【专项练】母子型相似-鲁教版五四制八年级下册期末专项（初中数学）

多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更商效 母子型相似 中等题 1.如图，D,E分别是等边三角形ABC的边BC,AC上的点，BD=CE,AD与BE相交于点P,连 结cP.若cP=cB,则的值为() A.5 2 B.V5+1 C. D.3+v 2 2.如图，DEIAB中，点D和点E分别是边BC,AC上的点，且DEAB,AE:AC=1:2,若S△ABc=6, 则△AOE的面积为 3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4,点D,E分别为BC,AC上的点，且∠ADE=45°， 若CE=2,求BD的长. 困难题 4.如图，△ABC中，点D在AC上，连接BD,E是BD的中点，连接AE,若∠AED=∠ABC,BC=3AE, 则号的值为 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更高效 5.综合与探究 【定义】三角形一边上的点将该边分为两条线段，若这两条线段长度的乘积等于这个点与该边 所对顶点距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“亮点”.如图(a),在△ABC中，D 是BC边上一点，连接AD,若AD2=BD·CD,则称点D是△ABC中BC边上的“亮点". B D B DE F (a) (b) 【概念理解】 (1)如图(b),在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD,AE,AF分别是△ABC的高线，角平分 线，中线.请判断D,E,F三点中哪些是△ABC中BC边上的“亮点"，并说明理由 【性质应用】 (2)如图(c),在△ABC中，∠B=45,tanC=AC=10.若D是BC边上的亮点”，求BD 的长 【拓展提升】 (3)如图(d)，△ABC内接于⊙0，D是△ABC中BC边上的亮点"且AD1AC.若simB= 求号的值。 D B (e) 备用图 (d) 6.规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角 形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三 角形，这条直线称为这个三角形的和谐分割线".例如，如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°， CA=CB,CD是斜边AB上的高，其中△ACD是等腰三角形，且△BCD和△ABC相似，所以△ABC 多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 是“和谐三角形，直线CD为△ABC的和谐分割线”.请依据规定求解问题：已知△DEF是“和 谐三角形，LD=39°，当直线EG是△DEF的和谐分割线时，∠F的度数是一（写出所有符 合条件的情况)· 7.问题探究 (1)如图1，已知△ABC中，AB=6,点D是BC上一点，且满足BD=4,∠ADB=∠BAC,则 CD= 问题解决 (2)如图2，“三素四季汉中有约2025年最美油菜花汉中旅游文化节已于3月20日启幕.为 深度开发旅游，现将在这片足够大的菱形花海上修建“醉美长廊，按照设计要求，需要修建两 条笔直的长廊（长廊宽度忽略不计），点P为活动区内一观景台，且满足AB=7V3,∠DAB=60, △DCP的面积为0s ,∠PAB+∠PBA=60°，请求出醉美长廊PA十PB的值， 图1 图2 8.如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,连接AD,BE交于点F, D (I)求出LAFE的度数； (2)求证：AC·DF=BD·BF (3)连接CF,当CF⊥AD时，求证：BD=BC.多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更商效 母子型相似 中等题 1.B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、 一元二次方程的应用等知识，正确找出两个全等三角形和相似三角形是解题关键.设”= CD m(m>0),CD=a(a>0),则BD=ma,BC=ma+a,先证出△ABD兰△BCE,根据全等三 角形的性质可得CE=BD=ma,∠ADB=∠BEC,再根据等腰三角形的性质可得∠CPE=∠BEC, 从而可得LADB=∠CPE,根据三角形的外角性质可得∠CPD=∠CBP,然后证出△CPD∽△ cBP,根据相似三角形的性质可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得. 【详解】解，设铝=m(m>0).cD=a(a>0),则BD=ma, .∴.BC=BD+CD=ma+a, ,△ABC是等边三角形， ∴.AB=BC=ma+a,∠ABD=∠BCE=60°， 在△ABD和△BCE中， AB=BC ∠ABD=∠BCE=60°， BD=CE ∴.△ABD≌△BCE(SAS), .∴.CE=BD=ma,∠ADB=∠BEC, CP CE, ,∴.∠CPE=∠BEC, ∴.∠ADB=∠CPE, .'LADB=∠CPD+∠DCP,∠CPE=∠CBP+∠DCP, ∴.∠CPD=∠CBP, 在△CPD和△CBP中， (LCPD=∠CBP U∠DCP=∠PCB' .△CPD∽△CBP, .CP2=CD·CB, 多学科同·假子学 Www.2x×k.C0m 让学习更商效 又CP=CE, ∴.CE2=CD·CB,即(ma)2=a·(ma+a), 整理得：m2-m-1=0, 解得m=或m=<0(不符合题意，舍去)， 2 ·BD_1+V5 ··cD 29 故选：B 2.1 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明AE=CE,再证明△CDE∽△CBA, △DOE∽△AOB,再利用相似三角形的性质求解即可 【详解】解：AE:AC=1:2, ∴.CE:AC=1:2,AE=CE, .'DEWAB, ∴.△CDE△CBA,△DOE△AOB, 。 AB AC :S△A8c=6, 5acoE=号 .AE CE, SAADE =SACDE=3 3 SaA0E=5aADE=》 3 3 故答案为：1 3.2W2 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的性质、等腰三角 形的性质等知识点，证得△ABD~△DCE是解题的关键， 由等腰三角形的性质以及勾股定理可得∠B=∠C=45°、BC=4V2,进而得到cD=4V2-BD, 再证明△ABD∽△DCE,最后根据相似三角形的性质列比例式求解即可. 【详解】解：，∠BAC=90°，AB=AC=4, ∴.∠B=∠C=45°，BC=VAC2+AB2=V42+4=4V2, 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更商效 ∴.CD=4V2-BD .∵LADE=45°， .∴.∠C=∠ADE ','∠DEC=∠ADE+∠CAD,∠ADB=∠C+∠CAD, ∴.∠DEC=LADB, 又：∠B=LC, ∴.△ABD△DCE, 铝=即=”，解得：8D=22 BD 困难题 4. g+1 9 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，过点c作CGBD交AB 的延长线于点G,证明△BAE△GCB得出是=能=器=没AB=x,BE=a,AB=b则GC= 3x,BC=3b,BG=3a,BD=2a,进而证明△ABD一△AGC得出x=根据平行线分 线段成比例得士是=号=云=，即可求解。 【详解】解：如图所示，过点c作CGBD交A的延长线于点G, B G ,'∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠AED=∠ABD+∠BAE,∠AED=∠ABC ∴.∠DBC=∠BAE .CGBD .∴.∠DBC=∠GCB,LABE=LBGC 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 ∴.LBAE=LGCB ∴.△BAE∽△GCB 又BC=3AE 是=能=器= 设AB=x,BE=a,AE=b ,'E是BD的中点，则BD=2a ..GC=3x,BC=3b,BG=3a, .CGBD ,∴.△ABD△AGC 想=2 AG CG 2 “= 解得：x=a+“(负值舍去) 3 .CGBD VISa+a === V19+1 3a 9， 故答案为： V19+1 5.(1)D,F是△ABC中BC边上的“亮点”，理由见解析：(2)BD=4或9：(3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形， 勾股定理，直角三角形的性质等等，正确理解“亮点“的定义是解题的关键 (1)证明△BDA~△ADC,根据相似三角形的性质可得DA2=BD·DC,由直角三角形的性质 可得AF=BC=BF=CR,则AF2=BF,CP,据此可得答案； (2)分当BD<CD和当BD>CD两种情况，作AE⊥BC于点E,解直角三角形求出AE,DE,CE 的长，设出DE的长，表示出BE,CE的长，根据AD2=BD·CD,AD2=AE2+DE2,建立方程 讨论求解即可； (3)延长AD交⊙O于点E,连接BE、CE,证明△ADC一△BDE,推出AD2=CD·BD=AD·ED, 即可得到AD=ED,解直角三角形得到=}设AC=b,则CB=3b,AE=2V2b,进而得AD= BD=V2b.求出cD=V0.则BD=b,据此可得答案 多学科同·假子学 www.2x×k.c0m 让学习更商效 【详解】解：(1)D,F是△ABC中BC边上的“亮点”，理由如下： :AD是△ABC的高线， ÷∠ADB=∠ADC=90°， ÷∠B+∠BAD=90°， .∠BAC=90°， ∴.∠BAD+∠CAD=90°， ÷∠B=∠CAD ÷△BDA-△ADC, DA2=BD·DC 点D是△ABC中BC边上的亮点 在Rt△ABC中，AF是中线， ·AF=BC=BF=CF, ÷AF2=BF·CF 点F是△ABC中BC边上的亮点. (2)①当BD<CD时，如图，作AE⊥BC于点E, 在Rt△ACE中，anC=告=} ∴.可设AE=3x,CE=4x, ∴.AC=VAE2+CE2=5x, AC=10 .5x=10, ∴.x=2 .∴.AE=6,CE=8, 在Rt△ABE中，∠B=45°， 多学科同·短子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 0E=5=6 设DE=y,则BD=6-y,CD=8+y, ‘D是BC边上的“亮点"， .AD2=BD·CD, .AD2=AE2+DE2, .y2+62=(6-y)(8+y) 解得y1=2,y2=-3(舍) ∴.BD=6-2=4; ②当BD>CD时，由①可知AE=BE=6,CE=8, 设DE=a,则BD=6+a,CD=8-a, ,D是BC边上的“亮点”， ∴AD2=BD·CD, .AD2=AE2+DE2, ∴.a2+62=(6+a(8-a), 解得a1=3,a2=-2(舍) 即BD=6+3=9. 综上所述，BD的长为4或9. (3)延长AD交⊙O于点E,连接BE、CE, 0 D Y∠ADC=∠BDE,∠ACD=∠BED, ÷△ADC-△BDE, 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 CD·BD=AD·ED. 点D是△ABC中BC边上的亮点， ÷AD2=CD·BD=AD·ED, ÷AD=ED AC⊥AD, ,∴.∠CAD=900 :simCEA=sinLABC==2号 AC .设AC=b,则CE=3b,AE=VCE2-AC2=2V2b. ÷AD=ED=V2b. 在Rt△ACD中，CD=VAC2+AD2=V3b. 又：AD2=CD·BD, (2b)=V3b:BD.解得8D=9b. 6.63或31.5或47或34 【分析】分为△DEG是等腰三角形，△EFG与△DEF相似及△EFG是等腰三角形，△DEG与 △DEF相似；当△DEG是等腰三角形时，又分为DG=EG和DE=DG两种；当△EFG是等腰三 角形时，也分为EG=FG和EF=FG两种进行讨论， 【详解】解：若△DEG是等腰三角形，△EFG与△DEF相似， 如图1， 图1 当DG=EG,∠GEF=∠D=42时， ∠DEG=LD=39, ÷∠F=180°-∠D-∠DEF=180°-3×39°=63°， 多学科同·假子学 Www.2x×k.C0m 让学习更商效 如图2， E D G 图2 当DE=DG,∠FGE=∠D=39时， ∠DGE=∠DEG=180-39=70.5, 2 ∠F=∠DGE-∠FEG=70.5°-39°=31.5°， 当△EFG是等腰三角形，△DEG与△DEF相似时， 如图3， E D G 图3 当EG=FG,∠DEG=∠F时， ∠F=∠FEG, ÷LF=∠FEG=∠DEG=180-39=479, 3 如图4， E D G 当EF=FG,∠DEG=∠F时， ∠FEG=∠FGE, 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 设F=∠DEG=x, ·∠FEG=∠FGE=(39+x), ÷x+2(39+x)=180, x=34, ∠F=34, 综上所述：∠F=63或31.5或47或34， 故答案为：63或31.5或47或34 【点睛】本题考查了等腰三角形的分类，相似三角形的判定等知识，解决问题的关键是画出图 形，正确分类 7.(1)5;(2)3V21 【分析】(1)证明△BDA~△BAC,利用相似三角形的性质求解即可. (2)作PH⊥AB于点H,并反向延长交DC于G,过点D作DF⊥AB与F,得出四边形DFHG 为矩形，通过解直角三角形得出GH=号，再根据面积求出PG,进而可得出PH,在AB上取一 点Q,使∠PQB=∠APB=120°，利用勾股定理得出PB2=32+(3+m)=m2+2V3m+12, 再证明△PBQ~△ABP,利用相似三角形的性质得出m2+2V3m+12=7V3m,解出m的值， 最后再求出PA和PB即可. 【详解】解：（1)在△ADB和△BCA中， ∠B=∠B,∠ADB=∠BAC, △BDA△BAC, AB=6,BD=4, 6 4 4c= 解得：CD=5; （2)解：四边形ABCD为菱形， ∴.AB=BC=CD=AD=7V3, 作PH⊥AB于点H,并反向延长交DC于G,过点D作DF⊥AB与F, 多学科网·短子学 Www.2x×k.C0m 让学习更商效 D G F HO B 则四边形DFHG为矩形， ∴GH=DF=AD:sinDAF=75×sim60=7V3×9= 2 :△DCP的面积为1osv ÷DcpG= ..PG=i5 ∴.PH=3, 在AB上取一点Q,使∠PQB=∠APB=120°， .∴.∠PQH=60, ∴HQ=哦=V5, tan60 令QB=m, ∴PB2=32+(5+m)2=m2+2V3m+12, '∠PQB=∠APB,∠PBQ=LABP, .△PBQ△ABP, ∴.PB2=BQ·BA=7V3m, .∴.m2+2V3m+12=7V3m, 解得：m1=5,m2=43（舍) .PB=V21, PA=VPH2+AF=32+(7W3-2V3=2V2i, ∴.PA+PB=321. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质和矩形的判定以及性质，勾股 定理等解直角三角形的相关计算等知识，构造相似三角形是解题的关键 8.(1)60°；