【专项练】相似三角形中的动点问题-鲁教版五四制八年级下册期末专项（初中数学）

多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 相似三角形中的动点问题 中等题 1.D 【分析】本题考查相似三角形的判定，利用分类思想解决问题是本题的关键分两种情况讨论， 可得碧=2或器-器据此解答即可。 AB' 【详解】解：LABC=∠PBQ=90°， ①设经过ts后，△PBQ一△ABC, 根据已知条件，可得AP=t,BQ=2t,则BP=6-t, △PBQ△ABC, PB BQ AB BC 解得t=号 ②设经过ts后，△PBQ一△CBA, △PBQ-△CBA, P8= BC AB' 解得t=品 故经过s或号s后，△PBQ与△ABC相似. 11 故选：D. 2.D 【分析】本题考查相似三角形判定与性质的应用，运动时间为t,则得到CP=t,CQ=8-2t, 当△PCQ与△ACB相似时，有∠CPQ=∠B或∠CPQ=∠A,列方程即可得到结论.利用分类讨 论及方程的思想解决问题是解题的关键 【详解】解：运动时间为t,则CP=t,CQ=8-2t, “∠PCQ=∠ACB=90°，AC=8,BC=4, :当△PCQ与△ACB相似时，有LCPQ=∠B或LCPQ=∠A, 多学科同·艇子学 Www.2x×k.C0m 让学习更商效 当CPQ=∠B时，则有器-器 号= 解得：t=2; 当LCPQ=LA时，则有铝=器 后= 解得：t=3.2 综上所述，当点P、Q同时运动2秒或3.2秒后，△PQ与△ACB相似. 故选：D 3.(1)点P,Q出发1秒后，可使△PCQ的面积为5cm2 (2)点P,Q出发2.4秒后，PQIAB 【分析】本题意考查了一元二次方程的应用，相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似 三角形的判定定理 (1)设点P,Q出发x秒，根据“△PcQ的面积为5cm2列方程求解即可； (2)设点P,Q出发y秒后，PQIAB,可得△CPQ一△CAB,然后根据相似三角形的性质求 解即可. 【详解】(1)解：设点P,Q出发x秒后，△PcQ的面积为5cm2. 点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动，同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动 B 1P-> 0<x≤4，PC=6-x,CQ=2x 根据题意，得(6-x)×2x÷2=5, 解得：x1=1,=5（舍去) 答：点P,Q出发1秒后，可使△PCQ的面积为5cm2; (2)解：设点P,Q出发y秒后，PQAB, 多学科同·假子学 Www.2x×k.C0m 让学习更商效 △CPQ∽△CAB, g名 =2.4 答：点P,Q出发2.4秒后，PQIAB. 4.(1)2+V2秒或2-V2秒 (21.6秒或票秒 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，一元二次方程的应用，掌握相似三角形即可. (1)首先设经过时间为t秒钟，根据题意.5△Pc0=2cm列出关于t的一元二次方程，解出t值 即可； (2)先设点Q从C点出发2s后，再经过x秒△PCQ与△ACB相似，有两种情形，一种是当△PCQ一 △ACB时分析求值，一种是当△PCQ~△BCA时分析解决即可. 【详解】（1)解：设经过t秒钟saPc0=2cm己， 由题意得，AP=2t,CQ=t,PC=8-2t, 由题意得，×(8-2)×t=2, 整理得，t2-4t+2=0, 解得，t=2+V2或t=2-v2, 则P、Q同时出发，经过2+V2秒或t=2-V2秒钟5aPcQ=2cm2, (2)解：设点Q从C点出发2s后，再经过x秒△PCQ与△ACB相似，有两种情形， 由题意得，AP=2x,CQ=2+x,则PC=8-2x, ①当△PcQ△AcB时，号=器 即8-2延=2 8 6 解得，x=1.6, ②当△PCQABCAB时，号=号 即2= 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 解得，x=治 综上所达，点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过16秒或秒△PCQ与△ACB相似. 5.2或4 【分析】本题是相似三角形恸点问题，相似三角形的性质.先由oB=6cm,点P从O点开始 沿0A边向点A以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿B0边向点O以1cm/s的速度移动， 用r表示出oP、0Q的长，再由△PoQ~△A08时，船=器△P0Q~△B0A时，g器=指分 别得出g=及铝=名最后求解即可： 【详解】解：~0B=6cm,点P从0点开始沿0A边向点A以1cm/s的速度移动 .0Q=(6-t)cm, 点Q从点B开始沿B0边向点O以1cm/s的速度移动， ∴OP=t(cm), 若△P0Q△A0B时，8船-8品即g= 整理得：12-2t=t, 解得：t=4, 则当t=4时，△P0Q与△AOB相似； 若△P0Q△B0A时， -即= 解得：t=2, 则当t=2时，△P0Q与△B0A相似； 综上所述：当t=4秒或2秒时，△P0Q与△AOB相似， 故答案为：2或4. 6.运动时间1为秒时，△ABC~△PBQ 【分析】本题考查动点相似三角形，根据题意先表示出BP=(8-t)cm,BQ=2tcm,由 △ABC~△PBQ,则2=器代入数据计算即可解答。 【详解】解：根据题意：AP=tcm,BQ=2tcm,AB=8cm,BC=7cm, 则BP=AB-AP=(8-t)cm, “点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动， 7÷2=?(秒)即0<t≤ 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 △ABC∽△PBQ, 器-器即鸭- 8 .16t=56-7t, 解得：t=(符合题意)， 23 运动时间t为警秒时，△ABC△PBQ. 7.片 (6-2t(0≤t≤3) 2)cQ={2t-6(3<t≤5.5) 6哈惑蜡 陪或蜡 【分析(1)由勾股定理求得AC=10,从而有CD=AD=AC=5,点Q与点D重合，则2t=11, 求解即可： (2)分两种情况：当0<t≤3时，则点Q在BC上，当3<t≤5.5时，则点Q在CD上，分 别求解即可； (3)分两种情况：当0<t≤3，则点Q在BC上时，当3<t≤5.5，则点Q在CD上时，根据 相似三角形性质求解即可； (4)分两种情形：如图1中，连接BD,PQ交于点0.当PQ II ACE时，P0=OQ,根据经过平 行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积，知此时BD平分平行四边形PMQN的面 积.如图2中，连接BD,MN交于点O,当MN I ACE时，MO=ON,此时BD平分平行四边形PMQN 的面积.分别求解即可」 【详解】(1)解：∠B=90°，AB=8,BC=6, ÷AC=VAB2+BC2=V82+62=10, D为边AC的中点， CD=AD=AC=5, 点Q与点D重合， ÷2t=11, t=共 多学科同·假子学 www.2x×k.c0m 让学习更离效 故答案为：兰 (2)解：当0<t≤3时，则点Q在BC上， ..CQ=BC-BQ=6-2t; 当3<t≤5.5时，则点Q在cD上， ∴CQ=BC+CQ-CB=2t-6: (6-2t(0≤t≤3) 综上，cQ={2t-63<t≤5.5) (3)解：当0<t≤3，则点Q在BC上时， 0 B PB AB-AP =8-t,BQ=2t, ~PQ将△ABC的分成的两部分，其中的三角形与△ABC相似时， 当△PBQ一△ABC时， 则唱-品即号-器 解得：t=益 当△PBQ∽△CBA时， 则=照即=告 解得：t=“（舍去)， 当3<t≤5.5，则点Q在cD上时， D 当△APQ~△ABC时， 命学科网·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 则蜡=是即=0-9 10 解得t=台 当△APQ一△ACB时， 则%是=吕即品= 8 解得：t=9(舍去) 综上，PQ将△ABC的分成的两部分，其中的三角形与△ABC相似时，1值为普或答 (4)解：如图1中，连接BD、PQ相交于点O.当PQ I AC,且P0=OQ时，此时BD平分平行 四边形PMQN的面积， M D N B 图1 PQ AC, △BPQ∽△BAC, = 解得t=益 如图2中，连接BD、MN相交BD于点O,当MN I AC,且MO=ON时，此时BD平分平行四边 形的面积. 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 C Q D 图2 ▣PMQW :.QMIAB,PN QM, .△CMQ∽△CBA .QM -CM -CQ AB CB AC =c=2-6 8 6 10 QM CM 5 PN=QM=8-24BM=6-6-18=48-6t 5 5 5 BN BP+PN =AB-AP PN=8-t+824=6t3t 5 MN I AC, △BMN△BCA, 8N=8别 A88C, 1643r48-6s = 8 6 t= 综上所述，满足条件的：的值为普或碧 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，列代数式，相似三角形的判定与性质，解 题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题 困难题 8.(1)2tcm,(8-t)cm a增或号 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 6e=音 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形 的对应边的比相等.也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用」 (1)设运动的时间为t秒，根据题意可得出BE、BD含t的代数式： (2)分类：当∠BDE=∠BAC,即ED⊥AB时，Rt△BDE~Rt△BAC;当∠BDE=∠BCA,即 DE⊥BC时，Rt△BDE~Rt△BCA,然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出t的值， (3)先计算出DF=AB-AD-BF,若CD⊥DE,则易证得Rt△ACD∽Rt△FDE,然后根据 三角形相似的性质得到比例线段求出. 【详解】(1)解：~Rt△ABC的两条直角边，AB=8cm,AC=6cm, :BC=VAB2+AC2=V82+62=10(cm), 点D沿AB从A向B运动，速度是1cm秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm秒， ∴AD=tcm,BE=2tcm, ..BD=AB-AD =(8-t)cm,CE=BC-CE=(6-2t)cm, 故答案为：2tcm,(8-t)cm (2)解：当∠BDE=∠BAC,即ED⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BAC, 8A-8c 8==2 8-101 t=铝 当∠BDE=LBCA,即DE⊥BC时，Rt△BDE∽Rt△BCA, =器 8= 10 8 t=号 所以当动点运动。秒或，秒时，△BD玙△ABC相似； (3)解：如图，过点E作EF⊥AB于F, 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 ∠EFB=∠CAB=90°， 'LB=∠B, ÷△EFB△CAB, F=E=8职 AC BC AB EF :6 解得BF=gEF=号 DF=AB-AD-BF=8-t-智=8-， 'CD⊥DE, ÷∠CDE=90°， ÷∠ADC+∠EDF=90°， '∠BAC=90°， ∠ADC+LACD=90°， ∠ACD=∠FDE, '∠CAD=∠DFE=90°， △ACD∽△FDE, =0 6 t= 9.理解： (1)(2)音(3)拓展：y= ((0≤t≤2) +2 8v3 10- (2<t≤6) 【分析】理解： (1)过点P作PFIBC,交AD于点F,利用题干中的方法解答即可； (2)过点P作PFIBC,交AD于点F,利用题干中的方法解答即可；命学科网·短子学 www.z×Xk.c0m 让学习更高效 相似三角形中的动点问题 中等题 1.如图所示，△ABC中，AB=6厘米，BC=8厘米，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B 以1厘米秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米秒的速度移动.如果P、Q分别 从A、B同时出发，若以点P、Q、B为顶点的三角形与△ABC相似，则点P运动的时间为() 8cm 6cm A品 B.2 c.号 D.减蜡 2.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=4cm,一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s 的速度运动，另一动点Q从A出发沿着Ac方向以2cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动 时间为t(s);当△PCQ与△ACB相似时，运动时间t的值为() A.2 B.3 C.3或3.2 D.2或3.2 3.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm,点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s 的速度移动，同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时， 另一点也随之停止移动.请解答下列问题： P (1)点P,Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为5cm? 扇学科网·短子学 www.z×Xk.c0m 让学习更高效 (2)点P,Q出发几秒后，PQIAB? 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm, 点P从点A沿AC向C以2cm/s 的速度移动，到C即停，点Q从点C沿CB响B以1cm/s的速度移动，到B就停 (1)若P、Q同时出发，经过几秒钟S△PcQ=4cm己； (2)若点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过几秒△PCQ与△ACB相似： 5.如图，在平面直角坐标系中，已知0A=12cm,0B=6cm,点P从0点开始沿0A边向点 A以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿B0边向点0以1cm/s的速度移动，如果P、Q同 时出发，用t(单位：秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么当t=,△P0Q与△A0B 相似. 6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm,BC=7cm,动点P,Q分别从点A,B同 时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s,点Q移动 到点C后停止，点P也随之停止运动，当运动时间t为多少秒时△ABC~△PBQ? 7.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=6,AB=8,D为边AC的中点.点P从点A出发， 以每秒1个单位长度的速度沿AB运动到点B停止；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度 的速度沿折线BC-CD运动到点D停止，当点Q停止运动时，点P也停止运动.设点Q的运动时 间为t(秒). 壶学科网·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 D B (1)当点Q与点D重合时，t的值为 (2)用含t的代数式表示CQ长； (3)PQ将△ABC的分成的两部分，其中的三角形与△ABC相似时，求t的值： (4)当点Q不与△ABC的顶点重合时，过点Q作QMIAB交△ABC的边于点M,以PM和QM为边作 口PMQW.连结BD,直接写出BD将口PMQW分成面积相等的两部分时t的值， 困难题 &.如图，Rt△ABC的两条直角边，AB=8cm,AC=6cm,点D沿AB从A向B运动，速度是 1cm秒，同时，点E沿Bc从B向C运动，速度为2cm秒.动点E到达点C时运动终止.连 接DE、CD、AE.设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)BE=,BD=·(用含t的代数式表示) (2)求当动点运动时间t为多少秒时，△BDE与△ABC相似： (3在运动过程中，当CD⊥DE时，求t的值. 9.阅读理解，并完成下列问题： 【阅读】如图，AD是△ABc的中线，点P是AB上一点，连接c咬AD于点E,若铝=专求号 的值. 命学科同·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 D P B 解：过点P作PF BC,交AD于点F; ÷△PEF∽△CED, 点P是AB的中点， PF是△ABD的中位线， 设PF=m,则BD=CD=2m, 带=架=祭=2 CP 【理解】某数学兴趣小组在研究上面问题时，发现如下结论： (1)当始=时，则唱 =，； (2)当=时，则$= (3)当=时，则等=，并说明理由， 【拓展】如图，在口ABCD中，AB=2,BC=4,∠B=120°，动点P从A点出发，沿AB、BC以每 秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动，连接DP交AC于点E,设运动时间为t,△ADE的面积 为y.求y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，