8.2.1一元线性回归模型（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

8.2.1 一元线性回归模型 第八章 成对数据的统计分析 人教A版2019选择性必修第三册 前情回顾 0 样本相关系数的性质 ①r 的正负：反映成对样本数据的变化趋势 r=0时，只表明成对样本数据间无线性相关关系，但不排除它们有其他相关关系. ③样本容量越大，用样本相关系数估计两个变量的相关系数的效果越好. ②|r |的大小：反映成对样本数据线性相关的程度(即散点集中于某条直线的程度)： |r |越接近1：线性相关程度越强； |r |越接近0：线性相关程度越弱. 前情回顾 0 研究统计问题的一般流程： 单一数据 成对数据 单一数据 成对数据 成对数据 学习目标 1 2 3 结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义． 了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理． 理解一元线性回归模型随机误差产生的原因． 0 新课引入 0 恩格尔系数是预测生活水平高低的一个模型，那么当两个变量线性相关时，我们如何对成对样本数据建立一个模型进行预测？ 恩格尔系数(Engel’s Coefficient)是根据恩格尔定律得出的比例数，指居民家庭中食物支出占消费总支出的比重，是表示生活水平高低的一个指标．其计算公式：恩格尔系数＝食物支出金额÷总支出金额． 一个家庭收入越少，家庭总支出中用来购买食物的支出所占的比例就越大，随着家庭收入的增加，家庭收入中或者家庭支出中用来购买食物的支出所占比例将会下降. 读教材 0 阅读课本P105-P106，5分钟后完成下列问题： 1.一元线性回归模型和函数模型的区别？ 我们一起来探究“一元线性回归模型”吧！ 2.一元线性回归模型的随机误差来源可能有哪些？ 01 03 02 目录 1 一元线性回归模型 学习过程 2 题型训练 1 新知探究 探究1 生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高相关：一般来说，父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高；为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如下表所示. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 思考1：根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的 关系可以用函数模型刻画吗？ 1 新知探究 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 思考1：根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用 函数模型刻画吗？ … 172 … 父亲身高 … 176 174 … 儿子身高 儿子身高不是父亲身高的函数 1 新知探究 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 思考1：根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用 函数模型刻画吗？ 父亲身高不是儿子身高的函数 … 170 … 儿子身高 … 173 169 166 … 父亲身高 1 新知探究 思考2：经过刚才的分析，你觉得儿子身高与父亲身高的关系是怎样的？ 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 通过计算得到样本相关系数r≈0.886. 儿子身高与父亲身高呈正线性相关关系 1 新知探究 思考3：由于其他因素的存在，使得儿子身高和父亲身高有关系但不是函数关系，那么影响儿子身高的其他因素是什么？ 母亲的身高 生活的环境 饮食习惯 ... 营养补充 体育锻炼 1 新知探究 思考4：不考虑上述随机因素的影响，你能否用类似于函数的表达式来表示父亲身高x和儿子身高Y的关系？ 事实上，相关系数 ，故称 加上随机误差后可以记作 e：随机误差 母亲身高 生活环境 饮食习惯 体育锻炼 测量误差 1 新知探究 思考5：理想状态下，我们希望随机误差怎么样呢？ 由于随机误差表示大量已知和未知的各种影响之和，理想状态下它们会相互抵消，为使问题简洁，可以假设随机误差的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值，即. 误差观测值 如果随机误差是一个不为0的常数，则可以将合并到截距项a中，则模型无法确定，即参数没有唯一解；另外，如果不为0，则表示存在系统误差，在实际建模中也不希望模型有系统误差，即模型不存在非随机误差. 1 新知1－－一元线性回归模型 一元线性回归模型 如果用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，表示随机误差.假定随机误差的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值，则它们之间的关系可以表示为： 称为关于的一元线性回归模型. 称为因变量或响应变量； 称为自变量或解释变量； ：称为截距参数， 称为斜率参数； 是与之间的随机误差. 1 新知探究 思考5：函数模型与回归模型之间的差别？ 函数模型： 回归模型： 一元线性回归模型Y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量Y 的值由自变量x 和随机误差项e共同确定, 即自变量x只能解释部分Y的变化. 变量之间具有的函数关系，是一种确定性的关系 变量之间具有的相关关系，是一种不确定性关系 思考6：对于父亲身高为 xi 的某一名男大学生，他的身高 yi 一定是 bxi+a 吗？ 对于父亲身高为 xi 的某一名男大学生，他的身高 yi 并不一定为 bxi+a，它仅是该子总体中的一个观测值，这个观测值与均值有一个误差项这 ei=yi-(bxi+a). 1 新知探究 思考7：结合父亲与儿子身高的实例，说明回归模型(1)的意义？ 对于父亲身高 x 和儿子身高 Y 的一元线性回归模型(1)，可以解释为： 父亲身高为 xi 的所有男大学生的身高组成一个子总体，该子总体的均值为 bxi+a，即该子总体的均值与父亲身高是线性函数关系. 思考8：如何理解随机误差 e 对儿子身高的影响？ 对于任意一组（xi,Yi）,都有一个ei与之对应 随机误差 e 的特征 随机误差e是一个随机变量 ①可取正或取负 ②有些无法测量 ③不可事先设定 学以致用 例1 已知人的年龄x与人体脂肪含量的百分数y的经验回归方程为y＝0.577x－0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量（ ） A.一定是20.3% B.在20.3%附近的可能性比较大 C.无任何参考数据 D.以上解释都无道理 解：将x＝36代入经验回归方程得y＝0.577×36－0.448≈20.3， 故这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B. B 学以致用 例2 工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的经验回归方程为 ＝50＋80x， 下列判断正确的是（ ） A.劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元 B.劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元 C.劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元 D.当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元 B 解：因为经验回归方程的斜率为80， 所以x每增加1，y平均增加80， 即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元. 学以致用 例3 在一元线性回归模型y＝bx＋a＋e中，下列说法正确的是(　　) A．y＝bx＋a＋e是一次函数 B．因变量y是由自变量x唯一确定的 C．因变量y除了受自变量x的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致 随机误差e的产生 D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生 解：这是一元线性回归模型，是不确定关系，故A，B错误， 由随机误差的产生原因可知C正确，且随机误差不可避免，故D错误。 C 01 03 02 目录 1 一元线性回归模型 学习过程 2 题型训练 2 例1 (多选)以下四个散点图中，两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是（ ） 解：AC中的点分布在一条直线附近，适合线性回归模型. 题型1－－一元线性回归模型的应用 AC 2 例2 判断下列变量间哪些能用函数模型刻画，哪些能用回归模型刻画? 为什么？ 解：(1),(2),(3),(4),(5)回归模型：两个变量之间的关系不确定； (6),(7)函数模型：变量之间有确定关系。 题型1－－一元线性回归模型的应用 (1)某公司的销售收入和广告支出； (2)某城市写字楼的出租率和每平米月租金； (3)航空公司的顾客投诉次数和航班正点率； (4)某地区的人均消费水平和人均国内生产总值(GDP)； (5)学生期末考试成绩和考前用于复习的时间； (6)一辆汽车在某段路程中的行驶速度和行驶时间； (7)正方形的面积与周长． 2 例3 两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是（ ） A.y＝a·xb B.y＝a＋bln x C.y＝a·ebx D.y＝a· 解：由散点图可知，此曲线类似对数函数型曲线， 因此可用函数y＝a＋bln x模型进行拟合.故选B. 题型1－－一元线性回归模型的应用 B 2 例4 若某地财政收入 x 与支出 y 满足一元线性回归模型 y＝bx＋a＋e (单元：亿元)， 其中 b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入 10 亿元，年支出预计 不会超过多少？ 解：因为财政收入 x 与支出 y 满足一元线性回归模型 y＝bx＋a＋e， 其中 b＝0.7，a＝3，所以得到 y＝0.7 x＋3＋e， 当 x＝10 时，得 y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e， 而 |e| ≤0.5，即－0.5≤ e ≤0.5，所以 9.5≤ y ≤10.5， 所以年支出预计不会超过 10.5 亿元. 题型1－－一元线性回归模型 课堂小结 一元线性回归模型 如果用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，表示随机误差.假定随机误差的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值，则它们之间的关系可以表示为： 称为关于的一元线性回归模型. 称为因变量或响应变量； 称为自变量或解释变量； ：称为截距参数， 称为斜率参数； 是与之间的随机误差. $$