专题12：第6章计数原理章节复习提升 （强基篇）讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题12 第6章计数原理章节复习提升 知识点1：分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.  知识点2：分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 知识点3：分类加法计数原理和分布乘法计数原理推广 （1）完成一件事有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法, ……,在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……,做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 知识点4：排列与组合的概念 名称 定义 排列 从个不同元素中取出（）个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从个元素中取出个元素的一个排列 组合 作为一组，叫做从个元素中取出个元素的一个组合 知识点5：排列数与组合数 （1）排列数： 从个不同元素中取出取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个排列数，用符号表示 （2）组合数： 从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个组合数，用符号表示 知识点6：排列数、组合数的公式及性质 （1） （2） （3） （4）； 知识点7：二项式定理 （1）二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. （2）二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. （3）二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. （4）二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 知识点8：二项式系数的性质 ①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： ②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； ③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. 知识点9：各二项式系数和 （1）展开式的各二项式系数和： ； （2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 考点1：乘法原理和加法原理 【例1】（23-24上海金山高二期中）现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．36种 B．20种 C．12种 D．10种 【例2】（24-25普陀高二期中）编号为1，2，3，4的四位同学参观某博物馆，该博物馆共有编号为1，2，3，4的四个门，若规定编号为1，2，3，4的四位同学进入博物馆不能走与自己编号相同的门，则四位同学用不同的方式进入博物馆的方法种数为（    ） A．12 B．16 C．81 D．256 【例3】（23-24高二下·上海·期中）高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（    ） A．54 B．12 C．8 D．81 【例4】（2024七宝中学高二期末）有3位高三学生参加4所重点院校的自主招生考试，每人参加且只能参加一所学校的考试，则不同的考试方法种数为 . 【例5】（2022春•长宁区校级期末）将3封不同的信投入4个不同的邮箱，则有 　　种不同投法． 【例6】（2022•崇明区二模）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定： （1）每位学生每天最多选择1项； （2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 课后服务 音乐、阅读、 体育、编程 口语、阅读、 编程、美术 手工、阅读、 科技、体育 口语、阅读、 体育、编程 音乐、口语、 美术、科技 若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有 　14　种．（用数值表示） 考点2：排列数与组合数的有关计算 【例7】（2024春•宝山区校级期中）已知为正整数，且，则　　． 【例8】（2024春•徐汇区校级期中）已知，则　　． 【例9】（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）若，则正整数的值为 ． 【例10】（2024上海高二课时练习）（1）解方程：; （2）求关于的不等式的解集. 考点3：排列组合综合问题 1、特殊位置特殊元素优先排 【例11】（2024上海高二课时练习）运输公司从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，到，，，，这五个不同地区执行任务，要求地只能派男司机，地只能派女司机，则不同的方案种数是（    ） A．360 B．720 C．1080 D．2160 【例12】（2024上海高二课时练习）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【例13】（2024上海高二课时练习）某餐厅并排有7个座位，甲、乙、丙三位顾客就餐，每人必须选择且只能选择一个座位，要求两端座位不能坐人，并且连续空座至多有2个，则不同的坐法有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．56种 2、相邻与不相邻 【例14】（2024·上海虹口·二模）3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为 . 【例15】（2024·上海黄浦·二模）某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为 . 【例16】（2023·全国·高三专题练习）3名男生，2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有（    ） A．72种 B．64种 C．48种 D．36种 【例17】（2023延安中学高二期末）有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有______种．（结果用数字作答） 【例18】（2024春•浦东新区校级期中）某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有　　 A．120种 B．240种 C．216种 D．256种 【例19】（2024春•宝山区校级期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”，为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有　　 A．120种 B．240种 C．480种 D．720种 【例20】（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（    ） A．288 B．144 C．72 D．36 【例21】（2024春•宝山区校级期中）某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ） A．34种 B．56种 C．96种 D．144种 【例22】（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（    ）种排法？ A．72 B．36 C．24 D．12 【例23】（2023秋·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（    ） A．24个 B．36个 C．72个 D．60个 【例24】《红楼梦》是中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，《红楼梦》第三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社．诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉．”诗社成员有8人：林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨，若这8人排成一排进人大观园，且林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，则不同的排法种数有（    ） A．1440 B．2400 C．14400 D．86400 3、排除问题（定序与环排） 【例25】（2023·全国·高三专题练习）七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（    ） A．48种 B．72种 C．90种 D．144种 【例26】（2023上海高二课时练习）名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【例27】（2023·全国·高二专题练习）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数． (1)选5名同学排成一排； (2)全体站成一排，甲、乙不在两端； (3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端； (4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起； (5)全体站成一排，男生排在一起； (6)全体站成一排，男生彼此不相邻； (7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻； (8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人； (9)排成前后两排，前排3人，后排4人； (10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边． 【例28】（2024春•宝山区校级期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦．若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 　2520　种．（结果用数字作答） 【例29】6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有 种． 【例30】毕业季，6位身高全不相同的同学拍照留念，站成前后两排各三人，要求每列后排同学比前排高的不同排法共有（    ） A．40种 B．20种 C．180种 D．90种 【例31】（2023春·江苏苏州·高二昆山震川高级中学校考期中）现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【例32】（2023·全国·高三专题练习）现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（    ）． A．6种 B．8种 C．12种 D．16种 4、分组分配（平均分组、部分平均分组、不平均分组） 【例33】将6名实习教师分配到3所学校进行培调，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（    ） A．240种 B．360种 C．450种 D．540种 【例34】（2023普陀区一模）将4名新招聘的工人分配到A，B两个生产车间，每个车间至少安排1名工人，则不同安排方案有（    ） A．36种 B．14种 C．22种 D．8种 【例35】中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊．现有6支救援队前往三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中受灾点至少需要2支救援队，则不同的安排方法种数是（    ） A．180 B．240 C．320 D．360 【例36】教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A、B、C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（     ）种 A．25 B．60 C．90 D．150 【例37】安排4名男生和3名女生去参加甲、乙两个不同的社团活动，每个社团至少3人，且社团甲的男生数不少于社团乙的男生数，则不同的参加方法种数是（    ） A．31 B．53 C．61 D．65 【例38】第届冬季奥林四克运动会（北京冬奥会）计划于年月日开幕，共设个大项．现将甲、乙、丙名志愿者分配到个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 5、相同元素隔板法 【例39】（2023奉贤区三模）某校将个三好学生名额分配到高三年级的个班，每班至少个名额，则共有多少种不同的分配方案（    ） A．15 B．20 C．10 D．30 【例40】（2023·高二课时练习）现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（    ） A．28 B．24 C．18 D．16 【例41】（2023上海松江二中期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（    ）种分配方案． A．135 B．10 C．75 D．120 【例42】（2023秋·山西晋城·高三校考阶段练习）有10个运动员名额分给7个班，每班至少一个名额，共有______种分配方案. 【例43】（2023春·全国·高二期末）方程的正整数解共有（    ）组 A．165 B．120 C．38 D．35 【例44】（2023·高二单元测试）不定方程的非负整数解的个数为_______. 【例45】将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数共有(   ) A． B． C． D． 【例46】由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中百位、十位、个位数字总是从小到大排列的共有（   ） A．120个 B．100个 C．300个 D．600个 【例47】在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（    ） A．100 B．120 C．300 D．600 6、染色问题 【例48】（2023·全国·高三专题练习）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（    ）种不同的染色方案. A．96 B．144 C．240 D．360 【例49】（2023·全国·高三专题练习）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 7、多面手问题 【例50】（2023·全国·高三专题练习）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 【例51】（2023·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 考点4：计数原理在古典概率中的应用 【例52】【2022年上海卷09】为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为　 　． 【例53】（2023·上海金山·统考一模）从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为 （结果用数值表示）． 【例54】（24-25高三上·上海·阶段练习）若某天上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，则数学和体育不连排的概率是 【例55】（2024·上海浦东新·模拟预测）如图为正六棱柱，若从该正六棱柱的个侧面的条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 ．    考点5：求二项展开式中的指定项 【例56】（2023·全国·高考真题）二项式的展开式中系数为有理数的项共有（    ） A．6项 B．7项 C．8项 D．9项 【例57】（2024·上海徐汇·二模）已知的二项展开式中各项系数和为，则展开式中常数项的值为 . 【例58】（2023·广东揭阳·高三校考阶段练习）的展开式中的系数是（    ） A．20 B． C．10 D． 【例59】（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）的二项式展开中，系数最大的项为 ． 【例60】（2023·全国·高三专题练习）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为 ． 【例61】（2023·全国·高三专题练习）若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为 ． 【例62】（2023·全国·高三专题练习）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为 . 【例63】（23-24高三下·上海浦东新·期中）的二项展开式中项的系数为 .（用数值回答） 【例64】的展开式中的系数为 ． 考点6：二项式展开系数和问题 【例65】（2024·上海奉贤·二模）已知多项式对一切实数恒成立，则 【例66】已知，若，则自然数n等于_____． 【例67】设，求 (1)展开式中各二项式系数的和； (2)的值． 【例68】在展开式中，x的所有奇数次幂项的系数之和为20，则_____________． 【例69】若，则_________.（用数字作答） 【例70】.求： (1)； (2)； (3)； (4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和； (5)求展开式二项式系数最大的项是第几项？ (6). 考点7：二项式定理的应用 【例71】（2024春•虹口区校级期中）已知数列的通项公式为． （1）分别求的二项展开式中的二项式系数之和与系数之和； （2）求的二项展开式中的系数最大的项； （3）记，求集合，的元素个数（写出具体的表达式）． 【例72】（2024春•闵行区级期中）已知，，求： （1）的值； （2）的值； （3）的展开式中系数绝对值最大的项． 【例73】杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题12 第6章计数原理章节复习提升 知识点1：分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.  知识点2：分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 知识点3：分类加法计数原理和分布乘法计数原理推广 （1）完成一件事有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法, ……,在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……,做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 知识点4：排列与组合的概念 名称 定义 排列 从个不同元素中取出（）个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从个元素中取出个元素的一个排列 组合 作为一组，叫做从个元素中取出个元素的一个组合 知识点5：排列数与组合数 （1）排列数： 从个不同元素中取出取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个排列数，用符号表示 （2）组合数： 从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个组合数，用符号表示 知识点6：排列数、组合数的公式及性质 （1） （2） （3） （4）； 知识点7：二项式定理 （1）二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. （2）二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. （3）二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. （4）二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 知识点8：二项式系数的性质 ①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： ②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； ③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. 知识点9：各二项式系数和 （1）展开式的各二项式系数和： ； （2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 考点1：乘法原理和加法原理 【例1】（23-24上海金山高二期中）现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．36种 B．20种 C．12种 D．10种 【解题思路】根据分类计数原理即可得到答案. 【解答过程】依题意，不同的选法共有种. 故选：C. 【例2】（24-25普陀高二期中）编号为1，2，3，4的四位同学参观某博物馆，该博物馆共有编号为1，2，3，4的四个门，若规定编号为1，2，3，4的四位同学进入博物馆不能走与自己编号相同的门，则四位同学用不同的方式进入博物馆的方法种数为（    ） A．12 B．16 C．81 D．256 【解题思路】根据题意因不能走与自己编号相同的门，所以每人都可从其它3个门进入，再由分步乘法计数原理从而可求解. 【解答过程】因不能走与自己编号相同的门，安排编号为1的同学进入博物馆有3种选法； 同理编号为2，3，4的同学进入博物馆各有3种方法， 由分步乘法计数原理，共有种方法．故C正确. 故选：C. 【例3】（23-24高二下·上海·期中）高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（    ） A．54 B．12 C．8 D．81 【解题思路】直接由分步计数原理求解即可． 【解答过程】由甲同学不能报名足球，可得甲有2种报名方式， 乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同， 可得乙有3种报名方式，丙有2种报名方式，丁只有1种报名方式， 共分步计数原理可得共有种． 故选：B． 【例4】（2024七宝中学高二期末）有3位高三学生参加4所重点院校的自主招生考试，每人参加且只能参加一所学校的考试，则不同的考试方法种数为 . 【答案】 【分析】利用分步乘法计数原理即可求解. 【解析】每位学生可以有种参加重点院校的自主招生考试，由分步乘法计数原理可得，不同的考试方法种数为种. 故答案为：. 【例5】（2022春•长宁区校级期末）将3封不同的信投入4个不同的邮箱，则有 　　种不同投法． 【分析】根据题意可知每封信都有4种不同的投法，由分步计数原理可得结果． 【解答】解：因为第一封信有4种投法，第二封信有4种投法，第三封信有4种投法， 所以由分步乘法计数原理知，共有不同投法（种． 故答案为：64． 【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，属基础题． 【例6】（2022•崇明区二模）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定： （1）每位学生每天最多选择1项； （2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 课后服务 音乐、阅读、 体育、编程 口语、阅读、 编程、美术 手工、阅读、 科技、体育 口语、阅读、 体育、编程 音乐、口语、 美术、科技 若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有 　14　种．（用数值表示） 【分析】根据题意，由表可知周一至周四都可选阅读，周一，周三和周四可选体育，周一，周二和周四可选编程，由此分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，由表可知周一至周四都可选阅读，周一，周三和周四可选体育，周一，周二和周四可选编程， 故分4种情况讨论： 当周一选阅读，若体育选周三，编程有2种方法，若体育选周四，编程有1种方法，共3种选法， 当周二选阅读，若编程选周一，体育有2种方法，若编程选周四，体育有2种方法，共4种选法， 当周三选阅读，若体育选周一，编程有2种方法，若体育选周四，编程有2种方法，共4种选法， 当周四选阅读，若体育选周一，编程有1种方法，若体育选周三，编程有2种方法，共3种选法， 再由分类加法计数原理可得不同的选课方案共有种． 故答案为：14． 【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题． 考点2：排列数与组合数的有关计算 【例7】（2024春•宝山区校级期中）已知为正整数，且，则　　． 【分析】根据已知条件，结合排列数公式，即可求解． 【解答】解：为正整数，且， 则，化简整理可得，，解得或（舍去）． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查排列数公式，属于基础题． 【例8】（2024春•徐汇区校级期中）已知，则　　． 【分析】根据组合数性质有，再由即可得解． 【解答】解：由组合数性质知，，因为，所以， 所以，得． 故答案为：8． 【点评】本题考查了组合数的性质及运算，是基础题． 【例9】（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）若，则正整数的值为 ． 【答案】5或7 【分析】由组合数的性质得到，列出方程，求出答案. 【详解】由组合数性质：，可得，则， 所以或，解得或. 故答案为：5或7 【例10】（2024上海高二课时练习）（1）解方程：; （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【分析】根据排列数和组合数的性质依次计算即可求解. 【解析】（1）原方程等价于， 整理得，解得或， 又，所以. （2）原不等式等价于， 即，解得， 又且， 所以原不等式的解集为. 考点3：排列组合综合问题 1、特殊位置特殊元素优先排 【例11】（2024上海高二课时练习）运输公司从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，到，，，，这五个不同地区执行任务，要求地只能派男司机，地只能派女司机，则不同的方案种数是（    ） A．360 B．720 C．1080 D．2160 【答案】D【分析】根据分步乘法，先抽取司机，再分配去不同地方，有限制条件的先排. 【详解】第一步，先从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，共有种方法， 第二步，从抽取到的司机中，派1名男司机去地，派一名女司机去地，共有种方法， 第三步，剩下3名司机随机去，，三地，共有种方法，故不同方案种数为， 【例12】（2024上海高二课时练习）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 【例13】（2024上海高二课时练习）某餐厅并排有7个座位，甲、乙、丙三位顾客就餐，每人必须选择且只能选择一个座位，要求两端座位不能坐人，并且连续空座至多有2个，则不同的坐法有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．56种 【答案】C【详解】因为7个座位两端座位不能坐人，所以甲、乙、丙可以在剩余的个位子有顺序的就坐，坐法有种，因为连续空座至多有个，所以出现连续个空座的情况为最左端的个为空座， 甲、乙、丙三人坐在第、、个位子上，第个位子是最右端，只能空着，则这种情况为， 同理，连续个空座的情况为最右端的个为空座，这种情况为，所以，满足要求的坐法有种. 2、相邻与不相邻 【例14】（2024·上海虹口·二模）3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为 . 【答案】144 【分析】利用插空法求解即可. 【详解】先将3个男孩站成一排，有种方法， 将3个女孩插入3个男孩形成的4个空位中，有种方法， 故一共有：种. 故答案为：144 【例15】（2024·上海黄浦·二模）某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为 . 【答案】/0.6 【分析】求出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的场数和抽签总共的可能场数，即可得出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率. 【详解】由题意， 若甲第一个上场，乙则可以第3,4,5个上场，有种， 若甲第二个上场，乙则可以第4,5个上场，有种， 若甲第三个上场，乙则可以第1,5个上场，有种， 若甲第四个上场，乙则可以第1,2个上场，有种， 若甲第五个上场，乙则可以第1,2,3个上场，有种， 共有种， 而所有的上场顺序有种， ∴甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率：, 故答案为：. 【例16】（2023·全国·高三专题练习）3名男生，2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有（    ） A．72种 B．64种 C．48种 D．36种 【答案】D【解析】将2名女生捆绑在一起，故2名女生相邻有种站法，又2名女生都不站在最左端，故有种站法，剩下3个位置，站3名男生有种站法，故不同的站法共有种. 【例17】（2023延安中学高二期末）有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有______种．（结果用数字作答） 【答案】【解析】先考虑相声、跳舞相邻的情况，只需将相声、跳舞这两个节目进行捆绑，形成一个大元素， 然后再将这个“大元素”与其它三个节目进行排序，共有种排法.接下来考虑相声节目与小品、跳舞都相邻的情形，需将相声与小品、跳舞这三个节目进行捆绑，其中相声节目位于中间，然后将这个“大元素”与其它两个节目进行排序，此时共有种排法.综上所述，由间接法可知，共有种不同的排法. 故答案为：. 【例18】（2024春•浦东新区校级期中）某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有　　 A．120种 B．240种 C．216种 D．256种 【分析】利用“捆绑法”求解． 【解答】解：利用捆绑法，把甲和乙看成一个整体，与其他4人进行全排列， 所以不同排法有种． 故选：． 【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了“捆绑法”的应用，属于基础题． 【例19】（2024春•宝山区校级期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”，为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有　　 A．120种 B．240种 C．480种 D．720种 【分析】利用捆绑法即可求解． 【解答】解：“射”和“御”两次相邻，两者捆绑，与剩下的四艺排列， 则“六艺”讲座不同的次序共有． 故选：． 【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题． 【例20】（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（    ） A．288 B．144 C．72 D．36 【答案】C【解析】方法1：2位父亲的排队方式种数为，2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体，放进父母的中间共有种排队方式，所以不同的排队方式种数为.方法2：2位父亲的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体与2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，所以不同的排队方式种数为. 【例21】（2024春•宝山区校级期中）某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ） A．34种 B．56种 C．96种 D．144种 【答案】C【解析】由题意知讲座只能安排在第一或最后一场，有种结果， 讲座和必须相邻，共有种结果，根据分步计数原理知共有种结果. 【例22】（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（    ）种排法？ A．72 B．36 C．24 D．12 【答案】A【解析】先排三个唱歌节目这有：种情况，然后四个空排两个舞蹈节目这有：种情况， 所以舞蹈节目不能相邻的情况有：情况. 【例23】（2023秋·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（    ） A．24个 B．36个 C．72个 D．60个 【答案】B【解析】分两步：第一步：先对除1以外的3位数字进行全排列，有种方法； 第二步：将两个1选两个空插进去有，由分步计数原理可得：小明可以设置的不同密码有种， 【例24】《红楼梦》是中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，《红楼梦》第三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社．诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉．”诗社成员有8人：林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨，若这8人排成一排进人大观园，且林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，则不同的排法种数有（    ） A．1440 B．2400 C．14400 D．86400 【答案】C【解析】不相邻问题用插空法，先将其他5人排好，有种不同的排法，再将林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人排入其他5人隔开的6个空中，有种不同的排法，所以有（种）不同的排法. 3、排除问题（定序与环排） 【例25】（2023·全国·高三专题练习）七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（    ） A．48种 B．72种 C．90种 D．144种 【答案】D【解析】由题意得，甲车，乙车、丙车均不排队头或队尾，且各不相邻，所以甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，共有种排法，其他车辆任意排列，所以总排法有种． 【例26】（2023上海高二课时练习）名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A【解析】首先5名大人先排队，共有种，然后把两个小孩插进中间的4个空中，共有种排法，根据乘法原理，共有种，故选A. 【例27】（2023·全国·高二专题练习）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数． (1)选5名同学排成一排； (2)全体站成一排，甲、乙不在两端； (3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端； (4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起； (5)全体站成一排，男生排在一起； (6)全体站成一排，男生彼此不相邻； (7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻； (8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人； (9)排成前后两排，前排3人，后排4人； (10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边． 【解析】（1）无条件的排列问题，排法有种； （2）先安排甲乙在中间有 种，再安排余下的5人有 种，共有排法有种； （3）排法有种，其中是甲在左端或乙在右端的排法，是甲在左端且乙在右端的排法； （4）把男生看成一个整体共有 种，再把女生看成一个整体有 种，再把这两个整体全排列，共有种排法； （5）即把所有男生视为一个整体，与4名女生组成五个元素全排列，共有种排法； （6）即不相邻问题（插空法）：先排女生共种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有种排法； （7）对比（6），让女生插空，共有种排法； （8）（捆绑法）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故共有种排法； （9）分步完成共有种排法； （10）由于乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列， 7人的全排列共有种，甲、乙、丙3人全排列有种，而3人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的一种，所以共有种排法. 【例28】（2024春•宝山区校级期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦．若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 　2520　种．（结果用数字作答） 【分析】根据题意，将10颗冰糖葫芦编号，进而原问题可以转化为在10个位置上10个元素的定序排列问题，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，如图，将串在一起的两颗冰糖葫芦从上向下编号为、， 将串在一起的三颗冰糖葫芦从上向下编号为、、， 将串在一起的五颗冰糖葫芦从上向下编号为、、、、， 原问题可以转化为在10个位置上安排、、、、、、、、、，共10个元素， 要求、，、、，、、、、的先后顺序不变， 可以先在10个位置中选5个，按从左到右的顺序安排、、、、等5个元素，有种安排方法， 再在剩下的5个位置中选3个，按从左到右的顺序安排、、个元素，有种安排方法， 最后在剩下的2个位置中，按从左到右的顺序安排、两个元素，有1种安排方法， 则有种安排方法． 故答案为：2520． 【点评】本题考查分类与分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【例29】6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有 种． 【答案】720【分析】可以分三步：前、中、后三排分别站2人即可得，也只可以相当于6人全排列． 【详解】6个人站成前、中、后三排，每排2人，分3步完成，不同的排法有（种）． 【例30】毕业季，6位身高全不相同的同学拍照留念，站成前后两排各三人，要求每列后排同学比前排高的不同排法共有（    ） A．40种 B．20种 C．180种 D．90种 【答案】D【详解】按列选取，相当于6位同学分成3组，只要选出来了，让高的同学站在后排即可，故种， 【例31】（2023春·江苏苏州·高二昆山震川高级中学校考期中）现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】8个人围成一圈,有种.其中甲、乙、丙三人相邻，看做一个整体，由. 所以甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为. 【例32】（2023·全国·高三专题练习）现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（    ）． A．6种 B．8种 C．12种 D．16种 【答案】B【解析】先安排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种． 4、分组分配（平均分组、部分平均分组、不平均分组） 【例33】将6名实习教师分配到3所学校进行培调，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（    ） A．240种 B．360种 C．450种 D．540种 【答案】D【解析】由题知，6名教师分3组，有3种分法，即1，2，3；1，1，4；2，2，2， 共有种分法，再分配给3所学校，可得种. 【例34】（2023普陀区一模）将4名新招聘的工人分配到A，B两个生产车间，每个车间至少安排1名工人，则不同安排方案有（    ） A．36种 B．14种 C．22种 D．8种 【答案】B【解析】将4名工人，安排到两个车间：分为其中一个车间安排1名工人，另一车间安排3名工人和两个车间都安排两名工人，两种情况.其中一个车间安排1名工人，另一车间安排3名工人的方案有：； 两个车间都安排两名工人的方案有：.所以，不同的安排方案有. 【例35】中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊．现有6支救援队前往三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中受灾点至少需要2支救援队，则不同的安排方法种数是（    ） A．180 B．240 C．320 D．360 【答案】D【详解】若6支救援队按1，1，4分成3组，则不同的安排方法种数是·=30， 若6支救援队按1，2，3分成3组，则不同的安排方法种数是=240，若6支救援队按2，2，2分成3组，则不同的安排方法种数是·=90，故不同的安排方法种数是360. 【例36】教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A、B、C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（     ）种 A．25 B．60 C．90 D．150 【答案】D【详解】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法， 第一类：各组人数分别为1，1，3，共有种分法；第二类：各组人数分别为1，2，2，共有种分法， 再将三组人员分配到A、B、C三个乡村学校去，共有种，所以不同的选派方法共有种. 【例37】安排4名男生和3名女生去参加甲、乙两个不同的社团活动，每个社团至少3人，且社团甲的男生数不少于社团乙的男生数，则不同的参加方法种数是（    ） A．31 B．53 C．61 D．65 【答案】B 【详解】以社团甲中的人数为分类标准，则可分为两类：第一类是社团甲有3人，第二类是社团甲有4人. 当社团甲有3人时，可以分为2男1女和3男0女两种情况，所以此时不同的参加方法有（种）； 当社团甲有4人时，可以分为2男2女、3男1女和4男0女三种情况，所以此时不同的参加方法有（种）.由分类加法计数原理可得，满足条件的不同的参加方法种数是. 【例38】第届冬季奥林四克运动会（北京冬奥会）计划于年月日开幕，共设个大项．现将甲、乙、丙名志愿者分配到个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D【详解】将甲、乙、丙名志愿者分配到个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项，则将甲、乙、丙名志愿者分为两组，两组人数分别为、， 然后将这两组人分配给个大项目中的两个，因此，不同的分配方法种数为种. 5、相同元素隔板法 【例39】（2023奉贤区三模）某校将个三好学生名额分配到高三年级的个班，每班至少个名额，则共有多少种不同的分配方案（    ） A．15 B．20 C．10 D．30 【答案】C【解析】采用“隔板法”，6个名额之间有5个空，隔2块板就可以分成3份，每份至少一个名额，故共有种方案. 【例40】（2023·高二课时练习）现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（    ） A．28 B．24 C．18 D．16 【答案】C【解析】把9个球分成3组，每组个数不相同，分法（按球的个数）为：126，135，234共三种，然后每组球放到3个盒子中有种方法，方法数为． 【例41】（2023上海松江二中期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（    ）种分配方案． A．135 B．10 C．75 D．120 【答案】B【解析】“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”，故有， 【例42】（2023秋·山西晋城·高三校考阶段练习）有10个运动员名额分给7个班，每班至少一个名额，共有______种分配方案. 【答案】84【解析】10个名额没有差别，把它们看成是10个圆圈排成一排，相邻圆圈之间形成9个空隙. 在9个空隙中选6个空隙放入6个隔板，即可把圆圈（名额）分成7份，对应分给7个班级，即可达到题意要求. 每一种插板的放置方法对应一种分法，共有种分法. 【例43】（2023春·全国·高二期末）方程的正整数解共有（    ）组 A．165 B．120 C．38 D．35 【答案】A【解析】如图，将12个完全相同的球排成一列， 在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是、、、，显然满足，故是方程的一组解，反之，方程的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式， 【例44】（2023·高二单元测试）不定方程的非负整数解的个数为_______. 【答案】 【解析】根据已知条件 ，且、、， ，，，当，确定后值也确定，其中 列出所有的可能： 当时，，则可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共13种情况； 当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共12种情况； 当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共11种情况； 当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10种情况； 当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，共9种情况； 当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，共8种情况； 当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，共7种情况； 当时，，可以取0，1，2，3，4，5，共6种情况； 当时，，可以取0，1，2，3，4共5种情况； 当时，，可以取0，1，2，3，共4种情况； 当时，，可以取0，1，2，共3种情况； 当时，，可以取0，1，共2种情况； 当时，，可以取0，共1种情况； 所以共有组． 故答案为：91 【例45】将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数共有(   ) A． B． C． D． 【答案】D【详解】将甲、乙、丙等六位同学进行全排可得种， 甲、乙、丙的排列为种，因为甲、乙在丙的两侧，所以可能为甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法种数共有种． 【例46】由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中百位、十位、个位数字总是从小到大排列的共有（   ） A．120个 B．100个 C．300个 D．600个 【答案】B【详解】数字0,1,2, 3,4,5可组成个没有重复数字的六位数，又因为对特定的3个数字排到百十个位，共种情况，从小到大排列只有1种情况，故共有个. 【例47】在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（    ） A．100 B．120 C．300 D．600 【答案】A【详解】不考虑限制条件共有种，最先汇报共有种，如果不能最先汇报，而､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻）有. 6、染色问题 【例48】（2023·全国·高三专题练习）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（    ）种不同的染色方案. A．96 B．144 C．240 D．360 【答案】A【解析】要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类， 第一类是仅用三种颜色染色，即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法； 第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法．由分类加法原理得总的染色种数为种． 【例49】（2023·全国·高三专题练习）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C【解析】考虑、、三个区域用同一种颜色，共有方法数为种； 考虑、、三个区域用种颜色，共有方法数为种； 考虑、、三个区域用种颜色，共有方法数为种． 所以共有方法数为种． 故选：C． 7、多面手问题 【例50】（2023·全国·高三专题练习）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 【答案】A【解析】根据题意可按照只会跳舞的人中入选的人数分类处理． 第一类个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择3人唱歌，故有种；第二类个只会跳舞的有人入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有种，再从剩余的6人中选择3人唱歌，有种，故有种； 第三类个只会跳舞的全入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有种，再从剩余的7人中选择3人唱歌，有种，有种，所以共有种不同的选法， 【例51】（2023·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【答案】B【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种；②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种， 因此有种．综上分析，共可开出种． 考点4：计数原理在古典概率中的应用 【例52】【2022年上海卷09】为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为　 　． 【答案】 【解答】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测， 则每一类都被抽到的方法共有 种， 而所有的抽取方法共有种， 故每一类都被抽到的概率为， 故答案为：． 【例53】（2023·上海金山·统考一模）从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为 （结果用数值表示）． 【答案】/0.4 【分析】求出所有的基本事件个数以及符合题意的基本事件个数，利用古典概型求概率即可. 【详解】根据题意，从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数共有， 所抽到两个数的和大于6共有，，，共4种， 所以所抽到的两个数的和大于6的概率为. 故答案为： 【例54】（24-25高三上·上海·阶段练习）若某天上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，则数学和体育不连排的概率是 【答案】/ 【知识点】全排列问题、不相邻排列问题、计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型，先求出基本事件的总数，再运用插空法，先安排好语文，英语，物理，再插入数学和体育，求出事件的个数，即可求解. 【详解】上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，共有种方法， 记事件：上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，且数学和体育不连排， 则事件共有种排法，所以数学和体育不连排的概率是， 故答案为：. 【例55】（2024·上海浦东新·模拟预测）如图为正六棱柱，若从该正六棱柱的个侧面的条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 ．    【答案】 【分析】 根据题意，相交时分为：在侧面内相交，两个相邻面相交于一个点，相隔一个面中相交于对角线延长线上，分别分析几种情况下对角线共面的个数，再利用古典概型的概率计算公式，计算结果即可． 【详解】 由题意知，若两个对角线在同一个侧面，因为有个侧面，所以共有组， 若相交且交点在正六棱柱的顶点上，因为有个顶点，所以共有组， 若相交且交点在对角线延长线上时，如图所示，连接，，，，，    先考虑下底面，根据正六边形性质可知，所以， 且，故共面，且共面， 故，相交，且，相交，故共面有组， 则正六边形对角线所对应的有组共面的面对角线， 同理可知正六边形对角线，所对的分别有两组，共组， 故对于上底面对角线，，同样各对两组，共组， 若对面平行，一组对面中有组对角线平行，三组对面共有组， 所以共面的概率是． 故答案为：． 考点5：求二项展开式中的指定项 【例56】（2023·全国·高考真题）二项式的展开式中系数为有理数的项共有（    ） A．6项 B．7项 C．8项 D．9项 【答案】D 【解析】二项式的通项， 若要系数为有理数，则，，，且， 即，，易知满足条件的， 故系数为有理数的项共有9项. 【例57】（2024·上海徐汇·二模）已知的二项展开式中各项系数和为，则展开式中常数项的值为 . 【答案】 【分析】依题意，可求得，再利用的二项展开式的通项公式可求得答案． 【详解】的二项展开式中各项系数和为1024， 即， 故． 设的二项展开式的通项为，则， 令，得， 故展开式中常数项的值为． 故答案为：210． 【例58】（2023·广东揭阳·高三校考阶段练习）的展开式中的系数是（    ） A．20 B． C．10 D． 【答案】D 【解析】因为, 展开式中的项是, 则展开式中的系数是. 故选:D. 【例59】（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）的二项式展开中，系数最大的项为 ． 【答案】 【解析】由题意知：的二项式展开中，各项的系数和二项式系数相等， 因为展开式的通项为，所以时，系数最大，该项为， 故答案为：. 【例60】（2023·全国·高三专题练习）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为 ． 【答案】 【解析】令，则的展开式各项系数之和为，则； 由的展开式通项公式知二项展开式的系数最大项在奇数项， 设二项展开式中第项的系数最大， 则，化简可得： 经验证可得， 则该展开式中系数最大的项为. 故答案为: . 【例61】（2023·全国·高三专题练习）若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为 ． 【答案】5376 【解析】展开式的通项公式为，由题意可得，，解得， 设展开式中项的系数最大，则 解得， 又∵，∴， 故展开式中系数最大的项为. 故答案为：5376. 【例62】（2023·全国·高三专题练习）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为 . 【答案】210 【解析】由已知展开式中只有第6项系数为最大，所以展开式有11项， 所以，即，又展开式的通项为， 令，解得，所以展开式的常数项为. 故答案为：210. 【例63】（23-24高三下·上海浦东新·期中）的二项展开式中项的系数为 .（用数值回答） 【答案】270 【分析】由二项式展开式的通项求特定项系数. 【详解】的展开式的通项是， 由题意得，, 因此，的系数是. 故答案为：. 【例64】的展开式中的系数为 ． 【答案】 【分析】利用二项式定理及通项公式即可求解. 【解析】由题意可知，展开式的通项公式为，其中 所以展开式中含的项为， 即含项的系数为. 故答案为：. 考点6：二项式展开系数和问题 【例65】（2024·上海奉贤·二模）已知多项式对一切实数恒成立，则 【答案】 【分析】赋值可得，再用通项求出，相加即可. 【详解】令可得， 又展开式的通项为， 令可得；令，可得， 所以， 所以， 故答案为：1. 【例66】已知，若，则自然数n等于_____． 【答案】4 【解析】令，则， 所以． 故答案为：4 【例67】设，求 (1)展开式中各二项式系数的和； (2)的值． 【解析】（1）由题意，， 即展开式中各二项式系数的和为. （2）由可知， ， 故令得：， 再令得：， 所以. 【例68】在展开式中，x的所有奇数次幂项的系数之和为20，则_____________． 【答案】 【解析】设 令得：①， 令得：②， 两式相减得：， 因为，x的所有奇数次幂项的系数之和为20， 所以，解得：. 故答案为： 【例69】若，则_________.（用数字作答） 【答案】127 【解析】因为， 所以奇次方系数为负，偶次方系数为正， 所以， 对于， 令，得， 令，得， 两式相减，得， 即. 故答案为：127 【例70】.求： (1)； (2)； (3)； (4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和； (5)求展开式二项式系数最大的项是第几项？ (6). 【解析】（1）令，得①. （2）令，得②. 由①-②得， . （3）相当于求展开式的系数和， 令，得. （4）展开式中二项式系数和是. 展开式中偶数项的二项系数和是. （5）展开式有2023项，中间项是第1012项， 所以展开式二项式系数最大的项是第1012项. （6）两边分别求导得： ， 令，得. 考点7：二项式定理的应用 【例71】（2024春•虹口区校级期中）已知数列的通项公式为． （1）分别求的二项展开式中的二项式系数之和与系数之和； （2）求的二项展开式中的系数最大的项； （3）记，求集合，的元素个数（写出具体的表达式）． 【分析】（1）直接利用数列的通项公式求出二项式的表达式，进一步利用赋值法求出二项式的系数的和； （2）利用不等式组求出二项式的展开式的最大系数； （3）利用二项式的展开式和组合数求出结果． 【解答】解：（1）数列 的通项公式为，所以，故即为， 所以二项展开式中的二项式系数之和为，令，则二项展开式中的系数之和为； （2）因为，所以，故展开式的通项公式为， 设二项展开式中的系数最大的项数为，，，， 则有，解得 又，，，所以二项展开式中的系数最大的项为． （3）由题意： ，， 所以． 综上所述，元素的个数为的整数部分． 【点评】本题考查的知识点：赋值法，二项式的展开式，组合数，二项式系数的最大项，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 【例72】（2024春•闵行区级期中）已知，，求： （1）的值； （2）的值； （3）的展开式中系数绝对值最大的项． 【分析】； （1）令，可求导答案； （2）对等号两边同时求导，再对赋值2，可得答案； （3）二项式的展开式，设第项的系数最大，由，布列不等式组可得答案． 【解答】解：由于，故． 故， （1）令，则； （2）对等号两边同时求导， 得， 令，得：； （3）根据二项式的展开式，设第项的系数最大，则， 即， 解得，， 故或4，即的展开式中系数绝对值最大的项为第4项或第5项． 【点评】本题考查二项式定理及其应用，考查运算求解能力，属于中档题． 【例73】杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2048； (2)166650； (3)存在，这三个数为. 【分析】（1）利用二项式系数的性质求和即可； （2）利用的性质进行化简求和，得到答案； （3）设在第行存在三个相邻的数之比为3:8:14，从而得到方程组，求出答案. 【解析】（1）第11行的各数之和为； （2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为 ； （3）存在，理由如下： 设在第行存在三个相邻的数，其中，且，， 之比为3:8:14， 故，化简得， 即，解得， 所以这三个数为. 【例】我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数，已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． (1)求和的值； (2)求的值； (3)当为偶数时，证明：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据新定义当，范数为奇数时，中的个数为0或2，利用乘法原理和加法原理求解即可； （2）要使范数为奇数，需满足0的个数一定是偶数，按0的个数为分情况讨论，根据和的展开式得到的通项公式即可求解； （3）同（2），按0的个数分情况讨论，利用新定义求出的通项公式，再根据组合数的性质化简求解即可. 【解析】（1）当，范数为奇数时，的个数为偶数，即中的个数为0或2， 所以根据乘法原理和加法原理可得，. （2）当为奇数时，在向量中，要使范数为奇数，则的个数一定为偶数，其余位置为或， 所以可按0的个数为分情况讨论， 所以， 因为①， ②， 得， 所以. （3）当为偶数时，在向量中，要使范数为奇数，则的个数一定为奇数，其余位置为或， 所以可按0的个数为分情况讨论， 所以， ， 因为①， ②， 得， 所以， 解法一：因为， 所以 . 解法二：得， 又因为， 所以 . 【点睛】难点点睛：本题的难点在于理解新定义，学会类比的方法从特殊到一半，其次对组合数，二项式定理的灵活应用，化简变形要求较高，属于难题. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$