专题17：成对数据的相关分析 （强基篇）讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题17 成对数据的相关分析 知识点1．变量的相关关系 (1)函数关系：函数关系是一种确定性关系，常用解析式来表示. (2)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系. 知识点2．散点图 (1)散点图：成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图. (2)正相关和负相关 如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个 变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关. 知识点3．样本相关系数 (1)对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(,)，(,)，，(,)，利用 相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式： （其中，，，和，，，的均值分别为和）. 知识点4 相关系数r的性质 ①当时，称成对样本数据正相关;当时，成对样本数据负相关；当时，成对样本数据间没有线性相关关系. ②样本相关系数的取值范围为 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强; 当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 题型1 变量间的相关关系 【方法点拨】 根据变量间的相关关系的定义，进行判断求解即可. 【例1】对两变量间的关系，下列论述正确的是（　　） A．任何两个变量都具有相关关系 B．正方形的面积与该正方形的边长具有相关关系 C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系 D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系 【跟踪训练】 1.对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫（　　） A．函数关系 B．线性关系 C．相关关系 D．回归关系 2.下列说法正确的是（    ） A．任何两个变量都具有相关关系 B．球的体积与该球的半径具有相关关系 C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系 D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系 3.下列变量间的关系，不是相关关系的是（    ） A．一块农田的水稻产量与施肥之间的关系 B．正方形的面积与边长之间的关系 C．商品销售收入与其广告费支出之间的关系 D．人体内的脂肪含量与年龄之间的关系 题型2 利用散点图判断相关性 【方法点拨】 根据所给的散点图，研究两个变量之间的相关关系，进行求解即可. 【例2】对变量x，y由观测数据得散点图1：对变量u，v由观测数据得散点图2，由这两个散点图可以推断（　　） A．x与y正相关，u与v正相关 B．x与y正相关，u与v负相关 C．x与y负相关，u与v负相关 D．x与y负相关，u与v正相关 【例3】在如图所示的散点图中，若去掉点，则下列说法正确的是（    ）    A．样本相关系数变大 B．变量与变量的相关程度变弱 C．变量与变量呈正相关 D．变量与变量的相关程度变强 【跟踪训练】 1.如下四个散点图中，正相关的是（　　） A． B． C． D． 2.在各散点图中，两个变量具有正相关关系的是（　　） A．B．C． D． 3.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（　　） A．r4＜r2＜0＜r1＜r3 B．r2＜r4＜0＜r1＜r3 C．r2＜r4＜0＜r3＜r1 D．r4＜r2＜0＜r3＜r1 题型3 样本相关系数的意义 【方法点拨】 对于所给题目，根据样本相关系数的定义和有关概念来进行判断，即可得解. 【例4】若变量y与x之间的相关系数r＝﹣0.9362，则变量y与x之间（　　） A．不具有线性相关关系 B．具有线性相关关系 C．它们的线性相关关系还需要进一步确定 D．不确定 【例5】对于样本相关系数r，下列说法正确的是（    ） A．样本相关系数 B．样本相关系数r越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 C．当时，成对样本数据没有任何相关关系 D．当时，成对样本数据正相关且两个分量之间满足一种线性关系 【例6】甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计算出相关系数，则线性相关程度最高的是（    ） 甲 乙 丙 丁 0.87 0.91 0.58 0.83 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪训练】 1.通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图.若去掉图中右下方的点后，下列说法正确的是（    ） A．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关 B．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变 C．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 2.给定y与x的一组样本数据，求得相关系数r＝﹣0.990，则（　　） A．y与x负线性相关 B．y与x正线性相关 C．y与x的线性相关性较强 D．y与x的相关性很强 3.对于相关系数r下列描述正确的是（　　） A．r＞0表明两个变量线性相关性很强 B．r＜0表明两个变量无关 C．|r|越接近1，表明两个变量线性相关性越强 D．r越小，表明两个变量线性相关性越弱 题型4 相关系数的计算 【例7】现随机抽取某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x与入学后第一次考试的数学成绩y如表所示． 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有较强的线性相关关系？ 注：若|r|＞0.75，则我们可以认为y与x之间具有较强的线性相关关系． 【跟踪训练】 1.许多先进国家对驾驶员的培训．大多采用室内模拟教学和训练，而后再进行实地训练并考试，这种方法可以大大节约训练的费用．问题是这种方法有效吗？如表是12名学员的模拟驾驶成绩x与实际考试成绩y的记录（单位：分）： x 98 55 50 87 77 89 y 95 60 45 85 75 87 x 79 98 94 83 74 73 y 75 97 92 80 71 72 试问：两者的相关性如何？请画出散点图，并求出x与y间的线性相关系数． 2.大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 零件的横截面积 0.03 0.05 0.04 0.07 0.07 0.04 0.05 0.06 0.06 0.05 0.52 耗材量 0.24 0.40 0.23 0.55 0.50 0.34 0.35 0.45 0.43 0.41 3.9 并计算得，． (1)估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量； (2)求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）． 附：相关系数；． 3.某食品加工厂新研制出一种袋装食品（规格：/袋），下面是近六个月每袋出厂价格（单位：元）与销售量（单位：万袋）的对应关系表： 月份序号 每袋出厂价格 月销售量 并计算得，，. (1)计算该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格、平均月销售量和平均月销售收入； (2)求每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数（精确到）； (3)若样本相关系数，则认为相关性很强；否则没有较强的相关性.你认为该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量是否有较强的相关性. 附：样本相关系数，. 题型5 样本相关系数的应用 【方法点拨】 样本相关系数是对两个变量相关程度进行定量刻画，|r|越大，表明两个变量之间的线性相关程度越强，运 用样本相关系数进行判断的一般步骤如下： (1)整理数据，求出相关值；(2)计算样本相关系数；(3)得出结论. 【例8】我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量（单位：dm）与遥测雨量（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人工测雨量 5.38 7.99 6.37 6.71 7.53 5.53 4.18 4.04 6.02 4.23 遥测雨量 5.43 8.07 6.57 6.14 7.95 5.56 4.27 4.15 6.04 4.49 0.05 0.08 0.2 0.57 0.42 0.03 0.09 0.11 0.02 0.26 并计算得，，，，，. (1)求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系； (2)规定：数组满足为“I类误差”；满足为“II类误差”；满足为“III类误差”.为进一步研究，该地区水文研究人员从“I类误差”、“II类误差”中随机抽取3组数据与“III类误差”数据进行对比，记抽到“I类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望. 附：相关系数，. 【跟踪训练】 1.某专营店统计了最近天到该店购物的人数和时间第天之间的数据，列表如下： (1)由表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？（若，则认为线性相关程度高，可用线性回归模型拟合；否则，不可用线性回归模型拟合.计算时精确到） (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折.某顾客计划在此专营店购买一件价值元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选哪种方案更优惠？ 参考数据：.附：相关系数. 2.某公司进行工资改革，将工作效率作为工资定档的一个重要标准，大大提高了员工的工作积极性，但也引起了一些老员工的不满．为了调查员工的工资与工龄的情况，人力资源部随机从公司的技术研发部门中抽取了16名员工了解情况，结果如下： 工龄（年） 1 2 3 4 5 6 7 8 年薪（万） 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 工龄（年） 9 10 11 12 13 14 15 16 年薪（万） 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，，，其中表示工龄为i年的年薪，． (1)求年薪与工龄i（）的相关系数r，并回答是否可以认为年薪与工龄具有线性相关关系（若，则可以认为年薪与工龄不具有线性相关关系）． (2)在抽取的16名员工中，如果年薪都在之内，则继续推进工资改革，同时给每位老员工相应的补贴，如果有员工年薪在之外，该员工会被人力资源部约谈并进行岗位调整，且需要重新计算原抽取的16名员工中留下的员工年薪的均值和标准差，由于人力资源部需要安抚老员工的情绪，工作繁重，现请你帮忙计算留下的员工年薪的均值和标准差．（精确到0.01） 附：样本的相关系数，，，， ． 一、填空题 1．（24-25复兴高级中学高三阶段练习）关于相关系数，下列说法中正确的有 （填序号）. ①越大，相关程度越大； ②越小，相关程度越大； ③越大，相关程度越小，越小，相关程度越大； ④且越接近于1，相关程度越大，越接近0，相关程度越小. 2．（21-22高二下·上海浦东新·期末）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号 根部横截面积 材积量 则该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数 （精确到）. 3.（2024高二下·上海·专题练习）已知变量，之间的一组相关数据如表所示，则变量，之间的相关系数 . 6 8 10 12 6 5 3 2 二、选择题 4．（23·24高三上·上海黄浦·开学考试）观察下列散点图，则①正相关，②负相关，③不相关，图中的甲、乙、丙三个散点图按顺序相对应的是（    ）．    A．①②③ B．②①③ C．①③② D．③①② 5．（2024·上海·模拟预测）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 6．（2023•天津高考）调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是　　 A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245 7．（24-25高三下·上海浦东新·阶段练习）为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对进行线性回归分析．若在此图中加上点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．不具有线性相关性 B．相关系数变大 C．相关系数变小 D．相关系数不变 8．（22-23浦东新区高二下·期末）变量X与Y相对应的一组数据为，，，，；变量U与V相对应的一组数据为，，，，.表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24徐汇高二下期末）对两个变量的四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（    ）    A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3 10．（2024·四川成都·二模）对变量有观测数据，得散点图1；对变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（    ） A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且 C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且 11．（22-23七宝中学单元测试）一唱片公司欲知唱片费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得如下的资料：，，，，，则y与x的相关系数r的绝对值为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 12．（2023·普陀区三模）下图是遂宁市2022年4月至2023年3月每月最低气温与最高气温（℃）的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数，则下列结论正确的是（    ）     A．月温差（月最高气温﹣月最低气温）的最大值出现在8月 B．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性负相关 C．每月最高气温与最低气温的平均值在4-8月逐月增加 D．9﹣12月的月温差相对于5﹣8月，波动性更小 三、解答题 13．（2023·上海模拟预测）党的二十大以来，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业持续投入研发的信心.某科技企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过不断的研发和技术革新，提升了企业收益水平.下表是对2023 年1 ~5月份该企业的利润y(单位：百万)的统计. 月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 月份编号x 1 2 3 4 5 利润y(百万) 7 12 13 19 24 (1)根据统计表，求该企业的利润y与月份编号x的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有线性相关关系（，则认为y与x的线性相关性较强，，则认为y与x的线性相关性较弱.）； (2)该企业现有甲、乙两条流水线生产同一种产品.为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两条流水线上分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到“甲流水线产品”的件数为，试求的分布列与期望. 附：相关系数 14．（25-26高三上·上海·单元测试）某地用简单随机抽样的方法抽取15个村进行验收调查，调查得到的样本数据，其中和分别表示第个村中村户的年平均收入（单位：万元）和产业资金投入数量（单位：万元），并计算得到，，，，． (1)试估计该地被调查村的村户年平均收入； (2)根据样本数据，求该地被调查村中村户年平均收入与产业资金投1的相关系数；（精确到0.01） (3)根据现有统计资料，各被调查村产业资金投入差异很大．为了准确地进行验收，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 15．（2024金山中学高三阶段练习）为了监控某种医疗物资的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个医疗物资，并测量其尺寸（单位：）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个医疗物资的尺寸： 抽取次数 1 2 3 4 5 6 7 8 医疗物资尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次数 9 10 11 12 13 14 15 16 医疗物资尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，，，，其中为抽取的第个医疗物资的尺寸，． (1)求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的医疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为医疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）； (2)一天内抽检医疗物资中，如果出现了尺寸在之外的医疗物资，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题17 成对数据的相关分析 知识点1．变量的相关关系 (1)函数关系：函数关系是一种确定性关系，常用解析式来表示. (2)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系. 知识点2．散点图 (1)散点图：成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图. (2)正相关和负相关 如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个 变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关. 知识点3．样本相关系数 (1)对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(,)，(,)，，(,)，利用 相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式： （其中，，，和，，，的均值分别为和）. 知识点4 相关系数r的性质 ①当时，称成对样本数据正相关;当时，成对样本数据负相关；当时，成对样本数据间没有线性相关关系. ②样本相关系数的取值范围为 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强; 当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 题型1 变量间的相关关系 【方法点拨】 根据变量间的相关关系的定义，进行判断求解即可. 【例1】对两变量间的关系，下列论述正确的是（　　） A．任何两个变量都具有相关关系 B．正方形的面积与该正方形的边长具有相关关系 C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系 D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系 【解题思路】利用相关关系与确定性关系的定义，对四个选项逐一分析判断即可． 【解答过程】解：当两个变量之间具有确定关系时，两个变量之间是函数关系，而不是相关关系，故选项A错误； 正方形的面积与该正方形的边长之间是函数关系，故选项B错误； 农作物的产量与施化肥量之间是一种相关关系，是非确定性关系，故选项C错误； 学生的数学成绩与物理成绩之间是相关关系，是非确定性的关系，故选项D正确． 故选：D． 【跟踪训练】 1.对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫（　　） A．函数关系 B．线性关系 C．相关关系 D．回归关系 【解题思路】根据相关变量的意义知：当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系是相关关系． 【解答过程】解：对于自变量x和因变量y， 当x取值一定时， y的取值带有一定的随机性， x，y之间的这种非确定性关系叫相关关系， 故选：C． 2.下列说法正确的是（    ） A．任何两个变量都具有相关关系 B．球的体积与该球的半径具有相关关系 C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系 D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系 【解题思路】根据相关关系是一种不确定关系，函数关系是一种确定关系，可判断A；根据球的体积与半径之间的关系，可判断该关系为函数关系，可判断B；根据农作物的产量与施化肥量之间的关系可得该关系为一种相关关系，可判断C；根据学生的数学成绩与物理成绩之间是一种相关关系可判断D. 【解答过程】解：当两个变量之间具有确定的关系时，两个变量之间是函数关系，而不是相关关系，故A错误； 球的体积与该球的半径之间是函数关系，故B错误； 农作物的产量与施化肥量之间的关系是相关关系，是非确定性关系，故C错误； 学生的数学成绩与物理成绩之间的关系是相关关系，是非确定性关系，故D正确. 故选：D. 3.下列变量间的关系，不是相关关系的是（    ） A．一块农田的水稻产量与施肥之间的关系 B．正方形的面积与边长之间的关系 C．商品销售收入与其广告费支出之间的关系 D．人体内的脂肪含量与年龄之间的关系 【解题思路】由相关关系概念可得答案. 【解答过程】A选项，水稻产量与施肥之间没有明确的等量关系，是相关关系，故A错误； B选项，正方形的面积与边长之间有着明确的等量关系，不是相关关系，故B正确； C选项，商品销售收入与其广告费支出之间没有明确的等量关系，故C错误； D选项，人体内的脂肪含量与年龄之间没有明确的等量关系，故D错误. 故选：B. 题型2 利用散点图判断相关性 【方法点拨】 根据所给的散点图，研究两个变量之间的相关关系，进行求解即可. 【例2】对变量x，y由观测数据得散点图1：对变量u，v由观测数据得散点图2，由这两个散点图可以推断（　　） A．x与y正相关，u与v正相关 B．x与y正相关，u与v负相关 C．x与y负相关，u与v负相关 D．x与y负相关，u与v正相关 【解题思路】通过观察散点图得出：y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，v随u的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关． 【解答过程】解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关， 由题图2可知，v随u的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关． 故选：D． 【例3】在如图所示的散点图中，若去掉点，则下列说法正确的是（    ）    A．样本相关系数变大 B．变量与变量的相关程度变弱 C．变量与变量呈正相关 D．变量与变量的相关程度变强 【答案】D 【解析】由散点图知，自变量与因变量呈负相关，即，故C错误； 去掉点后，进一步接近1，所以变小，故A错误； 去掉点后，与的线性相关加强，即相关程度变强，故B错误，D正确． 故选：D． 【跟踪训练】 1.如下四个散点图中，正相关的是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，依次分析选项中的散点图，判断是否具有相关性和正负相关关系，即可得答案． 【解答过程】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，散点图中的点从左向右是上升的，且在一条直线附近，是正相关； 对于B，散点图中的点从左向右是下降的，且在一条直线附近，是负相关． 对于C，散点图中的点成片状分布，没有明显的相关性； 对于D，散点图中的点也成片状分布，没有明显的相关性． 故选：A． 2.在各散点图中，两个变量具有正相关关系的是（　　） A．B．C． D． 【解题思路】根据散点图中样本点成带状分布，判断这两个变量具有线性相关关系，正相关关系的散点图是从左下角向右上角变化． 【解答过程】解：根据题意，依次分析选项为： 对于A、是相关关系，但不是正相关关系，不符合题意； 对于B、是相关关系，也是正相关关系，符合题意； 对于C、是相关关系，是负相关关系，不符合题意； 对于D、所示的散点图中，样本点不成带状分布，这两个变量不具有线性相关关系，不符合题意． 故选：B． 3.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（　　） A．r4＜r2＜0＜r1＜r3 B．r2＜r4＜0＜r1＜r3 C．r2＜r4＜0＜r3＜r1 D．r4＜r2＜0＜r3＜r1 【解题思路】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，进而可得出结果． 【解答过程】解：根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强， 由题中数据可知：（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关； 故r1＞0，r3＞0；r2＜0，r4＜0； 又（1）与（2）中散点图更接近于一条直线，故r1＞r3，r2＜r4， 因此，r2＜r4＜0＜r3＜r1． 故选：C． 题型3 样本相关系数的意义 【方法点拨】 对于所给题目，根据样本相关系数的定义和有关概念来进行判断，即可得解. 【例4】若变量y与x之间的相关系数r＝﹣0.9362，则变量y与x之间（　　） A．不具有线性相关关系 B．具有线性相关关系 C．它们的线性相关关系还需要进一步确定 D．不确定 【解题思路】相关系数的绝对值越接近于1，越具有强大相关性，相关系数r＝﹣0.9362，相关系数的绝对值约接近1，得到结论． 【解答过程】解：∵相关系数的绝对值越大，越具有强大相关性， 相关系数r＝﹣0.9362，相关系数的绝对值约接近1， 相关关系较强． 故选：B． 【例5】对于样本相关系数r，下列说法正确的是（    ） A．样本相关系数 B．样本相关系数r越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 C．当时，成对样本数据没有任何相关关系 D．当时，成对样本数据正相关且两个分量之间满足一种线性关系 【解题思路】根据相关系数的性质逐一判断即可. 【解答过程】因为相关系数，所以选项A不正确； 因为样本相关系数r绝对值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱， 所以选项B不正确； 因为当时，成对样本数据之间没有线性相关关系，可以有其他相关关系，所以本选项不正确； 因为当时，成对样本数据正相关且两个分量之间满足一种线性关系， 所以选项D正确， 故选：D. 【例6】甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计算出相关系数，则线性相关程度最高的是（    ） 甲 乙 丙 丁 0.87 0.91 0.58 0.83 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【解析】因为相关系数越大，线性相关程度越强， 所以线性相关程度最高的是乙. 故选：B 【跟踪训练】 1.通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图.若去掉图中右下方的点后，下列说法正确的是（    ） A．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关 B．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变 C．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 【解题思路】根据相关系数的概念逐一判断. 【解答过程】对于A：去掉图中右下方的点后，根据图象，两个变量还是负相关，A错误； 对于BCD：去掉图中右下方的点后，相对来说数据会集中，相关程度会更高， 但因为是负相关，相关系数会更接近线性相关系数会变小，故D正确，BC错误. 故选：D. 2.给定y与x的一组样本数据，求得相关系数r＝﹣0.990，则（　　） A．y与x负线性相关 B．y与x正线性相关 C．y与x的线性相关性较强 D．y与x的相关性很强 【解题思路】相关系数的绝对值越接近于1，越具有强大相关性，相关系数r＝﹣0.990，相关系数的绝对值约接近1，得到结论． 【解答过程】解：∵相关系数的绝对值越大，越具有强大相关性， 相关系数r＝﹣0.990，相关系数的绝对值约接近1， 相关关系较强． 故选：C． 3.对于相关系数r下列描述正确的是（　　） A．r＞0表明两个变量线性相关性很强 B．r＜0表明两个变量无关 C．|r|越接近1，表明两个变量线性相关性越强 D．r越小，表明两个变量线性相关性越弱 【解题思路】两个变量之间的相关性和相关系数的大小有关，r的绝对值越接近于1，表面两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，两个变量之间几乎不存在线性相关． 【解答过程】解：两个变量之间的相关系数，r的绝对值越接近于1， 表面两个变量的线性相关性越强， r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关， 故选：C． 题型4 相关系数的计算 【例7】现随机抽取某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x与入学后第一次考试的数学成绩y如表所示． 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有较强的线性相关关系？ 注：若|r|＞0.75，则我们可以认为y与x之间具有较强的线性相关关系． 【解题思路】根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解． 【解答过程】解：由表中的数据可得， （120+108+•••+99+108）＝107.8， （84+64+•••+57+71）＝68， 1202+1082+•••+992+1082＝116584， 842+642+•••+572+712＝47384， 120×84+108×64+•••+108×71＝73796， 故相关系数r0.7506＞0.75， 故这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系． 【跟踪训练】 1.许多先进国家对驾驶员的培训．大多采用室内模拟教学和训练，而后再进行实地训练并考试，这种方法可以大大节约训练的费用．问题是这种方法有效吗？如表是12名学员的模拟驾驶成绩x与实际考试成绩y的记录（单位：分）： x 98 55 50 87 77 89 y 95 60 45 85 75 87 x 79 98 94 83 74 73 y 75 97 92 80 71 72 试问：两者的相关性如何？请画出散点图，并求出x与y间的线性相关系数． 【解题思路】画出散点图，由散点图中的点分布在一条直线附近知两变量线性相关性很强； 由表中数据计算相关系数r≈0.94＞0.75，知两变量的线性相关性很强． 【解答过程】解：两者的相关性很强． 画出散点图，如图所示； 由散点图中的点分布在一条直线附近，知两变量线性相关性很强； 由表中数据，计算（98+55+…+73）＝79.75≈80， （95+60+…+72）＝77.83≈78； 相关系数为 r ≈0.94． 所以y与x间的线性相关系数为0.94＞0.75，知两变量的线性相关性很强． 2.大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 零件的横截面积 0.03 0.05 0.04 0.07 0.07 0.04 0.05 0.06 0.06 0.05 0.52 耗材量 0.24 0.40 0.23 0.55 0.50 0.34 0.35 0.45 0.43 0.41 3.9 并计算得，． (1)估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量； (2)求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）． 附：相关系数；． 【解题思路】（1）根据表格中的数据，结合平均数的计算公式，即可求解； （2）由表格中的参考数据和相关系数的公式，准确计算，即可求解. 【解答过程】（1）解：样本中10个这种零件的横截面积的平均值， 样本中10个这种零件的耗材量的平均值， 由此可估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积为，平均一个零件的耗材量为． （2）解：由表格中的参考数据和相关系数的公式，可得 ， 所以这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数. 3.某食品加工厂新研制出一种袋装食品（规格：/袋），下面是近六个月每袋出厂价格（单位：元）与销售量（单位：万袋）的对应关系表： 月份序号 每袋出厂价格 月销售量 并计算得，，. (1)计算该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格、平均月销售量和平均月销售收入； (2)求每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数（精确到）； (3)若样本相关系数，则认为相关性很强；否则没有较强的相关性.你认为该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量是否有较强的相关性. 附：样本相关系数，. 【解题思路】 （1）由表格中数据和参考数据进行计算即可； （2）将样本相关系数公式转化为，利用表中数据和参考数据进行计算即可； （3）将（2）中样本相关系数的绝对值与进行比较即可. 【解答过程】（1）该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格为： （元）， 平均月销售量为（万袋）， 平均月销售收入为（万元）. （2）由已知，每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数为： . （3）由于每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数，所以该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性. 题型5 样本相关系数的应用 【方法点拨】 样本相关系数是对两个变量相关程度进行定量刻画，|r|越大，表明两个变量之间的线性相关程度越强，运 用样本相关系数进行判断的一般步骤如下： (1)整理数据，求出相关值；(2)计算样本相关系数；(3)得出结论. 【例8】我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量（单位：dm）与遥测雨量（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人工测雨量 5.38 7.99 6.37 6.71 7.53 5.53 4.18 4.04 6.02 4.23 遥测雨量 5.43 8.07 6.57 6.14 7.95 5.56 4.27 4.15 6.04 4.49 0.05 0.08 0.2 0.57 0.42 0.03 0.09 0.11 0.02 0.26 并计算得，，，，，. (1)求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系； (2)规定：数组满足为“I类误差”；满足为“II类误差”；满足为“III类误差”.为进一步研究，该地区水文研究人员从“I类误差”、“II类误差”中随机抽取3组数据与“III类误差”数据进行对比，记抽到“I类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望. 附：相关系数，. 【解题思路】（1）根据参考公式和数据，代入求相关系数，即可判断相关性强或弱； （2）根据条件可知X的所有可能取值为0，1，2，3，再根据超几何分别求分布列和数学期望. 【解答过程】（1）因为， 代入已知数据， 得. （2）依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“III类误差”有2组. 若从“I类误差”和“II类误差”数据中抽取3组， 抽到“I类误差”的组数X的所有可能取值为0，1，2，3. 则，， ，. 所以X的概率分布为 0 1 2 3 所以的数学期望. 另解：因为，所以. 【跟踪训练】 1.某专营店统计了最近天到该店购物的人数和时间第天之间的数据，列表如下： (1)由表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？（若，则认为线性相关程度高，可用线性回归模型拟合；否则，不可用线性回归模型拟合.计算时精确到） (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折.某顾客计划在此专营店购买一件价值元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选哪种方案更优惠？ 参考数据：.附：相关系数. 【解题思路】 （1）计算出、的值，将表格中的数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论； （2）设方案一的实际付款金额为元，方案二的实际付款金额为元，计算出、的值，比较大小后可得出结论. 【解答过程】（1）解：，， 所以，， ，， 所以，， 所以，与的线性相关性很强，故可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系. （2）解：设方案一的实际付款金额为元，方案二的实际付款金额为元， 由题意可知，（元）， 的可能取值有、、、， ，， ，， 所以，， 所以，方案二更优惠. 2.某公司进行工资改革，将工作效率作为工资定档的一个重要标准，大大提高了员工的工作积极性，但也引起了一些老员工的不满．为了调查员工的工资与工龄的情况，人力资源部随机从公司的技术研发部门中抽取了16名员工了解情况，结果如下： 工龄（年） 1 2 3 4 5 6 7 8 年薪（万） 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 工龄（年） 9 10 11 12 13 14 15 16 年薪（万） 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，，，其中表示工龄为i年的年薪，． (1)求年薪与工龄i（）的相关系数r，并回答是否可以认为年薪与工龄具有线性相关关系（若，则可以认为年薪与工龄不具有线性相关关系）． (2)在抽取的16名员工中，如果年薪都在之内，则继续推进工资改革，同时给每位老员工相应的补贴，如果有员工年薪在之外，该员工会被人力资源部约谈并进行岗位调整，且需要重新计算原抽取的16名员工中留下的员工年薪的均值和标准差，由于人力资源部需要安抚老员工的情绪，工作繁重，现请你帮忙计算留下的员工年薪的均值和标准差．（精确到0.01） 附：样本的相关系数，，，， ． 【解题思路】（1）计算出相关系数，进而与0.25比较后得到结论； （2）计算出的范围，得到第13号员工不在此范围之内，计算出剔除离群值后，剩下的数据平均值和样本方差，进而计算出剔除离群值后样本标准差. 【解答过程】（1）计算相关系数， 因为，所以可认为年薪与工龄不具有线性相关关系． （2）因为，， 所以在之内的范围是， 显然第13号员工不在此范围之内，所以需要对余下的员工进行计算， 剔除离群值后，剩下的数据平均值为， 因为，所以， 所以剔除离群值后样本方差为， 故剔除离群值后样本标准差为． 一、填空题 1．（24-25复兴高级中学高三阶段练习）关于相关系数，下列说法中正确的有 （填序号）. ①越大，相关程度越大； ②越小，相关程度越大； ③越大，相关程度越小，越小，相关程度越大； ④且越接近于1，相关程度越大，越接近0，相关程度越小. 【答案】④ 【分析】根据给定条件，利用相关系数的意义依次判断即可. 【详解】且越接近于1，相关程度越大，越接近0，相关程度越小，①②③错误，④正确. 故答案为：④ 2．（21-22高二下·上海浦东新·期末）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号 根部横截面积 材积量 则该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数 （精确到）. 【答案】 【分析】根据数据计算各相关量，结合相关系数公式直接计算. 【详解】由已知得，，，，， 所以相关系数， 故答案为：. 3.（2024高二下·上海·专题练习）已知变量，之间的一组相关数据如表所示，则变量，之间的相关系数 . 6 8 10 12 6 5 3 2 【答案】 【分析】利用相关系数公式就可以求出结果. 【详解】解：根据表中数据计算可知，， 所以变量，之间的相关系数． 故答案为：． 二、选择题 4．（23·24高三上·上海黄浦·开学考试）观察下列散点图，则①正相关，②负相关，③不相关，图中的甲、乙、丙三个散点图按顺序相对应的是（    ）．    A．①②③ B．②①③ C．①③② D．③①② 【答案】C 【分析】根据散点图以及相关性定义判断. 【详解】对于图①，显然是正的线性相关，对于图②，不相关，对于图③，负的线性相关； 故选：C. 5．（2024·上海·模拟预测）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 【答案】C 【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项. 【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误. 对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势， 故C正确，D错误. 故选：C. 6．（2023•天津高考）调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是　　 A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245 【答案】 【解析】相关系数，且散点图呈左下角到右上角的带状分布， 花瓣长度和花萼长度呈正相关． 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不一定是0.8245． 故选：． 7．（24-25高三下·上海浦东新·阶段练习）为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对进行线性回归分析．若在此图中加上点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．不具有线性相关性 B．相关系数变大 C．相关系数变小 D．相关系数不变 【答案】C 【分析】根据散点图，可判断A选项，加入点后，回归效果变差，从而可判断B，C，D选项. 【详解】对于A，加入点后，变量与预报变量相关性变弱，但不能说不具有线性相关性，故A错误； 对于B，C，D，由于点远离其他点，故加上点后，回归效果会变差， 所以相应的样本相关系数的绝对值会变小， 根据题中散点图，显然，所以会变小，故C正确，B，D错误. 故选：C. 8．（22-23浦东新区高二下·期末）变量X与Y相对应的一组数据为，，，，；变量U与V相对应的一组数据为，，，，.表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据变量对应数据可确定与之间正相关，与之间负相关，由此可得相关系数的大小关系. 【解答过程】由变量与相对应的一组数据为，，，，，可得变量与之间正相关， ； 由变量与相对应的一组数据为，，，，，可知变量与之间负相关， ； 综上所述：与的大小关系是． 故选：C. 9．（23-24徐汇高二下期末）对两个变量的四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（    ）    A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3 【解题思路】 根据散点图的分布与相关系数的关系判断即可. 【解答过程】 由相关系数及散点图反映了线性相关关系的知识，可知r2＜r4＜0＜r3＜r1． 故选：A. 10．（2024·四川成都·二模）对变量有观测数据，得散点图1；对变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（    ） A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且 C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且 【解题思路】利用散点图，结合相关系数的知识可得答案. 【解答过程】由题意可知，变量的散点图中，随的增大而增大，所以变量与呈现正相关； 再分别观察两个散点图，图比图点更加集中，相关性更好，所以线性相关系数. 故选：C. 11．（22-23七宝中学单元测试）一唱片公司欲知唱片费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得如下的资料：，，，，，则y与x的相关系数r的绝对值为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【解题思路】运用相关系数公式进行求解即可. 【解答过程】因为，，所以， ， 故选：D. 12．（2023·普陀区三模）下图是遂宁市2022年4月至2023年3月每月最低气温与最高气温（℃）的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数，则下列结论正确的是（    ）     A．月温差（月最高气温﹣月最低气温）的最大值出现在8月 B．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性负相关 C．每月最高气温与最低气温的平均值在4-8月逐月增加 D．9﹣12月的月温差相对于5﹣8月，波动性更小 【解题思路】根据图表，温差最大值出现在10月，A错误，二者为线性正相关，B错误，计算得到C正确D错误，得到答案. 【解答过程】对选项A：月温差（月最高气温﹣月最低气温）的最大值出现在10月，错误； 对选项B：每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关，错误； 对选项C：每月最高气温与最低气温的平均值在4-8月分别为，逐月增加，正确； 对选项D：9﹣12月的月温差为；5﹣8月的月温差为，9﹣12月的月温差的波动性更大，错误； 故选：C. 三、解答题 13．（2023·上海模拟预测）党的二十大以来，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业持续投入研发的信心.某科技企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过不断的研发和技术革新，提升了企业收益水平.下表是对2023 年1 ~5月份该企业的利润y(单位：百万)的统计. 月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 月份编号x 1 2 3 4 5 利润y(百万) 7 12 13 19 24 (1)根据统计表，求该企业的利润y与月份编号x的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有线性相关关系（，则认为y与x的线性相关性较强，，则认为y与x的线性相关性较弱.）； (2)该企业现有甲、乙两条流水线生产同一种产品.为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两条流水线上分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到“甲流水线产品”的件数为，试求的分布列与期望. 附：相关系数 【解题思路】 （1）根据公式求出相关系数的值，即可判断； （2）根据题意可知可取的为，然后计算列出分布列，求出期望即可求解. 【解答过程】（1）由统计表数据可得:    所以     所以相关系数 ， 因此，两个变量具有很强的线性相关性. （2）由题意知，的可能取值为                         因为 ， ， 所以 的分布列为： 所以 14．（25-26高三上·上海·单元测试）某地用简单随机抽样的方法抽取15个村进行验收调查，调查得到的样本数据，其中和分别表示第个村中村户的年平均收入（单位：万元）和产业资金投入数量（单位：万元），并计算得到，，，，． (1)试估计该地被调查村的村户年平均收入； (2)根据样本数据，求该地被调查村中村户年平均收入与产业资金投1的相关系数；（精确到0.01） (3)根据现有统计资料，各被调查村产业资金投入差异很大．为了准确地进行验收，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 【答案】(1)（万元） (2) (3)采用分层抽样，理由见解析 【分析】（1）利用样本平均数的计算公式求解即可，（2）利用样本平均数的计算公式求解即可.（3）结合题意根据调查总体的分布特征选择分层抽样进行调查即可. 【详解】（1）该地被调查村的村户年平均收入的估计值为（万元）； （2）样本的相关系数为 ； （3）采用分层抽样，理由如下： 由（2）知被调查村的村户年平均收入与该村的产业投入资金有很强的正相关性， 由于各被调查村产业资金投入差异很大，因此被调查村的村户年平均收入差异也很大， 所以采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地更准确的验收估计． 15．（2024金山中学高三阶段练习）为了监控某种医疗物资的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个医疗物资，并测量其尺寸（单位：）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个医疗物资的尺寸： 抽取次数 1 2 3 4 5 6 7 8 医疗物资尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次数 9 10 11 12 13 14 15 16 医疗物资尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，，，，其中为抽取的第个医疗物资的尺寸，． (1)求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的医疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为医疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）； (2)一天内抽检医疗物资中，如果出现了尺寸在之外的医疗物资，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ 【答案】(1)，可以认为 (2)需对当天的生产过程进行检查 【分析】（1）利用公式计算出相关系数，再根据，则可以认为医疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小进行判断； （2）计算出，，进一步得出的区间范围，观察样本数据看零件的尺寸在以外就需要对当天的生产过程进行检查． 【详解】（1）由样本数据得的相关系数为 ． 由于，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小； （2）由于，， 故的区间范围为， 由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在以外， 因此需对当天的生产过程进行检查． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$