1.2直角三角形复习题--含30°的直角三角形的性质　同步练习　--2024—2025学年北师大版八年级数学下册

1.2直角三角形复习题--含30°的直角三角形的性质 【题型1 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】 1.如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 2.在等边三角形，若边上的高与边所夹得角为，且，则的周长为（     ） A．18 B．9 C．6 D．4.5 3.如图所示，是等边三角形，D为的中点，，垂足为E．若，则的边长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 4.如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 【题型2 由含30°的直角三角形的性质求角度】 1.如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段在直线上．若点恰好是线段中点，则的大小为 °． 2.如图，在中，，点为边上的动点，当最小时，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3.如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 ． 4.已知在等腰中，，垂足为点D，，则的度数有（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【题型3 由含30°的直角三角形的性质求面积】 1.如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值是（    ） A． B． C． D． 2.如图，在中，，点是上一点，且，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．18 D．6 3.如图，在中，，D是上一点，连接，若平分，设和的面积分别是，，则（    ） A． B． C． D． 4.如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，求阴影部分的面积． 【题型4 由含30°的直角三角形的性质求最值】 1.如图，直线于点，，点是直线上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（　　） A．4 B．2 C．5 D．3 3.如图，边长为6的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点运动过程中，线段长度的最小值是 ． 4.如图，在等腰三角形中，，，是底边上的高，在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值(     ) A．6 B．4 C．3 D．2 【题型5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】 1.如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，，若点A的横坐标为1，则点B的坐标为 ． 2.如图，等边的三个顶点都在坐标轴上，，过点B作，交x轴于点D，则点D的坐标为 ．    3.如图，在平面直角坐标系中，点O的坐标为，点M的坐标为，N为y轴上一动点，连接．将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接．求线段长度的最小值（    ） A． B． C．2 D． 4.如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 【题型6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】 1.在中，，，平分，交于点D． (1)用尺规作出线段的垂直平分线交于点M，交于点N．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 2.如图，在等腰中，，，点是边的中点，，交于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 3.如图，在，，，AB的垂直平分线分别交和于点． (1)若，求的长度； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 4.如图，已知在等边三角形中，，分别是边，上的点，且，连接，相交于点，过点作，为垂足，求证：． 【题型7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】 1.如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠（折痕为），使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点（折痕为），则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2.如图所示，在中，，将沿折叠，使点C落在边D点，若，则（   ）． A．12 B．16 C．18 D．14 3.如图，点是矩形纸片的对称中心，是上一点，将纸片沿折叠后，点恰好与点重合．若，则折痕的长为 ． 4.如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，则为 ． 【题型8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】 1.如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转至的位置，点B的对应点为点，点C的对应点恰好落在边上．设旋转角为． (1)的度数为 °； (2)求的周长． 2.如图，将绕点A旋转得到，若，，，则的长为 ．    3.如图，是绕点旋转后得到的，已知，，，则的长为 ． 4.如图，在等边中，，P为上一点（不与点B，C重合），过点P作于点P，交线段于点M，将绕点P顺时针旋转，交线段于点N，连接，有三位同学提出以下结论： 嘉嘉：为直角三角形． 淇淇：当时，． 珍珍：在点P移动的过程中，不存在平行于的情况． 下列说法正确的是（    ） A．只有嘉嘉正确 B．嘉嘉和淇淇正确 C．淇淇和珍珍正确 D．三人都正确 【题型9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】 1.如图：是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达B时，P、Q两点停止运动，当点P到达B时，P、Q两点停止运动．设点P运动的时间为．当t为 时，是直角三角形． 2.如图，在中，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当为何值时，为等边三角形？ (2)当为何值时，为直角三角形？ 3.已知：如图，是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为．    (1)当动点P、Q同时运动时，则 cm， cm． (2)当动点P、Q同时运动时，分别用含有t的式子表示； cm， cm． (3)当t为何值时，是直角三角形？ 4.如图，在中，，，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题：    (1)用含t的代数式表述的长是______． (2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【题型10 含30°的直角三角形的性质的实际应用】 1.如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若，．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度应为，则距离地面的高为 ． 2.某游乐场部分平面图如图所示，点C、E、A在同一直线上，点D、E、B在同一直线上，．测得A处与E处的距离为70m，C处与E处的距离为35m，，． (1)请求出旋转木马E处到出口B处的距离； (2)判断入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． 3.如图，嘉琪想测量一座古塔的高度，在A处测得，再往前行进到达B处，测得，点 A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔的高度为（    ） A． B． C． D． 4.图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 参考答案 【题型1 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】 1.（1）证明：∵为等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 2.A 【分析】由30度角的性质可求出，然后由等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，    ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵是等边三角形， ∴的周长为． 故选A． 3.A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于；在直角三角形中角所对应的边是斜边的一半是解题的关键． 根据题意可知，在直角三角形中求得的长，即可求得的长． 【详解】解：∵是等边三角形，D为的中点，，垂足为点E．若， ∴在直角三角形中，，，， ∴， 又∵D为的中点， ∴， ∴等边三角形的边长为12， 故选：A． 4.7.8 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键．过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为： 【题型2 由含30°的直角三角形的性质求角度】 1. 【分析】本题考查了三角形中位线，含的直角三角形，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 过点作的垂线，垂足为，先证明为的中位线，和，再根据直角三角形中所对的直角边为斜边的一半即可得出，继而求出，以及的度数． 【详解】过点作的垂线，垂足为，如图： ∵点恰好是线段中点，，， ∴，， ∴， ∵两块等腰直角三角板完全相同， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2.D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，垂线段最短，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．在下方作，过点A作于点F，过点M作于点E，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据，两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当、M、E三点共线，且时，最小，即最小，求出此时的度数即可． 【详解】解：在下方作，过点A作于点F，过点M作于点E，如图所示：    则， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当、M、E三点共线，且时，最小，即最小， ∴当点E在点F时，最小， ∵，， ∴， 即此时． 故选：D． 3. 【分析】过作，交的延长线于，过作于，证明，得，求出的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出的度数． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于，过作于， ∵点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 4.A 【分析】根据题意分两种情况：落在内部和落在外部，然后分别根据等腰三角形的概念和三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）当落在内部时， ①如图，当时，    ∵，， ∴，即． ②如图，当时，    ∵，， ∴． ∴， ∴ ③如图，当时，    ∵，， ∴． ∴． （2）当落在外部时， ④当时，此时不存在． ⑤如图，当时，    ∵，， ∴． ∴，则． ⑥如图，当时，    ∵，， ∴． ∴，则，即． 综上，的度数可能为，，，，，共5种可能， 故选：A． 【题型3 由含30°的直角三角形的性质求面积】 1.D 【分析】先根据角的直角三角形的性质得到，证明，再根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由题意得：，平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2.A 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，含30度角的直角三角形，根据等边对等角结合三角形的外角，求出，进而求出的长，由三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； 故选A． 3.B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，三角形的面积等知识，先求出，得出， 从而，然后根据三角形面积公式可得结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴，     ∴， ∴． 故选B． 4.解：在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴ ， 是等腰三角形，， 如图，过作于，则， ， 又， ， ． 【题型4 由含30°的直角三角形的性质求最值】 1.B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．以为边作等边三角形，连接，过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于点， 和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是直线的动点， 在直线上运动， 的最小值为， ， ． 故选：B 2.D 【分析】题考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质及垂线段最短的实际应用．过作，根据垂线段最短即可求出最小值． 【详解】解∶∵，平分， ∴， ∵，， ∴， 过作于点，      ∵，平分， ∴， ∵点是射线上的动点， ∴的最小值为3， 故选：C． 3. 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，进而根据30度角所对直角边等于斜边的一半即可求得线段长度的最小值．本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 【详解】解：如图， 取的中点，连接， 线段绕点逆时针旋转得到， ， 又是等边三角形， ， 即， ， 是等边三角形的高， ， ， 又旋转到， ， ， ， 根据垂线段最短，当时，最短，即最短， 此时， ， ， ． 线段长度的最小值是． 故答案为： 4.D 【分析】此题考查了全等三角形的判定即性质，等腰三角形的三线合一的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．作于，作于，证明，推出，再证明，推出，得到当时有最小值，即有最小值，由，，求出． 【详解】解：作于，作于， ， ， 平分，即平分， ，， ， ，， ， ， ， )， ， 平分， ， 连接， ， ， ， 当时有最小值，即有最小值， 此时，，， ， 故选：D． 【题型5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】 1. 【分析】本题主要考查了含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，先得出，则，进而得出，即可解答． 【详解】解：过点A作x轴的垂线，垂足为点C， ∵中， ∴， ∵， ∴， ∵点A的横坐标为1， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 2. 【分析】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．由等边三角形的性质求得的长，再由含30度角的直角三角形的性质求得的长，继而求得的长，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 3.A 【分析】如图所示，将绕点M顺时针旋转60度得到，连接，由旋转的性质可得，证明是等边三角形，得到，推出；由垂线段最短可知，当轴，最小，即最小，此时点N与点重合，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，将绕点M顺时针旋转60度得到，连接， 由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点M的坐标为， ∴， 由垂线段最短可知，当轴，最小，即最小，此时点N与点重合， ∴， 故选A． 4. 【分析】此题主要考查了点的坐标，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中， 的角所对的边等于斜边的一半是解决问题的关键． 首先根据点的坐标及等边三角形的性质得进而得 再根据直角三角形的性质得 点的纵坐标为 ，依次类推得到点的纵坐标为 即可解题． 【详解】∵点的坐标是，是等边三角形， ， ， 轴, ∴在中, 则 ， ∴点的纵坐标为 ， 同理： ...，以此类推， ， ∴点的纵坐标为 点 的纵坐标为点 的纵坐标为 ……，以此类推，点的纵坐标为 ， ∴点 的纵坐标为 故答案为： ． 【题型6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】 1.（1）解：如图，为所求作的线段的垂直平分线； （2）证明：过D点作于E点，连接， ∵，平分，，， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴． 2.（1）解： 点是边的中点，， ，， ， ， ， 设， ∵， ， ， ， ， ， ，解得， ； （2）解：，， ， ， ． 3.（1）解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ， ， ． （2）是等边三角形，理由如下： 连接， 垂直平分， ∴D为AB中点， ， 在中，， ， ， 又， ∴是等边三角形． 4.解：为等边三角形． ，， 在和中， ， ， ， 为外角， ， ， ， ． 【题型7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】 1.B 【分析】根据折叠的性质可得，，，即，再由角所对的直角边是斜边的一半，即可求解，本题考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握折叠的性质． 【详解】解：由折叠可知，，， ， 在中，，，， ， ， 故选：． 2.C 【分析】 本题主要考查了折叠的性质，含角的直角三角形的直角．理解直角三角形中角所对边是斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 3. 【分析】此题考查了中心对称，矩形的性质，以及翻折变换，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．由折叠的性质及矩形的性质得到垂直平分，得到，根据为的一半确定出，进而得到等于的一半，求出的长，即为的长． 【详解】解：由题意得：，即， 且垂直平分， ，， 在中，， ， ， ，， 则， 故答案为：． 4.4 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由折叠的性质与题意可得，，由，可知，则，，进而可求的值． 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【题型8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】 1.（1）解：∵在中，，， ∴， 根据旋转可知：； （2）解：∵，，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转角度至的位置， ∴，， ∴是等边三角形， ∴的周长是． 2.4 【分析】由直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得．本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， 将绕点旋转得到， ， 故答案为：4 3.4 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意得出，进而根据旋转的性质，即可求解． 【详解】解：在中，，， 又∵是绕点旋转后得到的， ∴，且，，三点共线， ∴． 故答案为：． 4.B 【分析】根据等边三角形的性质证明，可以判断嘉嘉正确：然后由含30度角的直角三角形的性质判断淇淇正确：珍珍错误，进而可以解决问题． 【详解】解：由旋转可得： ∵ ∴ ∴ ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴为直角三角形，故嘉嘉正确； ∵在等边中，， 当时，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故淇淇正确； 当时， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ 由旋转性质可得：， ∴是等边三角形 ∴ ∴，故珍珍错误； 故选：B． 【题型9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】 1.1或2 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解答此题的关键；分两种情况：； ．然后在直角三角形中根据的表达式和的度数进行求解即可． 【详解】解：在， 根据题意得：，， 若是直角三角形，则或， 当时，， 即， ∴， 当时，， ∴， ∴． ∴当或时，是直角三角形． 故答案为：1或2． 2.（1）解： ， ． , ∵动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为 ； 当时，为等边三角形． 即 ． 即当时，为等边三角形; （2）解：若为直角三角形， ①当时，， 即 ． ②当时，， 即 即当或时，为直角三角形． 3.（1）解：∵动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是， 当动点P、Q同时运动时，则，； 故答案为：1，2； （2）解：∵动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是， ∴当动点P、Q同时运动时， ∴． 故答案为：，t  ； （3）解：在中，， 若是直角三角形，则点P或点Q为直角顶点 ①若点P为直角顶点， ∵， ∴， ∴，即，解得； ②若点Q是直角顶点， ∵， ∴， ∴，即，解得． 答：当或时，是直角三角形．    4.（1）解：由题意得：， ∵． ∴， 故答案为：； （2）解：①若， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②若， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，当或时，是直角三角形． 【题型10 含30°的直角三角形的性质的实际应用】 1.解：如图，连接，过点D作于点E． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴在中，． 故答案为：40． 2.（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即旋转木马E处到出口B处的距离为35m； （2）入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等，理由如下： 由题意知，    ∴ ， ∵ ， ∴在和中， ， ∴， ∴， 即入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等． 3.B 【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质和含30度角直角三角形的性质，先根据三角形外角的性质得出，可得，再根据直角三角形中，30度角所对直角边长度等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 4.解：如图，过点A作于点，过点作于点， ∵ 在中，， ∴， 同理可得，， 又∵双翼边缘的端点A与之间的距离为， ∴ ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 学科网（北京）股份有限公司 $$