二次更是曾经是困扰人类很久的问题，就是把一个数开平方。当然我们现在处理把一个正数开平方我们很会处理的。但是把一个负数开平方，你一定会感到困惑，而这个困惑就把人类带进了一个新的更大的一个数学领域，就是后边高中我们将学的虚数的这个领域。今天我们来看一看二次根式，它是怎样充满了各种变化和神奇的地方。先看这个题目，根号下12加4等于四根号下12加根号下12加4等于四根号12加根号下12加根号下12加4等于4点点点1般的。对于正整数的B如果满足根号下B加根号下B加根号下B等等等等都等于A则称AB的一对完美数。比如上面的42就是一组完美方根数，完美方根数说下列结论正确的是哪一个？要判断它是不是一种完美方式。看起来很复杂，这么长，还带中间带省略号，相当于无数多项勾连在一起，这我怎么验证呢？而实际上我们就验证什么就行了。只要根号下B加A它等于A那么再来一个根号下B加根号下B加A那它不就是这东西是A了，那就是根号下B这个B加这个A那还等于A就算你再套一个根号下B加上这一块，加这块，那肯定还是直接写A直接写等于根号下B加A那还是A所以只要第一个是成立，下面就自然成立，不需要再去验证它了。好，分析到这儿，大家觉得是不是问题变得非常简单了？我们来看看第一组，按照他的说法，根号下20加5根等于根号B加A等于5，正确，那么它就是了，后边不用再验证了。来根号下91加9等于10，很遗憾它不等于9，因此B不可以选是吧？C若A杠下384，完美方根数是AD20，来看看根号下380加A是万方数，那就是它是。等于A的。说则A等20，那A是不是20？A减20可不可以？380加20是400，400可以放掉20，那A邓老师还真可以，真可以。问题是你20是可以的那除了20以外，其他竖可不可以？那你接一下看看对不对。你只能说20是可以的，不能说A一定等于20，就算现在不能说那么解解看好不好？380加A等于A平方，也就是A平方等于A平方减A减380，它等于0，因式分解11-20 19点，也就是这个可以了，也就是A减20乘以A加19等于0，所以A等于20或者A等于-19。A等于20可以，A等于-19算不算？再来看I0-19，请同学们来看一下I0-19可不可以正整数AB才算。所以满足这个条件的正整数只有一个20，那么C正确C正确D。若XY是完美方根数则PXY在函数Y等于X平方减X的图像上来。相当于根号下Y加X等于X。SY都是正整数，那就是Y加X等于X平方，也就是Y等于X平方减4。所以还真的DSY真的在图像上，所以D也是对的，D也是对的。014。A等于根号下3加2根号2，加根号下3减2根号2，则A加A分之一。再来强调一遍，要求这个式子值两条路，一条是整体球。一条是分别求中间路线是部分。整体化。处理，那么所谓征求就是把A加A分之一当做一个整体来看待算。那在这里能不能凑出个A加A分之一来凑不出来凑不出来那就分别求A是多少，A分之一是多少。那么很自然的要来把A进行一番化简的工作，3加2根号2，3减2根号2。好，我们把这个三写成2加上一。后面那个三也写成2加上一。所以它等于根号下根号2加1的平方加根号下根号2减1的平方。因此等于根号2加1加根号2减1就等于二倍根号2。好，A等于两倍根号2，那当然A分之一好说是吧？A分之一就等于两倍根号2分之1，那就等于四分之根号2。所以A加A分之一等于二根号2，加上四分之根号2同类项，那就是4分之9倍根号2。所以这个思路尤其重要，具体的技术都是在你的思路的指导下才得以实现。这个化简三重根号，三重根号真的。一重重来好不好根号下5加2根号3。这5加2根号三算什么呢？5加2根号三还能这样写，把它写成5，写成3加2。不行，3333固然写成根号三括号平方，但这个根号二算不成了，对吧？失效事项。是不有点麻烦，换一种5加2根号3，我们这样。把他。乘一个。数好不好？乘谁？乘一个2乘1个2，等于那里边乘以个二根号2。为啥要乘一个根号2分之1对吧？里边乘根号二相当于里面。乘根号。10加4根号30加4-3，然后把十写成什么呢？实际上3加7哦也不行，这个尝试又失败，我感到很困惑这个题我感到很困惑。看看这个方法，这个方法我找不出直接把根号下5加2-3开学的办法，那怎么办呢？有种方法他不是带根号加根号吗？我把这个式子平方下看看一平方。如果把这个式子平方，那这里边就是3加根号下5加根号3，后面是3减根号下5加2根号3，中间两个乘积是有理化学式的乘积都变成比较简单的数。所以我这样来记，X等于根号下3加根号下5加2-3。加根号下3减根号. 下。5加2倍根号3则X平方等于。加上两倍的根号下乘以根号下。加上3减根号下5加2根号三好吧？来这块和这块抵消掉，那剩下六六加上两倍的里边乘积3加它3减它乘积根号下九减去里边的平方是5加2根号三好，那化简6加2根号下，所以4减2根号3，这个4减根号4减2根号三怎么处理？4减4写成3加1 3减2根号3加1，因此等于6加2倍的根号下，根号3减1括号平方也就等于6加2倍的根括号根号3减1，因此等于4加2倍根号3，这是X平方等于4加2倍根号三又因为X大于0，所以X就等于根号下4加2倍根号3。这个还没有化简，到底4加2根号三把四写成3加1好，那结果算的是根号3加1的平方。再开方，那就等于根号3加1好，所以算是根号3加1。开始我们受他的诱惑，想把5加2根号三给开出来，发现开不成功。那么开不成功你怎么办呢？再看看如果两如果这个式子平方两头正的负的抵消，中间是由氯化因式相乘变得简单了。所以想到了这个办法，令X等于它，然后把X进行平方80平方，最后再换回来。这也是处理二次根式的一种方法，二次根式能给人带来很多很多的惊喜。A等于。这个分式A的值为多少？这个的值这没有什么整体化不整体化的方法，就一个竖一个式子对吧？那就是求A的值，A的值，那就对它进行化简就可以了，对吧？怎么化简呢？根号3减1减根号2，根号3加1减根号2，那就看一看怎么样来化解根号3加1减根号2，根号3减1减根号2，这样我们。把它看作是。这个减根号二那就提那就那就乘以它的一个有理化形式，好吧，根号3减1，减根号2乘以根号3减1，加根号二分之根号3加1，减根号2乘以根号3减1。加根号二好吧，那它就等于分母式变成根号3减1的平方。减去根号二的平方。上边是上面就有点复杂，根号3加1减根号，根号3减1加根号看成什么？看成是。根号3。加上1减根号2。和根号3减去1减根号2。好，那它就等于根号3的平方减去1减根号二的平方。那下边就是来展开3减2根号3加1减去二好吧？它等于说明是3减去1减2根号2，再加2除以2减2根号3，也就等于二倍根号除以2减2根号32减2根号三等于根号2除以1减根号3。那在同分子和同乘以有理化因式，1减根号3乘以1加根号3，上面是根号2乘以1加根号3，结果分母是1减3，-2根号2乘以1加根号三好吧？这也没什么好化解的，最多就换成负的二分之根号2乘以1加杠3，这就是A画出来了。好。练习二来了，X是个已知数，Y是一个数，后面求的是X加Y分之X平方加Y平方还是那个数。你是整体球还是分别球，整体的分配球，整体球能够从这里凑出整个这个式子是凑不出来，因为这个S我还是单独的那这样我认为我们先来把X做个化简，等会出去带说不定是好做的好吧？来先把S化简，S0根号二根号3加根号二分之，根号3减根号2，它就等于根号3减根号二分之根号加上根号2乘以根号3减根号二分之根号3减根号括号平方，那就等于3减2。上边是3减2根号6加2，那就等于A就等于5减2-6。这还是就是换成一个整式，换成这个式子总比刚才要简单点。再看YY等于谁？Y其实等于X的倒数。Y等于倒数，Y等于4分之1，那就等于5减2根号6分之1，那等于5加2根号6除以5减2根号6乘以5加2根号6，那结果25减24乘1，结果等于5加2根号6，这太好了。因此X平方加Y平方除以X加Y代进来就可以了，半年就可以了。S加Y就是10，就是十，X平方加Y平方，那就直接来S平方在这儿。S的平方，这个数字的平方加完成正式平方，那两头加起来中间是0 25加24对吧？25加24，49，49 2倍的10分之98就这个是吧，也就等于9.8，这个就是分别对XY进行化简再带进来。所以我们求一个数的值，可能是整体球，也可能分裂球，也可能是部分的整体化。这个算法选择是需要考虑的，那你能不能迅速的找到一种合理的算法或者最优算法，这个决定了你解题的快和慢，这个是需要练习的，需要经验的。没有人告诉你说哪种题目你就选择哪种算法，没有人能告诉你这个事。第三个问题，XY满足X乘根号Y加Y乘根号X减根号下2022。X根号下2022，Y加根号下2022，XY等于2022，则X减Y减7的最小值为？这式子看起来还蛮繁琐的，根号下2022是一样的，根号下2022是一样的，可以吧？姐条件化条件画一下好吧，是根号X加根号Y乘以。根号。下XY减去根号下2022，括号根号X加根号Y加根号下2022. 乘。根号下SY。那怎么这两项这两项感觉有点相像，是不是？好，拿过来提取一下好不好？提取一个，提取一个根号下X加根号Y甚至是根号下XY减去根号下2022。那后面这块巧了，加上根号下2022乘以根号下XY减根号下2000 0小时，巧了，所以继续提取根号下XY减根号下2022乘以根号下X加根号Y加根号下2022，它等于0，整数XY。那怎样你不管你其实你这个不光整数，你是非负整数，你肯定是非负整数。总之这一块是因为根号X加根号Y加根号下2022是大于零的，所以只能是根号下XY减根号下2022它等于0，即X乘Y等于2022，必须这样好吧，X乘Y等于2022，这个时候条件应该说用完了。那下边根号下X减Y减7，求它的最小值是多少呢？X乘Y等于2022，但是XY是正整数，两个正整数乘积等于2022，并不是随便都能做到的，不是随便两个正数都能做到的那SY是谁呢？这样对2022进行质因数分解。210113。31。3。21 7这个没法再分解了，也就是说2022它是等于2乘3乘以337。在考虑到要使得。而是减Y减7最小。那就是要让X加Y减七大于等于零的情况下，让X尽可能的小让Y尽可能的大，S尽可能小，Y尽可能大，那么X减Y减7就尽可能的小了，要求最小值的。所以在这里，于是我立那37不能放在Y里，只能放在X里，那只能令X等于337，那利用Y等于2乘3就只能这样了，X尽可能小，Y尽可能大，这个时候根号下X减Y减7就等于根号下来33 7减6减7，等于根号下33 7减13 324。第三，24善事能开出来多少吗？这个就变得比较次要了，324开出来正好是十八，所以它最小值是18，这个是二次因式。你看22次根式二次根式变化确实是比较多样的，比较也比较有意思的，也是比较有意思。下面这个。练习。三练习3。A加B加2根号下A减1，加4根号下B减二等于三倍根号下C减3加2分之C减5则B减C平方的值。来我们再重复一下，要求这个式子的值是要么整体求，要么分别求。中间状态就是部分的整体求部分的整体化。首先在原来的式子中能不能凑出整体的凑出B减C的X方。这个能不能整体凑出B减C的次方，我认为一点可能都没有，B减C的次方一点可能性都没有，那么只能去分别求，分别把ABC的值求出来，或者把X值求出来，把B减C的值求来，那只能这可能性。但是这是关于ABC的一个等式，或者说是一个方程，一个方程解，三个未知数。有可能吗？一个方向减三位数有可能吗？除非很特别的方程，极端化方程。如果不是极端化方程，一个方程只能解一个位数，那解三位数需要三个方程。那什么的方式算是极端化的方程呢？比方说X减。1平方加Y平方加Z加3括号平方等于0。像这个方程，一个方程里面有三位数，但是三个平方之和等于0。因为每个都是非负数，所以只能是X等于一，Y等于0，Z等于-3。只有这种极端化方程才可以解出来三个位数。一个方程解三个位数，那这个有可能是这个极端化方程。如果不能分解解出ABC来，那你想整体凑B减C的A次方几乎是不可能的那所以我判断一下，应该去把这个方程向极端化方程靠拢，怎么靠？这样A2根号下A减1，那先这样我写成A减1。加二根2减2，A减1。减二倍根号下A减1，但这边多了一个负一，那后面我给加个一好吧，加个一同样的。这个B减2对吧？那凑上B减2，减4根号下B减2，那多了一个加2，减2，那再给加个2。好吧。那这边，那写在前面，是加1加2。等于后面。等于这是2分之1C减5，这三倍的这个根号下C减一的，根号C减1。那这样三根号下C减3，我减去二分之C减3。我要的是减三好不好？多了一个2分之3，减2分之3，要减2分之3，减五好几。配一下，配成这个配成根号下A减一的平方，这多了个一，多了个一，那就这个一给它好不好？这样，接下来减1，加上这个根号下B减2，再减2括号平方，那再接下来要减一个四的。这本来是三是吧，这个合起来就是合起来是-2，负二拿到右边去好吧，负二拿到右边去等于负二拿到右边来，负二就能变成正2。这样来这个家这个地方本来是再加个2，好吧，加个那就是加减32分之3和32分之9对吧？负的2分之9，这那这是2分之1C减3。负的2分之4300。减去6根号. 下四减三好。我给它加一个九，加一九之后这个负的就是负的2分之9多了一个，那你要下一个正常十九，那这正好和它抵消没了，所以这就是已经是完全平方式，几个完全正式，三个完全正式，但这个是负的，一过来就正的。于是变成根号A减一的平方加上根号B减2的平方，加2分之1根号C减3的平方，它等于0，它等于0，三个平方数等于0，所以根号下A减一它等于一，根号下B减2它等于2，根号下C减3它等于3。于是A等于2，B等于6，C等于12，因此B减C的A次方就等于6，减12的平方等于36。这个就是分别求出来的分别求出来的。所以我们这个思路始终要明确有大局观。什么大局观？你就要求这个式的值，要么整体抽抽出来，那么分别去求对吧？中间状态就是部分的整体化，这是又是二次更式给我们带来的一种新的更为深刻的认识。好，就到这儿。