微专题 离散型随机变量及其分布列、期望、方差 学案- 2025届高三数学二轮复习

2025届高三第二轮微专题复习讲义 朴·实·沉·毅 【二轮复习微专题】 离散型随机变量及其分布、期望、方差 导学案 授课班级：G22xx班 授课老师：刘老师 1、 学习目标 1. 理解离散型随机变量分布列的性质，掌握二项分布、超几何分布、正态分布的模型特征与应用场景。 2. 能根据实际问题构建分布列，熟练计算期望与方差，分析数据特征。 3. 提升解决综合概率问题的能力，强化数学建模与逻辑推理素养。 2、 重点难点 重点：掌握三种分布的模型特征、参数意义及适用条件，熟练运用期望方差公式解决实际问题，突破综合题型辨析; 难点：复杂情境下分布列的构建与参数确定，超几何分布与二项分布的关联分析及正态分布近似计算的误差控制. 3、 学习过程 1. 基础知识必备 (1) 分布列的性质：① ② ． (2) 二项分布：一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，则事件恰好发生次的概率为 ，则称随机变量服从 ，记作 ，并称为成功概率． (3) 判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：（1）是否为次独立重复试验；（2）随机变量是否为某事件在这次独立重复试验中发生的次数． (4) 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则，，其中，且． 0 1 ．．． m ．．． 若随机变量的分布列具有上表的形式，则称服从 ， (5) 正态曲线的特点： ①曲线位于轴 方，与轴不 ； ②曲线是单峰的，它关于直线 对称； ③曲线在处达到峰值 ； ④曲线与轴之间的面积为 ； ⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移； ⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ；越大，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ． (6) 随机变量均值： 为随机变量的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (7) 随机变量方差 ， 为随机变量的标准差． 特别地，二项分布 ， (8) 常用结论 若，其中是常数，是随机变量，则 1　 ，其中为常数； 2　 ； 3　 ； 4　 ； 5　 若相互独立，则． 2. 回归分析 角度一：分布列的性质及应用 例题1. （1）设随机变量的分布列为，,分别为随机变量的数学期望与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． （2）已知随机变量X的分布列如下表所示 X 0 1 2 P 则当取最大值时，a的值为（    ） A． B． C． D． 角度二：规则型离散型随机变量的分布列、期望、方差 例题2. 某校举行投篮趣味比赛，甲、乙两位选手进入决赛，每位选手各投篮4次，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分比本次得分多1分；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分.已知甲同学每次投进的概率为，乙同学每次投进的概率为，且甲、乙每次投篮相互独立. (1)求甲最后得3分的概率； (2)记甲最后得分为X，求X的概率分布和数学期望； (3)记事件B为“甲、乙总分之和为7”，求. 角度三：二项分布 例题3. 某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游．戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败． (1)某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第级台阶，求的分布列及数学期望； (2)①求一位同学参加游戏，他不能获得奖品的概率； ②若甲、乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率； 角度四：超几何分布 例题4. 随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查（满分100分），评分结果如下： 分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91. 分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89. (1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数； (2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司的客户人数为，求的分布列和数学期望. 角度五：正态分布 例题5. （1）某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50000名考生参加这次考试，数学成绩近似服从正态分布，其正态密度函数为且，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为（    ） A．2000 B．3000 C．4000 D．5000 （2）设随机变量，其中，下列说法正确的是（    ） A．变量的方差为1，均值为0 B． C．函数在上是单调增函数 D． （3）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）． （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，试用所学知识说明上述监控生产过程方法的合理性； 附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，），则P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，，． 3. 提升练习 (1) 已知随机变量（i＝1，2）的分布列如表所示： 0 p 其中，若，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， (2) 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． (3) 某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） (4) 2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛. (1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立.记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值. (5) 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润. 4、 课堂小结 5、 课后作业 作业一：更正、总结今天课堂上的例题和练习题 作业二：完成配套的《离散型随机变量及其分布、期望、方差的作业小卷》 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三第二轮微专题复习讲义 朴·实·沉·毅 【二轮复习微专题】 离散型随机变量及其分布、期望、方差 导学案 授课班级：G22xx班 授课老师：刘老师 1、 学习目标 1. 理解离散型随机变量分布列的性质，掌握二项分布、超几何分布、正态分布的模型特征与应用场景。 2. 能根据实际问题构建分布列，熟练计算期望与方差，分析数据特征。 3. 提升解决综合概率问题的能力，强化数学建模与逻辑推理素养。 2、 重点难点 重点：掌握三种分布的模型特征、参数意义及适用条件，熟练运用期望方差公式解决实际问题，突破综合题型辨析; 难点：复杂情境下分布列的构建与参数确定，超几何分布与二项分布的关联分析及正态分布近似计算的误差控制. 3、 学习过程 1. 基础知识必备 (1) 分布列的性质：①②． (2) 二项分布：一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，则事件恰好发生次的概率为，则称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率． (3) 判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：（1）是否为次独立重复试验；（2）随机变量是否为某事件在这次独立重复试验中发生的次数． (4) 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则，，其中，且． 0 1 ．．． m ．．． 若随机变量的分布列具有上表的形式，则称服从超几何分布， (5) 正态曲线的特点： ①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值； ④曲线与轴之间的面积为1； ⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移； ⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． (6) 随机变量均值：为随机变量的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (7) 随机变量方差pi，为随机变量的标准差． 特别地，二项分布 (8) 常用结论 若，其中是常数，是随机变量，则 1　 ，其中为常数； 2　 ； 3　 ； 4　 ； 5　 若相互独立，则． 2. 回归分析 角度一：分布列的性质及应用 例题1. （1）设随机变量的分布列为，,分别为随机变量的数学期望与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知，，解得， 对于A，，故A不正确； 对于B，， ，故B不正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D不正确. 故选：C （2）已知随机变量X的分布列如下表所示 X 0 1 2 P 则当取最大值时，a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由概率的性质知，，即，则， 且，， 所以当时，取得最大值，此时． 故选：D． 角度二：规则型离散型随机变量的分布列、期望、方差 例题2. 某校举行投篮趣味比赛，甲、乙两位选手进入决赛，每位选手各投篮4次，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分比本次得分多1分；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分.已知甲同学每次投进的概率为，乙同学每次投进的概率为，且甲、乙每次投篮相互独立. (1)求甲最后得3分的概率； (2)记甲最后得分为X，求X的概率分布和数学期望； (3)记事件B为“甲、乙总分之和为7”，求. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【解析】（1）记事件A为“甲得3分”，分析3分是，不可能是， 所以在这四次投篮中，连续两次投中，另两次没中，记甲得3分， 所以 （2）X的取值为0，1，2，3，4，6，10， 0 1 2 3 4 6 10 （3）记为乙最后得分，则事件为“甲1分，乙6分”，“甲3分，乙4分”， “甲4分，乙3分”，“甲6分，乙1分” 故 角度三：二项分布 例题3. 某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游．戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败． (1)某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第级台阶，求的分布列及数学期望； (2)①求一位同学参加游戏，他不能获得奖品的概率； ②若甲、乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率； 【答案】(1)分布列见解析；期望为7 (2)① ；② 【解析】（1）由题意可知：每次掷骰子上两级台阶的概率为，上三级台阶的概率为， 且的可能取值为6，7，8，9，设， 则， 则有：，， ， ， 所以的分布列为： 6 7 8 9 的数学期望． （2）①因为位于第10级台阶则认定游戏失败，无法获得奖品， 结合题意可知：若学员位于第10级台阶，则投掷3次后，学员位于第7级台阶，投掷第4次上三级台阶， 所以不能获得奖品的概率为， ②甲、乙两位学生参加游戏，恰有一人获得奖品的概率． 角度四：超几何分布 例题4. 随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查（满分100分），评分结果如下： 分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91. 分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89. (1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数； (2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司的客户人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)，分布列见解析 【解析】（1）将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为：62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94. 因为， 所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为. （2）由已知得分公司中75分以下的有66分，72分； 分公司中75分以下的有62分，70分，73分， 所以上述不满意的客户共5人，其中分公司中2人，分公司中3人. 所以的所有可能取值为1，2，3. ， 所以的分布列为 1 2 3 数学期望. 角度五：正态分布 例题5. （1）某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50000名考生参加这次考试，数学成绩近似服从正态分布，其正态密度函数为且，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为（    ） A．2000 B．3000 C．4000 D．5000 【答案】D 【解析】由题易知均值， 由正态曲线的对称性可知 ， 则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为． 故选：D． （2）设随机变量，其中，下列说法正确的是（    ） A．变量的方差为1，均值为0 B． C．函数在上是单调增函数 D． 【答案】ACD 【解析】随机变量，则A正确； ，则B错误； 随机变量，结合正态曲线易得函数在上是单调增函数，则C正确； 正态分布的曲线关于对称，，则D正确， 故选：ACD． （3）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）． （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，试用所学知识说明上述监控生产过程方法的合理性； 附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，），则P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，，． 【答案】（1）P（X≥1）=0.0408，E（X）=0.0416（2）上述监控生产过程的方法是合理的，详见解析 【解析】解：（1）由题可知尺寸落在（μ-3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974， 则落在（μ-3σ，μ+3σ）之外的概率为1-0.9974=0.0026， 因为， 所以P（X≥1）=1-P（X=0）=0.0408， 又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416； （2）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的． 3. 提升练习 (1) 已知随机变量（i＝1，2）的分布列如表所示： 0 p 其中，若，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】因为，所以； ，因为，所以，. 故选：A. (2) 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． (3) 某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值 【解析】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，， ， 故 故（万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为， 故（万元）， 从而. (4) 2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛. (1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立.记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值. 【答案】(1)，所求概率为 (2) 【解析】（1）由题意知，的可能取值为， 则， ， ， 故的分布列为 0 1 2 则， 记事件：小王已经答对一题，事件：小王未进入决赛， 则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率 ； （2）由题意知，， 则， 令，解得或（舍）， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，有极大值，且的极大值为. (5) 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润. 【答案】(1)分布列见解析，， (2)（i），（ii）答案见解析 【解析】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3； 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为， 所以， 所以， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， ； （2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为； 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即； （ii）因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件， 则第一类：原系统中至少有个元件正常工作， 其概率为； 第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为； 所以 ， 则， 所以当时，，单调递增， 即增加元件个数设备正常工作的概率变大， 当时，， 即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大， 又因为， 所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润； 当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润． 4、 课堂小结 5、 课后作业 作业一：更正、总结今天课堂上的例题和练习题 作业二：完成配套的《离散型随机变量及其分布、期望、方差的作业小卷》 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$