y与年份x的线性相关程度非常高.请建立y关于x的回归方程，并预测该企业在2024年重大科技项目取得突破的个数. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，． 题型6：非线性回归分析 【例14】若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（，为自然对数的底数）（    ） A． B． C． D． 【例15】某校课外学习小组研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，由实验数据得到如图所示的散点图.由此散点图判断，最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 【例16】在正常生产条件下，根据经验，可以认为化肥的有效利用率近似服从正态分布，而化肥施肥量因农作物的种类不同每亩也存在差异. (1)假设生产条件正常，记表示化肥的有效利用率，求； (2)课题组为研究每亩化肥施用量与某农作物亩产量之间的关系，收集了10组数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值.其中每亩化肥施用量为（单位：公斤），粮食亩产量为（单位：百公斤）    参考数据： 650 91.5 52.5 1478.6 30.5 15 15 46.5 ，，2，，. （i）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为该农作物亩产量关于每亩化肥施用量的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）； （ii）根据（i）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；并预测每亩化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量的值. 附：①对于一组数据，2，3，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，； ②若随机变量，则，. 【跟踪训练】 1.某校课外学习小组研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，由实验数据得到如图所示的散点图.由此散点图判断，最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（ ） 2.用模型拟合一组数据时，设，将其变换后得到回归方程为，则（ ） A． B．1 C． D．2 3.有一个开房门的游戏，其玩法为: 盒中先放入两把钥匙和两把钥匙，能够打开房门，不能打开房门. 每次从盒中随机取一把试开，试开后不放回钥匙.第一次打开房门后，关上门继续试开，第二次打开房门后停止抽取，称为进行了一轮游戏. 若每一轮取钥匙不超过三次，则该轮“成功”，否则为“失败”，如果某一轮“成功”，则游戏终止；若“失败”，则将所有钥匙重新放入盒中，并再放入一把钥匙，继续下一轮抽取，直至“成功”. （1）有名爱好者独立参与这个游戏，记表示“成功”时抽取钥匙的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下表: 若将作为关于的经验回归方程，估计抽取轮才“成功”的人数（人数精确到个位）； （2）由于时间关系，规定：进行游戏时，最多进行三轮，若均未“成功”也要终止游戏.求游戏要进行三轮的概率. 参考公式：最小二乘估计，. 参考数据：取，，其中，. 题型7：综合提升 【例17】某中学学生会为了激发学生们对中国古典文学的爱好，提升古典文学素养，在暑假开学返校后的第一个月组织了一个古典文学研究协会，在接下来的四个月内，该协会的会员人数如表： 月份 第一个月 第二个月 第三个月 第四个月 第五个月 会员人数 （1）求会员人数与时间变量记第一个月为，第二个月为，，以此类推的线性回归方程； （2）根据（1）中所求的线性回归方程，预测个月后，会员人数能否突破人． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为；． 【例18】近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，随机抽样调查某市年的家庭平均教育支出，得到如下表格.（附：年份代码分别对应的年份是）.经计算得，，，. 年份 教育支出占家庭支出比例（百分比） （1）计算样本的相关系数，并判断两个变量的相关性强弱；（精确到） （2）建立关于的线性回归方程；（精确到） （3）若年该市某家庭总支出为万元，预测该家庭教育支出约为多少万元？ 附：（i）相关系数：；（ii）线性回归方程：，其中，. 【例19】为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：）与样本对原点的距离（单位：）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值.（表中） 6 60 (1)利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型？ (2)根据（1）的结果回答下列问题： （i）建立关于的回归方程； （ii）样本对原点的距离时，金属含量的预报值是多少？ (3)已知该金属在距离原点米时的平均开采成本（单位：元）与关系为，根据（2）的结果回答，为何值时，开采成本最大？ 【例20】如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，，建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，，建立模型②：． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 一、填空题 1．（23-24高三下·上海嘉定·阶段练习）某产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 30 40 a 50 70 已知y关于x的线性回归方程为，则表格中实数a的值为 ． 2．（22-23高二下·上海宝山·期中）已知x，y的对应值如下表所示： 0 2 4 6 8 1 13 若y与x线性相关，且回归直线方程为，则 ． 3.（25-26高三上·上海·单元测试）某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用（万元） 1 2 3 4 销售额（万元） 2 3 现已知，且回归方程中的，据此模型预测广告费用为10万元时，销售额为 万元． 4．（25-26高三上·上海·单元测试）现调查得到本系列手机上市时间和市场占有率（单位：%）的几组相关对应数据，绘制如图所示的折线图，图中的，分别代表该手机上市的4月份，以及5月份，6月份，7月份，8月份，…．据此数据得出关于的回归方程为，用此方程预测该系列手机市场占有率的变化趋势，要使该系列手机的市场占有率超过0.5%，最早会在初次上市后的第 个月． 5．（2024·上海普陀·二模）为了提高学生参加体育锻炼的积极性，某校本学期依据学生特点针对性的组建了五个特色运动社团，学校为了了解学生参与运动的情况，对每个特色运动社团的参与人数进行了统计，其中一个特色运动社团开学第1周至第5周参与运动的人数统计数据如表所示. 周次 1 2 3 4 5 参与运动的人数 35 36 40 39 45 若表中数据可用回归方程来预测，则本学期第11周参与该特色运动社团的人数约为 .（精确到整数） 6．（23-24高二下·上海·期中）某公司为了解用电量（单位：）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表： 气温 用电量 由表中数据可得回归方程中．试预测当气温为时，用电量约为 ． 7．（2024·上海宝山·二模）某公司为了了解某商品的月销售量单位：万件与月销售单价单位：元件之间的关系，随机统计了个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表： 月销售单价元件 月销售量万件 由表中数据可得回归方程中，试预测当月销售单价为元件时，月销售量为 万件. 8．（2023·上海普陀·二模）“民生”供电公司为了分析“康居”小区的用电量y（单位）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表： 气温x 18 13 10 用电量y 24 34 38 64 若上表中的数据可用回归方程来预测，则当气温为时该小区相应的用电量约为 ． 二、选择题 9．（2023·上海黄浦·三模）实验测得六组成对数据的值为，，，，，，由此可得y与x之间的回归方程为，则可预测当时，y的值为（    ） A．67 B．66 C．65 D．64 10．（2023·上海浦东新·二模）某种产品的广告支出与销售额（单位：万元）之间有下表关系，与的线性回归方程为，当广告支出6万元时，随机误差的效应即离差（真实值减去预报值）为（    ）． 2 4 5 6 8 30 40 60 70 80 A．1.6 B．8.4 C．11.6 D．7.4 三、解答题 11.（2022春•洛阳期中）假设关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）的有关统计资料如表所示： 使用年限x/年 2 3 4 5 6 维修费用y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知y与x呈线性相关关系． （1）求线性回归方程的回归系数； （2）估计当使用年限为10年时，维修费用是多少？ 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 12．（23-24高三下·上海·阶段练习）社会实践是大学生课外教育的一个重要方面，在校大学生利用暑期参加社会实践活动，是认识社会、了解社会、提高自我能力的重要机会.某省统计了该省其中的4所大学2023年毕业生的人数及参加过暑期社会实践活动的人数（单位：千人），得到如下表格: 大学 A大学 B大学 C大学 D大学 2023年毕业生的人数（千人） 7 6 5 4 2023年毕业生中参加过社会实践人数（千人） 0.5 0.4 0.3 0.2 若该省大学2023年毕业生人数为12万人，对参加过暑期社会实践活动的大学生每人发放1000元的补贴. (1)写出关于的线性回归方程，并估计该省2023年发放补贴的总金额（单位:万元）; (2)若2023年毕业生中的小李、小王参加暑期社会实践活动的概率分别为，该省对小李、小王两人补贴总金额的期望不超过1500元，求的取值范围. 13.（2022•安徽模拟）2020年新冠肺炎疫情突如其来，在党中央的号召下，应对疫情，我国采取特殊的就业政策、经济政策很好地稳住了经济社会发展大局．在全世界范围内，我国疫情控制效果最好，经济复苏最快．某汽车销售公司2021年经济收入在短期内逐月攀升，该公司在第1月份至6月份的销售收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如表： 时间（月份） 1 2 3 4 5 6 收入（百万元） 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0 根据以上数据绘制散点图，如图所示． （1）根据散点图判断，y＝ax+b与y＝cedx（a，b，c，d均为常数）哪一个适宜作为该公司销售收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的结果及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司8月份的销售收入．（结果近似到小数点后第二位） 参考数据： 3.50 21.15 2.85 17.5 125.35 6.73 其中设u＝lny，ui＝lnyi（i＝1，2，3，4，5，6） 参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，vi）（i＝1，2，3，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，e4.56≈95.58，e4.58≈97.51． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题18 一元线性回归分析 1、离差：通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为离差。残差是随机误差的估计结果，分为正离差和负离差。 2、拟合误差：用离差的平方和Q=来刻画直线和点之间的拟合程度，Q=称为拟合误差。 3、回归直线方程 设所求的直线方程为，回归方程的截距和斜率是用最小二乘法计算出来的. 称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心. 把称为回归方程，对应的直线称为回归直线，x称为自变量或解释变量；Y称为因变量或响应变量，模型的参数a和b称为回归系数，a称为截距参数，b称为斜率参数； 4、求经验回归方程的四个步骤 第一步：列表表示xi，yi，x，xiyi. 第二步：计算，，， 第三步：代入公式计算，的值． 第四步：写出经验回归方程． 5、回归分析。依据具有相关关系的成对数据求回归方程的统计方法叫回归分析.回归分析的一般步骤为画散点图→求回归直线方程→用回归直线方程进行预报. 6、建立一元线性回归模型的基本步骤： ①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量； ②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在线性关系） ③由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程） ④按照最小二乘法估计回归直线方程中的参数a，b。 ⑤得出结果后计算离差，检查数据模型是否合适 （6）利用所求的关系进行预测。 题型1：离差 拟合误差与最小二乘法的概念 【例1】（2023·上海杨浦·二模）对成对数据、、…、用最小二乘法求回归方程是为了使（    ） A． B． C．最小 D．最小 【答案】D 【分析】由最小二乘法的求解即可知. 【详解】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小， 故选：D 【例2】某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售额y单位：万元）之间有如下关系： x 2 4 5 6 8 y 30 40 70 50 60 已知y与x的线性回归方程为5x+25，则当广告支出费用为5万元时，残差为（　　） A．40 B．30 C．20 D．10 【解题思路】x＝5代入回归直线方程，利用残差的定义可得结果． 【解答过程】解：当x＝5时，， 此时，残差为70﹣50＝20， 故选：C． 【跟踪训练】 1.某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下表关系： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 与的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（ ） A． B． C．20 D．10 【答案】D 【解析】当广告支出5万元时，观测值为，预测值为， 则随机误差的效应（残差）为.故选：D. 2.某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表： 第天 1 2 3 4 5 使用人数() 15 173 457 842 1333 由表中数据可得y关于x的回归方程为，则据此回归模型相应于点（2，173）的离差为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【解析】令，则， 1 4 9 16 25 使用人数() 15 173 457 842 1333 ，， 所以， 所以， 当时，， 所以离差为. 故选：B 3.对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（ ） A．由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 D．若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系 【答案】C 【解析】对于A，由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心，A对； 对于B，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B对； 对于C，用相关指数来刻画回归效果，的值越小， 说明模型的拟合效果越差，C错； 对于D，若变量和之间的相关系数，， 则变量与之间具有线性相关关系，D对.故选：C. 题型2：回归直线方程的意义 【例3】两个变量x与y之间的回归方程（    ） A．表示x与y之间的函数关系； B．表示x与y之间的不确定关系； C．反映x与y之间的真实关系； D．是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合． 【答案】D 【分析】根据回归直线方程的定义，结合选项，即可求解. 【详解】根据回归方程的定义，可得两个变量x与y之间的回归方程是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合． 故选：D. 【例4】设一组成对数据的相关系数为r，线性回归方程为，则下列说法正确的为（    ）. A．越大，则r越大 B．越大，则r越小 C．若r大于零，则一定大于零 D．若r大于零，则一定小于零 【答案】C 【分析】利用与r的含义判断AB，根据r大于零时两变量正相关即可得一定大于零判断CD. 【详解】影响的是回归直线的斜率，r影响是两个变量之间的相关性， 所以与r之间数值大小没有关系，但符号有影响，故选项AB错误； 若r大于零，则说明两个变量之间成正相关，故一定大于零，故选项C正确，D错误. 故选：C 【例5】给出下列有关线性回归分析的四个命题，其中为真命题的是（    ） A．线性回归直线未必过样本数据点的中心； B．回归直线就是散点图中经过数据点最多的那条直线； C．当相关系数时，两个变量正相关； D．如果两个变量的相关性越强，则相关系数r就越接近于1． 【答案】C 【分析】由回归直线的性质逐一分析四个选项得答案． 【详解】线性回归直线必过样本数据点的中心，故A错误； 回归直线一定经过样本点的中心，但不一定经过散点图中的点，故B错误； 当相关系数时，两个变量正相关，故C正确； 如果两个变量的相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，故D错误． 故选：C． 【跟踪训练】 1.在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则（    ） A． B．1 C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据线性相关系数的定义直接得解. 【详解】由已知样本数据所对应的点均在直线上， 则，又，所以满足负相关， 即. 故选：A． 2.某学校一同学研究温差（℃）与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（    ） A．样本中心点为 B． C．时，残差为 D．若去掉样本点，则样本的相关系数增大 【答案】D 【解析】对于A项，因为，， 所以样本中心点为，故A项正确； 对于B项，由回归直线必过样本中心可得：，解得：，故B项正确； 对于C项，由B项知，， 令，则， 所以残差为，故C项正确； 对于D项，由相关系数公式可知，去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不变，故D项错误. 故选：D. 题型3：样本中心的应用 【例6】已知x，y的对应值如下表所示： x 0 2 4 6 8 y 1 11 若y与x线性相关，且回归直线方程为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】， 又回归直线方程为， 所以，解得. 故选：B. 【例7】已知x，y的取值如表所示： x 2 3 4 y 6 4 5 如果y与x线性相关，且线性回归方程为，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，， ∴回归直线过点，∴，∴．故选：A． 【跟踪训练】 1.如果在一次试验中，测得的四组值分别是、、、，则与的回归直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 这组数据的样本中心点是， 把样本中心点代入四个选项中，只有成立，故选：B． 2.某市2015年至2019年新能源汽车年销量（单位：百台）与年份代号的数据如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得关于的回归直线方程为，则表中的值为（ ） 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号 0 1 2 3 4 年销量 10 15 20 35 A．25.5 B．28.5 C．30 D．32.5 【答案】C 【解析】依题意，，， 于是回归直线经过点，则，解得， 所以的值为30.故选：C 题型4：求回归直线方程 【例8】已知两个线性相关变量的统计数据如表所示，则其回归方程是 . 1 2 3 4 5 3 0 -2 -4 -5 【答案】 【分析】利用最小二乘法求回归直线方程即可. 【详解】由表可知， 根据， ， 所以线性回归方程为：. 故答案为： 【例9】下表是某校高一（2）班学生每周用于数学学习的时间（单位：）与数学成绩（单位：分）之间的数据： 25 15 20 10 12 92 80 85 50 60 某同学每周用于数学学习的时间为18小时，试预测该生数学成绩（保留到整数位）． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 【答案】该同学预计可得78分左右． 【解析】根据表格作出散点图，由散点图可知变量x与y具有线性相关关系， 所以，， ， ， 于是， 所以， 因此回归直线方程为， 所以当时，， 故该同学预计可得78分左右． 【例10】某市春节期间家超市的广告费用支出（万元）和销售额（万元）数据如下表： 超市 广告费支出 销售额 （1）若用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；提示：，，， （2）用二次函数回归模型拟合与的关系，可得回归方程，经过计算二次函数回归模型和线性回归模型的相关指数分别约为和，请用说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测超市广告费用支出万元时的销售额． 【答案】（1） （2）二次函数模型更合适，超市广告费用支出万元时的销售额为万元 【解析】（1）由表格数据知：， ， ， ， 设关于的线性回归方程为：， ，， 关于的线性回归方程为. （2），二次函数模型更合适， 将代入得：， 即超市广告费用支出万元时的销售额为万元. 【跟踪训练】 1.已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则（　　） A．﹣0.8 B．0.8 C．﹣1 D．1 【解题思路】计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论． 【解答过程】解：∵，， ∴0.6，0.9， 故0.90.6， 解得0.8， 故选：B． 2.下表中是某公司一年中每月的广告投入费用与销售额的情况，设广告投入费用为x（单位：万元），销售额为y（单位：万元），则y关于x的回归方程为 .（回归系数精确到0.01） 广告费用（万元） 30 26 21 17 11 18 13 16 17 23 25 29 销售额（万元） 843 725 621 587 485 608 523 554 600 703 728 792 【答案】 【分析】分别求出，再带入线性回归方程求解即可. 【详解】， ， ， ， 所以 所以 所以, 故答案为：. 题型5：用回归直线方程进行预测估计 【例11】某社区为了丰富退休人员的业余文化生活，自2018年以来，始终坚持开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2018年以来近5年该社区退休人员的年人均借阅量的数据统计： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 年份代码 1 2 3 4 5 年人均借阅量（册） 16 22 28 （参考数据：）通过分析散点图的特征后，年人均借阅量关于年份代码的回归分析模型为，则2023年的年人均借阅量约为（    ） A．31 B．32 C．33 D．34 【答案】C 【解析】因为，，所以，即. 所以回归方程为，当时，. 故选：C. 【例12】现有某高新技术企业年研发费用投入（百万元）与企业年利润（百万元）之间具有线性相关关系，近5年的年研发费用和年利润的具体数据如表： 年研发费用（百万元） 1 2 3 4 5 年利润（百万元） 2 3 4 4 7 数据表明与之间有较强的线性关系． (1)求对的回归直线方程； (2)如果该企业某年研发费用投入8百万元，预测该企业获得年利润为多少？ 【答案】(1) (2)9.5百万元 【分析】(1)由已知求得与的值，则线性回归方程可求得； (2)根据(1)的回归方程中，取求得值即可. 【详解】（1）由题意可知，， ， ， 所以， 所以， 所以所求回归直线的方程为； （2）在（1）中的方程中，令，得， 故如果该企业某年研发费用投入百万元，预测该企业获得年利润为百万元． 【例13】某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验，得到的实验数据经整理得到如下的折线图： 参考数据：，，. (1)由图可以看出，这种酶的活性指标值与温度具有较强的线性相关性，请用相关系数加以说明； (2)求关于的线性回归方程，并预测当温度为30℃时，这种酶的活性指标值.（计算结果精确到0.01） 【答案】(1)理由见解析 (2)，13.22 【分析】（1）根据折线图中的数据求出，，然后根据已知数据和公式可求出相关系数，从而进行判断； （2）根据已知的数据结合公式求出，从而可求出回归方程，把代入回归方程可预测当温度为30℃时，这种酶的活性指标值. 【详解】（1）由题可知， ， ， 则， 因为非常接近1，所以酶的活性与温度具有较强的线性相关性； （2）由题可知，， ， ， 所以关于的线性回归方程为， 当时，. 故预测当温度为30℃时，这种酶的活性指标值为13.22. 【跟踪训练】 1.某社区医院统计了该社区在夏季某4天患肠道感染类疾病的人数与平均气温（℃）的数据如下表，由表中数据算得线性回归方程中的，预测当平均气温为35℃时，该社区患肠道感染类疾病的人数为（ ） 平均气温（℃） 22 26 29 32 患肠道感染类疾病的人数 12 25 27 56 A．57 B．59 C．61 D．65 【答案】C 【解析】由表格数据可得，，， 因为点在直线上，， 所以，所以， 故当时，， 即预测当平均气温为35℃时，该社区患肠道感染类疾病的人数为61，故选：C. 2.某企业为解决科技卡脖问题，不断加大科技研发投入，下表为该企业2018年至2022年重大科技项目取得突破的个数： 年份： 2018 2019 2020 2021 2022 重大科技项目突破数y（单位：个） 2 4 4 7 8 经过相关系数的计算和分析，发现重大科技项目突破个数y与年份x的线性相关程度非常高.请建立y关于x的回归方程，并预测该企业在2024年重大科技项目取得突破的个数. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，． 【答案】，11个 【解析】依据题意得：， ， ， ， ， ， 故所求回归方程为， 当时，， 所以预测该企业在2024年重大科技项目取得的突破数为11个. 题型6：非线性回归分析 【例14】若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（，为自然对数的底数）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而增大，不合题意，故A错误； 对于B：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故B错误； 对于C：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故C错误； 对于D：因为在定义域内单调递减且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，故D错误； 故选：D． 【例15】某校课外学习小组研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，由实验数据得到如图所示的散点图.由此散点图判断，最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由散点图可见，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增加缓慢. A中，是直线型，均匀增长，不符合要求； B中，是二次函数型，图象呈现下凸，增长也较快，不符合要求； C中，是指数型，爆炸式增长，增长快，不符合要求； D中，是对数型，增长缓慢，符合要求. 故对数型最适宜该回归模型. 故选：D. 【例16】在正常生产条件下，根据经验，可以认为化肥的有效利用率近似服从正态分布，而化肥施肥量因农作物的种类不同每亩也存在差异. (1)假设生产条件正常，记表示化肥的有效利用率，求； (2)课题组为研究每亩化肥施用量与某农作物亩产量之间的关系，收集了10组数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值.其中每亩化肥施用量为（单位：公斤），粮食亩产量为（单位：百公斤）    参考数据： 650 91.5 52.5 1478.6 30.5 15 15 46.5 ，，2，，. （i）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为该农作物亩产量关于每亩化肥施用量的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）； （ii）根据（i）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；并预测每亩化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量的值. 附：①对于一组数据，2，3，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，； ②若随机变量，则，. 【解析】（1）由，根据正态分布曲线的对称性， 可得. （2）（i）由散点图可知与的关系不是线性关系，所以适宜作为粮食亩产量关于每亩化肥施用量的回归方程； （ii）因为，所以，令，则， 由表可得，所以， 所以，所以，所以， 当时，（百公斤） 【跟踪训练】 1.某校课外学习小组研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，由实验数据得到如图所示的散点图.由此散点图判断，最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由散点图可见，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增加缓慢. A中，是直线型，均匀增长，不符合要求； B中，是二次函数型，图象呈现下凸，增长也较快，不符合要求； C中，是指数型，爆炸式增长，增长快，不符合要求； D中，是对数型，增长缓慢，符合要求. 故对数型最适宜该回归模型.故选：D. 2.用模型拟合一组数据时，设，将其变换后得到回归方程为，则（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】因为，，所以， 又，所以，解得，所以，故选：D 3.有一个开房门的游戏，其玩法为: 盒中先放入两把钥匙和两把钥匙，能够打开房门，不能打开房门. 每次从盒中随机取一把试开，试开后不放回钥匙.第一次打开房门后，关上门继续试开，第二次打开房门后停止抽取，称为进行了一轮游戏. 若每一轮取钥匙不超过三次，则该轮“成功”，否则为“失败”，如果某一轮“成功”，则游戏终止；若“失败”，则将所有钥匙重新放入盒中，并再放入一把钥匙，继续下一轮抽取，直至“成功”. （1）有名爱好者独立参与这个游戏，记表示“成功”时抽取钥匙的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下表: 若将作为关于的经验回归方程，估计抽取轮才“成功”的人数（人数精确到个位）； （2）由于时间关系，规定：进行游戏时，最多进行三轮，若均未“成功”也要终止游戏.求游戏要进行三轮的概率. 参考公式：最小二乘估计，. 参考数据：取，，其中，. 【答案】（1）人；（2） 【解析】（1）令，设， 由条件知，， 所以， ，从而， 故所求的回归方程为. 所以，估计当时，，即抽取轮才“成功”的人数约为人. （2）由条件知，游戏要进行三轮，即前两轮均失败. 设事件为“第一轮成功”，事件为“第二轮成功”，则、相互独立. 因为，， 所以，前两轮均失败的概率为. 故游戏要进行三轮的概率为. 题型7：综合提升 【例17】某中学学生会为了激发学生们对中国古典文学的爱好，提升古典文学素养，在暑假开学返校后的第一个月组织了一个古典文学研究协会，在接下来的四个月内，该协会的会员人数如表： 月份 第一个月 第二个月 第三个月 第四个月 第五个月 会员人数 （1）求会员人数与时间变量记第一个月为，第二个月为，，以此类推的线性回归方程； （2）根据（1）中所求的线性回归方程，预测个月后，会员人数能否突破人． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为；． 【答案】（1）；（2）不能突破人 【解析】（1）由题意可得，，， ，， ， ， ； （2）根据中所求的线性回归方程，将代入该回归方程中， 得， 即预测个月后，会员人数不能突破人． 【例18】近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，随机抽样调查某市年的家庭平均教育支出，得到如下表格.（附：年份代码分别对应的年份是）.经计算得，，，. 年份 教育支出占家庭支出比例（百分比） （1）计算样本的相关系数，并判断两个变量的相关性强弱；（精确到） （2）建立关于的线性回归方程；（精确到） （3）若年该市某家庭总支出为万元，预测该家庭教育支出约为多少万元？ 附：（i）相关系数：；（ii）线性回归方程：，其中，. 【答案】（1），两个变量有很强的线性相关性；（2）；（3）5.684万元 【解析】（1）， ， 所以， 故两个变量有很强的线性相关性. （2）， ，， 所以，回归直线方程为. （3）当时，， 故家庭教育支出为万元. 【例19】为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：）与样本对原点的距离（单位：）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值.（表中） 6 60 (1)利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型？ (2)根据（1）的结果回答下列问题： （i）建立关于的回归方程； （ii）样本对原点的距离时，金属含量的预报值是多少？ (3)已知该金属在距离原点米时的平均开采成本（单位：元）与关系为，根据（2）的结果回答，为何值时，开采成本最大？ 【解析】（1）因为的线性相关系数， 的线性相关系数， ， 更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型. （2）（i）依题意，可得， ， ，关于的回归方程为. （ii）当时，金属含量的预报值为. （3）因为， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 在处取得极大值，也是最大值，此时取得最大值， 故为10时，开采成本最大. 【例20】如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，，建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，，建立模型②：． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 【解析】（1）根据模型①：， 计算时，； 利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元； 根据模型②：， 计算时，； 利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元； （2）解法1：模型②得到的预测值更可靠，因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，从2000年到2009年间递增的幅度较小些，从2010年到2016年间递增的幅度较大些，所以利用模型②的预测值更可靠些． 解法2，模型②对应的7个点分布宽度小于模型①对应的17个点的分布宽度，则，所以模型②较好； 解法3，选择与2018邻近的三个年份，2015，计算模型②对应的残差绝对值之和，模型①对应的残差绝对值之和；且，所以模型②较好； 所以利用模型②的预测值更可靠些． 一、填空题 1．（23-24高三下·上海嘉定·阶段练习）某产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 30 40 a 50 70 已知y关于x的线性回归方程为，则表格中实数a的值为 ． 【答案】 【分析】先求出，代入回归方程求出，再列方程求实数a的值. 【详解】由条件得， 则， 所以， 解得. 故答案为：. 2．（22-23高二下·上海宝山·期中）已知x，y的对应值如下表所示： 0 2 4 6 8 1 13 若y与x线性相关，且回归直线方程为，则 ． 【答案】1 【分析】根据线性回归方程过样本中心点直接计算即可. 【详解】根据表格可知，， ， 因为y与x线性相关，且回归直线方程为， 所以，得，解得. 故答案为：1 3.（25-26高三上·上海·单元测试）某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用（万元） 1 2 3 4 销售额（万元） 2 3 现已知，且回归方程中的，据此模型预测广告费用为10万元时，销售额为 万元． 【答案】35 【分析】由求解即可． 【详解】， 由，则，得， 所以， 当时，得． 故答案为：35 4．（25-26高三上·上海·单元测试）现调查得到本系列手机上市时间和市场占有率（单位：%）的几组相关对应数据，绘制如图所示的折线图，图中的，分别代表该手机上市的4月份，以及5月份，6月份，7月份，8月份，…．据此数据得出关于的回归方程为，用此方程预测该系列手机市场占有率的变化趋势，要使该系列手机的市场占有率超过0.5%，最早会在初次上市后的第 个月． 【答案】13 【分析】先求出样本中心点，代入中，求得的值，再解不等式，即可． 【详解】，， 样本中心点为， 将其代入，得，解得， ， 当时，有，解得， 应取， 故答案为：13． 5．（2024·上海普陀·二模）为了提高学生参加体育锻炼的积极性，某校本学期依据学生特点针对性的组建了五个特色运动社团，学校为了了解学生参与运动的情况，对每个特色运动社团的参与人数进行了统计，其中一个特色运动社团开学第1周至第5周参与运动的人数统计数据如表所示. 周次 1 2 3 4 5 参与运动的人数 35 36 40 39 45 若表中数据可用回归方程来预测，则本学期第11周参与该特色运动社团的人数约为 .（精确到整数） 【答案】57 【分析】由已知求出样本点中心的坐标，代入线性回归方程，再取求解． 【详解】，， 把代入，得． 可得线性回归方程为． 把代入，可得． 故答案为：57． 6．（23-24高二下·上海·期中）某公司为了解用电量（单位：）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表： 气温 用电量 由表中数据可得回归方程中．试预测当气温为时，用电量约为 ． 【答案】 【分析】根据样本中心在回归直线上可得回归直线方程，进而可得估计值. 【详解】，， 样本点的中心为， 代入， ， 则线性回归方程为， 取，得, 故答案为：. 7．（2024·上海宝山·二模）某公司为了了解某商品的月销售量单位：万件与月销售单价单位：元件之间的关系，随机统计了个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表： 月销售单价元件 月销售量万件 由表中数据可得回归方程中，试预测当月销售单价为元件时，月销售量为 万件. 【答案】 【分析】根据给定数表求出样本中心点，再代入回归直线求出参数即可求得结果. 【详解】依题意，，， 所以样本中心点坐标为，代入回归方程得，， 解得， 所以回归方程为， 当时，， 即当月销售单价为元件时，月销售量约为万件. 故答案为： 8．（2023·上海普陀·二模）“民生”供电公司为了分析“康居”小区的用电量y（单位）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表： 气温x 18 13 10 用电量y 24 34 38 64 若上表中的数据可用回归方程来预测，则当气温为时该小区相应的用电量约为 ． 【答案】 【分析】求出样本中心点，再根据线性回归方程必过样本中心点求出，再将代入即可得解. 【详解】， 则，解得， 所以， 当时，， 即当气温为时该小区相应的用电量约为． 故答案为：. 二、选择题 9．（2023·上海黄浦·三模）实验测得六组成对数据的值为，，，，，，由此可得y与x之间的回归方程为，则可预测当时，y的值为（    ） A．67 B．66 C．65 D．64 【答案】B 【分析】先求出样本中心点，线性回归方程恒过，代入即可求出，再令，代入求解即可. 【详解】由表中数据可得，，， 线性回归方程为，则，解得， 故，当时，. 故选：B. 10．（2023·上海浦东新·二模）某种产品的广告支出与销售额（单位：万元）之间有下表关系，与的线性回归方程为，当广告支出6万元时，随机误差的效应即离差（真实值减去预报值）为（    ）． 2 4 5 6 8 30 40 60 70 80 A．1.6 B．8.4 C．11.6 D．7.4 【答案】A 【分析】代入，得到，从而得到随机误差的效应即离差. 【详解】当时，，故随机误差的效应即离差为. 故选：A 三、解答题 11.（2022春•洛阳期中）假设关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）的有关统计资料如表所示： 使用年限x/年 2 3 4 5 6 维修费用y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知y与x呈线性相关关系． （1）求线性回归方程的回归系数； （2）估计当使用年限为10年时，维修费用是多少？ 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【解题思路】（1）先分别求两个变量的平均数，然后利用公式求出，再求； （2）将x＝10代入回归方程中求解． 【解答过程】解：（1）， ， ； （2）将x＝10代入y＝1.23x+0.08，得y＝1.23×10+0.08＝12.38， 即使用年限为10年时的维修费用的估计值为12.38万元． 12．（23-24高三下·上海·阶段练习）社会实践是大学生课外教育的一个重要方面，在校大学生利用暑期参加社会实践活动，是认识社会、了解社会、提高自我能力的重要机会.某省统计了该省其中的4所大学2023年毕业生的人数及参加过暑期社会实践活动的人数（单位：千人），得到如下表格: 大学 A大学 B大学 C大学 D大学 2023年毕业生的人数（千人） 7 6 5 4 2023年毕业生中参加过社会实践人数（千人） 0.5 0.4 0.3 0.2 若该省大学2023年毕业生人数为12万人，对参加过暑期社会实践活动的大学生每人发放1000元的补贴. (1)写出关于的线性回归方程，并估计该省2023年发放补贴的总金额（单位:万元）; (2)若2023年毕业生中的小李、小王参加暑期社会实践活动的概率分别为，该省对小李、小王两人补贴总金额的期望不超过1500元，求的取值范围. 参考公式:. 【答案】(1)；1180 (2) 【分析】（1）根据给定数表，结合最小二乘法公式计算即得到回归直线方程，再代入求出参加过暑期社会实践活动的人数，从而估计出补贴的总金额； （2）设小李、小王参加过暑期社会实践活动的人数为，求出，再利用期望的性质得到不等式，解得即可. 【详解】（1）由数表知，，， ，， ， ， 所以，， 因此， 所以关于的线性回归方程是， 当千人时，（千人）， 所以该省要发放补贴的总金额约为：万元； （2）设小李、小王参加过暑期社会实践活动的人数为，则的可能取值为、、， 所以， ， ， 所以， 因此，解得，而，即， 于是，所以的取值范围是. 13.（2022•安徽模拟）2020年新冠肺炎疫情突如其来，在党中央的号召下，应对疫情，我国采取特殊的就业政策、经济政策很好地稳住了经济社会发展大局．在全世界范围内，我国疫情控制效果最好，经济复苏最快．某汽车销售公司2021年经济收入在短期内逐月攀升，该公司在第1月份至6月份的销售收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如表： 时间（月份） 1 2 3 4 5 6 收入（百万元） 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0 根据以上数据绘制散点图，如图所示． （1）根据散点图判断，y＝ax+b与y＝cedx（a，b，c，d均为常数）哪一个适宜作为该公司销售收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的结果及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司8月份的销售收入．（结果近似到小数点后第二位） 参考数据： 3.50 21.15 2.85 17.5 125.35 6.73 其中设u＝lny，ui＝lnyi（i＝1，2，3，4，5，6） 参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，vi）（i＝1，2，3，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，e4.56≈95.58，e4.58≈97.51． 【解题思路】（1）根据散点图即可得出结论； （2）由y＝cedx，得lny＝lncedx＝lnc+dx，设u＝lny，则u＝lnc+dx，再利用最小二乘法求出，lnc，从而可求出回归方程，再将x＝8代入即可求出该公司8月份的销售收入的预测值． 【解答过程】解：（1）y＝cedx，散点图中点的分布不是一条直线，相邻两点在y轴上差距是增大的趋势，故用y＝cedx表示更合适； （2）由y＝cedx，得lny＝lncedx＝lnc+dx， 设u＝lny， ∴u＝lnc+dx， ∵， ∴， ， ∴lny＝1.52+0.38x， 即，则回归方程为， 预测该公司8月份的销售收入y＝e1.52e0.38×8＝e4.56≈95.58百万元． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$