【专项练】A型相似-鲁教版五四制八年级下册期末专项（初中数学）

学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 A型相似 中等题 1. 如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,且DElIBC,若S△ADE=S四边形oBCE' 则 AE:AC= 2. 如图,Rt△ABC中,ACB=90*,ABC=60”,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以 1cm/s的速度从A点出发,沿AB向B点运动,设E点的运动时间为t秒,连接DE,当以B、D、E 为项点的三角形与△ABC相似时,t的值为() C. 2或3.5 A. 2或3.4 B.3.5或3.2 D. 32或3 3. 如图,在△ABC中,2ACB=90o,AB=10,AC=6,点D为AB的中点,点E在BC上,且DE 平分△ABC的周长,则DE的长是() B A.3V2 C.V13 B. 23 D.V15 4. 如图,在矩形ABCD中,BE平分2CBD,CF1BE,分别交BD,BE于点G,H. 若AB=6, BC-8,则Gr的长为__. 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 困 难 题 5. 在△ABC中,LACB=90*,CD1AB垂足为D. 且AD>BD点E是边AC上一动点(点E不与点 A、点C重合),连接DE,过点C作CF1DE交线段AD于点F 图① 图② (1)如图①,求证:CD·BC=BF·CE (2)如图②,若FC=FB,BD=2,CD=3,求△DCE的面积. (3)若BD=1.CD=2.CF交线段ED于点G,连接EF,且△EFG与△CDG相似,请直接写出CE 的长. 6. 问题背景:在直角三角形ABC中,C三90*,D为AC上一点 B 图1 图2 图3 (1)如图1,过点D作DE1AB于E,求证:AD·AC三AE·AB (2)如图2,在(1)的条件下,将△ADE绕A点逆时针旋转,连接DB,CE,取BD的中点M,连 接CM.求证 (3)如图3,BD平分乙ABC,AC=4,BC=3,点E为BC上一点,点C关于AE的对称点为C,若 点C恰好落在BD上,直接写出BC的长度是. 7. AB=16cm,AC=12cm,动点P、O分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动,其中 点P从点A出发沿AC边一直移到点C为止,点O从点B出发沿BA边一直移动到点A为止. 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 (1写出AP的长y.和A0的长y,关于时间!的函数 (2)经过多少时间后,△APo与△ABC相似? (3)在整个过程中,是否存在使△APo的面积恰好为△ABC面积一半的情况,若存在,请问此时 点O运动了多少时间?若不存在,请说明理由命学科网·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 A型相似 中等题 1.V2:2 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明△ADE~△ABC得；=4E= 即可 S△ABC 得出答案.解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质！ 【详解】解：S△ADE=S四边形DBcE, SAADE S△ADE S△ADE S△ABC S△ADE+S世边形DBCE S△ADE+S△ADE DEBC, ÷LADE=LABC,∠AED=LACB, ·△ADE△ABC AC =-(负值不符合题意，舍去) 即AE:AC=V2:2. 故答案为：V2:2. 2.C 【分析】此题考查了含30角的直角三角形的性质.此题属于动点问题，难度适中，注意掌握 分类讨论思想与数形结合思想的应用 由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm,可求得AB的长，由D为BC的中点， 可求得BD的长，然后分别从若LDEB=90与若∠EDB=90时，去分析求解即可求得答案， 【详解】解：~Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm, AB =2BC=4(cm), :BC=2cm,D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发， .BD=BC=1(cm),BE=AB-AE =4-t(cm), 若∠BED=90°， ￥∠ABC=60°， ∠BDE=30°， 扇学科网·艇子学 www,×Xk.C0m 让学习更高效 .BE=BD=(cm), ∴AB=AB-BE=4-=3.5 t=3.5, 若LBDE=90时， ∠ABC=60°， ∠BED=30°， :BE =2BD=2(cm), .AE=AB-BE=4-2=2 t=2, 综上可得：t的值为2或3.5. 故选：C 3.A 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质 是解答本题的关键.由勾股定理求出BC=8,由DB平分△ABC的周长求出CE=1,过D点作 DFIAC,则△BDF∽△BAC,由相似三角形的性质求出：DF=3,BF=4,然后在Rt△DEF 中利用勾股定理求解即可. 【详解】解：∠ACB=90°，AB=10,AC=6, :BC=V102-62=8, D为AB的中点， .AD BD=AB =5, :DE平分△ABC的周长， “AC+CE=(AC+BC)=7, ÷CE=1, 过D点作DFIAC,交BC于点F,则△BDF~△BAC, ==8= =配==2 ÷DF=3,BF=4, 扇学科网·艇子学 www,×Xk.C0m 让学习更高效 EF=3, ∠DFE=90°， ÷DE=V32+32=3V2. E 故选A. 4.V10 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，先证 明△BCH兰△BGH(ASA),可得BC=BG=8,CH=GH=CG,再利用矩形的性质和勾股定 理得8D=VAB+AD=10,即得DG=BD-BG=2,进而由△DFG~△BCG得5-8- 即得DF=2,即可得CF=VDF2+cD=20,再根据8=求出cG即可求解，掌握以上知 识点是解题的关键 【详解】解：BE平分∠CBD, ÷∠CBH=∠GBH, CF⊥BE, ÷∠BHC=∠BHG=90°， 又BH=BH, △BCH≌△BGH(ASA), ÷BC=BG=8,CH=GH=CG, 四边形ABCD是矩形， ÷AD=BC=8,CD=AB=6,ADIBC,∠A=∠ADC=90°， ÷BD=VAB2+AD2=V62+82=10, ÷DG=BD-BG=10-8=2, ADIBC, ÷△DFG∽△BCG, 高学科网·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 --器 DF=2, :CF=VDF2+CD2=V22+62=2V10, 2-c6= CG .CG=BV10 5 GH=CG=画 5 故答案为： 5 困难题 5.()见解析 28 6或2 【分析】本题考查相似三角形的综合应用，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和分论讨论 思想的应用。 (1)证明△DCE∽△FBC,对应边成比例即可解决问题； (2)设DE交CF于K,由△DCE∽△FBC;BF=CF,可得CD=DE=2,设BF=CF=m,则 DF=BF-BD=m-2,可得(m-2)2+22=m2,即可解得BF=CF,DF=m-2,求出DK, CK;由三角形面积公式即可解决问题； (3)△EFG与△CDG相似，只需LCDG=∠FEG或∠CDG=∠EFG,分两种情况讨论：①当 LCDG=∠FEG时，②当LCDG=∠EFG时，根据相似三角形的判定与性质即可解决问题. 【详解】(1)证明：∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴∠B=90°-∠BCD=∠DCE, CD⊥AB,CF⊥DE, ÷∠BFC=9O°-∠FDE=∠CDE, ∴△DCE∽△FBC, 扇学科同·假子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 &CD·BC=BF·CE (2)解：设D交CF于K,如图： B D 由(1)知△DCE~△FBC, BF=CF, .CD=DE=3, 设BF=CF=m,则DF=BF-BD=m-2, 在Rt△CDF中，DF2+CD2=CF2, ÷(m-2)2+32=m2, 解得m=号 BF=CF=号DF=m-2=是 '2S△cDF=CD·DF=CF·DK, a3×=gDK, aDK=指 CK-VCD-DR-3) 5acE=D·CK=×3×= △DCE的面积为普 (3)解：∠CGD=∠EGF, ∴△EFG与△CDG相似，只需LCDG=LFEG或LCDG=LEFG, ①当LCDG=∠FEG时，此时如图：EFICD, BD=1,CD=2,CD L AB,BD=1,CD=2, 高学科同·：子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 .BC=VBD2+CD2=12+22=V5 '∠B=90°-∠BCD=∠ACD,∠BDC=90°=∠DCA, ∴△BDC∽△CDA, .BD=CD=BC CD AD AC ÷AD=4,AC=2V5 EFCD DF=CE AD AC 2.DE=CE 4-2W⑤ DP-CE 设CE=x,则DP=5x 由(1)知：△DCE∽△FBC, 2 解得：x=5(负值舍去) CE-N ②当∠CDG=LEFG时，如图： B A CF⊥DE,CD⊥AB, ∠CDG=90°-∠GDF=∠DFG, ∠EFG=∠DFG, '∠DGF=90°=∠EGF,GF=GF, ∴△DGF≌△EGF(ASA), .DG=EG, 命学科网·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 ·CF是DE的垂直平分线， .CE=CD=2, 综上所述，c的长为或2. 6.(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)2V5-V11 【分析】（1)证明△AED~△ACB,由相似三角形的性质即可得证； (2)延长CM到F,使得CM=FM,连接DF,EF,可证明△BMC兰△DMF,得到DF= BC,MDF=MBC,导角证明∠EDF=∠CAE,进而可证明△CAE~△FDE,得到=9 ，∠DEF=∠ABC,则可证明LCEF=LACB=90,是-能进-步可证明△ABC~△CFE, 据此可证明结论： (3)过点D作DF⊥AB于F,过点A作AH⊥BD交BD延长线于H,则CD=FD;由勾股定理 得A=5,根据等面积法得到号-提-号则AD=》CD=号由勾股定理得BD=5,证明 △ABH∽△DBC,由相似三角形的性质求解BH=2V5,AH=V5,由轴对称的性质可得AC= AC=4,再由由勾股定理得CH=V11,则BC=BH-C'H=2V5-V1i. 【详解】(1)证明：∠C=90,DE⊥AB, ∠AED=∠C=90°， '∠EAD=∠CAB, △AED∽△ACB, AD·AC=AE·AB; (2)证明：如图所示，延长CM到F,使得CM=FM,连接DF,EF, 盛学科网·艇子学 www,×Xk.C0m 让学习更高效 B 图2 M为BD的中点， .DM BM, 又：CM=FM,∠BMC=LDMF, △BMC≌△DMF(SAS), :DF=BC,∠MDF=∠MBC; △AED△ACB, DAE ZBAC,LADE-LABC. ∠ACB+∠CBD+∠ADB+∠CAD=360°，∠ADE+∠EDF+∠BDF+∠ADB=360°， ∠ACB+∠CAD=∠ADE+∠EDF, :90°+∠CAD=90°-∠DAE+∠EDF, ÷LEDF=∠CAD+∠DAE=∠CAE; DF=BC, 是=器即能=品 △CAE∽△FDE, ,∠DEF=LAEC, ∴LCEF=LCED+LDEF=∠CED+∠AEC=LAED=90°， CE AC = cEF=ACB=90,是=影 △ABC∽△CFE, CE (3)解：如图所示，过点D作DF⊥AB于F,过点A作AH1BD交BD延长线于H, 扇学科同·服子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 D C E ~BD平分∠ABC,AH⊥BD,∠C=90°， .CD=FD 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=VAC2+BC2=5, S△AB2= AB-DF AD.BC S△CBD 8C.CD BC.CD AD AC=4, aD=cD=号 在Rt△DBC中，由勾股定理得BD=VCD+BC=3S :∠H=∠C=90°，∠ABH=∠DBC(角平分线的定义)， △ABH△DBC, :BH=2V5,AH=5, 由轴对称的性质可得AC=AC=4, 在Rt△AHC中，由勾股定理得CH=VCA2-AH严=V11, ÷BC=BH-CH=2V5-V1i 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角 平分线的性质等等，解(2)的关键在于通过倍长中线构造全等三角形，通过全等进而构造相 似三角形；解(3)的关键在于利用角平分线的性质结合等面积法求出AD,CD的长，进而证明 三角形相似求解， 7.(1)y1=2t(0≤t≤6)，y2=16-t(0≤t≤16). 高学科同·服子学 www.zxxk.com 让学习更高效 ②：0≤t≤6中，t=铝在6≤t≤16中，t=7 (3)存在，在0≤t≤6中，t=4;在6≤t≤16中，t=8 【分析】(1)根据题意表示出y:和y即可.」 (2)分情况讨论，当0≤t≤6时，①若QP BC,则有△AQP~△ABC,②若∠AQP=∠C, 则有△AQP~△ACB,当6≤t≤16时，点P与C重合，当∠AQC=∠ACB时， 有△AQC△ACB.分别根据相似三角形的性质得出比例代入求出t的值即可 (3)当0≤t≤6时，过点P、C分别作AB的垂线，垂足为D、E.再根据正弦的定义得出PD= APsinA,CB=ACsinA.再根据三角形面积公式可得出82=专代入求解出：的值当6≤ t≤16时，点P与C重合.即=代入求解出t的值 SAABC 【详解】（1)解：12÷2=6s,16÷1=16s, y1=2t(0≤t≤6)，y2=16-t(0≤t≤16) (2)解：当0≤t≤6时，①若QP I BC,则有△AQP∽△ABC. 8-品 AB =16cm,AC =12cm,AP =2t,AQ =16-t, g=器 16 解得：t= 11' ②LA=∠A,若∠AQP=∠C,则有△AQP△ACB. 是-始 =治 解得：t=6.4.(不符合题意，舍去) 当6≤t≤16时，点P与C重合. LA=∠A,只有当∠AQC=∠ACB时， 有△AQC~△ACB. = 解得：t=7