【专项练】手拉手相似模型-鲁教版五四制八年级下册期末专项（初中数学）

多学科同·短子学 www.2x×k.c0m 让学习更商效 手拉手相似模型 中等题 1. (综合与实践) 【问题情境】 为了研究四边形中与中点有关的“手拉手模型问题，老师给数学社团的学生准备了一张印有四 边形ABCD的纸片，E,F分别是线段AB和CD的中点，如图1. F C D E B 图1 【探究实践】 老师引导同学们用三角尺分别过点E,F作线段AB和CD的垂线，两垂线交于点G,连接 AG,DG,BG,CG,EF. 老师引导同学们探究：由于四边形的不稳定性，点的位置也在发生变化，在变化的过程中能有 哪些发现呢？ 经过思考和讨论，大刚和小莹给同学们分享了自己的发现. E B 图2 (1)如图2，大刚发现：“当图形满足∠AGD=∠BGC时，AD=BC." (2)如图2，小莹发现：“当图形满足条件∠AGD=∠BGC时，△AGD一△EGF.” 老师肯定了两人结论的正确性，请你说明两人结论成立的理由。 【拓展应用】 (3)如图3，小明在大刚和小莹发现的基础上，经过进一步思考发现：“若AD,BC所在的直 线互相垂直，且E℉=√2，就能求出AD的值.老师也肯定了小明结论的正确性，请你帮小明 多学科同·子学 Www.2××k.C0m 让学习更离效 求出AD的值. 图3 困难题 2.某数学兴趣小组在探究“手拉手模型时，等边三角形△ABC和△AD按如图1摆放，连接 BD,CE,延长CE交BD于点F,连接AF,保持△ABC不动，将△ADE绕点A旋转， 图1 图2 图3 图4 【初步探究】(1)如图2，当点D,F重合时，请直接写出AF,BF,CF之间的数量关系：_ 【深入探究】(2)如图1，当点E,F不重合时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请 给出推理过程；若不成立，请说明理由， 【拓展延伸】(3)如图3，当△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，LABC=∠ADE=90°.连 接CE,BD,延长CE交BD于点F,连接AF,试探究AF,BF,CF之间的数量关系，并说明理由 【推广应用】(4)如图4，在△ABC~△ADE中，若AB:BC:AC=a:b:c.连接CE,BD,延长 CE交BD于点F,连接AF,请直接写出AF,BF,CF之间的数量关系： 3.某数学兴趣小组在探究“手拉手模型时，等边三角形△ABC和△ADE按如图1摆放.连接BD, CE,延长CE交BD于点F,连接AF,保持△ABC不动，将△ADE绕点A旋转 多学科网·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 图1 图2 图3 图4 【初步探究】(1)如图2，当点D,F重合时，请写出AF,BF,CF之间的数量关系并加以证 明： 【深入探究】(2)如图1，当点E,F不重合时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给 出推理过程；若不成立，请说明理由， 【拓展延伸】(3)如图3，当△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°.连 接CE,BD,延长CE交BD于点F,连接AF,试探究AF,BF,CF之间的数量关系，并说明理由. 【推广应用】(4)如图4，在△ABC一△ADE中，若AB:BC:AC=a:b:c.连接CE,BD、延 长C交BD于点F,连接AF,请直接写出AF,BF,CF之间的数量关系： 4.综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型"为主题开展数学活动， 图】 图2 图3 (1)提出问题：若△ACD和△ABE都是等边三角形，连接CE和BD交于点M,如图1所示，线段BD 与线段C的数量关系是 ,∠CMD=°； (2)探究证明：若△ACD和△ABE都是直角三角形，∠BAE=∠CAD=90°，∠ABE=∠ADC=30°， 连接C和BD交于点M,如图2所示，试猜想BD与CE的关系，并说明理由； (3拓展延伸： ①智慧小组"发现在(2)的条件下，若AB=√6，AC=2,使图2中△ACD固定不动，将△ABE 绕顶点A旋转，当点B,C,D在同一条直线上时，则BD=； ②勤奋小组发现在(2)的条件下，若AB=V6,AC=2,N是CD的中点，使图3中△ACD 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 固定不动，将△ABE绕顶点A旋转，在旋转过程中，则BN的最小值为 5.综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三 角形构成.在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形.它们类似大手拉着小手，这种模型 称为“手拉手模型”.小丽进行了如下操作： 图1 图2 备用图 (1)问题发现 如图1，在△OAB和△OCD中，OA=0B,OC=OD,∠A0B=∠C0D=40°，连接AC,BD交 于点M.小丽发现这就是手拉手模型，易证△AOC兰△BOD,进而可以得知： ①部的值为 ②LAMB的度数为】 2)类比探究 如图2，在△0AB和△0CD中，若LA0B=∠CoD=90,品=品=V5,连接Ac咬BD的延长 线于点M,AO与BM交于点P.小丽发现不等腰的三角形地可得到手拉手模型.请你求出此时 的值及LAMB的度数，并说明理由： (3拓展延伸 在(2)的条件下，将△OCD绕点O在平面内任意旋转，AC,BD所在直线交于点M,若0D=1, OB=V7,请直接写出当点C与点M重合时AC的长， 6.某班“手拉手数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进 行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： (I)如图1，正方形ABCD中，EF⊥GH,EF分别交AB,CD于点E,F,GH分别交AD,BC于点 命学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 G,H,则EFGH;(填>=或“<") (2)如图2，矩形ABCD中，EF⊥GH,EF分别交AB,CD于点E,F,GH分别交AD,BC于点G,H, 求证，品- 3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BC=3,CD=5,AD=7.5,AM⊥DN, 点M,N分别在边BC,AB上，求N的值. AM D D M 图 图2 图3 7.我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手模型，用该模型解决问题时 重点在“构建模型、证明相似以及用相似来解决问题 G D M M 图1 图2 图3 (1)等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE攻如图1放置，∠C=90°，点M、N分别为AB、DE 的中点，则始 (②)将图1的等腰直角三角形DC统点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么0的值是否发 生改变？说明理由： (3)正方形ABCD和正方形AEFG如图3放置，其中正方形ABFG的边长是正方形ABCD边长的一 半，连结CF、DG,请直接写出DG与CF之间的数量关系以及直线DG与直线CF所夹锐角的度数， 8.在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有 公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化 的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”，这个数学兴趣小组 多学科同·假子学 WwW.2x×k.C0m 让学习更高效 进行了如下操作： 图1 图2 图3 (I)如图1、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=90°， 连接BD,CE,两线交于点P,和△ABD全等的三角形是 ,BD和CE的数量关系是 (2)如图2，点P是线段AB上的动点，分别以AP,BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形 PBEF,连接DE分别交线段BC,PC于点M,N. ①求LDMC的度数： ②连接AC交DE于点H,直接写出的值， (3)如图3，已知点C为线段AE上一点，AE=8cm,△ABC和△CDE为AE同侧的两个等边三角 形，连接BE交CD于N,连接AD交BC于M,连接MW,线段MW的最大值是 9.综合与实践 “手拉手模型是初中几何图形的一种全等变形的重要模型，可以借助旋转和全等形的相关知识 结合勾股定理等，来解决有关线段的长、角的度数等问题，在学习和生活中应用广泛，有着十 分重要的地位和作用」 某校数学活动小组进行了有关旋转的系列探究： 如图①，已知△ABC和△ADE均是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，且AB=AC,AD= AE,易证：BD=CE,BD⊥CE 深入探究： (1)如图②，将图①中△ABC绕点A逆时针旋转a(0°<a<90),连接BD、CE,并延长CE 分别与AB、BD相交于点G、F,求证：BD=CE,BD⊥CE. 解决问题： (2)如图③，将图①中△ABC绕点A逆时针旋转90°，使AE与AB重合，其他条件不变，若AB=6, AD=3,则CE=,DF= 拓展应用： (3)如图④，将图①中△ABC绕点A逆时针旋转a(90°<a<180),连接BD、CE,若AB=4√2 多学科同·短子学 WwW.2x×k.C0m 让学习更商效 BE=3,LABE=45°，则BD=,AD=—· (提示：求AD时，可过点E作EH⊥AB 于点H) C A D D A D E ① ③ ④高学科同·：子学 www,z×Xk.c0m 让学习更高效 手拉手相似模型 中等题 1.(1)见解析：(2)见解析；(3)2 【分析】本题考查垂直平分线性质，全等三角形性质及判定，相似三角形性质及判定，角平分 线性质，解直角三角形等， (1)根据题意得AG=BG,DG=CG,再证明△ADG兰△BCG(SAS),继而得到本题答案； (2)根据题意证明△AGB~△DGC,继而得到%-格再利用角平分线性质可得LAGE=∠DGR, 继而得到本题答案； (3)延长AD、BC交于点H,AH交BG于点O,判定△AOG一△BOH,继而得到△ABG是等腰 直角三角形，再利用三角函数解直角三角形即可得到本题答案， 【详解】解：（1)EG、FG分别垂直平分线段AB、CD, ·AG=BG,DG=CG, 又'∠AGD=∠BGC, ∴△ADG≌△BCG(SAS), AD BC; (2)'∠AGD=LBGC, ÷∠AGD+∠BGD=∠BGC+∠BGD, ÷∠AGB=∠DGC, AG=BG,DG=CG, △AGB∽△DGC, ~EG、FG分别是△AGB与△DGC的高， ~EG、FG也是△AGB与△DGC的角平分线， LAGE =LAGB,LDGF=LDGC, ÷∠AGE=∠DGF, 扇学科同·：子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 ·∠AGE-∠DGE=∠DGF-∠DGE, ÷∠AGD=∠EGF, ÷△AGD∽△EGF; (3)解：延长AD、BC交于点H,AH交BG于点O, E 则∠AHB=90°， △ADG兰△BCG, ·∠GAD=∠GBC, 又：LAOG=∠BOH, ÷△AOG∽△BOH, :∠AGB=∠AHB=90°， ÷△ABG是等腰直角三角形，∠GAB=45°， GE GE ·AG= V2GE, sin2GAB sin45。 '△AGD∽△EGF, 40=9=V2 EF GE ÷AD=2. 困难题 2.(1)CF=AF+BF(2)成立，理由见解析(3)CF=AF+√2BF,理由见解析(4)aCF=bAF+ cBF 【分析】〔1)证△FAB兰△EAC即可求解；(2)作LFAM=∠BAC交线段CE于点M,证△DAB兰△ EAC得∠DBA=∠ECA,再证△FAB≌△MAC得BF=CM,AF=AM,即可求解；(3)作∠FAN= ∠BAC交线段CE于点N证△DAB~△EAC得∠LDBA=∠ECA,再证△PAB一△NAC得是-怎 CN=V2BF,进一步可证△FAN~△BAC,即可求解；(4)作LFAG=∠BAC交线段CE于点G, 命学科网·艇子学 www.zxxk.com 让学习更高效 证△DAB~△BAC得∠DBA=LBCA,再i证△FAB~△GAc得2=点CG=BR,进一步可证 △FAG一△BAC,即可求解. 【详解】解：(1)CF=AF+BF,理由如下： △ABC和△ADE都是等边三角形，点D,F重合 AB=AC,AF=AE,∠BAC=∠FAE=60° Y∠CAB=∠CAE+∠BAE,∠FAE=∠FAB+∠BAE ·LFAB=LEAC △FAB≌△EAC .BF=CE CF=CE+EF,EF=AF .CF=AF +BF (2)成立，作∠FAM=∠BAC交线段CE于点M :△ABC和△ADE都是等边三角形 AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠FAM=60° ∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE即∠DAB=∠EAC △DAB≌△EAC ÷∠DBA=∠ECA 'LFAM=∠BAC ÷∠FAM-∠BAM=∠BAC-∠BAM很即∠FAB=∠MAC ÷△FAB≌△MAC ÷BF=CM,AF=AM ∠FAM=60, ÷△AFM是等边三角形 ÷AF=FM, .CF=FM+CM=AF+BF 命学科同·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 (3)CF=AF+V2BF,理由如下： 作∠FAN=∠BAC交线段CE于点N, N B :△ABC和△ADE都是等腰直角三角形 4C=AE=V2,AB=BC,∠BAC=∠DAE=∠FAN=450 AB AD ÷∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE即∠DAB=∠EAC ÷△DAB∽△EAC ∴LDBA=∠ECA '∠FAN=∠BAC ∠FAN-∠BAN=∠BAC-∠BAN即∠FAB=∠NAC △FAB△NAC "==c=V2 AF BF AB .CN=2BF LFAN=∠BAC, ÷△FAN~△BAC .AF=FN ÷CF=FN+NC=AF+V2BF (4)aCF=bAF+cBF,理由如下： 作LFAG=∠BAC交线段CE于点G, 壶学科同·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 △ABC△ADE中，AB:BC:AC=a:b:c ∴AD:DE:AE=a:b:c,∠BAC=∠DAE=∠FAG ÷LBAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE即∠DAB=∠EAC AD AB a AE=AC- ÷△DAB∽△EAC ÷∠DBA=LECA ∠FAG=∠BAC ∠FAG-∠BAG=∠BAC-∠BAG即∠FAB=LGAC ·△FAB△GAC A AC CG-BF ∠FAG=∠BAC, .△FAG∽△BAC AF-FG-FG CF-FG+GC-AF+5BP .aCF bAF+cBF 【点睛】本题以“手拉手模型为几何背景，综合考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形 的判定与性质，旨在考查学生的推理论证能力和举一反三的能力. 3.(1)CF=AF+BF,证明见解析(2)成立，理由见解析(3)CF=AF+√2BF,理由见 解析(4)aCF=bAF+cBF 【分析】 命学科网·短子学 www.z×xk.c0m 让学习更高效 本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质： (1)证△FAB兰△EAC即可求解； (2)作∠FAM=∠BAC交线段CE于点M,证△DAB兰△EAC得∠DBA=∠ECA,再证△FAB兰△ MAC得BF=CM,AF=AM,即可求解； (3)作LFAN=∠BAC交线段CE于点N,证△DAB~△EAC得∠DBA=∠ECA,再证△FAB△ NAC得是=指CN=V2BR,进一步可证△FaN~△BAC,即可求解， (4)作LFAG=∠BAC交线段CE于点G,证△DAB∽△EAC得LDBA=∠ECA,再证△FAB~△ GAC得能=指CG=BF,进-步可证△FAG~△BAC,即可求解。 【详解】 解：(1)CF=AF+BF,理由如下： △ABC和△ADE都是等边三角形，点D,F重合 ÷AB=AC,AF=AE,∠BAC=∠FAE=60 Y∠CAB=∠CAE+∠BAE,∠FAE=∠FAB+∠BAE ÷LFAB=LEAC △FAB兰△EAC ÷BF=CE CF CE EF,EF=AF .CF=AF +BF (2)成立，作∠FAM=∠BAC交线段CE于点M :△ABC和△ADE都是等边三角形 AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠FAM=60 ·∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE即∠DAB=∠EAC △DAB≌△EAC ·∠DBA=∠ECA ~LFAM=∠BAC 扇学科网·艇子学 www.zxxk.com 让学习更高效 ÷∠FAM-∠BAM=∠BAC-∠BAM银即∠FAB=∠MAC △FAB≌△MAC ÷BF=CM,AF=AM ∠FAM=60°， :△AFM是等边三角形 .AF FM, ..CF=FM+CM=AF+BF (3)CF=AF+V2BF,理由如下： 作∠FAN=∠BAC交线段CE于点N, :△ABC和△ADE都是等腰直角三角形 =5=V2,AB=BC∠BAC=∠DAE=LFAN=45 ÷∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE即∠DAB=∠EAC △DAB△EAC ·∠DBA=∠ECA ∠FAN=∠BAC -∠FAN-∠BAN=∠BAC-∠BAN即∠FAB=∠NAC :△FAB△NAC AN =GN =AC=V2 AF BF AB ,CN=V2BF ∠FAN=∠BAC, ÷△FAN△BAC .AF FN 扇学科同·：子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 .CF=FN+NC=AF+V2BF (4)aCF=bAF+cBF,理由如下： 作LFAG=LBAC交线段CE于点G, E G △ABC△ADE中，AB:BC:AC=a:b:c. AD:DE:AE=a:b:C,∠BAC=∠DAE=∠FAG ÷∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE即∠DAB=∠EAC AD AB a AE AC c ÷△DAB∽△EAC ÷∠DBA=∠ECA "LFAG=∠BAC ∠FAG-∠BAG=∠BAC-∠BAG即LFAB=∠GAC ÷△FAB△GAC AB a G=B CG-BP AG AF ∠FAG=∠BAC, ·△FAG△BAC AF FG “A88C AF-PG-FG CF=FG+GC=AF+BF .aCF bAF+cBF 4.(1)BD=CE,60 (2)BD=V3CE,BD⊥CE,理由见解析 命学科网·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 (3)①3-3或3+3；②V6-2 【分析】（1)根据等边三角形的性质可得AE=AB,AC=AD,∠AEB=∠BAE=∠CAD=60°， 则有LEAC=∠BAD,证明△EAC兰△BAD(SAS),得到BD=EC,LAEC=LABD,由三角形内 角和定理可得∠BME=180°-(LBEC+∠ABD+∠ABE),由此即可求解： (2)根据题意可得LEAC=∠BAD,由勾股定理可得AB=V3AB,CD=V5AB,则有。== AD V3AC 点可证△EAC~△BAD,由相似三角形的性质可得号-S=酷-∠ABC=∠ABD,在 AD BD △BEM中，由三角形内角和定理可得LBME=90°，即BD⊥EC,由此即可求解： (3)①根据含30角的直角三角形的性质可得AB=AB=V2,BE=2AB=2V2,cD= 2AC=4,设CE=x,则BD=V3x,BC=CD-BD=4-V3x,由BD⊥CE,运用勾股定理即 可求解； ②根据题意可得点B在以点A为圆心，以AB为半径的圆上运动，连接AW,在△ABN中，AB- AN<BN,当点A,B,N三点共线时，AB-AB=BN,此时线段BN的值最小，根据直角三角形 斜边中线等于斜边一半可得AN的值，由此即可求解。 【详解】(I)解：△ACD和△ABE都是等边三角形 AE=AB,AC=AD,∠AEB=∠BAE=∠CAD=60°， ∠BAE+∠BAC=∠BAC+∠CAD,即∠EAC=∠BAD, 在△EAC和△BAD中， AE=AC ∠EAC=∠BAD, AC=AD △EAC≌△BAD(SAS), BD=EC,∠AEC=∠ABD, :∠AEC+∠BEC=∠AEB=60°， ÷∠BEC+∠ABD=60°， ∴∠BEC+∠ABD+∠ABE=60+60=120°， .∠BME=180°-(LBEC+∠ABD+∠ABE)=180°-120°=60°， ÷∠CMD=∠BME=60°， 故答案为：BD=CE,60; (2)解：LBAE=∠CAD=90° 扇学科同·艇子学 www.zxxk.com 让学习更高效 ·LBAE+∠BAC=∠BAC+∠AD,即∠EAC=∠BAD, ~△ACD和△ABE都是直角三角形，∠BAE=∠CAD=90°，∠ABE=∠ADC=30°， BE=2AE,CD=2AC,∠AEB=∠ACD=60°， .AB=BE2 -AE2 =(2AE)2-AE2=V3AE,AD =CD2-AC2=(2AC)2-AC2=3AC, AD 3AC Ac △EAC∽△BAD, E三==√3 Γ3 .BD =3CE, ÷∠AEC=∠ABD, ∠AEC+∠BEC=∠AEB=60°， ÷∠ABD+∠BEC=60°， 在△BEM中，∠BEM+∠ABM+∠ABE=60+30=90°， ÷∠BME=90°，即BD⊥EC, 综上所述，BD=V3CE,BD⊥CE; (3)解：由(2)可得，BD=V3CE,BD⊥CE, ①如图所示，点B,C,D在同一条直线上， B ZBAE=∠CAD=90,LABE=LADC=30,AB=V6,AC=2,指= Γ3 A超=停AB=停×V6=2, .BE =2AE =2v2,CD=2AC=4, 设CE=x,则BD=V3x, ÷BC=CD-BD=4-V3x,