专题1.1 二次根式 同步课堂 2024-2025学年 八年级下册数学浙教版（原卷版+解析卷）

专题1-1 二次根式 模块1：学习目标 1. 了解二次根式的概念； 2. 理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围； 3. 掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简。 模块2：知识梳理 1.二次根式：我们把形如（） 的式子叫做根式； 叫做被开方数；叫做二次根号； 注意：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 模块3：核心考点与典例 考点1、二次根式的概念 例1．下列式子，一定是二次根式的共有（    ） ，1，，，， A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义进行解答即可． 【详解】解：，1，，，，中一定是二次根式的有、，共2个，故D正确．故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式． 变式1. 下列式子不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义进行判断即可． 【详解】一般的，形如（）的式子叫做二次根式，因此不是二次根式．故选：B 【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握知识点是解题关键． 变式2.下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、的被开方数，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、，∵，∴，是二次根式，故本选项符合题意； C、的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； D、当时，，∴不是二次根式，故本选项不符合题意；故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式． 考点2、二次根式有意义的条件1 例1．函数的自变量的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件； 根据二次根式有意义，被开方数非负，分式有意义分母不为零得出不等式组，求解即可． 【详解】解：由得：且，解得：且，故选：A． 变式1.式子有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零和二次根式有意义被开方数为非负数即可求解，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】∵有意义，∴，∴，故选：． 变式2.若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式组求解． 【详解】根据题意得：， 解得．故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式的概念和性质，以及解一元一次不等式组． 考点3、二次根式有意义的条件2 例1．已知为实数，且，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的被开方数的非负性、代数式的化简求值，根据二次根式的被开方数的非负性求出x的值是解题关键．先根据二次根式的被开方数的非负性求出x的值，从而可得出y的值，再将x和y的值代入求解即可． 【详解】解：根据题意得，∴，∴， ∴．故答案为：2． 变式1. 若满足关系+=+，则的值为 ． 【答案】21 【分析】由二次根式有意义的条件可求得x＋y＝19，则有＋＝0，再根据非负数的性质列式求出x，y，进而可求的值． 【详解】解：由题意得：x−19＋y≥0，19−x−y≥0， 则x＋y≥19，x＋y≤19，∴x＋y＝19， ∴＋＝0， 则3x＋5y−2−m＝0①，2x＋3y−m＝0②， ①−②得：x＋2y−2＝0，∵x＝19－y，∴y＝−17，∴x＝36， ∴2×36＋3×（−17）−m＝0，∴m＝21．故答案为：21． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解二元一次方程组，解答的关键是由二次根式有意义的条件求出x＋y＝19． 变式2．若成立．则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的意义得到x-2≥0，3-x≥0，从而求出x的范围． 【详解】解：∵， ∴x-2≥0，3-x≥0，∴x≥2，x≤3，∴，故选D． 【点睛】本题主要考查对二次根式的定义，二次根式的乘法等知识点的理解和掌握，能根据法则得出x-2≥0和3-x≥0是解此题的关键． 考点4、求二次根式的值 例1．当时，二次根式的值是 ． 【答案】 【分析】将代入待求式子，根据根号具有括号的作用，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序算出被开方数即可． 【详解】解：当时，．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 变式1.当时，二次根式的值是 ． 【答案】1 【分析】把代入二次根式求值即可． 【详解】解：当时，．故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 变式2.当时，二次根式值为 ． 【答案】1 【分析】把代入二次根式进行计算即可． 【详解】解：当时，．故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式的值，熟练掌握二次根式的计算是解题关键． 考点5、求二次根式中的参数 例1.已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（　　） A．2 B．4 C．5 D．20 【答案】C 【分析】将化简为，要是一个数开平方后为整数，那么这个数一定是完全平方数，即可解答． 【详解】解：，是整数，满足条件的最小正整数为5，故选：C． 【点睛】本题考查了求二次根式中参数的值，熟知二次根式的计算结果是整数的情况是解题的关键． 变式1.已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 【答案】C 【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数，∴n的最小值是5．故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键． 变式2.若是一个整数，则最小正整数的值是 ． 【答案】6 【分析】先将化简为最简二次根式，再取的最小正整数值，使被开方数开得尽． 【详解】解：，当，6，时，都可以开方， 是最小正整数，时，被开方数开得尽，结果为整数，故．故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，比较基础，需要熟练掌握． 考点6、二次根式有意义的条件3 例1．若|2024-a|+ =a，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a-2022≥0，进而化简绝对值，求解即可． 【详解】解：由题意得a-2024≥0，∴a≥2024，∴|2024-a|= a-2024． ∵|2024-a|+ =a，∴a-2024+=a， =2024，a-2025=，即=2025．故答案为2025． 【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a的取值范围，化简绝对值是解题的关键． 变式1．若实数a满足，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值和二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出a的取值范围，再利用绝对值的性质化简，即可得出答案，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键。 【详解】解：∵有意义，，解得：， ∵，∴，故， ∴，解得：．故答案为：3． 变式2．已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__． 【答案】． 【分析】 把方程变形为，根据方程没有实数根可得，解不等式即可． 【详解】解：由得， 有意义，且，方程没有实数根，即，，故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定的取值范围． 模块4：同步培优题库 全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，理解有意义的条件为是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，故选：B． 2．若为任意实数，则下列各式中是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A.当时，无意义，故该选项不正确，不符合题意； B. 当时，无意义，故该选项不正确，不符合题意；     C. 是二次根式，故本选项符合题意；     D. 当时，无意义，故该选项不正确，不符合题意；    故选：C． 3．下列判断正确的是（    ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 【答案】B 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A、带根号的式子不一定是二次根式，如=2，故此选项错误； B、一定是二次根式，故此选项正确； C、不一定是二次根式，如a=0，故此选项错误； D、二次根式的值不一定是无理数，如=2，故此选项错误；故选B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题关键． 4．以下二次根式中，未知数取任意实数都有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件,逐项分析计算得出答案． 【详解】A.当时，，二次根式无意义，A选项不符合题意； B.当时，，二次根式无意义，B选项不符合题意； C.当 时，，二次根式无意义，C选项不符合题意； D.在实数范围内，，，D选项符合题意．故选：D 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，注意题干中“任意实数都有意义”，掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 5．若，则（　　） A． B． C． D．x为一切实数 【答案】A 【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：，解得：，故选A． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，能够熟练运用二次根式被开方数的非负性列不等式是解题关键． 6．当时，二次根式的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】将代入计算即可得． 【详解】解：当时，，故选：A 【点睛】本题考查了求二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键． 7．要使代数式有意义，则（    ） A．m＞0 B．m＜0 C．m＝0 D．不存在 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵代数式有意义，∴m≥0，-m≥0，∴m=0，故选：C． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 8．若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值． 【详解】∵是一个整数,且m是正整数，, ∴m的最小值为3，此时的值是整数3.故选C． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 9．已知，则x的值为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据被开方数不能为负数，解不等式求得x的取值即可． 【详解】解：由5-x≥0，可得x≤5，由x-5≥0，可得x≥5，∴x=5，故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，掌握二次根式的定义是解题关键． 10．已知a满足，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2021 D．2022 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件得到a的取值范围，根据a的取值范围去绝对值，化简即可得出答案． 【详解】解：由题意得a-2024≥0，∴a≥2024，∴|2024-a|= a-2024． ∵|2024-a|+ =a，∴a-2024+=a， =2024，a-2025=，即=2025．故选：D 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，出现二次根式中有未知数的题，想到二次根式有意义是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11．当时，二次根式的值为 ． 【答案】1 【分析】直接将代入进行计算即可． 【详解】解：当时，，故答案为：1． 【点睛】本题考查了代数式的值，二次根式的计算，题目比较简单． 12．请写出一个大于2且小于3的二次根式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意得出，，然后取根式即可． 【详解】解：∵，，∴大于2且小于3的二次根式为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】题目主要考查二次根式的比较大小，熟练掌握比较大小的方法是解题关键． 13．函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数和分母不等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可得出答案． 【详解】解：∵，∴，故答案为：． 14．若属于真分数，任意写出一个符合条件的的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】属于真分数，则是整数，且不能为的因数，即可求解． 【详解】∵属于真分数，∴，且为整数， ∴可以取，即，故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查二次根式的性质，理解真分数的定义是解题的关键． 15．若是整数，则正整数的最小值是 ． 【答案】4 【分析】根据二次根式有意义的条件和m为正整数，得出，即可得出m的值． 【详解】解：∵有意义，∴，解得：， ∵m是正整数，∴，∴， ∵是整数，∴，解得：， ∴正整数的最小值是4，故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数． 16．已知，若整数满足，则 ． 【答案】 【分析】先根据确定m的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a的取值范围． 【详解】解： 为整数为故答案为：5． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出的取值范围是解此题的关键． 17．已知等腰三角形ABC的两边满足，则此三角形的周长为___________. 【答案】15 【分析】根据二次根式和绝对值的非负性得出的值，然后结合三角形三边关系进行计算即可． 【详解】解：，，，解得：，， 若等腰三角形ABC的三边分别为，则，不能构成三角形； 若等腰三角形ABC的三边分别为，则此三角形周长为，故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式和绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，熟练掌握基础知识点是解本题的关键． 18．若实数x，y，m满足等式 ，则m+4的算术平方根为 ． 【答案】3 【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论． 【详解】依题意得：，解得：x=1，y=1，m＝5，∴3．故答案3． 【点睛】本题考查了二次根式有意义得条件及非负数的性质，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）x为任意实数；（2）x为任意实数；（3）；（4） 【分析】（1）根据平方的性质即可求解；（2）根据平方的性质即可求解； （3）根据分式的性质即可求解；（4）根据分式的性质即可求解． 【详解】（1）∵＞0∴x为任意实数； （2）∵≥0∴x为任意实数； （3）依题意可得，∴； （4）依题意可得∴． 【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟知被开方数为非负数，分式的分母不为零． 20．下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式? ，，,(x>0)，，-，，(x≥0，y≥0). 【答案】,(x>0),,-,(x≥0,y≥0)是二次根式；,,不是二次根式 【分析】根据二次根式的概念即可逐一判定. 【详解】解:根据二次根式的概念可判定,是二次根式的有,(x>0),,-,(x≥0,y≥0), ,,. 【点睛】此题主要考查二次根式的概念，解题的关键是被开发数为非负数. 21．求下列函数中自变量x的取值范围： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)且(3)且 【分析】（1）根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性可得，由此即可得； （2）根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性可得且，由此即可得； （3）根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性可得且，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 所以函数中自变量的取值范围为． （2）解：由题意得：且， 解得且， 所以函数中自变量的取值范围为且． （3）解：由题意得：且， 解得且， 所以函数中自变量的取值范围为且． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围、分式、二次根式，熟练掌握分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性是解题关键． 22．已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，求此等腰三角形周长． 【答案】17 【分析】由二次根式有意义的条件可得，解不等式可得a的值，进而可得b的值，然后再分两种情况进行计算即可． 【详解】解：由题意得：，解得：a=3，则b=7， 若c=a=3时，3+3＜7，不能构成三角形．若c=b=7，此时周长为17． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和等腰三角形的性质，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 23．已知实数，，满足，求的值． 【答案】-40 【分析】根据绝对值的非负性，二次根式的意义，完全平方公式的性质求出x、y、z，再代入即可求解； 【详解】解：原式配方得：， ∴x+11=0，2x-3y-2=0，z-2=0，则x=-11，y=-8，z=2， ． 【点睛】本题主要考查绝对值的非负性，二次根式的意义，完全平方公式的性质，实数的运算，掌握相关知识是解题的关键． 24．若x，y都是实数，且，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，立方根，由题意知，，解得：，则，然后求代数式的值，最后求立方根即可． 【详解】解：∵，∴，解得：， 将代入原式，得，∴， ∴，∴的立方根为． 25．（2023上·重庆·八年级校考阶段练习）如果，求代数式的值． 【答案】 【分析】由二次根式与分式有意义的条件建立不等式组可得，再求解，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，解得：，∴； ∴； 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，利用平方根的含义解方程，求解代数式的值，掌握二次根式与分式有意义的条件是解本题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1-1 二次根式 模块1：学习目标 1. 了解二次根式的概念； 2. 理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围； 3. 掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简。 模块2：知识梳理 1.二次根式：我们把形如（） 的式子叫做根式； 叫做被开方数；叫做二次根号； 注意：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 模块3：核心考点与典例 考点1、二次根式的概念 例1．下列式子，一定是二次根式的共有（    ） ，1，，，， A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 变式1. 下列式子不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 变式2.下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 考点2、二次根式有意义的条件1 例1．函数的自变量的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 变式1.式子有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 变式2.若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 考点3、二次根式有意义的条件2 例1．已知为实数，且，则 ． 变式1. 如果，那么 ． 变式2. 若满足关系+=+，则的值为 ． 变式3．若成立．则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 考点4、求二次根式的值 例1．当时，二次根式的值是 ． 变式1.当时，二次根式的值是 ． 变式2.当时，二次根式值为 ． 考点5、求二次根式中的参数 例1.已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（　　） A．2 B．4 C．5 D．20 变式1.已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 变式2.若是一个整数，则最小正整数的值是 ． 考点6、二次根式有意义的条件3 例1．若|2024-a|+ =a，则的值为 ． 变式1．若实数a满足，则 ． 变式2．已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__． 模块4：同步培优题库 全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A． B． C． D．且 2．若为任意实数，则下列各式中是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列判断正确的是（    ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 4．以下二次根式中，未知数取任意实数都有意义的是（    ） A． B． C． D． 5．若，则（　　） A． B． C． D．x为一切实数 6．当时，二次根式的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D． 7．要使代数式有意义，则（    ） A．m＞0 B．m＜0 C．m＝0 D．不存在 8．若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知，则x的值为（    ） A．5 B． C．6 D． 10．若|2024-a|+ =a，则的值为 ．（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11．当时，二次根式的值为 ． 12．请写出一个大于2且小于3的二次根式： ． 13．函数的定义域是 ． 14．若属于真分数，任意写出一个符合条件的的值 ． 15．若是整数，则正整数的最小值是 ． 16．已知，若整数满足，则 ． 17．已知等腰三角形ABC的两边满足，则此三角形的周长为___________. 18．若实数x，y，m满足等式 ，则m+4的算术平方根为 ． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）；（2）；（3）；（4）． 20．下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式? ，，,(x>0)，，-，，(x≥0，y≥0). 21．求下列函数中自变量x的取值范围： (1)；(2)；(3)． 22．已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，求此等腰三角形周长． 23．已知实数，，满足，求的值． 24．若x，y都是实数，且，求的立方根． 25．如果，求代数式的值． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$