【专项练】相似三角形的判定性质综合-鲁教版五四制八年级下册期末专项（初中数学）

学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 相似三角形的判定性质综合 中等题 1.D 【分析】本题考查了平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质,熟练掌握相关知识点是解 题的关键. 2cr 选项D错误;即可得到答案: 【详解】解:在平行四边形ABCD中AB|ICD,ADIIBC,AB三CD .△DEF一△BEC. _翻 &Cs8E= 选项C正确; .ABIICD. .△CDE△GBE. . D 2 .. AG BG-AB 二 2CD 选项A正确; .ABIICD, :△CDFGAF. .. =G二 选项B正确; _ ()_4 . 选项D错误; 故选:D. 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 2.7 【分析】本题考查勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与 性质等知识,添加辅助线构造全等三角形和相似三角形的求解是解答的关键,先根据勾股定理 求得AC三12,利用正方形的性质,结合全等三角形的判定证明Rt△AEG兰Rt△ACB(HL)得 到DG=7;过F作FP1CD于P,证明Rt△ABCRt△BFP(AAS)得到PF=BC=5;再证明 【详解】解:在Rt△ABC中,乙ACB=90*AB=13,BC=5 .AC=VAB-BC-V132-52=12 在正方形ABFG、正方形ACDE中,EAC=乙E= D=ABF=LACD= ACB=9O*,AG= AB=BF=13:AC=AF=DF=12. :Rt△AEG二Rt△ACB(HL). :$EG=BC=5,则DG=DE-EG=12-5=7. 过F作FP1CD于P,则 FPH= FPB= ACB=90*, "BAC= FBP=90*-4ABC. AB=BF :Rt△ABC三Rt△BFP(AAS). .PF=BC=5. : FPH= D=90*, PHF= DHG. :△PHF一△DHG. __ , 故答案为: fn 3.-0 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定,勾股定理,尺规作线段垂直平分线等知识点 解题的关键是证明三角形相似 过点E作EG1AC交AC于点G.根据作图可得MN垂直平分线段AB,得出AE=BE=-AB=2, 求出DF,再根据BF=BD-DF即可解答. 【详解】解:过点E作EG1AC交AC于点G. # 根据作图可得MN垂直平分线段AB AE=BE=-AB=2. 又.乙ABC-90”. :AC=AB+BC=4+3=5 :BD1AC, EG1AC ..EGllBD. .△AFG△ABD. 义:乙BDC= ABC=90*. ACB= BCD .△CDB△CBA. CD .CD_ gc2 cA 。 :BD= CA 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 $AG$ GD-AD=#< GF==B=#$$$$ $$: EGC=$ FDC=90*$$ DCF= $G$C$E :△CDF一ACGE .DF- CG CD+DG ##1# 故答案为: 4. 25 【分析】(I)作FH1CD交CD于点H,易求△EDG:△FHG,可得ED=FH,HG=DG=1, 在根据等腰三角形的性质可得FH三DH三2,即可求得DE的长 AF=DE=2,AB=2AE=4,再根据勾股定理求得BE的长 【详解】解:如图,作FH1CD交CD于点H Hr B "点G为EF的中点, .EG=FG, :四边形ABCD是正方形,FH1CD, : A= ADC=90*, FHG=90*$ V:ZDGE= HGF,EG=FG, :△EDG:△FHG(AAS). :ED=FH,HG=DG=1, .DH=HG+DG=1+1=2, .ZCDF=45o 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .HFD=90+-45*=4 $5 $$ . CDF= HFD . FH=DH=2, :DE=2; $ DEG+ AEB=90}$$ ABE+ AEB=$9$0$$ .乙DEG=乙ABE, 又:乙A= ADC=90*, .△DEG△ABE _ 'A8 DE AE-AB, 又:AB=AD, AE--AD, .AE=DE=2, .AB=2AF=2x2=4 :BE-AB+AF-V42+22-25 故答案为:2,25 【点睛】本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定 等腰三角形的性质,勾股定理,掌握以上性质和定理,合理做出辅助线是解题的关键 5. 23-2/-2+2V3 【分析】本题考查了解直角三角形,相似三角形的性质与判定,等腰三角形的性质与判定;过 F点作FGlIBC,根据已知先得出 DCE=60*,进而求得AF=4.DF=23,根据FGlIBC得出 △AGF一△ABD,△EGF一△EBC进而根据相似三角形的性质,即可求解。 【详解】解:过F点作FGlIBC 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 B C.在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线 $B D=CD==$=2, BAD= CAD=$ BAC=15,A D BC$ :ACE-BAC :CAD=/ACF=15 .AF=CF, ACD=(180*-30}$-2=75$$$$ : DCE=75*-15*=60$$$$$$ 在Rt△CDF中. DF=CD·tan60*=23 :FGlIBC, .△AGF-△ABD . GF:BD=AF:AD,即GF:2=4:(4+2 3. 解得GF=8-4V3. :FGl]BC, .△EGF-△EBC EF:EC=GF:BC,即EF:(EF+4)=(8-43:4 解得EF-2V3-2 故答案为:2v3-2. 6.(1)见解析 (2)Ar-一 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定,勾股定理,角平分线的性质,熟知相似三 角形的性质与判定定理是解题的关键 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 (1)利用已知条件首先证明2CBD三乙ADE,然后利用相似三角形的判定即可解决问题 (2)过点D作DH1AB于H,先由勾股定理求出AB的长,再由角平分线的性质得到CD三HD 利用等面积法求出cD的长,进而得到AD的长,再根据相似三角形的性质列比例式求解即可 【详解】(1)证明:·BD是乙ABC的角平分线. .乙ABD=乙DBC .DE1BD, .乙BDE-90。, :乙ADE+乙BDC=90o. :乙C=90o, 乙CBD+乙BDC=90*. .乙CBD三乙ADE. :.乙ADE=乙ABD “乙A=乙A. ..△ADE△ABD; (2)解:如图所示,过点D作DH1AB干H B 在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=AC{+BC{}=10. ·BD是乙ABC的角平分线,DH1AB,C=90, .CD-HD, .SAnc=S△Bcp+SABD: X6CD+x10DH-×6X8, .CD=DH=3. .AD-5. :△ADE一△ABD. 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 #即-## .AF= ### 7. 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用,相似三角形的性质和判定,勾股定理,切线的 性质, 先根据切线的性质及勾股定理求出BE,再说明△ABE一△DAE,可求出DE,进而求出BD,然 后说明△BFO一△BDA,最后根据相似三角形的对应边成比例求出BF,再根据相似三角形的 对应边成比例求出OF,进而得出CF,接下来说明△ADG一△CFG,可求出DG,最后根据正切 定义得出答案 【详解】解:AE是⊙o的切线,AB是⊙o的直径, AE1AB,乙ADB=90*,AO=B0=CO=2 即乙BAE=90 根据勾股定理,得BE-VAB+AE2}=42+22=25 :乙AED=乙AEB,乙ADE=乙BAE .△ADE△BAE ._DF_A ABAE 8 即□一 2 4 2 .BD=BE-DF-2V-25a5 .ADlOF, :△BOF△BAD. :r 即2_r 。 1 解得BF4V5 =.OF三 25 ) .CF-22V5 5.DF=BD-BF- 5 $ 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 :AD IICF, .△ADG~△CFG. 00 DG 解得DG-10-2\ 5 10-2V 5-1 AD ## 2 故答案为: 4V5 5-1 6.2 8.9 【分析】本题考查了矩形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,根据题目的已 知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键 过点M作MH1.AB,垂足为H,根据线段中点的定义可得DC三2MC,根据矩形的性质可得2B= C=90*,AB=DC=2MC,从而可得四边形MHBC是矩形,进而可得AB=2MH,再根据同 角的余角相等可得2GAE三2HME,从而证明△ABF一AMHE,然后利用相似三角形的性质可 求出HE的长,从而求出BH,AB的长,再在Rt△ABF中,利用勾股定理求出AF的长,最后证 明AAGE一△ABF,从而利用相似三角形的性质求出AG,GE的长,进而△AGE的面积进行计 算即可解答. 【详解】解:如图,过点M作MH1AB,垂足为H, .乙MHB=90o, .点M是cD边的中点. 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .DC=2MC. :四边形ABCD是矩形 B= C=90$AB=$DC=2 M$$$ :四边形MHBC是矩形. .MH=BC,MC=BH$ :AB=2BC. :AB=2MH :AF1ME: :.乙AGE=90*. : GAE+乙AEG=90$ :LAEG+ HME=90$.$ :CGAF三ZHME : MHE= B=90*$ :△ABF△MHE, AB_B .2MH二 . 7 MH= ·BE=2, :MC=BH=HE+BE=$ .$ $$$$ iAB=2BH=5. $AE=AB$-BE=5 -2 =3$$$ $AF=AB+BF$=5 +1=2 6 $$$$ $' AGE=$ B$=90 $$ GAE=$$ $B$A $F$ :△AGE△ABF. 8F 3 Gf 5 ,7多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 相似三角形的判定性质综合 中等题 1.如图，在平行四边形ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E,CF的延长线交BA的延长线 于G,若器=土，则下列结论错误的是（) c.= D.6E=名 SACBE S△CDF 3 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13,BC=5,以AB,AC为边在AB的同侧作正方形 ABFG、正方形ACDE,则点G在DE上，CD与GF相交于点H,连接CF,CG,则c= S△CFH 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90,分别以点A,B为圆心，大于AB的长为半径画弧， 两弧分别交于点M和N,作直线MN交AB于点E,作BD⊥AC于点D,连接CE,BD交于点F, 若AB=4,BC=3,则BF的长为 4.如图，在正方形ABCD的边AD上有一点E,连接BE,过点E作EF⊥BE(点在CD边右侧)， 多学科同·短子学 www.2x×k.c0m 让学习更高效 垂足为E点，EF与CD相交于点G,连接DF,若∠CDF=45°，点G为EF的中点，且DG=1. (I)线段D的长为— (Π)线段BE的长为 5.如图，在△ABC中，∠BAC=30,AB=AC,AD是BC边上的中线，LACE=∠BAC,CE 交AB于点E,交AD于点F.若BC=4,则EF的长为 D 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D,DE⊥BD,交AB于点E. B D (I)求证：△ADE一△ABD: (2)若AC=8,BC=6,求线段AE长. 7.如图，△ABD的顶点在⊙O上，且AB是⊙O的直径，过点A的切线AE交BD的延长线于点E, C是BD上一点，连接OC交BD于点F,且ADIOC,连接AC.若AB=4,AE=2,则BF的长 为 ,tanDAC的值为 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更高效 8.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC,点M是CD边的中点，点E、F分别是边AB,BC边上 的点，且AF⊥ME于点G,若EB=2,BF=1,则△AGE的面积是 B 困难题 9.如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向点D运动，以BE为边， 在BE的上方作正方形BEFG,连接CG.请探究： F D H (1)线段AE与CG是否相等？请说明理由， (2)诺△ABE一△DEH,请给出证明：若设AE=x,DH=y,则当x取何值时，y最大？ (3)连接BH,当点E运动到AD的何位置时，△BEH一△BAE?请直接写出结论 10.“综合与实践课上，老师让同学们以矩形的翻折“为主题开展数学活动 第1步：有一张矩形纸片ABCD,在AD边上取一点P沿BP翻折，使点A落在矩形内部A处； 第2步：再次翻折矩形，使PD与PA所在直线重合，点D落在直线PA上的点D处，折痕为PE. 翻折后的纸片如图所示 多学科同·假子学 Www.2x×k.C0m 让学习更离效 (I)求LBPE的度数； (2)若AD=32cm,AB=24cm,求DE的最大值 11.综合与实践 综合与实践课上，数学活动小组的同学们以“图形的变换“为主题开展数学活动.如图(1)， 在直角三角形纸片ABC中，∠C=90° 图(1) 图2) 图(3) 图(4) 备用图 (1)操作判断 操作一：对折直角三角形纸片ABC,使点B与点C重合，得到折痕DE,把纸片展平， 问题1：如图(2)，当直角边AC=BC=2时，折痕D的长为_； 操作二：如图(3)，将△BDE绕点E逆时针旋转得到△MNE,点B,D的对应点分别是M, N,直线MN与边BC交于点P不与点B,C重合) 问题2：在△BD绕点E旋转的过程中，DP与NP的数量关系为 (2探究迁移 若AC=6,BC=8.在△BDE绕点E旋转的过程中，当直线M经过点A时，如图(4)，求CP 的长 (拓展应用 若AC=6,BC=8.在△BDE绕点E旋转的过程中，当MN与△ABC的边平行时，直接写出 △MNE与△ABC重叠部分的面积（面积为0时忽略不计） 12.已知△ABC为等腰三角形，AB=AC,∠B=a,点D是边BC上一点，连接AD,将△ABD 沿AD所在直线翻折，点B的对应点为E. 多学科同·短子学 www.2x×k.c0m 让学习更离效 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，当AEBCE时，求证：四边形ABDE为菱形： (2)连接EC,直线EC与直线AD交于点F ①如图2，在(1)的条件下，求证：AF=EF; ②如图3，猜想AF,CF与CE之间的数量关系，并加以证明（用含α的式子表示）； ③如图4，若BC=8,AC=5,当DB所在直线与AB所在直线垂直时，请直接写出职的值， 13.项目式学习：圆弧在建筑中的应用 项目主题：圆弧在建筑中的应用 我国历史上著名的赵州桥，是现存世界 素 上跨径最大、建造最早的单肩石拱桥， 材 这是单圆弧设计在我国古代建筑中的 一种成功典范.如图1，赵州桥主桥拱 成圆弧形，跨度约37m,拱高约7m. 在西方建筑中，也有很多应用圆弧设计 的元素.例如巴黎圣母院是典型的哥特 式建筑.如图2，哥特式尖拱是由两段 素 不同圆心的圆弧组成的对称图形，叫做 材 两心尖拱.其中，点A、B称为起拱处， 2 点C称为拱尖，C到AB的距离CD称为 图2 拱高.两心尖拱的几何特征就是AC、BC 的圆心落在直线AB上 素 如图3是古塔建筑中的方圆设计，寓意 材 天圆地方.据古塔示意图，以塔底座宽 3 AB为边作正方形ABCD(图4)，塔高 命学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更商效 AF=AC,分别以点A,B为圆心，AF 为半径作圆弧，交于点G.正方形ABCD 内部由四个全等的直角三角形和一个 小正方形组成， 问题解决 任 (1)图1中赵州桥主桥拱半径R 务 确定半径 约为 m.(结果保留整数) 1 (2)①请根据两心圆拱的几何 特征利用尺规作出图2中AC 任 务 计算拱高 BC的圆心M、N.(不写作法， 2 保留作图痕迹)； ②在①的条件下，若MW=2 m,AB=3m,求拱高cD. 任 (3)如图4，若点G落在AM 务 计算比值 的延长线上，连接GP交DQ于点 3 工则等的值为