高一数学月考卷（湘教版2019必修第二册第一章到第四章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019必修第二册第一章到第四章。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，其中为虚数单位，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】， 则. 故选：B. 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 . 故选：D. 3．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】C 【详解】由题意，在原中，， 因为，则， 又，所以，为中点， 则， 所以原是一个等腰三角形. 故选：C. 4．若m，n为空间直线，，为平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．，，，则 D．若m，n是异面直线，则m，n在内的射影为两条相交直线 【答案】C 【详解】对于A，，，则可能在内，可能平行于，也可能与相交，A错误； 对于B，，，则可能在内，可能平行于，B错误； 对于C，由，，得，而，因此，C正确； 对于D，m，n是异面直线，m，n在内的射影可能是两条平行直线，可能是两条相交直线， 也可能是一条直线和一个点，D错误. 故选：C 5．在△ABC中，边BC上的中线为AD，点O满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， 故， 故选：A. 6．在三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】因为， 所以由余弦定理，整理化简得. 所以即，或即， 所以三角形ABC的形状为等腰或直角三角形. 故选：D 7．若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（    ） A． B．40 C．64 D． 【答案】D 【详解】因为，且向量与向量的夹角为， 设，其中， 则 ，其中， 因为，当时， 有最大值. 故选：D 8．设为圆锥底面的一条直径，为底面圆周上异于的一点，为靠近的一个三等分点，且二面角与二面角的大小相等，则该圆锥的体积与三棱锥的体积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 在圆所在平面内，过作，垂足为，过作，垂足为， ∵，∴，， ∴为二面角的平面角，为二面角的平面角， ∴. ∵在和中，， ∴. ∵为上靠近的一个三等分点，∴. 设，则，底面圆半径为，圆锥高. ∵点在圆锥底面圆上，∴， ∵点为中点，，， ∴，， ∴，即， ∴，， ∴. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C．若，则 D．存在，使得 【答案】ACD 【详解】对于A，由题可知，故A项正确； 对于B，，故与的夹角为，故B项错误； 对于C，若，则，故C项正确； 对于D，若，则，则当时，可以使，故D正确. 故选：ACD 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由可得，则，故A正确； 且，则， 所以， 且，则，故B错误； ，故C正确； 因为， 由，可得，故D错误； 故选：AC 11．如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（   ） A． B．平面与平面所成角的余弦值为 C．若，则点轨迹的长度为 D．若点在直线上，则的最小值为 【答案】ABC 【详解】如图1，连接，由菱形可得． 再由直棱柱，可得底面． 又因为底面，所以， 而平面，所以平面， 又因为平面，所以，故A正确； ，，，所以为直角三角形，且， 其在底面投影的三角形的面积为， 由投影面积法可得平面和平面所成角的余弦值为，故B正确； 如图2，动点在侧面内（包含边界），过作，垂足为， 由直棱柱， 所以平面平面，平面平面，平面， 且，所以平面. 而侧面，即有，由菱形边长为2，，可得， 再由勾股定理得：，则点的轨迹是以为圆心， 以为半径的圆弧（如图3中），则由侧面正方形， 可知，，可得，所以点轨迹的长度为，故C正确； 由为直角三角形，且为等腰直角三角形， 将与展开成一个平面图，如图4，则； 由余弦定理得：， 即，故的最小值为，故D错误． 故选：ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A= ． 【答案】// 【详解】对于等式左边，；对于等式右边，由于， 代入等式整理得，由余弦定理可得， 故，因为，所以，因为，所以． 13．已知复数z满足，则的最小值为 ． 【答案】2 【详解】设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足， 由复数的几何意义可知，点Z到点和的距离相等， 所以在复平面内，点Z的轨迹为x轴， 又表示点Z到点的距离， 所以的最小值为x轴上的动点Z到定点距离的最小值， 所以的最小值为2． 故答案为： 2 14．正方形中，分别是的中点，为的中点，将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的正切值为 ． 【答案】 【详解】如图， 过作，为的中点，连接， 异面直线与所成角为，设， ，，， 又 ， ，又，且， 平面，， 在正方形中，设边长，，，， ， . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数. (1)求的值： (2)复数求在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，， ………(2分) 故， ………(5分) 由题意，得. ………(6分) （2）由（1）可得， ………(7分) ， ………(10分) 由题意可得得，故实数的取值范围为. ………(13分) 16．（15分）在中，已知，且. (1)求角B的度数. (2)若，求面积. (3)若点D在边AC上，且，求的度数（用角B的表达式表示，并求出具体值）. 【详解】（1）由余弦定理得 ， 又因为 ，所以 . ………(3分) （2）因为， 由正弦定理可得 ，由（1）可知， 所以， 而，所以 ， 所以面积. ………(7分) （3）因为，由正弦定理可得 ，由（1）可知， 所以， 所以为等边三角形， 因为，所以是 的中点，可得， 用角表示为. ………(13分)    17．（15分）已知，，其中，. (1)求； (2)求. 【详解】（1）因为，，则，， ………(2分) 因为，， 所以，， ， ………(5分) 所以， . ………(7分) （2）因为， ， ………(10分) 所以， ， 因此. ………(15分) 18．（17分）三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点．    (1)求与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求证与平面平行． 【详解】（1）解：连接.由分别是的中点， 根据中位线性质，得，且， 在三棱台中，可得，所以， 由，可得四边形是平行四边形，则， 所以为与所成角， 在中，由， 可得. ………(5分)    （2）因为平面，在平面， 所以， 又又分别在平面与平面内， 平面与平面的交线为， 所以即为平面与平面所成角的平面角， 又，，分别是中点， 所以， 即平面与平面所成角的余弦值为； ………(11分) （3）由，， 由棱台的结构特征可知，又为的中点， 易知与平行且相等， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又在平面外，在平面内， 所以平面. ………(17分) 19．（17分）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，且，若，求． 【详解】（1）因为， 所以. ………(3分) （2）①因为 ， 且，，则， 所以. 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； ………(9分) ②因， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的重心，则， 可得， 则， ， ， 可得， 所以. ………(17分) 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019必修第二册第一章到第四章。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，其中为虚数单位，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 2．（    ） A． B． C． D． 3．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 4．若m，n为空间直线，，为平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．，，，则 D．若m，n是异面直线，则m，n在内的射影为两条相交直线 5．在△ABC中，边BC上的中线为AD，点O满足，则等于（   ） A． B． C． D． 6．在三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 7．若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（    ） A． B．40 C．64 D． 8．设为圆锥底面的一条直径，为底面圆周上异于的一点，为靠近的一个三等分点，且二面角与二面角的大小相等，则该圆锥的体积与三棱锥的体积之比是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C．若，则 D．存在，使得 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 11．如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（   ） A． B．平面与平面所成角的余弦值为 C．若，则点轨迹的长度为 D．若点在直线上，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A= ． 13．已知复数z满足，则的最小值为 ． 14．正方形中，分别是的中点，为的中点，将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的正切值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数. (1)求的值： (2)复数求在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 16．（15分）在中，已知，且. (1)求角B的度数. (2)若，求面积. (3)若点D在边AC上，且，求的度数（用角B的表达式表示，并求出具体值）. 17．（15分）已知，，其中，. (1)求； (2)求. 18．（17分）三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点．    (1)求与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求证与平面平行． 19．（17分）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，且，若，求． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019必修第二册第一章到第四章。 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，其中为虚数单位，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 2．（    ） A． B． C． D． 3．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 4．若m，n为空间直线，，为平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．，，，则 D．若m，n是异面直线，则m，n在内的射影为两条相交直线 5．在△ABC中，边BC上的中线为AD，点O满足，则等于（   ） A． B． C． D． 6．在三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 7．若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（    ） A． B．40 C．64 D． 8．设为圆锥底面的一条直径，为底面圆周上异于的一点，为靠近的一个三等分点，且二面角与二面角的大小相等，则该圆锥的体积与三棱锥的体积之比是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C．若，则 D．存在，使得 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 11．如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（   ） A． B．平面与平面所成角的余弦值为 C．若，则点轨迹的长度为 D．若点在直线上，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A= ． 13．已知复数z满足，则的最小值为 ． 14．正方形中，分别是的中点，为的中点，将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的正切值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数. (1)求的值： (2)复数求在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 16．（15分）在中，已知，且. (1)求角B的度数. (2)若，求面积. (3)若点D在边AC上，且，求的度数（用角B的表达式表示，并求出具体值）. 17．（15分）已知，，其中，. (1)求； (2)求. 18．（17分）三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点．    (1)求与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求证与平面平行． 19．（17分）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，且，若，求． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C C A D D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD AC ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由题意可知，， ………(2分) 故， ………(5分) 由题意，得. ………(6分) （2）由（1）可得， ………(7分) ， ………(10分) 由题意可得得，故实数的取值范围为. ………(13分) 16．（15分） 【详解】（1）由余弦定理得 ， 又因为 ，所以 . ………(3分) （2）因为， 由正弦定理可得 ，由（1）可知， 所以， 而，所以 ， 所以面积. ………(7分) （3）因为，由正弦定理可得 ，由（1）可知， 所以， 所以为等边三角形， 因为，所以是 的中点，可得， 用角表示为. ………(15分)    17．（15分） 【详解】（1）因为，，则，， ………(2分) 因为，， 所以，， ， ………(5分) 所以， . ………(7分) （2）因为， ， ………(10分) 所以， ， 因此. ………(15分) 18．（17分） 【详解】（1）解：连接.由分别是的中点， 根据中位线性质，得，且， 在三棱台中，可得，所以， 由，可得四边形是平行四边形，则， 所以为与所成角， 在中，由， 可得. ………(5分)    （2）因为平面，在平面， 所以， 又又分别在平面与平面内， 平面与平面的交线为， 所以即为平面与平面所成角的平面角， 又，，分别是中点， 所以， 即平面与平面所成角的余弦值为； ………(11分) （3）由，， 由棱台的结构特征可知，又为的中点， 易知与平行且相等， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又在平面外，在平面内， 所以平面. ………(17分) 19．（17分） 【详解】（1）因为， 所以. ………(3分) （2）①因为 ， 且，，则， 所以. 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； ………(9分) ②因， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的重心，则， 可得， 则， ， ， 可得， 所以. ………(17分) 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$